2024屆山東省煙臺市牟平區(qū)某校高三上學期限時練習開學考試數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1山東省煙臺市牟平區(qū)某校2024屆高三上學期限時練習（開學考試）數(shù)學試題一、選擇題1.設集合，，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗集合或，集合，所以，則，故選：.2.已知復數(shù)（為虛數(shù)單位），則（）A. B. C. D.為純虛數(shù)〖答案〗C〖解析〗對于A，，A錯誤；對于B，，B錯誤；對于C，，C正確；對于D，，D錯誤.故選：C.3.設等比數(shù)列的公比為q，則是為單調遞增數(shù)列的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗D〖解析〗若,則,則為單調遞減數(shù)列所以是為單調遞增數(shù)列的不充分條件若為單調遞增數(shù)列,則,則即或,所以故是為單調遞增數(shù)列的不必要條件故是為單調遞增數(shù)列的既不充分也不必要條件故選：D.4.已知向量，，向量在向量上的投影向量的坐標為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由題意易知，，而在上的投影向量為：.故選：B5.八卦是中國古老文化的深奧概念，如圖示意太極八卦圖．現(xiàn)將一副八卦簡化為正八邊形，設其邊長為，中心為O，則下列選項中不正確的是（）A. B.C.和是一對相反向量 D.〖答案〗C〖解析〗對于A中，由正八邊形中，可得，則，所以，即，所以，所以A正確；對于B中，由正八邊形中，可得，，則，所以B正確；對于C中，由和方向相反，但長度不等，因此不是一對相反向量，所以C錯誤；對于D中，由，可得，所以D正確.故選：C.6.阻尼器是一種以提供運動的阻力，從而達到減振效果的專業(yè)工程裝置．深圳一高樓平安金融中心的阻尼器減震裝置，是亞洲最大的阻尼器，被稱為“鎮(zhèn)樓神器”，由物理學知識可知，某阻尼器模型的運動過程可近似為單擺運動，其離開平衡位置的位移s（單位；cm）和時間t（單位：s）的函數(shù)關系式為，若振幅是2，圖像上相鄰最高點和最低點的距離是5，且過點，則和的值分別為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗根據(jù)題意，由振幅是2易知，故，則是最高點，不妨記相鄰的最低點為，連接，過作軸，過作，交點為，如圖，則，，，故，得，又因為，故，得，所以，因為是的點，故，得，即，因為，所以，故，.故選：A..7.已知定義在上的函數(shù)滿足，且是偶函數(shù)，當時，，則（）A. B. C. D.3〖答案〗C〖解析〗因為是偶函數(shù)，所以，則，因為，所以，則是的一個周期，因為，所以，，.故選：C.8.如圖，某幾何體由兩個相同的圓錐組成，且這兩個圓錐有一個共同的底面，若該幾何體的表面積為，體積為V，則的最大值為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗設其中一個圓錐的底面半徑為r，高為h，則，則，解得，∴，，令，設，求導，令，解得，當，，函數(shù)單調遞增；當，，函數(shù)單調遞減；∴，∴的最大值為．故選：A．二、多項選擇題：9.已知函數(shù)則（）A.的最小正周期為B.在上單調遞增C.直線是圖象的一條對稱軸D.的圖象可由的圖象向左平移個單位長度得到〖答案〗BC〖解析〗可化為，函數(shù)的最小正周期為，A錯誤；當時，，因為在上單調遞增，所以函數(shù)在上單調遞增，B正確；當時，，所以直線是圖象的一條對稱軸，C正確；函數(shù)的圖象向左平移個單位長度得到函數(shù)的圖象，D錯誤.故選：BC.10.已知定義在上的奇函數(shù)，，且當時，，則（）A.B.有2個零點C.在上為減函數(shù)D.不等式的解集是〖答案〗AD〖解析〗在中，令，得，故A正確；又為上的奇函數(shù)，，，∴至少有三個零點，故B錯誤；設x1，，且，則，，，∴在上是增函數(shù)，由于為奇函數(shù)，∴在上也是增函數(shù)，故C錯誤：由題意，畫出的圖象如圖，等價于或，由圖可知不等式的解集為,故D正確.故選:AD11.已知中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且，，若點P是邊BC上一點，Q是AC的中點，點O是所在平面內一點，，則下列說法正確的是（）A.若，則B.若在方向上的投影向量為，則的最小值為C.若點P為BC的中點，則D.若，則為定值18〖答案〗ACD〖解析〗如圖，設BC的中點為E，連接QE，∵，由余弦定理可得：，∴，∴，又，∴，∴，∴，對A選項，∵，∴，∴，又E為中點，∴，又，∴，∴，故A選項正確；對B選項，∵在方向上的投影向量為，∴，又Q是AC的中點，P在BC上，∴當時，PQ最小，此時，故B選項錯誤；對C選項，若點P為BC的中點，即P與E點重合，∵，∴，∴，故C選項正確；對D選項，∵，∴的平分線與BC垂直，∴是以BC為底邊的等腰三角形，∴，又由A選項分析知，∴根據(jù)向量數(shù)量積的幾何意義知，∴，故D選項正確．故選：ACD．12.已知函數(shù)，則（）A.的圖象關于軸對稱 B.的值域是C.在上單調遞增 D.在上的所有零點之和為〖答案〗ACD〖解析〗因為，所以，所以是偶函數(shù)，即的圖象關于軸對稱，則A正確．因為．設，則，故．由，得；由，得或．則在和上單調遞減，在上單調遞增．因為，，，所以，即的值域是，則B錯誤．當時，．因為在上單調遞減，且在上單調遞減，所以在上單調遞增，則C正確．令，得或．因為，所以，所以或或，則在上的所有零點之和為，故D正確．故選：ACD三．填空題（共4小題）13.已知向量，則與夾角的大小為_____________．〖答案〗〖解析〗由，得，由，得，即，得，所以，又，所以，即與的夾角為.故〖答案〗：.14.已知，若，，則=．〖答案〗〖解析〗因為，所以，又，，整理得解得或（舍去）因此，因為，所以，，15.已知函數(shù)，則______．〖答案〗〖解析〗由已知，，則所以，，所以，.故〖答案〗為：.16.數(shù)學中處處存在著美，機械學家菜洛發(fā)現(xiàn)的菜洛三角形就給人以對稱的美感.萊洛三角形是以正三角形的三個頂點為圓心，正三角形的邊長為半徑畫圓弧得到的.已知，點為上一點，則的最小值為______.〖答案〗〖解析〗設為的中點，為的中點，如圖所示，所以因為，所以，的最小值為.故〖答案〗為：四．解答題（共6小題）17.已知在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且．（1）求角A的大??；（2）若AD平分并交BC于D，且，，求的面積．解：（1）因，則，整理得：，在中，由余弦定理得：，而，所以.（2）在中，AD平分并交BC于D，則，而，顯然有，即，則，整理得：，又，由（1）知，，即有，而，解得，所以的面積.18.在中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，滿足，，，過B作于點D，點E為線段BD的中點．（1）求c；（2）求的值．解：（1）因為，，，所以，解得．（2）因為，，，所以，所以．又，所以．因為點E為線段BD的中點，所以，又，所以．19.設數(shù)列的前n項和為，已知，，成等差數(shù)列，且.（1）求的通項公式；（2）若，的前n項和為，若對任意正整數(shù)n，不等式恒成立，求的最小值.（1）解：因，，成等差數(shù)列，所以，即，當時，，即，由，得，所以數(shù)列是以為公比的等比數(shù)列，則，即，所以，所以；（2）解：，則，因為恒成立，所以，所以的最小值.20.如圖，在正四棱柱中，，點E在上，且．（1）若平面與相交于點F，求；（2）求二面角的余弦值．解：（1）如圖，連接，因為平面，平面平面，所以．連接，因為，所以，所以，又，所以．（2）以D為坐標原點，的方向分別為x，y，z軸的正方向建立空間直角坐標系，則，，設平面的法向量為，則，解得：，令，則，故．設平面的法向量為，則，令，則，故．．由圖可知二面角為銳角，故二面角的余弦值為．21.已知函數(shù)存在兩個極值點.（1）求的取值范圍；（2）求的最小值.解：（1）由題意知：定義域為，；令，則有兩個不等正根，，解得：，實數(shù)的取值范圍為.（2）由（1）知：，是的兩根，則；；令，則，當時，；當時，；在上單調遞減，在上單調遞增；，即的最小值為.22.已知函數(shù)，，其中．（1）若在上有兩個不同零點，求a的取值范圍．（2）若在上單調遞減，求a的取值范圍．（3）證明：，．（1）解：，，所以時，，單調遞減，時，，單調遞增，所以時，取最小值．因為在有兩個不同的零點，所以，所以．下面驗證：當時，在有兩個不同的零點.當時，，，令，則，當時，，單調遞減，則，所以，又，，時，單調遞減，時，單調遞增，所以在，上各有一個零點，即在有兩個不同的零點.綜上，.（2）解：在區(qū)間上單調遞減，即在上恒成立，即在上恒成立．令，，當時，，，所以，即在上單調遞增，所以當時，，所以．（3）證明：由（2）知時，，所以，即，．令得，所以，即，．23設函數(shù)．（1）討論的單調性;（2）若，求證：．（1）解：由題，①當時，，令則，故當時，，單調遞增；當時，，單調遞減；②當時，令則，：當，即時，在當和時，，單調遞增；當時，，單調遞減；當，即時，，單調遞增；當，即時，在當和時，，單調遞增；當時，，單調遞減；綜上所述，當時，在上單調遞增，在上單調遞減；當時，在和上單調遞增，在上單調遞減；當時，單調遞增；當時，在和上單調遞增，在上單調遞減（2）證明：由題，即證，即，得.由（1）可得當時在上單調遞減，在上單調遞增，故，當且僅當時取等號.設，則，故在上，單調遞減；在上，單調遞增.故，即，故，故即得證.山東省煙臺市牟平區(qū)某校2024屆高三上學期限時練習（開學考試）數(shù)學試題一、選擇題1.設集合，，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗集合或，集合，所以，則，故選：.2.已知復數(shù)（為虛數(shù)單位），則（）A. B. C. D.為純虛數(shù)〖答案〗C〖解析〗對于A，，A錯誤；對于B，，B錯誤；對于C，，C正確；對于D，，D錯誤.故選：C.3.設等比數(shù)列的公比為q，則是為單調遞增數(shù)列的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗D〖解析〗若,則,則為單調遞減數(shù)列所以是為單調遞增數(shù)列的不充分條件若為單調遞增數(shù)列,則,則即或,所以故是為單調遞增數(shù)列的不必要條件故是為單調遞增數(shù)列的既不充分也不必要條件故選：D.4.已知向量，，向量在向量上的投影向量的坐標為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由題意易知，，而在上的投影向量為：.故選：B5.八卦是中國古老文化的深奧概念，如圖示意太極八卦圖．現(xiàn)將一副八卦簡化為正八邊形，設其邊長為，中心為O，則下列選項中不正確的是（）A. B.C.和是一對相反向量 D.〖答案〗C〖解析〗對于A中，由正八邊形中，可得，則，所以，即，所以，所以A正確；對于B中，由正八邊形中，可得，，則，所以B正確；對于C中，由和方向相反，但長度不等，因此不是一對相反向量，所以C錯誤；對于D中，由，可得，所以D正確.故選：C.6.阻尼器是一種以提供運動的阻力，從而達到減振效果的專業(yè)工程裝置．深圳一高樓平安金融中心的阻尼器減震裝置，是亞洲最大的阻尼器，被稱為“鎮(zhèn)樓神器”，由物理學知識可知，某阻尼器模型的運動過程可近似為單擺運動，其離開平衡位置的位移s（單位；cm）和時間t（單位：s）的函數(shù)關系式為，若振幅是2，圖像上相鄰最高點和最低點的距離是5，且過點，則和的值分別為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗根據(jù)題意，由振幅是2易知，故，則是最高點，不妨記相鄰的最低點為，連接，過作軸，過作，交點為，如圖，則，，，故，得，又因為，故，得，所以，因為是的點，故，得，即，因為，所以，故，.故選：A..7.已知定義在上的函數(shù)滿足，且是偶函數(shù)，當時，，則（）A. B. C. D.3〖答案〗C〖解析〗因為是偶函數(shù)，所以，則，因為，所以，則是的一個周期，因為，所以，，.故選：C.8.如圖，某幾何體由兩個相同的圓錐組成，且這兩個圓錐有一個共同的底面，若該幾何體的表面積為，體積為V，則的最大值為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗設其中一個圓錐的底面半徑為r，高為h，則，則，解得，∴，，令，設，求導，令，解得，當，，函數(shù)單調遞增；當，，函數(shù)單調遞減；∴，∴的最大值為．故選：A．二、多項選擇題：9.已知函數(shù)則（）A.的最小正周期為B.在上單調遞增C.直線是圖象的一條對稱軸D.的圖象可由的圖象向左平移個單位長度得到〖答案〗BC〖解析〗可化為，函數(shù)的最小正周期為，A錯誤；當時，，因為在上單調遞增，所以函數(shù)在上單調遞增，B正確；當時，，所以直線是圖象的一條對稱軸，C正確；函數(shù)的圖象向左平移個單位長度得到函數(shù)的圖象，D錯誤.故選：BC.10.已知定義在上的奇函數(shù)，，且當時，，則（）A.B.有2個零點C.在上為減函數(shù)D.不等式的解集是〖答案〗AD〖解析〗在中，令，得，故A正確；又為上的奇函數(shù)，，，∴至少有三個零點，故B錯誤；設x1，，且，則，，，∴在上是增函數(shù)，由于為奇函數(shù)，∴在上也是增函數(shù)，故C錯誤：由題意，畫出的圖象如圖，等價于或，由圖可知不等式的解集為,故D正確.故選:AD11.已知中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且，，若點P是邊BC上一點，Q是AC的中點，點O是所在平面內一點，，則下列說法正確的是（）A.若，則B.若在方向上的投影向量為，則的最小值為C.若點P為BC的中點，則D.若，則為定值18〖答案〗ACD〖解析〗如圖，設BC的中點為E，連接QE，∵，由余弦定理可得：，∴，∴，又，∴，∴，∴，對A選項，∵，∴，∴，又E為中點，∴，又，∴，∴，故A選項正確；對B選項，∵在方向上的投影向量為，∴，又Q是AC的中點，P在BC上，∴當時，PQ最小，此時，故B選項錯誤；對C選項，若點P為BC的中點，即P與E點重合，∵，∴，∴，故C選項正確；對D選項，∵，∴的平分線與BC垂直，∴是以BC為底邊的等腰三角形，∴，又由A選項分析知，∴根據(jù)向量數(shù)量積的幾何意義知，∴，故D選項正確．故選：ACD．12.已知函數(shù)，則（）A.的圖象關于軸對稱 B.的值域是C.在上單調遞增 D.在上的所有零點之和為〖答案〗ACD〖解析〗因為，所以，所以是偶函數(shù)，即的圖象關于軸對稱，則A正確．因為．設，則，故．由，得；由，得或．則在和上單調遞減，在上單調遞增．因為，，，所以，即的值域是，則B錯誤．當時，．因為在上單調遞減，且在上單調遞減，所以在上單調遞增，則C正確．令，得或．因為，所以，所以或或，則在上的所有零點之和為，故D正確．故選：ACD三．填空題（共4小題）13.已知向量，則與夾角的大小為_____________．〖答案〗〖解析〗由，得，由，得，即，得，所以，又，所以，即與的夾角為.故〖答案〗：.14.已知，若，，則=．〖答案〗〖解析〗因為，所以，又，，整理得解得或（舍去）因此，因為，所以，，15.已知函數(shù)，則______．〖答案〗〖解析〗由已知，，則所以，，所以，.故〖答案〗為：.16.數(shù)學中處處存在著美，機械學家菜洛發(fā)現(xiàn)的菜洛三角形就給人以對稱的美感.萊洛三角形是以正三角形的三個頂點為圓心，正三角形的邊長為半徑畫圓弧得到的.已知，點為上一點，則的最小值為______.〖答案〗〖解析〗設為的中點，為的中點，如圖所示，所以因為，所以，的最小值為.故〖答案〗為：四．解答題（共6小題）17.已知在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且．（1）求角A的大??；（2）若AD平分并交BC于D，且，，求的面積．解：（1）因，則，整理得：，在中，由余弦定理得：，而，所以.（2）在中，AD平分并交BC于D，則，而，顯然有，即，則，整理得：，又，由（1）知，，即有，而，解得，所以的面積.18.在中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，滿足，，，過B作于點D，點E為線段BD的中點．（1）求c；（2）求的值．解：（1）因為，，，所以，解得．（2）因為，，，所以，所以．又，所以．因為點E為線段BD的中點，所以，又，所以．19.設數(shù)列的前n項和為，已知，，成等差數(shù)列，且.（1）求的通項公式；（2）若，的前n項和為，若對任意正整數(shù)n，不等式恒成立，求的最小值.（1）解：因，，成等差數(shù)列，所以，即，當時，，即，由，得，所以數(shù)列是以為公比的等比數(shù)列，則，即，所以，所以；（2）解：，則，因為恒成立，所以，所以的最小值.20.如圖，在正四棱柱中，，點E在上，且．（1）若平面與相交于點F，求；（2）求二面角的余弦值．解：（1）如圖，連接，因為平面，平面平面，所以．連接，因為，所以，所以，又，所以．（2）以D為坐標原點，的方向分別為x，