河北省神州智達(dá)省級(jí)聯(lián)測(cè)高三下學(xué)期第六次考試數(shù)學(xué)試題

2022屆河北省神州智達(dá)省級(jí)聯(lián)測(cè)高三下學(xué)期第六次考試數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知集合，，則的真子集個(gè)數(shù)為（

）A．32 B．31 C．16 D．15【答案】D【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求得，結(jié)合集合交集的運(yùn)算得到，進(jìn)而求得真子集的個(gè)數(shù).【詳解】由不等式，即，解得，所以集合，又由，所以，可得集合的真子集個(gè)數(shù)為.故選：D.2．已知復(fù)數(shù)z滿足條件，則（

）A． B． C．或 D．或【答案】C【分析】設(shè)，根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算和復(fù)數(shù)相等可得出關(guān)于、的方程組，解出這兩個(gè)未知數(shù)的值，再結(jié)合復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)公式可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)，則，所以，，所以，，則，解得或，故或，因此，或.故選：C.3．已知為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，若，，則公差（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根據(jù)題設(shè)條件和求和公式，求得，結(jié)合，即可求解.【詳解】由，可得，又由，所以.故選：B.4．已知函數(shù)，則的解集為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】作出圖形，利用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想即可得出結(jié)果.【詳解】作出函數(shù)與的圖象，如圖，當(dāng)時(shí)，，作出函數(shù)與的圖象，由圖象可知，此時(shí)解得；當(dāng)時(shí)，，作出函數(shù)與的圖象，它們的交點(diǎn)坐標(biāo)為、，結(jié)合圖象知此時(shí).所以不等式的解集為.故選：C5．正態(tài)分布是由德國(guó)數(shù)學(xué)家高斯率先將其應(yīng)用于天文學(xué)研究，這項(xiàng)工作對(duì)后世的影響極大，故正態(tài)分布又叫高斯分布，已知高斯分布函數(shù)在處取得最大值為，則（

）附：，.【答案】B【分析】根據(jù)正態(tài)分布的定義可知、，結(jié)合正態(tài)分布曲線的對(duì)稱性計(jì)算即可.【詳解】由已知的最大值為，∴，，.故選：B.6．已知實(shí)數(shù)a，b滿足條件，則的最小值為（

）A．8 B．6 C．4 D．2【答案】D【分析】先利用基本不等式求得，再利用基本不等式的變形公式求解即可【詳解】因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以，所以，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為2故選：D.7．已知函數(shù)的圖象與x軸相切，為的導(dǎo)函數(shù)，下列結(jié)論不成立的是（

）A．的最小值是 B．的最大值是8C．在上單調(diào)遞增 D．的最小正周期為π【答案】C【分析】由題意可得或，解得，從而可求出，然后逐個(gè)分析判斷【詳解】由已知的最大值或最小值為0，∴或，解得，∴，所以，所以的最大值為8，最小值為，所以AB正確，由三角函數(shù)的性質(zhì)知，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，而此區(qū)間不是正弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，所以在上不是單調(diào)遞增的，所以C不正確，由于，所以的最小正周期為，所以D正確，故選：C.8．離心率為的橢圓與直線的兩個(gè)交點(diǎn)分別為A，B，P是橢圓不同于A、B、P的一點(diǎn)，且、的傾斜角分別為，，若，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)、、，根據(jù)點(diǎn)差法和兩點(diǎn)坐標(biāo)表示斜率公式可得，進(jìn)而可得，利用兩角和與差的余弦公式、切弦互化化簡(jiǎn)計(jì)算即可.【詳解】設(shè)，，，∴，，相減整理得，即，，∵，∴，故選：A.二、多選題9．對(duì)于任意向量，，下列關(guān)系中恒成立的是（

）A． B．C． D．【答案】AC【分析】對(duì)于A，由數(shù)量積的公式判斷，對(duì)于B，由向量減法的幾何意義判斷，對(duì)于C，由向量的運(yùn)算律判斷，對(duì)于D，由向量的幾何意義判斷【詳解】對(duì)于A，因?yàn)椋訟成立；對(duì)于B，由向量減法的幾何意義以及三角形兩邊之差小于第三邊，所以B不成立；對(duì)于C，因?yàn)?，所以C成立；對(duì)于D，向量表示的是與向量方向相同或相反的向量，而向量與向量的方向不一定共線，故D不成立.故選：AC.10．下列函數(shù)中，存在實(shí)數(shù)a，使函數(shù)為奇函數(shù)的是（

）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性的定義，逐項(xiàng)判定，即可求解.【詳解】對(duì)于A中，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，又由，即，所以函數(shù)為奇函數(shù)，所以A正確；對(duì)于B中，因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù)，所以函數(shù)不可能是函數(shù)，即不存在實(shí)數(shù)，使得函數(shù)為奇函數(shù)，所以B不符合題意；對(duì)于C中，由函數(shù)定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，又由，即，解得，所以C符合題意；對(duì)于D中，當(dāng)時(shí)，函數(shù)，其定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，又由，即，所以函數(shù)為奇函數(shù)，所以D正確；故選：ACD.11．已知M是圓上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作圓C的兩條切線，切點(diǎn)為A，B，是曲線上的動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．若，則四邊形的面積為6C．若，則P點(diǎn)軌跡長(zhǎng)度為 D．當(dāng)最小時(shí)，【答案】BCD【分析】依次作出圖形，軌跡勾股定理計(jì)算即可判斷A、B；根據(jù)兩點(diǎn)求距離公式求出當(dāng)時(shí)t的值，進(jìn)而即可判斷C；當(dāng)最小時(shí)與曲線在N點(diǎn)處的切線垂直，利用兩點(diǎn)求直線斜率公式和零點(diǎn)的存在性定理即可判斷D.【詳解】由題意知，圓C的圓心坐標(biāo)為，半徑為，A：如圖，當(dāng)時(shí)，，故A不正確；B：如圖，當(dāng)時(shí)，，，四邊形的面積，故B正確；C：如圖，當(dāng)時(shí)，，，又，則，解得，所以當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)和之間水平運(yùn)動(dòng)時(shí)，，此時(shí)點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為，故C正確；D：如圖，當(dāng)最小時(shí)，與曲線在N點(diǎn)處的切線垂直，所以兩直線斜率之積，即，令，得，，所以，由零點(diǎn)的存在性定理，得，故D正確.故選：BCD.12．棱長(zhǎng)為a且體積為V的正四面體的底面內(nèi)有一點(diǎn)H，它到平面、、的距離分別為，，，E，F(xiàn)在與上，且，，下列結(jié)論正確的是（

）A．若a為定值，則為定值 B．若，則C．存在H，使，，成等比數(shù)列 D．若，則，，成等差數(shù)列【答案】ACD【分析】根據(jù)，計(jì)算即可判斷A；由A求得，從而可求得正四面體的體積，即可判斷B；當(dāng)H是中心時(shí)，，即可判斷C；根據(jù)，，，則，從而可得，設(shè)H到，，的距離為，，，從而可得，即可判斷D.【詳解】解：正四面體的高為，由，即，所以，所以，故A正確；由A知，，∴，B不正確；當(dāng)H是中心時(shí)，，此時(shí)，，成等比數(shù)列，故C正確；對(duì)于D選項(xiàng)，因?yàn)?，，若，則，則，設(shè)H到，，的距離為，，，∴，又因?yàn)槠矫?、平面、平面與平面所成角相等，∴，所以，，成等差數(shù)列，故D正確.故選：ACD.三、填空題13．的展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為60，則______.【答案】【分析】由已知條件可得，求出，從而可求出的值【詳解】的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為，令，得，所以的展開(kāi)式為由題意得，解得∴.故答案為：14．已知，則______.【答案】【分析】根據(jù)可得、，利用二倍角的正、余弦公式和化簡(jiǎn)求出、，結(jié)合兩角和的正弦公式計(jì)算即可.【詳解】，，∴.故答案為：.15．已知圓錐的母線與底面半徑之比為3，若一只螞蟻從該圓錐底部上的一點(diǎn)A繞圓錐側(cè)面爬行一周再回到A點(diǎn)的最短距離為9，則該圓錐的體積為_(kāi)_____.【答案】【分析】把圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖為扇形，則扇形的弧長(zhǎng)即為最短距離，利用已知及弧長(zhǎng)公式即可求出扇形圓心角，再利用最短距離即可求出圓錐的底面圓半徑和高，最后直接用圓錐的體積公式即可求解.【詳解】設(shè)母線長(zhǎng)為l，半徑為r，側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角為θ，則，由已知得，聯(lián)立解得，圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖為扇形如下圖所示，從該圓錐底部上的一點(diǎn)A繞圓錐側(cè)面爬行一周再回到A點(diǎn)的最短距離為,則，即，，.故答案為：.四、雙空題16．函數(shù)的最大值為2，且在上單調(diào)遞增，則a的范圍是______，的最小值為_(kāi)_____.【答案】

2【分析】由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷方法及二次函數(shù)的性質(zhì)可得，從而可求出a的范圍，再由的最大值可得，則，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)可求出其最小值【詳解】注意到是減函數(shù)，∴在上單調(diào)遞減，而的遞減區(qū)間是，∴，.∵的最大值為2，∴的最小值為，即，，令，，，∴在處取得最小值2.故答案為：，2五、解答題17．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，.(1)求的值及的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.【答案】(1)，(2)【分析】（1）當(dāng)時(shí)，得到，求得；當(dāng)時(shí)，，兩式相減得到整理得，結(jié)合等比數(shù)列的定義，即可求解；（2）由，化簡(jiǎn)得到，結(jié)合裂項(xiàng)求和，即可求解.【詳解】(1)解：當(dāng)時(shí)，，所以，解得，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，兩式相減得，整理得，即，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.(2)解：由，可得，所以，所以.18．在中，、、所對(duì)的邊分別為a、b、c，R是外接圓半徑，且.(1)證明：；(2)若，求c的值.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】(1)根據(jù)誘導(dǎo)公式和兩角和與差的正弦公式化簡(jiǎn)題意中的等式可得，結(jié)合正弦定理即可證明；(2)根據(jù)正弦定理可得，結(jié)合(1)和余弦定理化簡(jiǎn)計(jì)算即可求出c的值.【詳解】(1)在中，∵，∴，∴，，即，由正弦定理可得.(2)由已知，由正弦定理得：.將（1）中的代入余弦定理得：，整理得，∴.19．如圖，三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，在底面上的射影是的中點(diǎn)O.(1)若，求異面直線與所成角的大小；(2)若△為正三角形，求二面角的余弦值.【答案】(1)60°(2)【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量的方法求解即可；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量的方法求解即可.【詳解】(1)連接，則，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，∵底面是等腰直角三角形，∴,又∵，∴,即，由，，可知，又∵異面直線所成的角為銳角或直角，∴異面直線與所成角為60°.(2)設(shè)，則，,則，，，，即，，，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，，即，設(shè)平面的法向量為，，則，令，則，，即，故，由圖知二面角為鈍角，所以二面角的余弦值為.20．一條高速公路進(jìn)入某市的入口是由一個(gè)立體高架橋和其下方的一個(gè)交通環(huán)島三岔口組成，如圖.已知某時(shí)刻有6輛汽車由該高速路進(jìn)入該市，這6輛車由哪一個(gè)入口進(jìn)入市區(qū)是隨機(jī)的.(1)求由3個(gè)路口進(jìn)入市區(qū)的汽車分別是1、2、3輛的概率；(2)設(shè)是這六輛車進(jìn)入市區(qū)所走入口的個(gè)數(shù)，求的分布列與期望.【答案】(1)(2)分布列見(jiàn)解析，【分析】（1）利用古典概型的概率公式求解，（2）由題意得的可能取值為1，2，3，然后求出對(duì)應(yīng)的概率，從而可求得的分布列與期望【詳解】(1)因?yàn)槊恳惠v車進(jìn)入市區(qū)都要3種方法，所以6輛車進(jìn)入市區(qū)共有種方法，而由3個(gè)路口進(jìn)入市區(qū)的汽車分別是1、2、3輛的方法有種方法所以由3個(gè)路口進(jìn)入市區(qū)的汽車分別是1、2、3輛的概率為.(2)的可能取值為1，2，3.則，，則，其分布列為123P.21．已知雙曲線的離心率，且經(jīng)過(guò)點(diǎn).(1)求雙曲線C的方程；(2)設(shè)A，B在C上，，過(guò)P點(diǎn)向引垂線，垂足為M，求M點(diǎn)的軌跡方程.【答案】(1)(2)（去掉點(diǎn)P）【分析】（1）由雙曲線的離心率可知，故雙曲線的方程為，將點(diǎn)代入方程即可求解；（2）由已知得，當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，不滿足題意，故設(shè)直線的方程為，將直線和雙曲線聯(lián)立由韋達(dá)定理可知，，由，可知，即，分類討論即可求解.【詳解】(1)∵雙曲線的離心率，∴，即，將代入，即，解得，，故雙曲線C的方程為；(2)當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，不滿足，故不滿足題意；當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)，，，代入雙曲線方程整理得：.，則，，∵，∴，即，整理得，即，當(dāng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)，不符合題意，故，直線化為，恒過(guò)定點(diǎn)，∴M在以為直徑的圓上且不含P點(diǎn)，即M的軌跡方程為（去掉點(diǎn)P）.22．已知函數(shù).(1)若，求實(shí)數(shù)m的值；(2)當(dāng)且時(shí)，證明：.