專題02 實數的運算（三大題型50題）（解析版）

專題02實數的運算（三大題型，50題）（解析版）學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________一、用數軸上的點表示實數，中檔題20題，難度三星1．如圖，若，則表示的值的點落在（

）A．段① B．段② C．段③ D．段④【答案】C【分析】首先對原式進行化簡，然后代入x的值，最后根據即可判斷．【詳解】原式===當時，原式=∵∴故選C．【點睛】本題考查了分式的乘除法化簡，無理數的估算，無理數的估算是難點，關鍵是要熟記一些常用的完全平方數，和一些常用無理數的近似值．2．若實數p，q，m，n在數軸上的對應點的位置如圖所示，且滿足，則絕對值最小的數是（

）A．p B．q C．m D．n【答案】C【分析】根據，并結合數軸可知原點在q和m之間，且離m點最近，即可求解．【詳解】解：∵結合數軸可得：，即原點在q和m之間，且離m點最近，∴絕對值最小的數是m，故選：C．【點睛】本題考查實數與數軸，解題的關鍵是明確數軸的特點，利用數形結合的思想解答．3．如圖，數軸上的點A，B，C，D，E分別對應的數是1，2，3，4，5，那么表示的點應在（

）．A．線段AB上 B．線段BC上C．線段CD上 D．線段DE上【答案】C【分析】根據實數平方根的定義估算的大小，再結合數軸表示數的方法得出答案．【詳解】解：∵32=9，42=16，∴3＜＜4，∵數軸上的點C，D分別對應的數是3，4，∴表示的點應在線段CD上，故選：C．【點睛】本題考查估算無理數的大小，掌握算術平方根的意義是正確解答的前提，估算出的大小是得出正確答案的關鍵．4．下列說法：①無理數的倒數還是無理數；②若互為相反數，則；③若a為任意有理數，則；④兩個有理數比較，絕對值大的反而?。渲姓_的有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【分析】根據無理數的定義和倒數的定義可判斷①；根據相反數的定義和0不能做分母可判斷②；根據絕對值的性質可判斷③；根據有理數的大小比較方法可判斷④．【詳解】解：①無理數的倒數還是無理數，正確；②當時，無意義，故若互為相反數，則說法錯誤；③若a為任意有理數，則，正確；④兩個負數比較，絕對值大的反而小，故原說法錯誤．綜上可知正確的有①③共兩個．故選B．【點睛】本題考查無理數的定義，倒數的定義，相反數的定義，0不能做分母，絕對值的性質，有理數的大小比較．熟練掌握上述知識是解題關鍵．5．已知的小數部分為a，的小數部分為b，則的值為（）A．0 B．1 C． D．【答案】B【分析】本題主要考查了估算無理數的大小，熟練掌握估算無理數的大小是解題的關鍵．根據得到的值，即可得到答案．【詳解】解：，，，，，.故答案為：B.6．若實數a，b在數軸上的對應點如圖所示，則下列式子正確的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了實數與數軸，實數的大小比較，絕對值得意義，由數軸得，，，，然后逐項判斷即可．【詳解】解：由數軸得，，，，，，，故選：D．7．與最接近的整數是（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】B【分析】根據平方運算，先估算出的值，即可解答．【詳解】解：，，，，，，故選：B．【點睛】本題考查了估算無理數的大小，熟練掌握平方數是解題的關鍵．8．若（a，b為連續(xù)的整數），則的值為（）A．3 B．4 C．5 D．9【答案】A【分析】先求出的范圍，即可求出a、b的值，最后代入求出即可．【詳解】解：∵，∴，，∴，故選：A．【點睛】本題考查了估算無理數的大小和求代數式的值的應用，能根據的范圍求出a、b的值是解此題的關鍵．9．如圖，直徑為1個單位長度的圓從A點（A點在數軸上表示的數是1）沿數軸向右滾動一周后到達點B，則點B表示的數是（）A．π B． C． D．【答案】B【分析】根據數軸與實數的一一對應關系解答即可．【詳解】解：∵直徑為1的圓的周長為π，A點在數軸上表示的數是1，∴A點沿數軸向右滾動一周后到達點B，點B表示的數為．故選：B．【點睛】本題考查實數與數軸上的點的關系，解答時需要用到圓的周長的計算．10．已知三個實數在數軸上對應的點如圖所示，則（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】根據數軸可得，，進而化簡絕對值，根據整式的加減進行計算即可求解．【詳解】解：根據數軸可得，，∴，，，∴，故選：A．【點睛】本題考查了實數與數軸，化簡絕對值，整式的加減，數形結合是解題的關鍵．11．如圖，圓的直徑為2個單位長度，該圓上的點A與數軸上表示的點重合，將圓沿數軸向左無滑動地滾動一周，點A到達點的位置，則點表示的數是．（結果保留π）

【答案】【分析】求出圓的周長，再根據實數與數軸上的點的對應關系解答即可．【詳解】解：由題意得：圓的周長為，∴點表示的數是，故答案為：．【點睛】本題主要考查了實數與數軸、圓的周長公式等知識，理解數與數軸上的點的對應關系是解題的關鍵．12．實數a、b在數軸上所對應的點如圖所示，則|﹣b|+|a+|+的值．【答案】﹣2a﹣b【分析】直接利用數軸結合絕對值以及平方根的性質化簡得出答案．【詳解】解：由數軸可得：a＜﹣，0＜b＜，故|﹣b|+|a+|+＝﹣b﹣（a+）﹣a＝﹣b﹣a﹣﹣a＝﹣2a﹣b．故答案為：﹣2a﹣b．【點睛】此題主要考查了實數的運算以及實數與數軸，正確化簡各式是解題關鍵．13．的小數部分是．【答案】/【分析】先估算出的范圍，再用減去整數部分即可得到小數部分．【詳解】解：∵，∴，∴的小數部分為，∵和小數部分相同，∴的小數部分為，故答案為：．【點睛】本題考查了無理數的估算，無理數的估算常用夾逼法，用有理數夾逼無理數是解題的關鍵．14．若的整數部分為，小數部分為，則，．【答案】4【分析】本題考查無理數估算，涉及算術平方根性質，估算出的范圍是解決問題的關鍵．【詳解】解：，，即，的整數部分為，小數部分為，，，故答案為：；．15．如圖，將正方形置于數軸上，點A表示的數為3，點B表示的數為4，將正方形繞點A旋轉，使得點C落在數軸上的點處，則點所表示的實數為；【答案】或【分析】分順時針旋轉和逆時針旋轉，兩種情況討論求解即可．【詳解】解：∵點A表示的數為3，點B表示的數為4，∴，∵四邊形是正方形，∴，當正方形繞點A逆時針旋轉，使得點C落在數軸上的點處時，如圖：此時表示的數為：；當正方形繞點A逆時針旋轉，使得點C落在數軸上的點處時，如圖：此時表示的數為：；綜上：表示的數為：或；故答案為：或．【點睛】本題考查旋轉的性質，實數與數軸．解題的關鍵是熟練掌握旋轉的性質，用數形結合和分類討論的思想進行求解．16．大于小于的整數是．【答案】2【分析】估算出與的整數部分，求出所求整數即可．【詳解】解：∵，∴則的整數是2，故答案為：2【點睛】此題考查了估算無理數的大小，熟練掌握算術平方根定義是解本題的關鍵．17．如圖，半徑為1的圓放在數軸上，點A表示的數是2，將圓沿數軸向右轉動一周，點A轉動后表示的數是．【答案】【分析】先求出圓的周長為，再利用數軸的性質求解即可得．【詳解】解：由題意可知，將圓沿數軸向右轉動一周，轉動的距離為，∴點向右移動了個單位長度，∵點轉動前表示的數是2，∴點轉動后表示的數是，故答案為：．【點睛】本題考查了實數與數軸，熟練掌握數軸的性質是解題關鍵．18．如圖，面積為5的正方形的頂點C在數軸上，且表示的數為．將正方形繞頂點沿數軸向右進行無滑動翻滾，則當點A第2023次落在數軸上時，點A所表示的數為．

【答案】/【分析】本題考查的是數軸的一個知識，解題的關鍵是找到規(guī)律：第1次落在數軸上，相當于開始向右移動個單位，從第2次落在數軸上開始，比上一次又向右多移動了個單位．【詳解】面積5，則邊長，A第1次落在數軸上，相當于開始向右移動個單位，對應的數字是；A第2次落在數軸上，和第1次相比又額外向右多移動了個單位，對應的數字是；A第3次落在數軸上，和第1次相比向右移動了個單位，對應的數字是；……那么A第2023次落在數軸上，對應的數字是．19．如圖，正方形網格中的小正方形邊長與數軸的單位長度都是1．(1)圖1中的陰影部分為正方形，它的面積是_________；(2)請利用（1）的解答，在圖1的數軸上畫出表示的點；并簡潔地說明理由．(3)如圖2，請你利用正方形網格，設計一個面積方案，在數軸上畫出表示，的點，并簡潔地說明理由．【答案】(1)10(2)見解析(3)見解析【分析】（1）用大正方形的面積減去三角形的面積即可；（2）找到陰影部分面積為的正方形即可得到答案；（3）找到陰影部分面積為的正方形即可得到答案．【詳解】（1）解：圖1中的陰影部分面積為：；故答案為：10．（2）解：圖1中的正方形面積為10，它的邊長為，在數軸取，則點A表示的數分別為，（3）解：如圖，陰影部分為正方形，面積為5；所以，其邊長為，在數軸上截取，（數軸的1個單位長度），則點K表示的數為，點D表示的數．【點睛】本題主要考查正方形的性質以及網格，熟練掌握正方形的性質是解題的關鍵．20．閱讀下面的文字，解答問題．大家知道，是無理數，而無理數是無限不循環(huán)小數，因此的小數部分我們不可能全部地寫出來，于是小明用來表示的小數部分，你同意小明的表示方法嗎？事實上，小明的表示方法是有道理的，因為的整數部分是1，將這個數減去其整數部分，差就是小數部分．例如：∵，即，∴的整數部分為2，小數部分為．(1)求出的整數部分和小數部分．(2)若其中是整數．且，請求出的相反數．(3)已知的小數部分是，的小數部分是，求的值．【答案】(1)的整數部分為3，小數部分為(2)(3)1【分析】（1）先估算，得到的小數部分1，代入所求代數式計算即可；（2）先估算，得到的整數與小數部分，從而得到的結果，求出、的值，代入計算即可求得其相反數；（3）由，根據不等式的性質可得，，從而得到，的值，代入計算即可．【詳解】（1）解：，的整數部分為1，小數部分為，的整數部分為3，小數部分為；（2）解：，的整數部分為2，小數部分為，，是整數，且，，，，相反數為；（3）解：，，，，，．【點睛】此題考查的是估算無理數及求代數式的值，能夠得到一個無理數的整數部分與小數部分是解決此題的關鍵．二、實數的大小比較，中檔題15題，難度三星21．，，，，且a、b、c、d為正數，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由，得，又由，則，，從而得，，又，則，由，則，從而得出．【詳解】解：∵，∴，∵，∴，∵，a為正數，∴，∴，，∵，∴，∵，∴，∴．故選：C．【點睛】本題比較實數的大小，熟練掌握實數的大小比較漢則是解題的關鍵．22．下列實數中，比0小的數是（

）A． B．1 C． D．【答案】A【分析】根據負數小于0即可得．【詳解】解：A、，則此項符合題意；B、，則此項不符合題意；C、，則此項不符合題意；D、，則此項不符合題意；故選：A．【點睛】本題考查了實數的大小比較，解題的關鍵是熟練掌握實數的大小比較法則：正數大于負數，正數大于0，負數小于0，負數絕對值大的反而?。?3．下列各數：，，0，，，其中比小的數有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】A【分析】首先求出，，，，然后根據實數大小比較的方法，判斷出比小的數有幾個即可．【詳解】解：，，，∵，，，，∴，，，，∵，，，∴，∴，，0，，這些數中比小的數有個：，故選：A．【點睛】此題主要考查了算術平方根、立方根的含義和求法，以及實數大小比較的方法，解答此題的關鍵是要明確：正實數大于零，零大于負實數，兩個負實數絕對值大的反而?。?4．比較大?。海ㄌ睢?gt;”或“<”號）【答案】【分析】先估算，再進行比較即可．【詳解】∵，∴，∴，∴，故答案為：．【點睛】此題考查了實數比較大小，熟練掌握估算知識是解本題的關鍵．25．比較大?。海ㄌ睢啊?、“”或“”）【答案】【分析】根據無理數的估算可得，，由此即可得．【詳解】解：，，，，，，，，，故答案為：．【點睛】本題考查了無理數的估算、算術平方根、實數的大小比較，熟練掌握無理數的估算方法是解題關鍵．26．當時，a，，，之間的大小關系是（用“＞”連接）．【答案】【分析】根據a的取值范圍利用不等式的基本性質判斷出，，進而得出，即可得出結論．【詳解】解：∵，∴，，∴，即，∴，即，故答案為：．【點睛】本題考查的是不等式的性質，熟知不等式的基本性質是解答此題的關鍵．27．比較大?。禾睢?gt;”，“<”或“=”）．【答案】<【分析】根據實數的大小比較的方法，先將兩個無理數平方，根據正數平方越大，原實數就越大即可得．【詳解】解：∵∴．故答案為：．【點睛】本題考查了實數的大小比較，掌握用作差法比較實數大小是解題的關鍵．28．若，，，則，，的大小關系為（用“＜”連接）．【答案】【分析】根據，，，比較即可．【詳解】∵，，，∴，故，故答案為：．【點睛】本題考查了冪的計算，負整數指數冪，實數大小比較，熟練掌握公式和大小比較的原則是解題的關鍵．29．在實數，，，中，最小的數是．【答案】【分析】先估算出，的大小，然后進行比較，即可解答．【詳解】解：，，，，，，，在實數，，，中，最小的數是，故答案為：．【點睛】本題考查了實數大小比較，無理數的估算，算術平方根，立方根，熟練掌握估算無理數的大小是解題的關鍵．30．比較下列各組數的大?。?；5；；；【答案】【分析】根據實數比較大小的方法進行求解即可．【詳解】解：；∵，∴，∴；∵，∴，∵，∴，∴；∵，∴，∴，∴；故答案為：；；；．【點睛】本題主要考查了實數比較大小，熟知實數比較大小的方法是解題的關鍵．31．實數，，，中最小的數是．【答案】【分析】根據正數大于0，0大于負數，兩個負數比較，絕對值大的反而小，即可解答．【詳解】解：∵，，，,且，∴，∴實數，，，中最小的數是，故答案為：．【點睛】本題考查了實數的大小比較，解題關鍵是掌握比較大小的方法．32．把下列實數表示在數軸上，并比較它們的大?。ㄓ谩啊边B接）．，，，．【答案】數軸見解析，．【分析】本題考查了用數軸表示實數及利用數軸比較實數的大小，根據用數軸表示實數的方法表示出實數，再根據數軸上點的特點即可比較大小，熟練掌握用數軸表示實數的方法及數軸上點的特點是解題的關鍵．【詳解】解：如數軸，根據數軸上點的特點可得：．33．在數軸上表示數，，，，比較它們的大小，用“＜”連接．【答案】畫數軸表示見解析，【分析】在數軸上用點表示出各個數，再比較大小即可．【詳解】解：如圖所示，

．【點睛】本題考查了實數與數軸，實數的大小比較，能利用數軸比較實數的大小是解此題的關鍵，注意：在數軸上表示的數，右邊的數總比左邊的數大．34．比較大?。篲_______；________；________；________．【答案】【分析】分別計算的值即可得出；利用作差法即可得出；判斷，，即可得出；得到，即可得出．【詳解】解：∵，∴；∵，∴；∵，∴；∵，∴，∴；∵，∴．故答案為：．【點睛】本題考查了實數的大小比較，掌握解答的方法是關鍵．35．若，，且，用“”把，，，連接起來．【答案】【分析】根據題意，，，可得為正數，為負數，為負數，為正數，又因為，可得，根據兩個負數，絕對值大的反而小，可得，所以；也可以先把表示，，，的點根據條件在數軸上大致表示出來，比較大?。驹斀狻拷夥ㄒ唬骸?，，∴

為正數，為負數，為負數，為正數．又∵

正數大于一切負數，且，∴

．解法二：因為，且，把，，，表示在數軸上，如圖所示．∵

數軸上的數右邊的數總比左邊的數大，∴．【點睛】本題考查了實數的比較大小，一個正實數的絕對值是它本身，一個負實數的絕對值是它的相反數，任意兩個負數比較大小，絕對值大的反而小，借助數軸和絕對值等概念是解題的關鍵．三、實數的混合運算，中檔題15題，難度三星36．已知、、為實數，則．【答案】4或0或【分析】本題考查了實數的除法，解決本題的關鍵是根據絕對值的性質進行分類討論．根據絕對值的性質按照負數的個數進行分類討論即可解答．【詳解】解：①a，b，c均大于0時，原式；②a，b，c中有兩個大于0，不妨設，，則原式；③a，b，c中只有一個大于0，不妨設，則，，原式；④a，b，c均小于0時，原式．故答案為：4或0或．37．計算(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】本題考查了實數運算，熟練掌握算術平方根、立方根和絕對值的性質是解題關鍵．（1）根據算術平方根，立方根和絕對值的性質計算即可；（1）根據乘方，算術平方根，立方根和絕對值的性質計算即可．【詳解】（1）解：；（2）．38．計算：(1)；(2)．【答案】(1)120(2)【分析】（1）首先進行乘方運算、算術平方根運算和立方根運算，然后再進行乘除運算即可；（2）首先進行立方根運算、算術平方根運算以及乘方運算，然后相加減即可．【詳解】（1）解：原式；（2）解：原式．【點睛】本題主要考查了實數混合運算、乘方運算、平方根、立方根、負整數指數冪等知識，熟練掌握相關運算法則是解題關鍵．39．計算：(1)(2)(3)(4)【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】本題考查實數的混合運算能力，（1）先將原式化簡，再進行加減運算；（2）先計算有理數的乘除法，再計算加減運算；（3）先計算立方、變除法為乘法，再運用乘法分配律計算乘法，最后計算加減運算；（4）先計算絕對值、算術平方根和立方根，再進行加法運算；解題的關鍵是能準確確定運算順序和運算法則，并能進行正確地計算．【詳解】（1）解：；（2）；（3）；（4）．40．計算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【解析】略41．計算：(1)．(2)．【答案】(1)(2)【分析】本題考查了實數的運算，涉及到了零指數冪、負整指數冪、平方根、立方根定義，化簡絕對值．（1）原式利用算術平方根及立方根的定義，化簡絕對值計算即可得到結果；（2）原式利用算術平方根的定義，化簡絕對值，零指數冪、負整指數冪計算即可得到結果．熟練掌握法則是解題的關鍵．【詳解】（1）解：．（2）．42．計算(1)(2)已知的平方根是，b的算術平方根是3，求的立方根．【答案】(1)9(2)3【分析】（1）分別進行開平方、開立方的運算，然后合并即可；（2）根據平方根、算術平方根、立方根的定義進行運算即可．【詳解】（1）解：；（2）∵的平方根是，∴，∴，∵b的算術平方根是3，∴，∴，∴的立方根為3．【點睛】本題考查了實數的運算，涉及了平方根、立方根、倒數及相反數的知識，屬于基礎題．43．計算：【答案】【分析】先計算開方和去括號、化簡絕對值，再計算乘法，最后合并同類二次根即可．【詳解】解：原式．【點睛】本題考查實數的混合運算，絕對值，熟練掌握實數的混合運算法則是解題的關鍵．44．計算：(1)；(2)．【答案】(1)2(2)【分析】（1）根據算術平方根，乘方，立方根等知識將原式進行化簡，進而得出答案；（2