專題02 實數(shù)的運算（三大題型50題）（解析版）

專題02實數(shù)的運算（三大題型，50題）（解析版）學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________一、用數(shù)軸上的點表示實數(shù)，中檔題20題，難度三星1．如圖，若，則表示的值的點落在（

）A．段① B．段② C．段③ D．段④【答案】C【分析】首先對原式進行化簡，然后代入x的值，最后根據(jù)即可判斷．【詳解】原式===當時，原式=∵∴故選C．【點睛】本題考查了分式的乘除法化簡，無理數(shù)的估算，無理數(shù)的估算是難點，關鍵是要熟記一些常用的完全平方數(shù)，和一些常用無理數(shù)的近似值．2．若實數(shù)p，q，m，n在數(shù)軸上的對應點的位置如圖所示，且滿足，則絕對值最小的數(shù)是（

）A．p B．q C．m D．n【答案】C【分析】根據(jù)，并結(jié)合數(shù)軸可知原點在q和m之間，且離m點最近，即可求解．【詳解】解：∵結(jié)合數(shù)軸可得：，即原點在q和m之間，且離m點最近，∴絕對值最小的數(shù)是m，故選：C．【點睛】本題考查實數(shù)與數(shù)軸，解題的關鍵是明確數(shù)軸的特點，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．3．如圖，數(shù)軸上的點A，B，C，D，E分別對應的數(shù)是1，2，3，4，5，那么表示的點應在（

）．A．線段AB上 B．線段BC上C．線段CD上 D．線段DE上【答案】C【分析】根據(jù)實數(shù)平方根的定義估算的大小，再結(jié)合數(shù)軸表示數(shù)的方法得出答案．【詳解】解：∵32=9，42=16，∴3＜＜4，∵數(shù)軸上的點C，D分別對應的數(shù)是3，4，∴表示的點應在線段CD上，故選：C．【點睛】本題考查估算無理數(shù)的大小，掌握算術平方根的意義是正確解答的前提，估算出的大小是得出正確答案的關鍵．4．下列說法：①無理數(shù)的倒數(shù)還是無理數(shù)；②若互為相反數(shù)，則；③若a為任意有理數(shù)，則；④兩個有理數(shù)比較，絕對值大的反而?。渲姓_的有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【分析】根據(jù)無理數(shù)的定義和倒數(shù)的定義可判斷①；根據(jù)相反數(shù)的定義和0不能做分母可判斷②；根據(jù)絕對值的性質(zhì)可判斷③；根據(jù)有理數(shù)的大小比較方法可判斷④．【詳解】解：①無理數(shù)的倒數(shù)還是無理數(shù)，正確；②當時，無意義，故若互為相反數(shù)，則說法錯誤；③若a為任意有理數(shù)，則，正確；④兩個負數(shù)比較，絕對值大的反而小，故原說法錯誤．綜上可知正確的有①③共兩個．故選B．【點睛】本題考查無理數(shù)的定義，倒數(shù)的定義，相反數(shù)的定義，0不能做分母，絕對值的性質(zhì)，有理數(shù)的大小比較．熟練掌握上述知識是解題關鍵．5．已知的小數(shù)部分為a，的小數(shù)部分為b，則的值為（）A．0 B．1 C． D．【答案】B【分析】本題主要考查了估算無理數(shù)的大小，熟練掌握估算無理數(shù)的大小是解題的關鍵．根據(jù)得到的值，即可得到答案．【詳解】解：，，，，，.故答案為：B.6．若實數(shù)a，b在數(shù)軸上的對應點如圖所示，則下列式子正確的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了實數(shù)與數(shù)軸，實數(shù)的大小比較，絕對值得意義，由數(shù)軸得，，，，然后逐項判斷即可．【詳解】解：由數(shù)軸得，，，，，，，故選：D．7．與最接近的整數(shù)是（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】B【分析】根據(jù)平方運算，先估算出的值，即可解答．【詳解】解：，，，，，，故選：B．【點睛】本題考查了估算無理數(shù)的大小，熟練掌握平方數(shù)是解題的關鍵．8．若（a，b為連續(xù)的整數(shù)），則的值為（）A．3 B．4 C．5 D．9【答案】A【分析】先求出的范圍，即可求出a、b的值，最后代入求出即可．【詳解】解：∵，∴，，∴，故選：A．【點睛】本題考查了估算無理數(shù)的大小和求代數(shù)式的值的應用，能根據(jù)的范圍求出a、b的值是解此題的關鍵．9．如圖，直徑為1個單位長度的圓從A點（A點在數(shù)軸上表示的數(shù)是1）沿數(shù)軸向右滾動一周后到達點B，則點B表示的數(shù)是（）A．π B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)數(shù)軸與實數(shù)的一一對應關系解答即可．【詳解】解：∵直徑為1的圓的周長為π，A點在數(shù)軸上表示的數(shù)是1，∴A點沿數(shù)軸向右滾動一周后到達點B，點B表示的數(shù)為．故選：B．【點睛】本題考查實數(shù)與數(shù)軸上的點的關系，解答時需要用到圓的周長的計算．10．已知三個實數(shù)在數(shù)軸上對應的點如圖所示，則（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)數(shù)軸可得，，進而化簡絕對值，根據(jù)整式的加減進行計算即可求解．【詳解】解：根據(jù)數(shù)軸可得，，∴，，，∴，故選：A．【點睛】本題考查了實數(shù)與數(shù)軸，化簡絕對值，整式的加減，數(shù)形結(jié)合是解題的關鍵．11．如圖，圓的直徑為2個單位長度，該圓上的點A與數(shù)軸上表示的點重合，將圓沿數(shù)軸向左無滑動地滾動一周，點A到達點的位置，則點表示的數(shù)是．（結(jié)果保留π）

【答案】【分析】求出圓的周長，再根據(jù)實數(shù)與數(shù)軸上的點的對應關系解答即可．【詳解】解：由題意得：圓的周長為，∴點表示的數(shù)是，故答案為：．【點睛】本題主要考查了實數(shù)與數(shù)軸、圓的周長公式等知識，理解數(shù)與數(shù)軸上的點的對應關系是解題的關鍵．12．實數(shù)a、b在數(shù)軸上所對應的點如圖所示，則|﹣b|+|a+|+的值．【答案】﹣2a﹣b【分析】直接利用數(shù)軸結(jié)合絕對值以及平方根的性質(zhì)化簡得出答案．【詳解】解：由數(shù)軸可得：a＜﹣，0＜b＜，故|﹣b|+|a+|+＝﹣b﹣（a+）﹣a＝﹣b﹣a﹣﹣a＝﹣2a﹣b．故答案為：﹣2a﹣b．【點睛】此題主要考查了實數(shù)的運算以及實數(shù)與數(shù)軸，正確化簡各式是解題關鍵．13．的小數(shù)部分是．【答案】/【分析】先估算出的范圍，再用減去整數(shù)部分即可得到小數(shù)部分．【詳解】解：∵，∴，∴的小數(shù)部分為，∵和小數(shù)部分相同，∴的小數(shù)部分為，故答案為：．【點睛】本題考查了無理數(shù)的估算，無理數(shù)的估算常用夾逼法，用有理數(shù)夾逼無理數(shù)是解題的關鍵．14．若的整數(shù)部分為，小數(shù)部分為，則，．【答案】4【分析】本題考查無理數(shù)估算，涉及算術平方根性質(zhì)，估算出的范圍是解決問題的關鍵．【詳解】解：，，即，的整數(shù)部分為，小數(shù)部分為，，，故答案為：；．15．如圖，將正方形置于數(shù)軸上，點A表示的數(shù)為3，點B表示的數(shù)為4，將正方形繞點A旋轉(zhuǎn)，使得點C落在數(shù)軸上的點處，則點所表示的實數(shù)為；【答案】或【分析】分順時針旋轉(zhuǎn)和逆時針旋轉(zhuǎn)，兩種情況討論求解即可．【詳解】解：∵點A表示的數(shù)為3，點B表示的數(shù)為4，∴，∵四邊形是正方形，∴，當正方形繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，使得點C落在數(shù)軸上的點處時，如圖：此時表示的數(shù)為：；當正方形繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，使得點C落在數(shù)軸上的點處時，如圖：此時表示的數(shù)為：；綜上：表示的數(shù)為：或；故答案為：或．【點睛】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，實數(shù)與數(shù)軸．解題的關鍵是熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，用數(shù)形結(jié)合和分類討論的思想進行求解．16．大于小于的整數(shù)是．【答案】2【分析】估算出與的整數(shù)部分，求出所求整數(shù)即可．【詳解】解：∵，∴則的整數(shù)是2，故答案為：2【點睛】此題考查了估算無理數(shù)的大小，熟練掌握算術平方根定義是解本題的關鍵．17．如圖，半徑為1的圓放在數(shù)軸上，點A表示的數(shù)是2，將圓沿數(shù)軸向右轉(zhuǎn)動一周，點A轉(zhuǎn)動后表示的數(shù)是．【答案】【分析】先求出圓的周長為，再利用數(shù)軸的性質(zhì)求解即可得．【詳解】解：由題意可知，將圓沿數(shù)軸向右轉(zhuǎn)動一周，轉(zhuǎn)動的距離為，∴點向右移動了個單位長度，∵點轉(zhuǎn)動前表示的數(shù)是2，∴點轉(zhuǎn)動后表示的數(shù)是，故答案為：．【點睛】本題考查了實數(shù)與數(shù)軸，熟練掌握數(shù)軸的性質(zhì)是解題關鍵．18．如圖，面積為5的正方形的頂點C在數(shù)軸上，且表示的數(shù)為．將正方形繞頂點沿數(shù)軸向右進行無滑動翻滾，則當點A第2023次落在數(shù)軸上時，點A所表示的數(shù)為．

【答案】/【分析】本題考查的是數(shù)軸的一個知識，解題的關鍵是找到規(guī)律：第1次落在數(shù)軸上，相當于開始向右移動個單位，從第2次落在數(shù)軸上開始，比上一次又向右多移動了個單位．【詳解】面積5，則邊長，A第1次落在數(shù)軸上，相當于開始向右移動個單位，對應的數(shù)字是；A第2次落在數(shù)軸上，和第1次相比又額外向右多移動了個單位，對應的數(shù)字是；A第3次落在數(shù)軸上，和第1次相比向右移動了個單位，對應的數(shù)字是；……那么A第2023次落在數(shù)軸上，對應的數(shù)字是．19．如圖，正方形網(wǎng)格中的小正方形邊長與數(shù)軸的單位長度都是1．(1)圖1中的陰影部分為正方形，它的面積是_________；(2)請利用（1）的解答，在圖1的數(shù)軸上畫出表示的點；并簡潔地說明理由．(3)如圖2，請你利用正方形網(wǎng)格，設計一個面積方案，在數(shù)軸上畫出表示，的點，并簡潔地說明理由．【答案】(1)10(2)見解析(3)見解析【分析】（1）用大正方形的面積減去三角形的面積即可；（2）找到陰影部分面積為的正方形即可得到答案；（3）找到陰影部分面積為的正方形即可得到答案．【詳解】（1）解：圖1中的陰影部分面積為：；故答案為：10．（2）解：圖1中的正方形面積為10，它的邊長為，在數(shù)軸取，則點A表示的數(shù)分別為，（3）解：如圖，陰影部分為正方形，面積為5；所以，其邊長為，在數(shù)軸上截取，（數(shù)軸的1個單位長度），則點K表示的數(shù)為，點D表示的數(shù)．【點睛】本題主要考查正方形的性質(zhì)以及網(wǎng)格，熟練掌握正方形的性質(zhì)是解題的關鍵．20．閱讀下面的文字，解答問題．大家知道，是無理數(shù)，而無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)，因此的小數(shù)部分我們不可能全部地寫出來，于是小明用來表示的小數(shù)部分，你同意小明的表示方法嗎？事實上，小明的表示方法是有道理的，因為的整數(shù)部分是1，將這個數(shù)減去其整數(shù)部分，差就是小數(shù)部分．例如：∵，即，∴的整數(shù)部分為2，小數(shù)部分為．(1)求出的整數(shù)部分和小數(shù)部分．(2)若其中是整數(shù)．且，請求出的相反數(shù)．(3)已知的小數(shù)部分是，的小數(shù)部分是，求的值．【答案】(1)的整數(shù)部分為3，小數(shù)部分為(2)(3)1【分析】（1）先估算，得到的小數(shù)部分1，代入所求代數(shù)式計算即可；（2）先估算，得到的整數(shù)與小數(shù)部分，從而得到的結(jié)果，求出、的值，代入計算即可求得其相反數(shù)；（3）由，根據(jù)不等式的性質(zhì)可得，，從而得到，的值，代入計算即可．【詳解】（1）解：，的整數(shù)部分為1，小數(shù)部分為，的整數(shù)部分為3，小數(shù)部分為；（2）解：，的整數(shù)部分為2，小數(shù)部分為，，是整數(shù)，且，，，，相反數(shù)為；（3）解：，，，，，．【點睛】此題考查的是估算無理數(shù)及求代數(shù)式的值，能夠得到一個無理數(shù)的整數(shù)部分與小數(shù)部分是解決此題的關鍵．二、實數(shù)的大小比較，中檔題15題，難度三星21．，，，，且a、b、c、d為正數(shù)，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由，得，又由，則，，從而得，，又，則，由，則，從而得出．【詳解】解：∵，∴，∵，∴，∵，a為正數(shù)，∴，∴，，∵，∴，∵，∴，∴．故選：C．【點睛】本題比較實數(shù)的大小，熟練掌握實數(shù)的大小比較漢則是解題的關鍵．22．下列實數(shù)中，比0小的數(shù)是（

）A． B．1 C． D．【答案】A【分析】根據(jù)負數(shù)小于0即可得．【詳解】解：A、，則此項符合題意；B、，則此項不符合題意；C、，則此項不符合題意；D、，則此項不符合題意；故選：A．【點睛】本題考查了實數(shù)的大小比較，解題的關鍵是熟練掌握實數(shù)的大小比較法則：正數(shù)大于負數(shù)，正數(shù)大于0，負數(shù)小于0，負數(shù)絕對值大的反而?。?3．下列各數(shù)：，，0，，，其中比小的數(shù)有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】A【分析】首先求出，，，，然后根據(jù)實數(shù)大小比較的方法，判斷出比小的數(shù)有幾個即可．【詳解】解：，，，∵，，，，∴，，，，∵，，，∴，∴，，0，，這些數(shù)中比小的數(shù)有個：，故選：A．【點睛】此題主要考查了算術平方根、立方根的含義和求法，以及實數(shù)大小比較的方法，解答此題的關鍵是要明確：正實數(shù)大于零，零大于負實數(shù)，兩個負實數(shù)絕對值大的反而?。?4．比較大?。海ㄌ睢?gt;”或“<”號）【答案】【分析】先估算，再進行比較即可．【詳解】∵，∴，∴，∴，故答案為：．【點睛】此題考查了實數(shù)比較大小，熟練掌握估算知識是解本題的關鍵．25．比較大?。海ㄌ睢啊薄ⅰ啊被颉啊保敬鸢浮俊痉治觥扛鶕?jù)無理數(shù)的估算可得，，由此即可得．【詳解】解：，，，，，，，，，故答案為：．【點睛】本題考查了無理數(shù)的估算、算術平方根、實數(shù)的大小比較，熟練掌握無理數(shù)的估算方法是解題關鍵．26．當時，a，，，之間的大小關系是（用“＞”連接）．【答案】【分析】根據(jù)a的取值范圍利用不等式的基本性質(zhì)判斷出，，進而得出，即可得出結(jié)論．【詳解】解：∵，∴，，∴，即，∴，即，故答案為：．【點睛】本題考查的是不等式的性質(zhì)，熟知不等式的基本性質(zhì)是解答此題的關鍵．27．比較大?。禾睢?gt;”，“<”或“=”）．【答案】<【分析】根據(jù)實數(shù)的大小比較的方法，先將兩個無理數(shù)平方，根據(jù)正數(shù)平方越大，原實數(shù)就越大即可得．【詳解】解：∵∴．故答案為：．【點睛】本題考查了實數(shù)的大小比較，掌握用作差法比較實數(shù)大小是解題的關鍵．28．若，，，則，，的大小關系為（用“＜”連接）．【答案】【分析】根據(jù)，，，比較即可．【詳解】∵，，，∴，故，故答案為：．【點睛】本題考查了冪的計算，負整數(shù)指數(shù)冪，實數(shù)大小比較，熟練掌握公式和大小比較的原則是解題的關鍵．29．在實數(shù)，，，中，最小的數(shù)是．【答案】【分析】先估算出，的大小，然后進行比較，即可解答．【詳解】解：，，，，，，，在實數(shù)，，，中，最小的數(shù)是，故答案為：．【點睛】本題考查了實數(shù)大小比較，無理數(shù)的估算，算術平方根，立方根，熟練掌握估算無理數(shù)的大小是解題的關鍵．30．比較下列各組數(shù)的大?。?；5；；；【答案】【分析】根據(jù)實數(shù)比較大小的方法進行求解即可．【詳解】解：；∵，∴，∴；∵，∴，∵，∴，∴；∵，∴，∴，∴；故答案為：；；；．【點睛】本題主要考查了實數(shù)比較大小，熟知實數(shù)比較大小的方法是解題的關鍵．31．實數(shù)，，，中最小的數(shù)是．【答案】【分析】根據(jù)正數(shù)大于0，0大于負數(shù)，兩個負數(shù)比較，絕對值大的反而小，即可解答．【詳解】解：∵，，，,且，∴，∴實數(shù)，，，中最小的數(shù)是，故答案為：．【點睛】本題考查了實數(shù)的大小比較，解題關鍵是掌握比較大小的方法．32．把下列實數(shù)表示在數(shù)軸上，并比較它們的大?。ㄓ谩啊边B接）．，，，．【答案】數(shù)軸見解析，．【分析】本題考查了用數(shù)軸表示實數(shù)及利用數(shù)軸比較實數(shù)的大小，根據(jù)用數(shù)軸表示實數(shù)的方法表示出實數(shù)，再根據(jù)數(shù)軸上點的特點即可比較大小，熟練掌握用數(shù)軸表示實數(shù)的方法及數(shù)軸上點的特點是解題的關鍵．【詳解】解：如數(shù)軸，根據(jù)數(shù)軸上點的特點可得：．33．在數(shù)軸上表示數(shù)，，，，比較它們的大小，用“＜”連接．【答案】畫數(shù)軸表示見解析，【分析】在數(shù)軸上用點表示出各個數(shù)，再比較大小即可．【詳解】解：如圖所示，

．【點睛】本題考查了實數(shù)與數(shù)軸，實數(shù)的大小比較，能利用數(shù)軸比較實數(shù)的大小是解此題的關鍵，注意：在數(shù)軸上表示的數(shù)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大．34．比較大?。篲_______；________；________；________．【答案】【分析】分別計算的值即可得出；利用作差法即可得出；判斷，，即可得出；得到，即可得出．【詳解】解：∵，∴；∵，∴；∵，∴；∵，∴，∴；∵，∴．故答案為：．【點睛】本題考查了實數(shù)的大小比較，掌握解答的方法是關鍵．35．若，，且，用“”把，，，連接起來．【答案】【分析】根據(jù)題意，，，可得為正數(shù)，為負數(shù)，為負數(shù)，為正數(shù)，又因為，可得，根據(jù)兩個負數(shù)，絕對值大的反而小，可得，所以；也可以先把表示，，，的點根據(jù)條件在數(shù)軸上大致表示出來，比較大?。驹斀狻拷夥ㄒ唬骸?，，∴

為正數(shù)，為負數(shù)，為負數(shù)，為正數(shù)．又∵

正數(shù)大于一切負數(shù)，且，∴

．解法二：因為，且，把，，，表示在數(shù)軸上，如圖所示．∵

數(shù)軸上的數(shù)右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大，∴．【點睛】本題考查了實數(shù)的比較大小，一個正實數(shù)的絕對值是它本身，一個負實數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)，任意兩個負數(shù)比較大小，絕對值大的反而小，借助數(shù)軸和絕對值等概念是解題的關鍵．三、實數(shù)的混合運算，中檔題15題，難度三星36．已知、、為實數(shù)，則．【答案】4或0或【分析】本題考查了實數(shù)的除法，解決本題的關鍵是根據(jù)絕對值的性質(zhì)進行分類討論．根據(jù)絕對值的性質(zhì)按照負數(shù)的個數(shù)進行分類討論即可解答．【詳解】解：①a，b，c均大于0時，原式；②a，b，c中有兩個大于0，不妨設，，則原式；③a，b，c中只有一個大于0，不妨設，則，，原式；④a，b，c均小于0時，原式．故答案為：4或0或．37．計算(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】本題考查了實數(shù)運算，熟練掌握算術平方根、立方根和絕對值的性質(zhì)是解題關鍵．（1）根據(jù)算術平方根，立方根和絕對值的性質(zhì)計算即可；（1）根據(jù)乘方，算術平方根，立方根和絕對值的性質(zhì)計算即可．【詳解】（1）解：；（2）．38．計算：(1)；(2)．【答案】(1)120(2)【分析】（1）首先進行乘方運算、算術平方根運算和立方根運算，然后再進行乘除運算即可；（2）首先進行立方根運算、算術平方根運算以及乘方運算，然后相加減即可．【詳解】（1）解：原式；（2）解：原式．【點睛】本題主要考查了實數(shù)混合運算、乘方運算、平方根、立方根、負整數(shù)指數(shù)冪等知識，熟練掌握相關運算法則是解題關鍵．39．計算：(1)(2)(3)(4)【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】本題考查實數(shù)的混合運算能力，（1）先將原式化簡，再進行加減運算；（2）先計算有理數(shù)的乘除法，再計算加減運算；（3）先計算立方、變除法為乘法，再運用乘法分配律計算乘法，最后計算加減運算；（4）先計算絕對值、算術平方根和立方根，再進行加法運算；解題的關鍵是能準確確定運算順序和運算法則，并能進行正確地計算．【詳解】（1）解：；（2）；（3）；（4）．40．計算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【解析】略41．計算：(1)．(2)．【答案】(1)(2)【分析】本題考查了實數(shù)的運算，涉及到了零指數(shù)冪、負整指數(shù)冪、平方根、立方根定義，化簡絕對值．（1）原式利用算術平方根及立方根的定義，化簡絕對值計算即可得到結(jié)果；（2）原式利用算術平方根的定義，化簡絕對值，零指數(shù)冪、負整指數(shù)冪計算即可得到結(jié)果．熟練掌握法則是解題的關鍵．【詳解】（1）解：．（2）．42．計算(1)(2)已知的平方根是，b的算術平方根是3，求的立方根．【答案】(1)9(2)3【分析】（1）分別進行開平方、開立方的運算，然后合并即可；（2）根據(jù)平方根、算術平方根、立方根的定義進行運算即可．【詳解】（1）解：；（2）∵的平方根是，∴，∴，∵b的算術平方根是3，∴，∴，∴的立方根為3．【點睛】本題考查了實數(shù)的運算，涉及了平方根、立方根、倒數(shù)及相反數(shù)的知識，屬于基礎題．43．計算：【答案】【分析】先計算開方和去括號、化簡絕對值，再計算乘法，最后合并同類二次根即可．【詳解】解：原式．【點睛】本題考查實數(shù)的混合運算，絕對值，熟練掌握實數(shù)的混合運算法則是解題的關鍵．44．計算：(1)；(2)．【答案】(1)2(2)【分析】（1）根據(jù)算術平方根，乘方，立方根等知識將原式進行化簡，進而得出答案；（2