2024年吉林省中考數(shù)學(xué)試題卷

吉林省2024年初中學(xué)業(yè)水平考試數(shù)學(xué)試題數(shù)學(xué)試卷共7頁，包括六道大題，共26道小題，全卷滿分120分．考試時間為120分鐘．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．注意事項：1．答題前，考生務(wù)必將姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上，并將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)．2．答題時，考生務(wù)必按照考試要求在答題卡上的指定區(qū)域內(nèi)作答，在草稿紙、試卷上答題無效．一、單項選擇題（每小題2分，共12分）1．若的運(yùn)算結(jié)果為正數(shù)，則內(nèi)的數(shù)字可以為（）A．2 B．1 C．0 D．-12．長白山天池系由火山口積水成湖，天池湖水碧藍(lán)，水平如鏡，群峰倒映，風(fēng)景秀麗，總蓄水量約達(dá)2040000000m3，數(shù)據(jù)2040000000用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A． B． C． D．3．葫蘆在我國古代被看作吉祥之物．下圖是—個工藝葫蘆的示意圖，關(guān)于它的三視圖說法正確的是（）A．主視圖與左視圖相同 B．主視圖與俯視圖相同C．左視圖與俯視圖相同 D．主視圖、左視圖與俯視圖都相同4．下列方程中，有兩個相等實數(shù)根的是（）A． B． C． D．5．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點A的坐標(biāo)為，點C的坐標(biāo)為．以O(shè)A，OC為邊作矩形OABC，若將矩形OABC繞點O順時針旋轉(zhuǎn)90°，得到矩形，則點的坐標(biāo)為（）A． B． C． D．6．如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于，過點B作，交CD于點E．若，則∠ABC的度數(shù)是（）A．50° B．100° C．130° D．150°二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．7．當(dāng)分式的值為正數(shù)時，寫出一個滿足條件的x的值為______．8．因式分解：______．9．不等式組的解集為______．10．如圖，從長春站去往勝利公園，與其它道路相比，走人民大街路程最近，其蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)道理是______．11．正六邊形的一個內(nèi)角的度數(shù)是______°．12．如圖，正方形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，點E是OA的中點，點F是OD上一點．連接EF．若，則的值為______．13．圖①中有一首古算詩，根據(jù)詩中的描述可以計算出紅蓮所在位置的湖水深度，其示意圖如圖②，其中，于點C，尺，尺．設(shè)AC的長度為x尺，可列方程為______．14．某新建學(xué)校因場地限制，要合理規(guī)劃體育場地，小明繪制的鉛球場地設(shè)計圖如圖所示，該場地由和扇形OBC組成，OB，OC分別與交于點A，D．，，，則陰影部分的面積為______（結(jié)果保留）．三、解答題（每小題5分，共20分）15．先化簡，再求值：，其中．16．吉林省以“綠水青山就是金山銀山，冰天雪地也是金山銀山”為指引，不斷加大冰雪旅游的宣傳力度，推出各種優(yōu)惠活動，“小土豆”“小砂糖橘”等成為一道靚麗的風(fēng)景線，某滑雪場為吸引游客，每天抽取一定數(shù)量的幸運(yùn)游客，每名幸運(yùn)游客可以從“滑雪”“滑雪圈”“雪地摩托”三個項目中隨機(jī)抽取一個免費游玩．若三個項目被抽中的可能性相等，用畫樹狀圖或列表的方法，求幸運(yùn)游客小明與小亮恰好抽中同一個項目的概率．17．如圖，在中，點O是AB的中點，連接CO并延長，交DA的延長線于點E，求證：．18．鋼琴素有“樂器之王”的美稱，鍵盤上白色琴鍵和黑色琴鍵共有88個，白色琴鍵比黑色琴鍵多16個．求白色琴鍵和黑色琴鍵的個數(shù)．四、解答題（每小題7分，共28分）19．圖①、圖②均是4×4的正方形網(wǎng)格，每個小正方形的頂點稱為格點．點A，B，C，D，E，O均在格點上．圖①中已畫出四邊形ABCD，圖②中已畫出以O(shè)E為半徑的，只用無刻度的直尺，在給定的網(wǎng)格中按要求畫圖．（1）在圖①中，面出四邊形ABCD的一條對稱軸．（2）在圖②中，畫出經(jīng)過點E的的切線．20．已知蓄電池的電壓為定值，使用蓄電池時，電流I（單位：A）與電阻R（單位：Ω）是反比例函數(shù)關(guān)系，它的圖象如圖所示．（1）求這個反比例函數(shù)的解析式（不要求寫出自變量R的取值范圍）．（2）當(dāng)電阻R為3Ω時，求此時的電流I．21．中華人民共和國2019-2023年全國居民人均可支配收入及其增長速度情況如圖所示．根據(jù)以上信息回答下列問題：（1）2019-2023年全國居民人均可支配收入中，收入最高的一年比收入最低的一年多多少元？（2）直接寫出2019-2023年全國居民人均可支配收入的中位數(shù)．（3）下列判斷合理的是______（填序號）．①2019—2023年全國居民人均可支配收入里逐年上升趨勢．②2019-2023年全國居民人均可支配收入實際增長速度最慢的年份是2020年．因此這5年中，2020年全國居民人均可支配收入最低．22．圖①中的吉林省廣播電視塔，又稱“吉塔”．某直升飛機(jī)于空中A處探測到吉塔，此時飛行高度，如圖②，從直升飛機(jī)上看塔尖C的俯角，看塔底D的俯角，求吉塔的高度CD（結(jié)果精確到0.1m）．（參考數(shù)據(jù)：，，）五、解答題（每小題8分，共16分）23．綜合與實踐某班同學(xué)分三個小組進(jìn)行“板凳中的數(shù)學(xué)”的項目式學(xué)習(xí)研究，第一小組負(fù)責(zé)調(diào)查板凳的歷史及結(jié)構(gòu)特點；第二小組負(fù)責(zé)研究板凳中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)知識：第三小組負(fù)責(zé)匯報和交流，下面是第三小組匯報的部分內(nèi)容，請你閱讀相關(guān)信息，并解答“建立模型”中的問題．【背景調(diào)查】圖①中的板凳又叫“四腳八叉凳”，是中國傳統(tǒng)家具，其榫卯結(jié)構(gòu)體現(xiàn)了古人含蓄內(nèi)斂的審美觀．榫眼的設(shè)計很有講究，木工一般用鉛筆畫出凳面的對稱軸，以對稱軸為基準(zhǔn)向兩邊各取相同的長度，確定榫眼的位置，如圖②所示．板凳的結(jié)構(gòu)設(shè)計體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對稱美．【收集數(shù)據(jù)】小組收集了一些板凳并進(jìn)行了測量．設(shè)以對稱軸為基準(zhǔn)向兩邊各取相同的長度為xmm，凳面的寬度為ymm，記錄如下：以對稱軸為基準(zhǔn)向兩邊各取相同的長度x/mm16.519.823.126.429.7凳面的寬度y/mm115.5132148.5165181.5【分析數(shù)據(jù)】如圖③，小組根據(jù)表中x，y的數(shù)值，在平面直角坐標(biāo)系中描出了各點．【建立模型】請你幫助小組解決下列問題：（1）觀察上述各點的分布規(guī)律，它們是否在同一條直線上？如果在同一條直線上，求出這條直線所對應(yīng)的函數(shù)解析式；如果不在周一條直線上，說明理由．（2）當(dāng)?shù)拭鎸挾葹?13mm時，以對稱軸為基準(zhǔn)向兩邊各取相同的長度是多少？24．小明在學(xué)習(xí)時發(fā)現(xiàn)四邊形面積與對角線存在關(guān)聯(lián)，下面是他的研究過程：【探究論證】（1）如圖①，在中，，AC，，垂足為點D．若，，則______．（2）如圖②，在菱形中，，，則______．（3）如圖③，在四邊形EFGH中，，垂足為點O．若，，則______；若，，猜想與a，b的關(guān)系，并證明你的猜想．【理解運(yùn)用】如圖④，在中，，，，點P為邊MN上一點．小明利用直尺和圓規(guī)分四步作圖：（?。┮渣cK為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，分別交邊KN，KM于點R，I；（ⅱ）以點P為圓心，KR長為半徑畫弧，交線段PM于點；（ⅲ）以點為圓心，IR長為半徑畫弧，交前一條弧于點，點，K在MN同側(cè)；（ⅳ）過點P畫射線，在射線上截取，連接KP，KQ，MQ．請你直接寫出的值．六、解答題（每小題10分，共20分）25．如圖，在中，，，AC=3cm，AD是的角平分線．動點P從點A出發(fā)，以的速度沿折線向終點B運(yùn)動．過點P作，交AC于點Q，以PQ為邊作等邊三角形PQE，且點C，E在PQ同側(cè)，設(shè)點P的運(yùn)動時間為，與重合部分圖形的面積為．（1）當(dāng)點P在線段AD上運(yùn)動時，判斷的形狀（不必證明），并直接寫出AQ的長（用含t的代數(shù)式表示）．（2）當(dāng)點B與點C重合時，求t的值．（3）求S關(guān)于t的函數(shù)解析式，并寫出自變量t的取值范圍．26．小明利用一次函數(shù)和二次函數(shù)知識，設(shè)計了一個計算程序，其程序框圖如圖（1）所示，輸入x的值為-2時，輸出y的值為1；輸入x的值為2時，輸出y的值為3；輸入x的值為3時，輸出y的值為6．（1）直接寫出k，a，b的值．（2）小明在平面直角坐標(biāo)系中畫出了關(guān)于x的函數(shù)圖像，如圖（2）．Ⅰ．當(dāng)y隨x的增大而增大時，求x的取值范圍．Ⅱ．若關(guān)于x的方程（t為實數(shù)），在時無解，求t的取值范圍．Ⅲ．若在函數(shù)圖像上有點P，Q（P與Q不重合）．P的橫坐標(biāo)為m，Q的橫坐標(biāo)為．小明對P，Q之間（含P，Q兩點）的圖像進(jìn)行研究，當(dāng)圖像對應(yīng)函數(shù)的最大值與最小值均不隨m的變化而變化，直接寫出m的取值范圍．2024年吉林省中考第25題解析如圖1,在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,AC=3cm,AD是△ABC的角平分線。動點P從點A出發(fā)，以3cm/s的速度沿折線AD—DB向終點B運(yùn)動,過點P作.PQ//AB,交AC于點Q，以PQ為邊作等邊三角形PQE，且點C、E在PQ同側(cè)。設(shè)點P的運(yùn)動時間為t(s)(t>0),△PQE與△ABC重合部分圖形的面積為(1)當(dāng)點P在線段AD上運(yùn)動時，判斷△APQ的形狀(不必證明)，并直接寫出AQ的長(用含t的代數(shù)式表示)；(2)當(dāng)點E與點C重合時,求t的值;(3)求S關(guān)于t的函數(shù)解析式，并寫出自變量t的取值范圍。動感體驗請打開幾何畫板文件“24吉林25”，拖動橫軸上表示時間t的點由0向4運(yùn)動，可以體驗到，重合部分的形狀依次是等邊三角形PQE、四邊形PQCF、直角三角形PQC。思路點撥1.過點C向AD作垂線，垂足為P。這是一個臨界時刻。2.點P在AD上時,PE始終與AD垂直。3.點P在AD上時，PD是直角三角形PAE斜邊上的中線。滿分解答(1)如圖2,當(dāng)點P在線段AD上運(yùn)動時,△APQ是等腰三角形,AQ=t。(2)如圖3,當(dāng)點E與點C重合時,由AE=2AQ=2t=3,得t=(3)①當(dāng)點P在AD上,點E在AC上時,重合部分是等邊三角形PQE。此時S=②當(dāng)點P在AD上,