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文檔簡介

1.3基本計(jì)數(shù)原理的簡單應(yīng)用

即團(tuán)固陶,課|前|預(yù)|四,MM""MWWM“NNMWIWMM"MWWW"W描MH*

I教材要點(diǎn)]

要點(diǎn)一兩個原理的關(guān)系

分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理,回答的都是有關(guān)做一件事的不同方法的種數(shù)問

題.區(qū)別在于:分類加法計(jì)數(shù)原理針對的是“分類”問題,其中各種方法相互獨(dú)立,用其中

任何一種方法都可以做完這件事;分步乘法計(jì)數(shù)原理針對的是“分步”問題,各個步驟中的

方法互相依存,只有各個步驟都完成才算做完這件事.

狀元隨筆

加法原理乘法原理

完成一件事,共有n類辦法,關(guān)鍵詞是完成一件事,共分n個步驟,關(guān)鍵詞是

區(qū)別一

,,分類,,“分步”

每一步得到的只是中間結(jié)果,任何一步

每類辦法中每種方法都能獨(dú)立地完成這

都不能獨(dú)立完成這件事,缺少任何一步

區(qū)別二件事,它是獨(dú)立的、一次的且每次得到

也不能完成這件事,只有各個步驟都完

的是最后結(jié)果

成了,才能完成這件事

各種方法之間是互斥的、并列的、獨(dú)立各步之間是關(guān)聯(lián)的、獨(dú)立的,“關(guān)聯(lián)”

區(qū)別三

的確保不遺漏,“獨(dú)立”確保不重復(fù)

要點(diǎn)二兩個計(jì)數(shù)原理在解決計(jì)數(shù)問題中的用法

在利用兩個計(jì)數(shù)原理解決計(jì)數(shù)問題時,最重要的是在開始計(jì)算之前要進(jìn)行仔細(xì)分析,分

清是分類還是分步.

狀元隨筆分類加法計(jì)數(shù)原理、分步乘法計(jì)數(shù)原理的選擇

分類加法計(jì)數(shù)原理的各類方法是相互獨(dú)立的,用任何一種方法都可以完成這件事.而分

步乘法計(jì)數(shù)原理的各個步驟是相互依存的,必須完成每個步驟,才能完成這件事.

根據(jù)具體問題的特征,正確認(rèn)識分類和分步的特征,才能正確選擇分類加法計(jì)數(shù)原理或

分步乘法計(jì)數(shù)原理來解決問題.

[基礎(chǔ)自測]

1.思考辨析(正確的畫“,錯誤的畫“X”)

(1)如果完成一件事情有W個不同步驟,在每一步中都有若干種不同的方法辦(i=l,2,

3,n),那么完成這件事共有7"1〃22/3…種方法.()

(2)所有兩位數(shù)中,個位數(shù)字比十位數(shù)字大的兩位數(shù)共有72個.()

(3)應(yīng)用分類加法計(jì)數(shù)原理時為了避免漏掉某種情況,可以適當(dāng)?shù)闹貜?fù).()

2.某小組有8名男生、6名女生,從中任選男生、女生各一■名去參加座談會,則不同

的選法有()

A.48種B.24種

C.14種D.12種

3.一項(xiàng)工作可以用兩種方法完成,有3人會用第1種方法完成,有5人會用第2種方

法完成,從中選出1人來完成這項(xiàng)工作,不同的選法種數(shù)是()

A.8B.15

C.16D.30

4.一個科技小組中有4名女同學(xué),5名男同學(xué),從中任選一名同學(xué)參加學(xué)科競賽,共

有不同的選派方法種;若從中任選一名女同學(xué)和一名男同學(xué)參加學(xué)科競賽,共有不

同的選派方法種.

勿用加"皿皿"皿川川川皿用“川皿M川加國國隰國?席摩畫透叫"/皿"皿用川"川M"伽"川川""川加川川川用川加

題型一抽取與分配問題

例1在7名學(xué)生中,有3名會下象棋但不會下圍棋,有2名會下圍棋但不會下象棋,

另2名既會下象棋又會下圍棋.現(xiàn)在從這7人中選2人分別同時參加象棋比賽和圍棋比賽,

共有多少種不同的選法?

方法核父?

求解抽?。ǚ峙洌﹩栴}的方法

(1)當(dāng)涉及對象數(shù)目不大時,一般選用枚舉法、樹形圖法、框圖法或者圖表法.

(2)當(dāng)涉及對象數(shù)目很大時,一般有兩種方法:①直接使用分類加法計(jì)數(shù)原理或分步乘

法計(jì)數(shù)原理.②間接法:去掉限制條件,計(jì)算所有的抽取方法數(shù),然后減去所有不符合條件

的抽取方法數(shù)即可.

跟蹤訓(xùn)練15個工程隊(duì)承包某項(xiàng)工程的5個不同的子項(xiàng)目,每個工程隊(duì)承建1項(xiàng),其

中甲工程隊(duì)不能承建1號子項(xiàng)目,則不同的承建方案有多少種?

題型二組數(shù)問題

例2用0,1,2,3,4這五個數(shù)字可以組成多少個無重復(fù)數(shù)字的:(1)四位密碼?(2)

四位數(shù)?(3)四位奇數(shù)?

方法核的

1.對于組數(shù)問題,一般按特殊位置(一般是末位和首位)由誰占領(lǐng)分類,分類中再按特

殊位置(或者特殊元素)優(yōu)先的方法分步完成;如果正面分類較多,可采用間接法從反面求解.

2.解決組數(shù)問題,應(yīng)特別注意其限制條件,有些條件是隱藏的,要善于挖掘.排數(shù)時,

要注意特殊元素、特殊位置優(yōu)先的原則.

跟蹤訓(xùn)練28張卡片上寫著0,1,2,…,7共8個數(shù)字,取其中的三張卡片排放在一

起.

(1)可組成多少個不同的三位數(shù)?

(2)可組成多少個不同的三位偶數(shù)?

題型三涂色(或種植)問題

例3如圖,要給地圖A、B、C、。四個區(qū)域分別涂上3種不同顏色中的某一種,允許

同一種顏色使用多次,但相鄰區(qū)域必須涂不同的顏色,不同的涂色方案有多少種?

變式探究本例中的“3種不同顏色”改為“4種不同顏色”,結(jié)果又怎么樣呢?

方法歸他

解決涂色(種植)問題的一般思路

(1)按涂色(種植)的順序分步進(jìn)行,用分步乘法計(jì)數(shù)原理計(jì)數(shù).

(2)按顏色(種植品種)恰當(dāng)選取情況分類,用分類加法計(jì)數(shù)原理計(jì)數(shù).

(3)幾何體的涂色問題轉(zhuǎn)化為平面的涂色問題處理.

(4)如果正面情況較多,可用間接法計(jì)算.

跟蹤訓(xùn)練3將3種作物種植在如下圖所示的5塊試驗(yàn)田里,每塊種植一種作物且相鄰

的試驗(yàn)田不能種植同一種作物,不同的種植方法共有多少種?

易錯辨析分類標(biāo)準(zhǔn)不清致誤

例4甲、乙、丙、丁4名同學(xué)爭奪數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)3門學(xué)科知識競賽的冠軍,且每

門學(xué)科只有1名冠軍產(chǎn)生,問有多少種不同的冠軍獲得情況?

解析:可先舉例說出其中的1種情況,如數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)3門學(xué)科知識競賽的冠軍分

別是甲、甲、丙,可見研究的對象是“3門學(xué)科”,只有3門學(xué)科各產(chǎn)生1名冠軍,才算完

成了這件事,而4名同學(xué)不一定每人都能獲得冠軍,故完成這件事分三步.

第1步,產(chǎn)生數(shù)學(xué)學(xué)科冠軍,它一定被其中1名同學(xué)獲得,有4種不同的獲得情況;

第2步,產(chǎn)生物理學(xué)科冠軍,因?yàn)閵Z得數(shù)學(xué)學(xué)科冠軍的同學(xué)還可以去爭奪物理學(xué)科冠軍,

所以物理學(xué)科冠軍也是由4名同學(xué)去爭奪,有4種不同的獲得情況;

第3步,產(chǎn)生化學(xué)學(xué)科冠軍,同理,也有4種不同的獲得情況.

由分步乘法計(jì)數(shù)原理知,不同的冠軍獲得情況共有4X4X4=43=64(種).

【易錯警示】

易錯原因糾錯心得

錯解:分四步完成這件事.用分步乘法計(jì)數(shù)原理求解元素可重復(fù)選取的

第1步,甲同學(xué)去奪3門學(xué)科的冠軍,有3問題時,哪類元素必須“用完”就以哪類元

種不同情況;同理,第2,3,4步分別由其素作為分步的依據(jù).

他3名同學(xué)去奪這3門學(xué)科的冠軍,都各自

有3種不同情況.

由分步乘法計(jì)數(shù)原理知,不同的冠軍獲得情

況共有3X3X3X3=34=81(種).

要完成的“一件事”是“爭奪3門學(xué)科知識

競賽的冠軍,且每門學(xué)科只有1名冠軍產(chǎn)

生”.但錯解一、二中都有可能出現(xiàn)某一學(xué)

科冠軍被2人、3人,甚至4人獲得的情形,

另外還可能出現(xiàn)某一學(xué)科沒有冠軍產(chǎn)生的情

況.

[課堂十分鐘]

1.由數(shù)字1,2,3,4組成的三位數(shù)中,各位數(shù)字按嚴(yán)格遞增(如“134”)或嚴(yán)格遞減(如“421”)

順序排列的數(shù)的個數(shù)是()

A.4B.8

C.16D.24

2.某年級要從3名男生,2名女生中選派3人參加某次社區(qū)服務(wù),如果要求至少有1

名女生,那么不同的選派方案有()

A.6種B.7種

C.8種D.9種

3.我校教學(xué)樓共有5層,每層均有兩個樓梯,由一樓到五樓的走法有()

A.10種B.16種

C.25種D.32種

4.如圖所示,用6種不同的顏色給圖中的“笑臉”涂色,要求“眼睛”(即圖中A,B

所示區(qū)域)用相同顏色,則不同的涂法共有種.

AB

5.從黃瓜、白菜、油菜、扁豆4種蔬菜品種中選出3種,分別種在不同土質(zhì)的三塊土

地上,其中黃瓜必須種植,求有多少種不同的種植方法.

1.3基本計(jì)數(shù)原理的簡單應(yīng)用

新知初探?課前預(yù)習(xí)

[基礎(chǔ)自測]

1.d)V(2)X(3)X

2.解析:從8名男生中任意挑選一名參加座談會,有8種不同的選法;從6名女生中

任意挑選一名參加座談會,有6種不同的選法.由分步乘法計(jì)數(shù)原理知,不同選法共有8義6

=48(種).

答案:A

3.解析:第1類,從會第1種方法的3人中選1人,有3種不同的選法;第2類,從

會第2種方法的5人中選1人,有5種不同的選法,共有5+3=8(種)不同的選法.

答案:A

4.解析:由分類加法計(jì)數(shù)原理得從中任選一名同學(xué)參加學(xué)科競賽共5+4=9種選派方

法,由分步乘法計(jì)數(shù)原理得從中任選一名女同學(xué)和一名男同學(xué)參加學(xué)科競賽共5X4=20種

選派方法.

答案:920

題型探究?課堂解透

例1解析:方法一分四類:第1類,從3名只會下象棋的學(xué)生中選1名參加象棋比

賽,同時從2名只會下圍棋的學(xué)生中選1名參加圍棋比賽,有選法3X2=6(種);

第2類,從3名只會下象棋的學(xué)生中選1名參加象棋比賽,同時從2名既會下象棋又會

下圍棋的學(xué)生中選1名參加圍棋比賽,有選法3X2=6(種);

第3類,從2名只會下圍棋的學(xué)生中選1名參加圍棋比賽,同時從2名既會下象棋又會

下圍棋的學(xué)生中選1名參加象棋比賽,有選法2X2=4(種);

第4類,從2名既會下象棋又會下圍棋的學(xué)生中各選1名分別參加象棋比賽和圍棋比賽,

有選法2X1=2(種).

故不同的選法共有6+6+4+2=18(種).

方法二分兩類:第1類,從3名只會下象棋的學(xué)生中選1名參加象棋比賽,這時7

人中還有4人會下圍棋,從中選1名參加圍棋比賽.有選法3X4=12(種).

第2類,從2名既會下象棋又會下圍棋的學(xué)生中選一名參加象棋比賽,這時7人中還有

3人會下圍棋,從中選1名參加圍棋比賽.有選法2義3=6(種).故不同的選法共有12+6

=18(種).

跟蹤訓(xùn)練1解析:方法一完成承建任務(wù)可分五步:第一步安排1號子項(xiàng)目有4種;

第二步安排2號也有4種;第三步安排3號有3種;第四步安排4號有2種;第五步,安排

5號有1種.

由分步乘法計(jì)數(shù)原理知共有4X4X3X2X1=96(種).

方法二完成承建任務(wù)可分步安排各工程隊(duì),第一步,安排甲隊(duì)有4種,第二步安排乙

隊(duì)有4種,第三、四、五步安排其余工程隊(duì)共有3X2X1,由分步乘法計(jì)數(shù)原理知共有

4X4X3X2X1=96(種).

例2解析:(1)完成“組成無重復(fù)數(shù)字的四位密碼”這件事,可以分為四步:

第一步,選取左邊第一個位置上的數(shù)字,有5種選取方法;第二步,選取左邊第二個位

置上的數(shù)字,有4種選取方法;第三步,選取左邊第三個位置上的數(shù)字,有3種選取方法;

第四步,選取左邊第四個位置上的數(shù)字,有2種選取方法.

由分步乘法計(jì)數(shù)原理,可以組成不同的四位密碼共有N=5X4X3X2=120個.

(2)直接法:完成“組成無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)”這件事,可以分四步:

第一步,從1,2,3,4中選取一個數(shù)字作千位數(shù)字,有4種不同的選取方法;第二步,

從1,2,3,4中剩余的三個數(shù)字和0共四個數(shù)字中選取一個數(shù)字作百位數(shù)字,有4種不同

的選取方法;第三步,從剩余的三個數(shù)字中選取一個數(shù)字作十位數(shù)字,有3種不同的選取方

法;第四步,從剩余的兩個數(shù)字中選取一個數(shù)字作個位數(shù)字,有2種不同的選取方法.

由分步乘法計(jì)數(shù)原理,可以組成不同的四位數(shù)共有N=4X4X3><2=96個.

間接法:將5個數(shù)字不重復(fù)排在4個位置上有5X4X3X2=120種排法,其中不合要求

的有4X3X2=24種排法.所以排成無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)為120—24=96個.

(3)完成“組成無重復(fù)數(shù)字的四位奇數(shù)”這件事,可以分四步:第一步,定個位,只能

從1,3中任取一個有2種方法;第二步,定首位,把1,2,3,4中除去用過的一個還有3

個可任取一個有3種方法;第三步,第四步把剩下的包括。在內(nèi)的還有3個數(shù)字先排百位有

3種方法,再排十位有2種方法.

由分步乘法計(jì)數(shù)原理共有2X3X3X2=36個.

跟蹤訓(xùn)練2解析:(1)先排放百位,從1,2,…,7共7個數(shù)中選一個有7種選法;再

排十位,從除去百位的數(shù)外,剩余的7個數(shù)(包括0)中選一個,有7種取法;最后排個位,

從除前兩步選出的數(shù)外,剩余的6個數(shù)中選一個,有6種選法.由分步乘法計(jì)數(shù)原理.共可

以組成7X7X6=294(個)不同的三位數(shù).

(2)首先分兩類,第一類是0排個位,由分步乘法計(jì)數(shù)原理得1X7X6=42個.

第二類是2,4,6排個位,由分步乘法計(jì)數(shù)原理得3X6X6=108個,所以由分類加法

計(jì)數(shù)原理為42+108=150個.

例3解析:按地圖A、B、C、D四個區(qū)域依次分四步完成,

第一步,mi=3種,

第二步,m2=2種,

第三步,的=1種,

第四步,m4=l種,

所以根據(jù)乘法原理,得到不同的涂色方案種數(shù)共有N=3X2XIX1=6種.

變式探究解析:涂色方案種數(shù)是4X3X2X2=48.

跟蹤訓(xùn)練3解析:從左往右5塊試驗(yàn)田分別有3,2,2,

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