高中數(shù)學必修3第3章：等可能事件和等可能事-5人教A版試題匯編

★啟用前

2020年03月23日高中數(shù)學的高中數(shù)學組卷

試卷副標題

考試范圍：XXX；考試時間：100分鐘；命題人：XXX

注意事項：

1.答題前填寫好自己的姓名、班級、考號等信息2.請將答案正確填寫在答題卡上

第I卷（選擇題）

請點擊修改第【卷的文字說明

評卷人得分

一.解答題（共25小題）

1.（2017?大石橋市校級學業(yè)考試）某市為增強市民的環(huán)境保護意識，面向全市征召義

務宣傳志愿者.現(xiàn)從符合條件的志愿者中隨機抽取100名按年齡分組：第I組［20,

25）,第2組［25,30）,第3組［30,35）,第4組［35,40）,第5組［40,45］,得到的

頻率分布直方圖如圖所示.

（I）若從第3,4,5組中用分層抽樣的方法抽取6名志愿者參廣場的宣傳活動，

應從第3,4,5組各抽取多少名志愿者？

（II）在（1）的條件下，該市決定在第3,4組的志愿者中隨機抽取2名志愿者介

紹宣傳經(jīng)驗，求第4組至少有一名志愿者被抽中的概率.

頻率.

°202530354045年齡

2.（2014?內江四模）某銀行柜臺有服務窗口①，假設顧客在此辦理業(yè)務所需的時間互

相獨立，且都是整數(shù)分鐘，對以往顧客辦理業(yè)務所需的時間統(tǒng)計結果如下：

辦理業(yè)務所需的時間/分12345

考點突破?備戰(zhàn)高考

頻率0.10.4a0.10.1

從第一個顧客開始辦理業(yè)務時計時，

（1）求。的值；

（2）估計第三個顧客恰好等待4分鐘開始辦理業(yè)務的概率.

3.（2013春?景德鎮(zhèn)期中）在甲、乙兩個盒子中分別裝有標號為1,2,3,4,5的五個

球，現(xiàn)從甲、乙兩個盒子中各取出1個球，每個小球被取出的可能性相等.

（1）求事件“取出的兩個球上標號為相鄰整數(shù)”的概率；

（2）求事件“取出的兩個球上標號之和能被3整除”的概率.

4.（2012秋?南關區(qū)校級期中）做投擲2顆骰子的試驗，用（x,y）表示點P的坐標，

其中x表示第1顆骰子出現(xiàn)的點數(shù)，y表示第2顆骰子出現(xiàn)的點數(shù).

（/）求點P在直線y=x上的概率；

（〃）求點P不在直線y=x+l上的概率；

（///）求點P的坐標（x,y）滿足16</+/<25的概率.

5.（2011春?秦州區(qū)校級月考）5張彩票，其中有1張有獎，4張無獎.每次從中任取1

張，不放回，連抽3張；

（1）計算恰有1張有獎的概率；

（2）計算至少有1張有獎的概率.

6.（2011春?巴南區(qū)校級期末）一種信號燈，只有符號“和“X”隨機地反復出現(xiàn),

每秒鐘變化一次，每次變化只出現(xiàn)“J”和“X”兩者之一，其中出現(xiàn)“的概

率為工，出現(xiàn)“X”的概率為2,若第膽次出現(xiàn)“J”，記為即=1,若第%次出現(xiàn)

33

"X",則記為am--1,令Sn—ai+a2+--+an,

（1）求S4=2的概率；

（2）求SiNO,S2>0,S3>0,且S7=3的概率.

7.（2011?奉賢區(qū)二模）（文）設函數(shù)f（x）=ax+&（x>0）,R+.

x

（1）當a=2,解不等式/（x）>9

（2）若連續(xù)擲兩次骰子（骰子六個面上分別標以數(shù)字1,2,3,4,5,6）得到的點

數(shù)分別作為〃和從求/（x）恒成立的概率.

8.（2011?盧灣區(qū)校級三模）某市發(fā)行一種電腦彩票，從I到35這35個數(shù)中任選7個

不同的數(shù)作為一注，開獎號碼為從35個數(shù)中抽出7個不同的數(shù)，若購買的一注號碼

與這7個數(shù)字完全相同，即中一等獎；若購買的一注號碼中有且僅有6個數(shù)與這7

個數(shù)中的6個數(shù)字相同，即中二等獎；若購買的一注號碼中有且僅有5個數(shù)與這7

試卷第2頁，總8頁

個數(shù)中的5個數(shù)字相同，即中三等獎.

（1）隨機購買一注彩票中一等獎的概率是多少？隨機購買一注彩票能中獎的概率是

多少？（結果可以用含組合數(shù)的分數(shù)表示）

（2）從問題（1）得到啟發(fā)，試判斷組合數(shù)CAC"”"［與GT"的大小關系，并從組合

的意義角度加以解釋.

9.（2010?武漢模擬）已知一顆質地均勻的正方體骰子，其6個面上分別標有數(shù)字1、2、

3、4、5、6,現(xiàn)將其投擲4次，分別為

（1）所出現(xiàn)最大點數(shù)不大于3的概率；

（2）所出現(xiàn)最大點數(shù)恰為3的概率.

10.（2010?海門市一模）一個口袋中裝有八個紅球（〃24且”€N）和5個白球，從中

摸兩個球，兩個球顏色相同則為中獎.

（I）若一次摸兩個球，試用〃表示一次摸球中獎的概率p；

（II）若一次摸一個球，當〃=4時，求二次摸球（每次摸球后不放回）中獎的概率;

（III）在（I）的條件下，記三次摸獎（每次摸獎后放回）恰有二次中獎的概率為P,

當〃取多少時，P最大？

11.（2010?密云縣一模）某商場舉行購物抽獎促銷活動，規(guī)定每位顧客從裝有編號為0,

1,2,3四個相同小球的抽獎箱中，每次取出一球記下編號后放回，連續(xù)取兩次，若

取出的兩個小球號碼相加之和等于6則中一等獎，等于5中二等獎，等于4或3中

三等獎.

（1）求中三等獎的概率；

（2）求中獎的概率.

12.（2010?山東校級三模）設一元二次方程42+&+。=0,根據(jù)下列條件分別求解.

（1）若A=l,8、C是一枚骰子先后擲兩次出現(xiàn)的點數(shù)，求方程有實數(shù)根的概率；

（2）設B=-4,C=A-3,A隨機的取實數(shù)使方程有實數(shù)根，求方程至少有一個非

負實數(shù)根的概率.

13.（2010?鄭州二模）某中學舉辦“上海世博會”知識宣傳活動，現(xiàn)場的“抽卡有獎游

戲”特別引人注目，游戲規(guī)則是：盒子中裝有8張形狀大小相同的精美卡片，卡片

上分別印有“世博會吉祥物海寶”或“世博會會徽”，要求兩人一組參加游戲，參加

游戲的兩人從盒子中輪流抽取卡片，一次抽1張，抽取后不放回，直到兩人中的一

人抽到“世博會會徽”卡得獎才終止游戲.

（I）游戲開始之前，一位高中生問：“盒子中有幾張‘世博會會徽'卡？”主持人

考點突破?備戰(zhàn)高考

說：“若從盒中任抽2張卡片不都是'世博會會徽’卡的概率為空”請你回答有幾

28

張“世博會會徽”卡呢？

（H）在（I）的條件下，甲、乙兩人參加游戲，雙方約定甲先抽取乙后抽取，求

甲獲獎的概率.

14.（2010?汕頭模擬）如表為某班英語及數(shù)學成績分布，全班共有學生50人，成績分

為1?5五個檔次.例如表中所示英語成績?yōu)?分的共14人，數(shù)學成績?yōu)?分的共5

人.設x,y分別表示英語成績和數(shù)學成

54321

513101

410751

321093

21b60a

100113

（I）x=4的概率是多少？x=4且y=3的概率是多少？的概率是多少？在

的基礎上，），=3同時成立的概率是多少？

（2）x=2的概率是多少？a+b的值是多少？

15.（2010?新建縣校級二模）為應對金融危機，中國政府采用擴大內需，拉動消費的政

策措施，送家電下鄉(xiāng)銷售就是其中之一，但家電產品下鄉(xiāng)之前必須對其進行質量安

全檢測，現(xiàn)有A、B、C、。四種家電產品，A、B產品只要檢測合格就可以下鄉(xiāng)銷售,

C、。是配套產品需要同時檢驗合格才能下鄉(xiāng)銷售，每種產品是否檢驗合格互不影響

且合格的概率均為?.求：

5

（1）恰好有兩種產品上市的概率；

（2）至少一種產品上市銷售的概率；

16.（2009?武漢模擬）（文科做）有A、B兩只口袋中均放有2個紅球和2個白球，先

從A袋中任取2個球放到B袋中，再從8袋中任取一個球放到A袋中，經(jīng)過這樣的

操作之后.

（1）求A袋中沒有紅球的概率；

（2）求A袋中恰有一只紅球的概率.

17.（2009秋?嘉興校級期中）有三顆骰子A、B、C,A的表面分別刻有1,2,3,4,5,

6,B的表面分別刻有1,3,5,7,9,11,C的表面分別刻有2,4,6,8,10,12.

（1）求拋擲A、B兩顆骰子后向上的點數(shù)之和為奇數(shù)的概率？

試卷第4頁，總8頁

（2）求拋擲三顆骰子后向上的點數(shù)之和為12的概率?

18.（2008秋?紹興期末）將一枚骰子先后投擲2次，觀察向上的點數(shù)，問

（1）2次點數(shù)之積為偶數(shù)的概率；

（2）第2次的點數(shù)比第1次大的概率；

（3）2次的點數(shù)正好是連續(xù)的2個整數(shù)的概率；

（4）若將2次得到的點數(shù)〃作為點尸的坐標，則P落在圓/+尸=16內的概率.

19.（2009春?紹興期末）廠家在產品出廠前，需對產品做檢驗，廠家將一批產品發(fā)給

商家時，商家按合同規(guī)定需隨機抽取一定數(shù)量的產品做檢驗，以決定是否接收這批

產品；

（1）若廠家?guī)旆恐械拿考a品合格的概率為0.8,從中任意取出4件進行檢驗.求

至少有1件是合格品的概率；

（2）若廠家發(fā)給商家20件產品，其中有3件不合格，商家從中任取2件進行檢驗,

求該商家可能檢驗出不合格產品數(shù)X的分布列及均值EX；

（3）若廠家發(fā)給商家20件產品，其中有3件不合格，按合同規(guī)定該商家從發(fā)給的

20件產品中任取2件，進行檢驗，只有2件都合格時才接收這批產品，否則拒收.，

求該商家拒收這批產品的概率；

（以上問題的解答結果均用分數(shù)表示）

20.（2008?湖北校級模擬）箱子中裝有大小相同的4個紅球、6個黑球，每次從中摸取

1個球.每個球被取到可能性相同，現(xiàn)不放回地取3個球.

（1）求至少取到2個紅球的概率；（2）求第三次取出的是紅球的概率.

21.（2007秋?宣武區(qū)期末）甲盒中裝有7個標號為1、2、3、4、5、6、7的小球，乙

盒中裝有"個標號為1,2,3,…，〃的小球，

（1）從甲盒中有放回地抽取小球3次，每次抽取一個球，求恰有兩次抽取7號球的

概率；

（2）現(xiàn)將兩盒球均勻混合，從中隨機抽取一個小球，若抽取的標號為"的小球的概

率為2,求〃的值.

13

22.（2007?揭陽二模）（理科做）一個口袋內裝有大小相同的4個紅球和6個白球.

（/）從中任摸2個球，求摸出的2個球顏色不同的概率；

（//）從中任摸4個球，求摸出的4個球中紅球數(shù)不少于白球數(shù)的概率；

（III）每次從中任摸4個球，放回后再摸4個球，如此反復三次，求三次中恰好有

一次4個球都是白球的概率.

考點突破?備戰(zhàn)高考

23.（2005?湖南）某單位組織4個部門的職工旅游，規(guī)定每個部門只能在韶山、衡山、

張家界3個景區(qū)中任選一個，假設各部門選擇每個景區(qū)是等可能的.

（I）求3個景區(qū)都有部門選擇的概率；

（II）求恰有2個景區(qū)有部門選擇的概率.

24.A市將于2010年6月舉行中學生田徑運動會，該市某高中將組隊參賽，其中隊員

包括10名男子短跑選手，來自高中一、二、三年級的人數(shù)分別為2、3、5.

（I）從這10名選手中選派2人參加100米比賽，求所選派選手為不同年級的概率;

（II）若從這/0名選手中選派4人參加4X100米接力比賽，且所選派的4人中，高

一、高二年級的人數(shù)之和不超過高三年級的人數(shù)，記此時選派的高三年級的人數(shù)為4,

求隨機變量；的分布列和數(shù)學期望.

25.已知：有6個房間安排4個旅游者住，每人可以進住任一房間，且進住房間是等可

能的，試求下列各事件的概率：

（1）事件A：指定的4個房間各有1人；

（2）事件8：恰有4個房間各有1人；

（3）事件C：指定的某個房間有2人.

試卷第6頁，總8頁

第n卷（非選擇題）

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考點突破?備戰(zhàn)高考

試卷第8頁，總8頁

考點突破?備戰(zhàn)高考

2020年03月23日高中數(shù)學的高中數(shù)學組卷

參考答案與試題解析

一.解答題（共25小題）

1.（2017?大石橋市校級學業(yè)考試）某市為增強市民的環(huán)境保護意識，面向全市征召義

務宣傳志愿者.現(xiàn)從符合條件的志愿者中隨機抽取100名按年齡分組：第1組［20,

25）,第2組［25,30）,第3組［30,35）,第4組［35,40）,第5組［40,45J,得到的

頻率分布直方圖如圖所示.

（I）若從第3,4,5組中用分層抽樣的方法抽取6名志愿者參廣場的宣傳活動，

應從第3,4,5組各抽取多少名志愿者？

（II）在（1）的條件下，該市決定在第3,4組的志愿者中隨機抽取2名志愿者介

紹宣傳經(jīng)驗，求第4組至少有一名志愿者被抽中的概率.

【考點】B8：頻率分布直方圖；C6：等可能事件和等可能事件的概率.

【專題】51：概率與統(tǒng)計.

【分析】（I）先分別求出這3組的人數(shù)，再利用分層抽樣的方法即可得出答案；

（II）從5名志愿者中抽取2名志愿者有10種情況，其中第4組的2名志愿者8i,

及至少有一名志愿者被抽中有7種情況，再利用古典概型的概率計算公式即可得出.

【解答】解：（I）第3組的人數(shù)為0.3X100=30,第4組的人數(shù)為0.2X100=20,

第5組的人數(shù)為0.1X100=10.

因為第3,4,5組共有60名志愿者，

所以利用分層抽樣的方法在60名志愿者中抽取6名志愿者，

每組抽取的人數(shù)分別為：第3組：迎X6=3；第4組：型X6=2；第5組：W

606060

X6=l.

所以應從第3,4,5組中分別抽取3人，2人，1人；

（II）記第3組的3名志愿者為4,A2,A3,第4組的2名志愿者為Bi,比,.則

從5名志愿者中抽取2名志愿者有：

1

考點突破?備戰(zhàn)高考

(Ai,A2),(Ai,A3),(Ai,Bi),(Ai,82),

(42,43),(A2,Bl),(42,B2),

(A3,BI),(43,82),(Bi,82)共有10種.

其中第4組的2名志愿者Bi,B2至少有一名志愿者被抽中的有：

(Ai,Bi),(Ai,B2),(A2,Bl),(A2,B2),

(A3,Bl),(A3,82),(Bi,比)，共有7種

所以第4組至少有一名志愿者被抽中的概率為二.

10

【點評】熟練掌握頻率分布直方圖、分層抽樣的定義、古典概型的概率計算公式、

互斥事件及相互獨立事件的概率計算公式是解題的關鍵.

2.(2014?內江四模)某銀行柜臺有服務窗口①，假設顧客在此辦理業(yè)務所需的時間互

相獨立，且都是整數(shù)分鐘，對以往顧客辦理業(yè)務所需的時間統(tǒng)計結果如下：

辦理業(yè)務所需的時間/分12345

頻率0.10.4a0.10.1

從第一個顧客開始辦理業(yè)務時計時，

(1)求。的值；

(2)估計第三個顧客恰好等待4分鐘開始辦理業(yè)務的概率.

【考點】C6：等可能事件和等可能事件的概率；CH：離散型隨機變量的期望與方差.

【專題】51：概率與統(tǒng)計.

【分析】(1)由頻率和為1,即可得到a的值；

(2)設丫表示顧客辦理業(yè)務所需的時間，用頻率估計概率，可得丫的分布列，A表

示事件“第三個顧客恰好等待4分鐘開始辦理業(yè)務”，則時間A對應三種情形：①第

一個顧客辦理業(yè)務所需時間為1分鐘，且第二個顧客辦理業(yè)務所需的時間為3分鐘;

②第一個顧客辦理業(yè)務所需的時間為3分鐘，且第二個顧客辦理業(yè)務所需的時間為

1分鐘；③第一個和第二個顧客辦理業(yè)務所需的時間均為2分鐘，由此可求概率.

【解答】解：(1)由頻率和為1,得至IJ0.1+0.4+a+0.1+0.1=l,

.??。=0.3；

(2)設丫表示顧客辦理業(yè)務所需的時間，用頻率估計概率，得丫的分布如下：

Y12345

P0.10.40.30.10.1

(1)A表示事件“第三個顧客恰好等待4分鐘開始辦理業(yè)務”，則時間A對應三種

2

考點突破?備戰(zhàn)高考

情形：

①第一個顧客辦理業(yè)務所需時間為1分鐘，且第二個顧客辦理業(yè)務所需的時間為3

分鐘；

②第一個顧客辦理業(yè)務所需的時間為3分鐘，且第二個顧客辦理業(yè)務所需的時間為

1分鐘：

③第一個和第二個顧客辦理業(yè)務所需的時間均為2分鐘.

所以P(A)=0.1X0.3+0.3X0.1+0.4X0.4=0.22.

【點評】本題考查概率的求解，解題的關鍵是明確變量的取值與含義.

3.(2013春?景德鎮(zhèn)期中)在甲、乙兩個盒子中分別裝有標號為1,2,3,4,5的五個

球，現(xiàn)從甲、乙兩個盒子中各取出1個球，每個小球被取出的可能性相等.

(1)求事件“取出的兩個球上標號為相鄰整數(shù)”的概率；

(2)求事件“取出的兩個球上標號之和能被3整除”的概率.

【考點】C6：等可能事件和等可能事件的概率.

【專題】11：計算題.

【分析】(1)先求出基本事件總數(shù)，然后記事件“取出兩個球上標號為相鄰整數(shù)”

為事件A,列舉出事件4所包含的基本事件，最后根據(jù)古典概型的概率公式解之即

可；

(2)記事件“取出兩個球上標號之和能被3整除”為事件B,列舉出事件B所包含

的基本事件，最后根據(jù)古典概型的概率公式解之即可.

【解答】解：(1)基本事件總數(shù)為5X5=25種，

記事件“取出兩個球上標號為相鄰整數(shù)”為事件A,

事件包含(1,2),(2,1),(2,3),(3,2),(3,4),(4,3),(4,5),(5,4)

共8種

(2)記事件“取出兩個球上標號之和能被3整除”為事件8,

事件包含(1，2),(2,1),(1,5),(5,1),(2,4),(4,2),(3,3),(4,5),

(5,4)共9種

一⑻埸

【點評】本題主要考查了等可能事件的概率，解題的關鍵是弄清基本事件的個數(shù)與

所求事件所包含的基本事件，屬于基礎題.

4.(2012秋?南關區(qū)校級期中)做投擲2顆骰子的試驗，用(x,>■)表示點P的坐標，

3

考點突破?備戰(zhàn)高考

其中X表示第1顆骰子出現(xiàn)的點數(shù)，y表示第2顆骰子出現(xiàn)的點數(shù).

(/)求點P在直線y=x上的概率；

(//)求點P不在直線y=x+l上的概率；

(///)求點P的坐標(x,y)滿足16</+9★25的概率.

【考點】C6：等可能事件和等可能事件的概率.

【專題】11：計算題.

【分析】(/)本題是一個古典概型，每顆骰子出現(xiàn)的點數(shù)都有6種情況，基本事件總

數(shù)為6X6個，滿足條件的事件可以通過列舉所有的事件，利用古典概型的概率公式

得到結果.

(//)本題是一個古典概型，每顆骰子出現(xiàn)的點數(shù)都有6種情況，基本事件總數(shù)為6

X6個，滿足條件的事件可以通過列舉分類得到，利用概率公式得到結果.

(///)記“點P坐標滿足16</+y2<25”為事件C,則事件C有7個基本事件，再

利用概率公式得到結果.

【解答】解：每顆骰子出現(xiàn)的點數(shù)都有6種情況，所以基本事件總數(shù)為6義6=36個.

(/)記“點尸在直線y=x上”為事件A,則事件A有6個基本事件，即4={(1,

1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)},：.P(4)-6…(4分)

36~6

(〃)記“點P不在直線y=x+l上”為事件B,則“點P在直線y=x+l上”為事件

B，其中事件另有5個基本事件.即

樂{(1,2),(2,3),(3,4),(4,5),(5,6),

P⑻=1-P(E)=1-臬關?…(8分)

3636

(///)記“點P坐標滿足16</+y2W25”為事件C,則事件C有7個基本事件.即

C={(1,4),(2,4),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3)},：.P(C)

=_L.…(12分)

36

【點評】本題考查古典概型的概率公式，考查利用列舉法列舉出事件，列舉法是解

決概率問題的最好的一種方法，但是對于理科的學生有一定的局限性，不是所有的

都可以通過列舉得到結果.

5.(2011春?秦州區(qū)校級月考)5張彩票，其中有1張有獎，4張無獎.每次從中任取1

張，不放回，連抽3張；

(1)計算恰有1張有獎的概率；

(2)計算至少有1張有獎的概率.

【考點】C2：概率及其性質；C6：等可能事件和等可能事件的概率.

4

考點突破?備戰(zhàn)高考

【專題】11:計算題.

【分析】(1)由于每張中獎的概率都是工，則抽出的三張中恰有1張有獎的概率等

5

于支

5

(2)由題意可得抽出的三張中最多有1張有獎，其概率等于抽出的三張中恰有1張

有獎的概率上.

5

【解答】解：(1)5張彩票，其中有1張有獎，4張無獎，每次從中任取1張，不放

回，連抽3張，

則每張中獎的概率都是工，則抽出的三張中恰有1張有獎的概率等于2.

55

(2)由題意可得抽出的三張中最多有1張有獎，其概率等于抽出的三張中恰有1張

有獎的概率等于3.

5

【點評】本題主要考查等可能事件的概率，體現(xiàn)了轉化的數(shù)學思想，屬于中檔題.

6.(2011春?巴南區(qū)校級期末)一種信號燈，只有符號“和“義”隨機地反復出現(xiàn),

每秒鐘變化一次，每次變化只出現(xiàn)“和“X”兩者之一，其中出現(xiàn)“的概

率為出現(xiàn)“x”的概率為2,若第機次出現(xiàn)“J"，記為⑨"=i,若第機次出現(xiàn)

33

"X"，則記為麗=-1,令S"=ai+a2+…+而，

(1)求S4=2的概率；

(2)求S120,S220,S320,且57=3的概率.

【考點】C6：等可能事件和等可能事件的概率；CS：概率的應用.

【分析】(1)欲求54=2的概率，需要先分析何時54=2,根據(jù)若第m次出現(xiàn)“J”,

記為am=1,若第機次出現(xiàn)“X”，則記為am=-1可知,出現(xiàn)了3次“J"，1次"X”,

再用n次獨立重復試驗某事件恰有k次發(fā)生的概率來計算即可.

(2)因為57=3,所以7次中出現(xiàn)了5次“J”，2次“X”，又因為Si'O,S220,

S320,所以第一次是“J”，第二次和第三次中至少有一次是“J”，再分第二次和

第三次中有一次是“V”和第二次和第三次中都是“V”，兩種情況求出概率，相加

即為Si20,S220,S3》0,且S7=3的概率.

【解答】解：(1)；S4=2,...出現(xiàn)了3次“J”,1次“義”

二概率為c/x2x

381

(2)：Si20,S22o,S32o,且S7=3,

,出現(xiàn)了5次“J”，2次“X”，且第一次是“J”，第二次和第三次中至少有一次

是“J

5

考點突破-備戰(zhàn)高考

52

第二次和第三次中有一次是“V"的概率為c21c43（2）=_^_

2187

52

第二次和第三次中都是“v”的概率為C42（工）（2）=_竺

2187

.??5120,S2》0,S320,且S7=3的概率為64醛=112

72921872187

【點評】本題主要考察了〃次獨立重復試驗某事件恰有k次發(fā)生的概率，其中需判

斷所求情況中某事件出現(xiàn)的情況.

7.（2011?奉賢區(qū)二模）（文）設函數(shù)f（x）=ax+&（x>0）,a€R+-

x

（1）當a=2,解不等式/（x）>9

（2）若連續(xù)擲兩次骰子（骰子六個面上分別標以數(shù)字1,2,3,4,5,6）得到的點

數(shù)分別作為。和從求/（x）>啟恒成立的概率.

【考點】C6：等可能事件和等可能事件的概率.

【專題】II：計算題.

【分析】（1）由題意可得：/（x）=2X+^>9，即可得到I0，再利

x〔2x"9x+4>0

用一元二次不等式的解法得到答案.

（2）利用基本不等式可得：f（x）1111n=4，所以由f（x）>必恒成立可得16a>

b4.首先計算出基本事件總數(shù)，再利用列舉的方法得到此事件包含的基本事件，進而

根據(jù)等可能事件的概率公式得到答案.

【解答】解：（1）由題意可得：〃=2,

所以可得/（x）=2X+*>9，

X

fx>0

所以|0（3分）

2x-9x+4>0

解得：x€（0,1）U（4,+8）（6分），

所以不等式/（x）>9的解集為：（0,A-）U（4,+8）.

（2）根據(jù)題意并且結合基本不等式可得：f（x）>4立,所以f（x）^如=4?（8分）,

因為f（x）>啟恒成立，

所以/（x），”加>店即可，即16心?。?0分）.

由題意可得：基本事件總數(shù)為6X6=36,

當a=\時，b=l；

當。=2,3,4,5時，b=l,2,；

6

考點突破?備戰(zhàn)高考

當“=6時，b=1,2,3；

目標事件包含的基本事件的個數(shù)為1+8+3=12.

所以/.（X）恒成立的概率，即16“＞乂的概率為2.（14分）

3

【點評】解決此類問題的關鍵是熟練掌握基本不等式、一元二次不等式的解法，以

及恒成立問題（即求函數(shù)的最值），此題考查了等可能事件的概率，解決此種問題一

般利用列舉法或者借助于排列與組合，此題屬于中檔題，高考命題的熱點之一.

8.（2011?盧灣區(qū)校級三模）某市發(fā)行一種電腦彩票，從1到35這35個數(shù)中任選7個

不同的數(shù)作為一注，開獎號碼為從35個數(shù)中抽出7個不同的數(shù)，若購買的一注號碼

與這7個數(shù)字完全相同，即中一等獎；若購買的一注號碼中有且僅有6個數(shù)與這7

個數(shù)中的6個數(shù)字相同，即中二等獎；若購買的一注號碼中有且僅有5個數(shù)與這7

個數(shù)中的5個數(shù)字相同，即中三等獎.

（1）隨機購買一注彩票中一等獎的概率是多少？隨機購買一注彩票能中獎的概率是

多少？（結果可以用含組合數(shù)的分數(shù)表示）

（2）從問題（1）得到啟發(fā)，試判斷組合數(shù)CdGx""與G/"的大小關系，并從組合

的意義角度加以解釋.

【考點】C6：等可能事件和等可能事件的概率；D5：組合及組合數(shù)公式.

【專題】11：計算題.

【分析】（1）因為買一注彩票可能的情況有C351種，一等獎只有一種情況，所以概

率是后者除以前者.彩票中獎有三種情況，分別為中一等獎，中二等獎，中三等獎,

分別求出概率，再相加即可.

（2）因為Ck'C”-小廠/表示從攵個不同元素中取出1個元素，同時從〃-A個不同元

素中取出m-1個元素，表示從n個不同元素中取出m個元素，由（1）可知從n

個不同元素中取出m不同元素的組合數(shù)不小于將n個元素分成攵和拉-2兩部分，然

后從2個元素中取/,從〃-匕個中取〃?個的方法數(shù).

【解答】（1）購買一注彩票中一等獎的概率'

1c16724520

購買一注彩票能中獎的概率P2」+C“2；+C7c空?彘

C35

lmm

（2）a-cn.k'^cn

即從n個不同元素中取出m不同元素的組合數(shù)不小于將〃個元素分成k和〃-左兩部

分，然后從k個元素中取/,從〃個中取"L/個的方法數(shù).

【點評】本題主要考查了等可能性事件的概率，以及概率的意義，做題時要認真分

7

考點突破?備戰(zhàn)高考

析.

9.（2010?武漢模擬）已知一顆質地均勻的正方體骰子，其6個面上分別標有數(shù)字1、2、

3、4、5、6,現(xiàn)將其投擲4次，分別為

（1）所出現(xiàn)最大點數(shù)不大于3的概率；

（2）所出現(xiàn)最大點數(shù)恰為3的概率.

【考點】C6：等可能事件和等可能事件的概率.

【專題】11：計算題；32：分類討論.

【分析】（1）一顆骰子擲四次，第次出現(xiàn)的結果之間互不影響，每次出現(xiàn)最大點數(shù)

不大于3概率是工，由概率的乘法公式易求得事件“所出現(xiàn)最大點數(shù)不大于3”的概

2

率；

（2）法一：事件“出現(xiàn)最大點數(shù)恰為3”包括四次中出現(xiàn)一次，恰有兩次,，恰有3

次，恰有4次出現(xiàn)的最大點數(shù)為3四個事件，先計算出事件”出現(xiàn)最大點數(shù)恰為3”

包括的基本事件數(shù)，而總的基本事件數(shù)為64個，由公式易求得概率；

法二：事件“出現(xiàn)最大點數(shù)恰為3”的概率等于事件“最大點數(shù)不大于3”的概率減

去事件“最大點數(shù)不大于2”的概率，易求得.

【解答】解：（1）擲一顆骰子1次，所得點數(shù)的所有情形有6種.

而點數(shù)不大于3的所有可能情形有3種

擲一顆骰子4次，點數(shù)不大于3的概率為p=m）4q_…（6分）

616

（2）法一：投擲一顆骰子4次，其最大點數(shù)為3,分別為恰有1次，恰有2次，恰

有3次，恰有4次出現(xiàn)的最大點數(shù)為3,共有C41*23+C42?22+C43?2+C44=65種

Cj-23+CJ'22+C^-2+CJ甑

.??最大點數(shù)恰為3的概率為pl-------%——------

法二：所求概率等于由最大點數(shù)不大于3的概率減去最大點數(shù)不大于2的概率，

【點評】本題考點是等可能事件的概率，解題的關鍵是理解題意，第一小題中關鍵

是理解事件“所出現(xiàn)最大點數(shù)不大于3”，由概率乘法公式計算出概率，第二小題關

鍵在于理解事件“出現(xiàn)最大點數(shù)恰為3”，法一采用了分類法，分別計算求概率，法

二用排除法求概率，對比發(fā)現(xiàn)，法二較簡，且借助了（1）的結論，是較優(yōu)秀的解法,

但其中的關系不易理解，題后注意體會其中的內涵，本題是概率的基本題，考查了

分類思想及排除法的技巧.

10.（2010?海門市一模）一個口袋中裝有“個紅球（〃》4且〃WN）和5個白球，從中

8

考點突破?備戰(zhàn)高考

摸兩個球，兩個球顏色相同則為中獎.

（I）若一次摸兩個球，試用〃表示一次摸球中獎的概率p;

（II）若一次摸一個球，當"=4時，求二次摸球（每次摸球后不放回）中獎的概率;

（III）在（I）的條件下，記三次摸獎（每次摸獎后放回）恰有二次中獎的概率為P,

當〃取多少時，P最大？

【考點】C6：等可能事件和等可能事件的概率.

【專題】11：計算題；12：應用題.

【分析-I）本題是一個等可能事件的概率，試驗發(fā)生包含的事件是一次摸獎從〃+5

個球中任選兩個，滿足條件的事件是兩球不同色有G?C5i種，根據(jù)等可能事件的概

率得到結果.

（II）本題是一個等可能事件的概率，試驗發(fā)生包含的事件數(shù)C81c滿足條件的

事件是C41c3「C51c根據(jù)等可能事件的概率得到結果.

（///）設每次摸獎中獎的概率為p，則三次摸獎（每次摸獎后放回），恰有二次中獎

的概率為P為P=P3（2）=C32?p2.（l-p）=3（p2-p3）,當p4r寸，p取得最大

值.得到〃的值.

【解答】解：（I）由題意知本題是一個等可能事件的概率，

試驗發(fā)生包含的事件是一次摸獎從n+5個球中任選兩個，有C"+52種，

滿足條件的事件是兩球不同色有C/C51種，

2

根據(jù)等可能事件的概率得到一次摸獎中獎的概率p=l-n-n+20

)-2

(n+5)(n+4n+9n+20

（H）若〃=4,由題意知本題是一個等可能事件的概率

試驗發(fā)生包含的事件數(shù)C81c

滿足條件的事件是C41c3I+C5IC，

clcl+cjcl4

得到二次摸獎（每次摸獎后不放回）中獎的概率是P=43：

答：二次摸球（每次摸球后不放回）中獎的概率為a..

9

（111）設每次摸獎中獎的概率為〃，則三次摸獎（每次摸獎后放回）

恰有二次中獎的概率為P為P=P3（2）=C32>P2<1-p）=3（p2_p3）,0<p<l,..

當n/j時，尸取得最大值.

乂P二］一?,解得77=20

(n+5)(n+4)-3

答：當〃=20時，三次摸獎（每次摸獎后放回）恰有二次中獎的概率最大

9

考點突破?備戰(zhàn)高考

【點評】本題考查等可能事件的概率，考查等可能事件的概率的應用，這種問題可

以出現(xiàn)在大型考試的解答題目中，是一個綜合題.

11.(2010?密云縣一模)某商場舉行購物抽獎促銷活動，規(guī)定每位顧客從裝有編號為0,

1,2,3四個相同小球的抽獎箱中，每次取出一球記下編號后放回，連續(xù)取兩次，若

取出的兩個小球號碼相加之和等于6則中一等獎，等于5中二等獎，等于4或3中

三等獎.

(1)求中三等獎的概率；

(2)求中獎的概率.

【考點】C5：互斥事件的概率加法公式；C6：等可能事件和等可能事件的概率.

【專題】11：計算題；12：應用題.

【分析】(1)由題意知本題是一個等可能事件的概率，試驗發(fā)生包含的事件可以通

過列舉得到，滿足條件的事件從列舉出的結果中得到，根據(jù)等可能事件的概率公式,

得到結果.

(2)本題是一個等可能事件的概率，試驗發(fā)生包含的事件在前面一問己經(jīng)做出，滿

足條件的事件可以列舉出所有的結果，根據(jù)互斥事件的概率公式和等可能事件的概

率公式，得到結果.

【解答】解：(1)設“中三等獎”為事件4,“中獎”為事件B,

從四個小球中有放回的取兩個共有(0,0),(0,1),(0,2),

(0,3),(1,0),(1,1)(1,2),(1,3),(2,0),

(2,1),(2,2),(2,3),(3,0),(3,1),(3,2),(3,3)16種不同的結果

兩個小球號碼相加之和等于4的取法有3種：(1,3),(2,2),(3,1)

兩個小球號相加之和等于3的取法有4種：(0,3),(1,2),(2,1),(3,0)

由互斥事件的加法公式得：p(A)=R-+J-hL，

161616

即中三等獎的概率為工；

16

(2)兩個小球號碼相加之和等于3的取法有4種；(0,3),(1,2),(2,1),(3,

0)

兩個小球相加之和等于4的取法有3種:(1,3),(2,2),(3,1)

兩個小球號碼相加之和等于5的取法有2種：(2,3),(3,2)

兩個小球號碼相加之和等于6的取法有1種：(3,3)

由互斥事件的加法公式得:

P(B)16161616-o8-

10

考點突破?備戰(zhàn)高考

即中獎的概率為：”.

8

【點評】本題考查等可能事件的概率，考查互斥事件的概率，是一個同學們都感興

趣的情景問題，是一個基礎題.

12.(2010?山東校級三模)設一元二次方程A/+Bx+C=0,根據(jù)下列條件分別求解.

(1)若A=l,B、C是一枚骰子先后擲兩次出現(xiàn)的點數(shù)，求方程有實數(shù)根的概率；

(2)設B=-A,C=A-3,A隨機的取實數(shù)使方程有實數(shù)根，求方程至少有一個非

負實數(shù)根的概率.

【考點】7H：一元二次方程的根的分布與系數(shù)的關系；C6：等可能事件和等可能事

件的概率.

【專題】H：計算題；12：應用題.

【分析】(1)由題意知本題是一個古典概型，試驗發(fā)生所包含的事件數(shù)36,滿足條

件的事件是當A=1時Ax1+Bx+C=0,變?yōu)閃+Bx+C=0方程有實數(shù)解得B2-400

顯然列舉出所有的事件，得到概率.

(2)由題意知本題是一個幾何概型，試驗發(fā)生包含的事件是A隨機的取實數(shù)使方程

有實數(shù)根，根據(jù)一元二次方程判別式得到A的范圍，滿足條件的事件是使得方程有

至少有一個非負實數(shù)根，根據(jù)對立事件的概率得到結果.

【解答】解：(1)由題意知本題是一個古典概型，

當A=1時A?+Bx+C=0,變?yōu)?+fir+C=0

方程有實數(shù)解得B1-400顯然BW1

若8=2時C=l；1種

若8=3時C=l,2；2種

若B=4時C=l,2,3,4；4種

若5=5時C=l,2,3,4,5,6；6種

若8=6時C=l,2,3,4,5,6；6種故有19種，

方程有實數(shù)根的概率是工上

36

(2)B=-4,C=A-3,且方程有實數(shù)根，得

AWO,A=A2-4A(A-3)20,得0VAW4

而方程有兩個負數(shù)根的條件是：AWO,A=A2-4A(A-3)20

R〉o

A

即3VAW4

11

考點突破?備戰(zhàn)高考

故方程有兩個負數(shù)根的概率是生之=!

4-04

而方程至少有一個非負實數(shù)根的對立事件是方程有兩個負數(shù)根故所求的概率為1-

1=_3

77

【點評】本題考查等可能事件的概率，一元二次方程實根分布，是一個綜合題，解

題的關鍵是對于一元二次方程的解的情況的分析，解題時有一定難度.

13.（2010?鄭州二模）某中學舉辦“上海世博會”知識宣傳活動，現(xiàn)場的“抽卡有獎游