高中數(shù)學(xué)-函數(shù)的最大（?。┲到虒W(xué)設(shè)計學(xué)情分析教材分析課后反思

3.2.1單調(diào)性與最大QJ、）值

第2課時函數(shù)的最大（?。┲?/p>

（-）教學(xué)目標(biāo)

1.理解函數(shù)的最大值和最小值的概念及其幾何意義；

2.能借助函數(shù)的圖象和單調(diào)性，求一些簡單函數(shù)的最值；

3.通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，使學(xué)生體會數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想在求解最值中的作用，提

高學(xué)生邏輯推理、數(shù)學(xué)運算的能力。

（二）教學(xué)重點與難點

重點：會求函數(shù)的最值。

難點：掌握求函數(shù)最值的方法。

（三）過程與方法

合作討論式教學(xué)法。通過師生合作、討論，在示例分析、探究的過程中，獲得最值的概

念。從而掌握應(yīng)用單調(diào)性求函數(shù)最值這一基本方法。

（四）核心素養(yǎng)

借助函數(shù)最值的求法，培養(yǎng)直觀想象、數(shù)學(xué)運算及邏輯推理等素養(yǎng)。

（五）教學(xué)過程

教學(xué)環(huán)

教學(xué)內(nèi)容師生互動設(shè)計意圖

-Hj-

師：畫出函數(shù)=的圖象，觀從學(xué)生

熟悉的二次

察函數(shù)/（力=一￡圖象的特點？

函數(shù)及其圖

生：圖象有最高點（0,0）

設(shè)計問像引出最值

題，創(chuàng)師：通過觀察，函數(shù)/（*）=一%2的圖得概念，遵

設(shè)情境畫出函數(shù)/（x）=-￡=循從特殊到

象上有一個最高點（0,0）,即當(dāng)x=。

的圖象，觀察函數(shù)圖象的特點。一般的原

的時候，函數(shù)值最大，如何用數(shù)學(xué)語言

則。問題出

來描述它呢？

發(fā)，激發(fā)學(xué)

（學(xué)生思考）

生的學(xué)習(xí)興

找學(xué)生站起來回答。

趣，同時為

生：Vxe尺都有,學(xué)習(xí)接下來

師：函數(shù)/（X）什么時候取到最大值0?的函數(shù)最值

概念做好鋪

生：當(dāng)x=O時，4》）=0。

墊。

應(yīng)用函

學(xué)生探如果股是函數(shù)y=f（x）的最大

師生合作，通過分析明確M需要滿足的數(shù)圖象感知

索，嘗值，那需要滿足什么條件？

條件。函數(shù)的最大

試解決

值。

師：概念中的兩個條件必須同時滿足嗎？

只滿足一個行不行？如果只有條件（1）,

沒有條件（2）可以嗎？帶著這個問題，

我們來看一下：如果在剛才的坐標(biāo)系中再

函數(shù)最大值概念：

取一點（0,1）,則有那能說

一般地，設(shè)函數(shù)y=/（x）的定義域

函數(shù)=的最大值是1嗎？由實例

為I,如果存在實數(shù)M滿足：

生：不能。抽象獲得最

（1）對于任意XW/,都有

師：為什么？大值概念.

形成

生：因為取不到。并且讓學(xué)生

概念

（2）存在/e/,使得師：再舉個例子，如果用y表示我們班男真正理解兩

個條件缺一

/（x（））=M。生的身高，2.26m是姚明的身高，這里的

不可。

y<2.26m,那么能說我們班級男生身高

那么，稱是M函數(shù)y=/（x）的最

的最大值是2.26m嗎？

大值。

生：不能，因為姚明不是我們班的同學(xué)，

取不到2.26m?

師：所以條件（2）必須有?

師：如果只有條件（2）可以嗎？

生：不行。

師：最大值的核心就是不等式

所以不能只有(2)。

師：在函數(shù)的最大值的定義中，(1)(2)

兩個條件缺一不可。

師：觀察函數(shù)/(力=必圖象的特點？

生：圖象有最低點(0,0)

O

函數(shù)最小值概念.

師：你能依照函數(shù)最大值的定義，得出函

一般地，設(shè)函數(shù)y=/(x)的定義域

數(shù)的最小值的定義嗎？

為I,如果存在實數(shù)M滿足：師生合作，學(xué)生口述，老師評析并板

(1)對于任意xe/,都有書定義。

由最大值定

形成

義類比最小

概念函數(shù)的最值：

(2)存在,使得值定義.

L定義：函數(shù)的最大值和最小值統(tǒng)稱

〃x0)=M。

為函數(shù)的最值；

那么，稱是M函數(shù)y=的最2.幾何意義：函數(shù)丁””的最值是

小值。函數(shù)圖象最高點或最低點的縱坐標(biāo)；

3.說明：函數(shù)的最值是在整個定義域

內(nèi)的性質(zhì)。

師生合作討論例1及變式的解法思自學(xué)與指導(dǎo)

例1已知函數(shù)/(x)=d—2x+2想，老師點評。相結(jié)合，提

例1解：作出函數(shù)/(X)=X2-2X+22高學(xué)生的學(xué)

(1)函數(shù)在［。，3)上存在

運用規(guī)習(xí)能力.

最大值和最小值嗎，如果存在，的圖象。

律，解(1)以簡單

求出它的最大值和最小值；顯然，問題(1),函數(shù)

決問題(2)求出函數(shù)在［0,3］上的問題考查了

“x)=xf+2在［。，3)有最低點，

最大值和最小值學(xué)生對函數(shù)

沒有最高點，所以有最小值1,沒有最大

最大值和最

值。

小值的理

了學(xué)生的學(xué)

習(xí)興趣，滲

透數(shù)形結(jié)合

和分類討論

的思想。

圖象如圖①所示，函數(shù)/(X)在區(qū)間

上1+1］上單調(diào)遞減，所以最小值為

當(dāng)/41K/+1,即owrwi時，

函數(shù)圖象如圖②所示，最小值為

41)=1;

當(dāng)，>1時，函數(shù)圖象如圖③所

示，函數(shù)/(%)在區(qū)間上"+1］上單調(diào)

遞增，所以最小值為

2

/(r)=r-2r+20

r+l,r<0,

綜上可得，g(f)=<1,。"，(1,

t~—2t+2,f>1.

例2已知函數(shù)(*e［2,6］),

x—1例2分析：由函數(shù)y=——

x-1進(jìn)一步

求函數(shù)的最大值和最小值.

(xw［2,6］)的分母變大，整體變小，函固化求最值

數(shù)^=啖在區(qū)間［2,6］上遞減.所以，的方法及步

2驟.

函數(shù)y=—■在區(qū)間［2,6］的兩個端點

上分別取得最大值和最小值。

解：設(shè)Vjq,%w［2,6］,且玉，講練結(jié)合，

固化技能。

則

運用函數(shù)單

/（%）〃％）=1

調(diào)性求最值

X,-1x2-1

是求函數(shù)最

二2口

（%-1）（工2-1）值的重要方

法，特別是

2（/一百）

（X1-1）（々T）當(dāng)函數(shù)圖象

不好作或作

由24玉＜/＜6

不出來時，

得%,-%（＞0,（%1-l）（x-1）＞0,

2單調(diào)性幾乎

于是〃%）-/（修）＞0,成為首選方

法。

即

2

所以，函數(shù)y=」是區(qū)間［2,6］上

X~~1

2

是單調(diào)遞減的。因此，函數(shù)y=——在

X-1

區(qū)間［2,6］的兩個端點上分別取得最大值

與最小值，即在x=2時取得的最大值，

最大值是2,在尤=6時取得最小值，最

小值是0.4。

學(xué)生進(jìn)一步

變練演1.已知函數(shù)體會數(shù)形結(jié)

1.解：作出函數(shù)“X）的圖象（如

練，深X2,-1<X<1；合，并且深

〃x)=1.圖）

化提高刻理解函數(shù)

lx

最值的幾何

求y=/（x）的最大值、最小值.意義。

-101X

由圖象可知，當(dāng)％=±1時，/（X）

取最大值為/（±1）=1。

當(dāng)x=0時，/"）取最小值，

故“X）的最大值為1,最小值為

2.求函數(shù)/（x）=x+3在[1,2]上Oo

的最小值。

2.解：

法一：設(shè)1<%<馬，

44

則/,（七）一/'（々）=尤1+---X2----

4]人2讓學(xué)生體會

4（馬一王）

求函數(shù)最值

=X1-x2+—^———

得方法：圖

_（%一巧）（不玉一4）象法，利用

XjX2單調(diào)性，基

,.<1<X,<X2本不等式。

x]-x2<0,x]x2-4<0,x]x2>0

"（%）>〃/）

在[1,2]上是單調(diào)遞減的。

...當(dāng)x=2時，/（x）取得最小值4。

法二：因為％c[1,2]

所以JC>O,—>O

所以於=4

XyX

4-

當(dāng)且僅當(dāng)X=:即％=2

時等號成立,

所以函數(shù)〃x）=x+±在[1,2]

上的最小值為4。

師：同學(xué)們思考一下，本節(jié)課你都用

了哪些方法求函數(shù)的最值？

師生共同總結(jié)：1.數(shù)形結(jié)合

2.利用單調(diào)性

3.基本不等式

1.你收獲了哪些知識？

信息交

2.你是如何收獲這些知識的？

流，教師生交流合作總結(jié)、歸納.能力培養(yǎng)

3.你運用了哪些思想方法？

學(xué)相長

4.你還有什么疑惑嗎？

分層作業(yè)：《課時分層作業(yè)十八》

課后必做：A組

學(xué)生獨立完成能力培養(yǎng)

選做：B組,C組

作業(yè)

《函數(shù)的最大（?。┲怠穼W(xué)情分析

學(xué)生剛剛由初中升入高中，學(xué)習(xí)熱情比較高，思維也比較活躍，但是我所帶的班級學(xué)生

層次不同，存在較大差距。

1.學(xué)生學(xué)習(xí)能力分析：

學(xué)生剛剛學(xué)完函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的單調(diào)性與函數(shù)的最大（?。┲涤兄芮械穆?lián)系，知道

了函數(shù)的單調(diào)性就能較方便地找到函數(shù)的最大（?。┲怠?/p>

2.學(xué)生學(xué)習(xí)困難分析：

本節(jié)利用單調(diào)性證明函數(shù)單調(diào)性對學(xué)生的運算能力要求較高，而這恰恰是許多學(xué)生的弱

點;還要學(xué)習(xí)進(jìn)一步加強(qiáng)訓(xùn)練。

3.學(xué)生學(xué)習(xí)過程分析：

學(xué)生學(xué)習(xí)知識往往重結(jié)論輕過程，并且一些同學(xué)的數(shù)形結(jié)合意識比較弱，分類討論思想

不是十分理解，教學(xué)時引導(dǎo)學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中不僅要注重數(shù)學(xué)結(jié)論，更要注重知識結(jié)論產(chǎn)生

的過程和用到的數(shù)學(xué)思想與方法。

《函數(shù)最大（?。┲怠沸Ч治?/p>

本節(jié)課我遵循了由特殊到一般的原則，由學(xué)生熟悉的二次函數(shù)引入，層層設(shè)問，再通過

獨立思考和充分的小組討論，不僅使學(xué)生們進(jìn)行了思維的碰撞，同時也使學(xué)生逐步獲得新知,

提高思維能力，獲得了良好的教學(xué)效果：

1.學(xué)生對于函數(shù)最大（小）值的發(fā)現(xiàn)、得出及最值的求法，能夠很輕松地掌握。

2.學(xué)生的基本數(shù)學(xué)運算及思維能力得到一定的提高，能領(lǐng)悟一些基本的數(shù)學(xué)思想方法,

如：數(shù)形結(jié)合、分類討論等數(shù)學(xué)思想方法；但由于學(xué)生還沒有形成完整、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)思維習(xí)

慣，對問題的認(rèn)識會不周全，良好的數(shù)學(xué)素養(yǎng)的形成有待于進(jìn)一步提高。

3.由于學(xué)生的層次不同，對知識的認(rèn)識深度有所不同。對層次較高的學(xué)生，還應(yīng)引導(dǎo)其

形成更科學(xué)、嚴(yán)謹(jǐn)、謙虛及鍥而門求學(xué)態(tài)度；基礎(chǔ)較差的學(xué)生，由于不善表達(dá)，參與性較差，

還應(yīng)多關(guān)注，鼓勵，培養(yǎng)他們的學(xué)習(xí)興趣，多找些機(jī)會讓其體驗成功。

《函數(shù)的最大（?。┲怠方滩姆治?/p>

《函數(shù)的最大（?。┲怠肥切陆滩母咭粩?shù)學(xué)必修第一冊第三章《函數(shù)的概念與性質(zhì)》中

《3.2.1單調(diào)性與最大（?。┲怠返诙n時的內(nèi)容，函數(shù)的最大（?。┲蹬c函數(shù)的單調(diào)性

有著密切的聯(lián)系，通常知道了函數(shù)的單調(diào)性，就能較方便地找到函數(shù)的最大（?。┲?，函數(shù)

的最大（?。┲档亩x是借助二次函數(shù)及其圖象引出的，概念的出現(xiàn)是遵循從特殊到一般的

原則?教學(xué)時，要給學(xué)生提升數(shù)學(xué)思維能力的機(jī)會，強(qiáng)調(diào)證明函數(shù)單調(diào)性的重要性，并且要

重視數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想方法的滲透。

3.2.1單調(diào)性與最大（?。┲档?課時