數(shù)控系統(tǒng)(二)教材

2.4

插補原理2.4.1

插補的基本概念

在數(shù)控機床中，刀具或工件的最小位移量稱為分辨率(閉環(huán)系統(tǒng))或脈沖當(dāng)量(開環(huán)系統(tǒng))，又叫做最小設(shè)定單位。刀具或工件是一步一步地移動的，刀具的運動軌跡不可能嚴(yán)格地沿著刀具所要求的零件輪廓形狀運動，只能用折線逼近所要求的輪廓曲線，而不是光滑的曲線。機床數(shù)控裝置根據(jù)一定算法確定刀具運動軌跡，從而產(chǎn)生基本輪廓線形，如直線、圓弧等。

一.什么是插補數(shù)控裝置根據(jù)輸入的零件程序的信息，將程序段所描述的曲線的起點、終點之間的空間進(jìn)行數(shù)據(jù)密化，用一個個輸出脈沖把這一空間填補起來，從而形成要求的輪廓軌跡，這種“數(shù)據(jù)密化”機能就稱為“插補”。2.4

插補原理2.4.1

插補的基本概念“插補”是根據(jù)零件輪廓線形的信息(如直線的起點、終點，圓弧的起點、終點和圓心等)，數(shù)控裝置按進(jìn)給速度、刀具參數(shù)和進(jìn)給方向等要求，計算出輪廓曲線上一系列坐標(biāo)值的過程。2.4

插補原理2.4.1

插補的基本概念插補器：軟件插補硬件插補軟硬件結(jié)合插補直線插補零件數(shù)控加工程序提供直線段的起點、終點坐標(biāo),數(shù)控裝置將這兩點之間的空間進(jìn)行數(shù)據(jù)密化,用一個個輸出脈沖把空間填補起來,從而形成要求的直線軌跡?！璑12G00X12Y4N13G01X17

Y7…yx

0124177圓弧插補零件的數(shù)控加工程序提供圓弧起點、終點、圓心坐標(biāo),數(shù)控裝置將起點、終點之間空間進(jìn)行數(shù)據(jù)密化,用一個個脈沖把這一空間填補成近似理想的圓弧,即對圓弧段進(jìn)行數(shù)據(jù)密化。

…N12G00X4

Y3N13G03X0Y5

R5…543y0XR二維插補

對于平面曲線，通過二個坐標(biāo)的插補運算，就能控制兩個坐標(biāo)軸走出所需軌跡。yx

0124177543y0XR

對于空間曲線(三維、四維…)，需要多個坐標(biāo)軸聯(lián)動，也就需要多個坐標(biāo)的插補運算。

多維插補A(Xe、Ye、Ze)ZYXOXeYeZe二.軟件插補算法Ⅰ.脈沖增量插補

Ⅱ.數(shù)據(jù)采樣插補

逐點比較法插補

數(shù)字積分法插補直線函數(shù)法擴展數(shù)字積分法二階遞歸算法二.軟件插補算法Ⅰ.脈沖增量插補

產(chǎn)生的單個行程增量，以一個個脈沖方式輸入給伺服系統(tǒng)。原理yx

012242456步進(jìn)電機為驅(qū)動裝置的開環(huán)數(shù)控系統(tǒng)。計算機數(shù)控柜步進(jìn)電機驅(qū)動電源步進(jìn)電機機床

滾珠絲桿應(yīng)用Ⅱ.數(shù)據(jù)采樣插補（時間標(biāo)量插補）插補程序每調(diào)用一次，算出坐標(biāo)軸在一個周期中的增長段（不是脈沖），得到坐標(biāo)軸相應(yīng)的指令位置，與通過位置采樣所獲得的坐標(biāo)軸的現(xiàn)時的實際位置（數(shù)字量）相比較,求得跟隨誤差。位置伺服軟件將根據(jù)當(dāng)前的跟隨誤差算出適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)軸進(jìn)給速度指令，輸出給驅(qū)動裝置。1.插補程序的調(diào)用周期和系統(tǒng)的位置采樣周期相同

美國Allen－Bradley公司的7300CNC系列2.調(diào)用周期是系統(tǒng)的位置采樣周期的整數(shù)倍西門子公司的System－7CNC系統(tǒng)，采用8ms的插補周期和4ms的位置反饋采樣周期應(yīng)用適用于閉環(huán)和半閉環(huán)，以直流（或交流）電機為驅(qū)動裝置的位置采樣系統(tǒng)。類型目前的MNC系統(tǒng)常采用以下結(jié)構(gòu)方式完成插補運算i采用軟/硬件配合實現(xiàn)插補方案的單微機系統(tǒng)※FANUC的System－5ii具有分布式微機系統(tǒng)※麥唐納·巴格拉斯公司ActrionIII型MNC系統(tǒng)iii具有單臺高性能微型計算機NC系統(tǒng)

※西德西門子公司的System-7CNC系統(tǒng)2.2.2脈沖增量插補特點脈沖當(dāng)量

每次插補結(jié)束，在一個軸上只產(chǎn)生單個的行程增量。一個脈沖所產(chǎn)生的坐標(biāo)軸的移動量mm。一.逐點比較法插補原理基本思想被控對象在按要求的軌跡運動時，每走一步都要和規(guī)定的軌跡進(jìn)行比較，由比較結(jié)果決策下一步移動的方向。逐點比較法既可實現(xiàn)直線插補，又可實現(xiàn)圓弧插補。一.逐點比較法插補原理四個步驟偏差判別：根據(jù)偏差值判斷刀具當(dāng)前位置與給定線段的相對位置，以確定下—步的走向。坐標(biāo)進(jìn)給：根據(jù)判別結(jié)果，讓刀具向x或y方向移動一步，使加工點接近給定線段。偏差計算：計算新到達(dá)點與給定軌跡之間的偏差，作為下一步判別依據(jù)。終點判別：判斷刀具是否到達(dá)終點。未到終點，則繼續(xù)進(jìn)行插補。若已到達(dá)終點，則插補結(jié)束。yx

0124177Ⅰ、直線插補(一).偏差計算公式如圖所示，設(shè)規(guī)定軌跡為直線段OE，起點在原點，終點E的坐標(biāo)為E(Xe，Ye)

,第一象限Pi(xi,yi)為加工點（軌跡點）。1.若P正好處在OE上,則下式成立。xi=

yi

yexe即

xeyi

－xiye=0y0xE(Xe,Ye)Pi(xi,yi)2.當(dāng)P在OE上方時，即

xeyi－xiye>03.當(dāng)P在OE下方時，即

xeyi－xiye<0xi<

yixe

yexi>

yixe

yeE(Xe,Ye)yxPi(xi,yi)0E(Xe,Ye)yPi(xi,yi)x0∴判別函數(shù)F為F＝XeYi-XiYe由F可判別動點Pi與理想軌跡的相對位置，從而決定下一步移動方向。y0xE(xe,ye)F>0，點Pi在直線上方，應(yīng)向+X移動。F<0，點Pi在直線下方，應(yīng)向+Y移動。F=0，點Pi在直線上，為方便，將F=0歸F>0。為便于計算機編程計算,將F的計算予以簡化。設(shè)第I象限中動點Pi(xi,yi)的F值為Fi，

Fi＝XeYi-XiYe1.若沿+x向走一步，即于是有

Fi+1=Fi

－YePi(Xi,Yi)E(xe,ye)y0xPi+1(Xi+1,Yi+1)???íì-==+=+++++eiieiiiiiyxyxFyyxx11111,1

2.若沿+y向走一步，即于是有

新加工點的偏差完全可以用前一加工點的偏差遞推。xy0Pi(Xi,Yi)Pi+1E(xe,ye)???íì-==+=+++++eiieiiiiiyxyxFxxyy11111,1eiiXFF+=+1(二)終點判別的方法有兩種：

1.每走一步，判斷動點Pi(xi,yi)的坐標(biāo)值是否與終點坐標(biāo)相同，即

Xi-Xe≥0且

Yi-Ye≥0若兩式同時滿足，插補結(jié)束。2.求程序段總步數(shù)n=Xe+Ye每走一步，n

1

n，直到n=0，插補結(jié)束。(三)插補計算過程：（用流程圖表示）終點到？初始化偏差判別坐標(biāo)進(jìn)給偏差計算EndYN第I象限直線插補軟件流程圖(四)不同象限的直線插補計算初始化xe、ye,n=xe+ye,F=0F

0？+x方向走一步+y方向走一步F←F－YeF←F+Xen-1→nn＝0?EndYNYNy0xE(xe,ye)用同樣方法分析第II，III，IV

象限插補情況，

-X+YF<0(+Y)F>0(-X)F>0(-X)F>0(+X)F<0(-Y)F<0(+Y)F>0(+X)F<0(-Y)+X-Y如圖所示,可以得出：都是沿x方向步進(jìn)，無論+x，-x，|x|總是增大，走+x或-x由象限標(biāo)志控制(跟隨Xe的＋、－）

F≥0

+YF<0F>0F>0F>0F<0F<0F>0F<0+X-Y

均沿y方向步進(jìn)，無論+y，-y，|y|增大，I，II走+y，III，IV走－y（隨ye的＋，－）。F<0+YF<0F>0F>0F>0F<0F<0F>0F<0+X-Y下圖所示，輪廓形狀

C

xy0B

ADa

db

ca.看成是第I象限，起點O1，終點O2，輸出為＋x,＋yb.看成是第Ⅱ象限，起點O2，終點O3，輸出為－x,＋yc.看成是第Ⅲ象限,起點O3,終點O4,輸出為－x,－yd.看成是第IV象限,起點O4,終點O1,輸出為＋x,－yCxy0B

ADa

db

cxyxyxyxy初始化|Xe|,|Ye|N=|Xe|+|Ye|F>0?沿Xe向走一步沿Ye向走一步F←F-|Ye|F←F+|Xe|N=0?EndYNNY四個象限直線插補流程圖可歸納為下圖所示，n=|xe－x0|＋|ye－y0|例2-1設(shè)有第一象限直線OA，起點O為坐標(biāo)原點，終點為A（4，3）。用逐點比較法對該段直線進(jìn)行插補，并畫出插補軌跡。

解：初始化：

xe=4，ye=3F

0

XF=F-3F<0YF=F+4

n=0+XF6>0

7n=1+YF5<0

6n=2+XF3>0

5n=3+YF3<0

4n=4+XF2>0

3n=5+YF1<0

2n=6+XF0=0

1n=7起點終點判別偏差計算坐標(biāo)進(jìn)給偏差判別序號yx

043Ⅱ、圓弧插補

(一).偏差計算公式

若Pi在圓弧上，則

（xi2+yi2)-(x02+y02)=0取判別函數(shù)F為

F=(xi2+yi2)-(x02+y02)

XYE(xe,ye)

A(x0,y0)

OPi(xi,yi)

圓心為原點，圓弧起點坐標(biāo)(x0、y0)，終點坐標(biāo)(xe、ye)，

設(shè)動點Pi(xi、yi)。第一象限逆圓弧進(jìn)給方向：1.動點在圓弧外,F>0,向-x走一步；2.動點在圓弧內(nèi),F<0,向+y走一步；3.動點在圓弧上,F=0,向-x走一步。A(x0,y0)E(xe,ye)Pixy0F=(xi2+yi2)-(x02+y02)A(x0,y0)E(xe,ye)Piy(二)終點判別的方法有兩種：

1、動點與終點坐標(biāo)值比較若xi=xe，x向已到終點若yi=ye，y向已到終點只有當(dāng)x、y都到達(dá)終點，插補才算完成。

2、計算總步數(shù)

n=|Xe-X0|+|Ye-Y0|

每走一步，n-1→n，直到n=0，插補結(jié)束(三)插補計算過程：（用流程圖表示）A(x0,y0)E(xe,ye)Piy終點到？YEndN初始化偏差判別坐標(biāo)進(jìn)給偏差計算坐標(biāo)計算(四)圓弧插補偏差計算公式1、第一象限逆圓插補動點在-X方向走一步后

xi+1=xi-1yi+1=yiFi+1=(xi-1)2+yi2-(x02+y02)=Fi-2xi+1

動點在+Y方向走一步后

Fi+1=xi2+(yi+1)2-(x02+y02)=Fi+2yi+1第一象限逆圓插補的流程圖如圖所示PiPi+1PixAEPi+10

y第一象限逆圓

插補流程圖初始化起點(x0,y0)終點(xe,ye)

F=0F≥0？+Y方向走一步-X方向走一步F=F+2Y+1Y=Y+1F=F-2X+1X=X-1插補完?EndNYNY2、第一象限順圓插補F≥0動點在-Y方向走一步后

Fi+1=Fi-2Yi+1第一象限順圓插補的流程圖如圖所示F<0動點在+X方向走一步后

Fi+1=Fi+2Xi+1PiPi+1PiPi+1xy0AE第一象限順圓

插補流程圖初始化起點(x0,y0)終點(xe,ye)F=0F≥0？+X方向走一步-Y方向走一步F=F+2X+1,X=X+1F=F-2Y+1,Y=Y-1插補完?EndNYNY3、圓弧插補有八種情況表示如下圖例2-2現(xiàn)欲加工第一象限逆圓弧AB，起點A（5，0），終點B（0，5），試用逐點比較法進(jìn)行插補,并畫出插補軌跡。

解：初始化

x=x0=5y=y0=0 F=0n=|Xe-Xi|+|Ye-Yi|=10

F表達(dá)式：

F≥0,-ΔX,F-2X+1→F，X-1→XF<0,+ΔY,F+2y+1→F，y+1→y步數(shù)偏差判別坐標(biāo)進(jìn)給偏差計算坐標(biāo)計算終點判別起點X0=5,Y0=0n=101F0=0-XX1=4,Y1=0n=92F1<0+YX2=4,Y2=1n=83F2<0+YX3=4,Y3=2n=74F3<0+YX4=4,Y4=3n=65F4=0-XX5=3,Y5=3n=56F5<0+YX6=3,Y6=4n=47F6=0-XX7=2,Y7=4n=38F7<0+YX8=2,Y8=5n=29F8>0-XX9=1,Y9=5n=110F9>0-XX10=0,Y10=5n=0二.數(shù)字積分法1、基本概念采用積分運算實現(xiàn)插補，又稱DDA法。DDA(DigitalDifferentialAnalyzer)2、優(yōu)點易于實現(xiàn)多維插補和原有系統(tǒng)多個坐標(biāo)軸聯(lián)動的擴充,尤其多坐標(biāo)聯(lián)動的數(shù)控系統(tǒng)一、DDA直線插補設(shè)對直線OE進(jìn)行脈沖分配起點O(0,0)，終點E(xe,ye)直線方程

y/x=ye/xe對t求導(dǎo)即Vy/Vx=Ye/Xe

令動點P，在x、y軸方向的速度分別是Vx、Vy,在x、y方向的微小位移增量為ΔX、ΔY則：

E(xe，ye)yx0VyVxV引入比例系數(shù)K，有Vx=K?XeVy=K?YeeeyxyXVV=eeyxyXVV==K

ΔX=Vx·Δt

ΔY=Vy·Δt（1）假定進(jìn)給速度V是均勻的，即V為常數(shù)，對于直線函數(shù)來說,其分速度Vx、Vy必為常數(shù),且有下式Vx=K?XeVy=K?Ye（2）將(2)式代入(1)式，即為坐標(biāo)軸位移增量Δx=K?Xe?ΔtΔy=K?Ye?Δt（3）位移量為

取單位時間Δt=1，則公式化為t?ò=D==niteKXedtKXx10?ò=D==nietetKydtKyy10（3）Σ≥1走一步→Σ-1→Σ→余值作為下次累加的余值Σ+ΣKXe+ΣKYe→不斷累加不斷溢出溢出脈沖數(shù)符合(3)式得出接近理想的直線軌跡→→?????íì==??==nienieKyyKXX11數(shù)字積分器通常由函數(shù)寄存器和累加器等組成，其結(jié)構(gòu)框圖如圖所示。DDA直線插補把kXe和kYe值放入到JVX和JVY，每隔Δt時間發(fā)一個累加脈沖，函數(shù)寄存器中的值送累加器里累加一次，累加器的容量為一個單位長度，當(dāng)累加和超過累加器的容量時，便會產(chǎn)生溢出脈沖，每個溢出脈沖使各坐標(biāo)方向的移動部件移動一個單位的距離。經(jīng)數(shù)字積分器m次累加后，動點P到達(dá)終點。累加過程中產(chǎn)生的溢出脈沖總數(shù)等于所求的長度，也就是所求的積分值。累加多少次，才能達(dá)到加工終點呢？K=？

設(shè)經(jīng)過m次累加后，達(dá)到終點，由(3)式知，

m次累加后

X=m?K?Xe=XeY=m?K?Ye=Ye于是，必須使

m?k=1，或m=1/k

i.累加1/k次后，x、y方向同時到點溢出的脈沖總數(shù)

X=Xe,Y=Yeii.K與m互為倒數(shù)關(guān)系，m必須是整數(shù),故K必是小數(shù)。

確定m(K)：

每次累加，在每個軸上最多只能產(chǎn)生一個進(jìn)給脈沖。式(2)中的Δx,Δy相同地要小于等于一個脈沖當(dāng)量，即要求

KXe≤1KYe≤1

(Ⅰ),則必然滿足(I)式的條件。

Xe,Ye的最大允許值受系統(tǒng)字長的限制,假設(shè)系統(tǒng)字長為n，則Xe、Ye的最大允許值為2?-1，若取2?K=1累加次數(shù)累加次數(shù)若寄存器位數(shù)是n，則直線的整個插補過程要進(jìn)行2n次累加才能到達(dá)終點。解:例

設(shè)有直線OE，起點在原點，終點E(xe=5,ye=3)

累加器和寄存器的位數(shù)為3位，用DDA法實現(xiàn)插補。寄存器的位數(shù)為3位，其可寄存最大數(shù)值為7。用二進(jìn)制數(shù)表示時，起點坐標(biāo)為O（000，000），終點坐標(biāo)為E（101，011），當(dāng)累加結(jié)果大于等于1000時有溢出。

累加次數(shù)(Δt)X積分器Y積分器終點計數(shù)器JEJVXJRXΔXJVYJRYΔY

0101000011000000

1101000+101=101011000+011=0110012101101+101=10101011011+011=110010

3101010+101=111011110+011=10011011

4101111+101=11001011001+011=1001005101100+101=10011011100+011=1111016101001+101=110011111+011=101011107101110+101=10111011010+011=1011118101011+101=10001011101+011=100011000yx053E43212145

以第I象限順圓為例圓方程為：x2+y2=r2

對時間t求導(dǎo)由此設(shè)出第I象限順圓坐標(biāo)軸方向的速度分量為

Vx=Ky

Vy=－Kx

此式說明，速度分量是隨動點變化的。VVy

VxEAyx0二、DDA圓弧插補位移量

取單位時間Δt=1

則：

（4）

坐標(biāo)軸位移增量

由此構(gòu)成如圖所示的插補原理框圖例4.設(shè)有XY平面第一象限逆圓弧AB，起點A（5，0），終點B（0，5），所選寄存器位數(shù)n=3。若用二進(jìn)制計算，起點坐標(biāo)A（101，000），終點坐標(biāo)B（000，101），試用DDA法對此圓弧進(jìn)行插補。

累加次數(shù)(Δt)X積分器Y積分器

JVX(Y)JRXΔXJVY(X)JRYΔY

0000000101

1000000＋000＝000101000+101=101

2000000＋000＝000101101+101=10101

001

3001001＋000＝001101101+010=111

4001001＋001＝010101101+111=11001

010

5010010＋010＝100101101+100=10011

011

6011011＋100＝111101101+001=110

7011011＋111＝10101101101+110=10111

100100

8100100＋010＝110100100+011=111

9100100＋110＝10101100100+111=10111

101011

10101101＋010＝111011

11101101＋111＝11001011

101010

12101101+100=1001101000113101101＋001＝11000114101101+110=10111001000左移規(guī)格化如圖所示為對直線L1和L2進(jìn)行插補，如果寄存器位數(shù)是n，加工直線L1、L2都要經(jīng)過m＝2n累加運算，完成二條直線插補的時間是一樣的。因L1直線短，故進(jìn)給慢，速度低；L2直線長，進(jìn)給快，速度高。對于圓弧，則是半徑小時進(jìn)給速度慢，半徑大時進(jìn)給速度快。由此可知，DDA插補各程序段的進(jìn)給速度不一樣，這樣會影響加工的表面質(zhì)量。為了解決這一問題，使溢出脈沖均勻，提高溢出脈沖的速度，可采用的方法之一是“左移規(guī)格化”。

左移規(guī)格化“左移規(guī)格化”就是將被積函數(shù)寄存器中存放數(shù)值的前面零移去。直線插補時，當(dāng)被積函數(shù)寄存器中所存放最大數(shù)的最高位為1時，稱為規(guī)格化數(shù)，反之，若最高位為零，稱為非規(guī)格化數(shù)。處理方法是：將X軸與Y軸被積函數(shù)寄存器里的數(shù)值同時左移（最低位移入零），直到其中之一最高位為1時為止。若被積函數(shù)左移i位成為規(guī)格化數(shù)，其函數(shù)值擴大2i倍，為了保持溢出的總脈沖數(shù)不變，就要減少累加次數(shù)。被積函數(shù)擴大一倍，累加次數(shù)減少一倍。圓弧插補左移規(guī)格化與直線不同之處：被積函數(shù)寄存器存放最大數(shù)值的次高位是1為規(guī)格化數(shù)直線和圓弧插補時規(guī)格化數(shù)處理方式不同，但均能提高溢出速度，并能使溢出脈沖變得比較均勻。5.4.3數(shù)據(jù)采樣插補特點：分二步進(jìn)行：粗插補和精插補粗插補：在給定起點和終點的曲線中間插入若干個點，用若干微小直線段來逼近給定曲線，每一微小線段的長度相等，且與給定的進(jìn)給速度有關(guān)。精插補：在粗插補時算出的每條微小直線段上再做“數(shù)據(jù)點的密化”工作。適用于以直流或交流伺服電機驅(qū)動的閉環(huán)或半閉環(huán)位置采樣控制系統(tǒng)。一.

時間分割法基本思想通過速度計算程序?qū)⑦M(jìn)給速度V分割成插補周期的輪廓步長f，然后進(jìn)行插補計算，送出各坐標(biāo)軸的周期進(jìn)給增量。例：System－7CNC系統(tǒng)采用時間分割法，插補周期為8ms即在每次8ms插補中斷服務(wù)后，調(diào)用一次插補程序。1、直線插補

設(shè)要求刀具在XOY平面作直線運動，由0點運動到P點，則X軸和Y軸的移動增量為Xe和Ye。插補時，取增量大的為長軸，增量小的為短軸。要求X、Y軸的