小學奧數(shù)之容斥原理

容斥原理（一）

【例題分析】

例1.有長8厘米，寬6厘米的長方形與邊長5厘米的正方形。如圖放在桌面上,

求這兩個圖形蓋住桌面的面積？

分析與解：陰影部分是直角三角形，是兩個圖形的重疊部分，它的面積

是：

4x3-2=6（平方厘米）

方法一："6+52-6=67（平方厘米）

方法二：8<66*53=67（平方厘米）

方法三：52-6+3x6=67（平方厘米）

答：蓋住桌面的面積是67平方厘米。

例2.六一班參加無線電小組和航模小組的共26人，其中參加無線電小組的有

17人，參加航模小組的有14人，兩組都參加的有多少人？

分析與解：把17人和14人相加，是把兩組都參加的人算了兩次，所以

減去總人數(shù)，就是兩組都參加的人數(shù)17+14-26=5（人）。

也可以這樣解：17-（26-14）=5（人）

或14-（26-17）=5（人）

答：兩組都參加的有5人。

無\航

17人\1)14A

26人

例3.六一班有學生46人，其中會騎自行車的有19人，會游泳的有25人，既

會騎車又會游泳的有7人，既不會騎自行車又不會游泳的有多少人？

分析與解：先求出46人中會騎車或會游泳的有多少人，從中減去會騎車

或會游泳的人數(shù)，剩下的就是既不會騎車也不會游泳的人數(shù)。

19+25-7=37（人）

46-浦=9（人）

答：既不會騎車又不會游泳的有9人。

例4.某年級的課外小組分為美術、音樂、手工三個小組，參加美術小組有20

人，參加音樂小組有24人，參加手工小組有31人，同時參加美術和音樂兩個小

組有5人，同時參加音樂和手工兩個小組有6人，同時參加美術和手工兩個小組

的有7人,三個小組都參加的有3人,這個年級參加課外小組的同學共有多少人？

分析與解：圖中的5、6、7人都是兩兩重疊的部分，圖中的3人是三個重疊

的部分，要從三個組的總人數(shù)中減去重復多余的部分。

20+24+31-5-6-7+3=60（人）

答：這個年級參加課外小組的有60人。

例5.某班在短跑、投擲和跳遠三項檢測中，有4人三項都未達到優(yōu)秀，其他人

至少有一項是優(yōu)秀，下表是得優(yōu)秀的情況，請你算出全班人數(shù)。

短跑投擲跳遠跑跳跑投跳投三項

19212091063

分析與解：根據(jù)題意畫出如下圖

要求全班有多少人，先要求出跑、跳、投至少有一項達到優(yōu)秀的人數(shù)，

加上三項都未達到優(yōu)秀的，就是全班人數(shù)。

19+21+20-9-10-6+3=38（人）

38+4=42（人）

答：全班有42人。

例6.分母是105的最簡真分數(shù)有多少個？

分析與解：這些分數(shù)是最簡真分數(shù)，所以分子應小于105,只能是1—104

中的自然數(shù)，而且分子與105要互質。因為1。5=3/5>7,所以分母不能是3

的倍數(shù)或5的倍數(shù)或7的倍數(shù)。所以，要求有多少個最簡真分數(shù)，實際上就是求

1—104這104個自然數(shù)中不能被3、5、7整除的數(shù)有多少個。因此要先求出能

被3整除或能被5整除或能被7整除的數(shù)有多少個。

能被3整除的數(shù)：104+3=34（個）

能被5整除的數(shù)：】04+5=20（個）

能被7整除的數(shù)：】04+7=】4（個）

能同時被3和5整除的數(shù)：】04+（3x》=6

能同時被3和7整除的數(shù)：104+（3x7）=4

能同時被5和7整除的數(shù)：104+（5x7.）=2

34+20+14-6-4-2=56（個）

104-56=48（個）

答：分母是105的最簡真分數(shù)有48個。

【模擬試題】（答題時間：30分鐘）

1.有三個面積各為50平方厘米的圓放在桌面上，兩兩相交的面積分別是8、10、

12平方厘米，三個圓相交的面積是5平方厘米，求三個圓蓋住桌面的面積？

2.某區(qū)有100名外語教師懂英語或日語，其中懂英語的有75名，既懂英語又懂

日語的有20人。只懂日語的有多少名？

3.某班數(shù)學測驗時有10人得優(yōu)，英語得優(yōu)有12人，兩門都得優(yōu)有3人，兩門

都沒得優(yōu)的有26人。全班有多少人？

4.六年級一班春游，帶礦泉水的有18人，帶水果的有16人，這兩種至少帶一

種的有28人，求兩種都帶的有多少人？

5.在1至100的自然數(shù)中，不能被2整除的數(shù)或不能被3整除或不能被5整除

的數(shù)共有多少個？

容斥原理（二）

【例題分析】

例1.有25人參加跳遠達標賽，每人跳三次，每人至少有一次達到優(yōu)秀。第一

次達到優(yōu)秀的有10人，第二次達到優(yōu)秀的有13人，第三次達到優(yōu)秀的有15人,

三次都達到優(yōu)秀的只有1人。只有兩次達到優(yōu)秀的有多少人？

分析與解：“每人至少有一次達到優(yōu)秀”說明沒有三次都沒達到優(yōu)秀的。

要求只有兩次達到優(yōu)秀的人數(shù)，就是求重疊兩層的部分（圖中陰影部分）。

一次二次

I認典.1認

三次

\_____________,,,____________

25人

10+13+15-25-1x2=11（人）

答：只有兩次達到優(yōu)秀的有n人。

例2.在一個炎熱的夏日，幾個小朋友去冷飲店，每人至少要了一樣冷飲，其中

有6人要了冰棍，6人要了汽水，4人要了雪碧，只要冰棍和汽水的有3人，只

要冰棍和雪碧的沒有，只要汽水和雪碧的有1人；三樣都要的有1人。問：共有

幾個小朋友去了冷飲店？

分析與解：根據(jù)題意畫圖。

方法一：6+6+4-(3+1)-(0+!)-(1+1)+1=10(人)

方法二：6+6+4-3-1-1*2=】0(人)

答：共有10個小朋友去了冷飲店。

例3.有28人參加田徑運動會，每人至少參加兩項比賽。已知有8人沒參加跑

的項目，參加投擲項目的人數(shù)與參加跑和跳兩項的人數(shù)都是17人。問：只參加

跑和投擲兩項的有多少人？

分析與解：“每人至少參加兩項比賽”說明沒有不參加的，也沒有參加

一項比賽的，我們可以在下圖中參加一項的區(qū)域用0表示。

28-17-8=3（人）

答：只參加跑和投擲兩項的有3人。

例4.某校六年級二班有49人參加了數(shù)學、英語、語文學習小組，其中數(shù)學有

30人參加，英語有20人參加，語文小組有10人。老師告訴同學既參加數(shù)學小

組又參加語文小組的有3人，既參加數(shù)學又參加英語和既參加英語又參加語文的

人數(shù)均為質數(shù),而三種全參加的只有1人,求既參加英語又參加數(shù)學小組的人數(shù)。

分析與解：根據(jù)已知條件畫出圖。

49人

三圓蓋住的總體為49人，假設既參加數(shù)學又參加英語的有x人，既參加

語文又參加英語的有y人，可以列出這樣的方程：30+20+1。_不_千_3+1=49

整理后得：x+y=9

由于x、y均為質數(shù)，因而這兩個質數(shù)中必有一個偶質數(shù)2,另一個質數(shù)

為7。

答：既參加英語又參加數(shù)學小組的為2人或7人。

例5.某班同學參加升學考試，得滿分的人數(shù)如下：數(shù)學20人，語文20人，英

語20人，數(shù)學、英語兩科滿分者8人，數(shù)學、語文兩科滿分者7人，語文、英

語兩科滿分者9人，三科都沒得滿分者3人。問這個班最多多少人？最少多少人？

分析與解：根據(jù)題意畫圖。

設三科都得滿分者為X

全班人數(shù)=20+20+20-7-8-9+X+3

整理后：全班人數(shù)=39+x

39+x表示全班人數(shù)，當x取最大值時，全班人數(shù)就最多，當x取最小值

時，全班人數(shù)就最少。x是數(shù)學、語文、英語三科都得滿分的同學，因而x中的

人數(shù)一定不超過兩科得滿分的人數(shù)，即x07.x08且刀與9,由此我們得到

x<7o另一方面x最小可能是0,即沒有三科都得滿分的。

當X取最大值7時，全班有（39+7=）46人，當X取最小值0時，全班有

（〈9+0=139人。

答：這個班最多有46人，最少有39人。

【模擬試題】（答題時間：30分鐘）

2

1.六年級共有96人，兩種刊物每人至少訂其中一種，有二的人訂《少年報》，

2

有5的人訂《數(shù)學報》，兩種刊物都訂的有多少人？

2.小明和小龍兩家合住一套房子，門廳、廚房和廁所為公用，在登記住房面積

時，兩家登記表如下表（單位：平方米）

姓名居室門廳廚房廁所總面積

小明14128438

小龍20128444

他們住的一套房子共有多少平方米?

3.某班45名同學參加體育測試，其中百米得優(yōu)者20人，跳