高中數(shù)學空間向量的數(shù)量積運算

高中數(shù)學空間向量的數(shù)量積運算

目錄

??【考點梳理】................................................................1

??【題型歸納］................................................................3

????【雙基達標】................................................................4

????一、單選題..............................................................4

????【高分突破】................................................................6

????—：單選題..............................................................6

????二、多選題..............................................................8

??????三、填空題.............................................................9

??????四、解答題............................................................10

????【答案詳解】...............................................................12

【考點梳理】

考點一空間向量的夾角

1.定義：已知兩個非零向量a,b,在空間任取一點0,作0A=a,6fe=b,

則zAOB叫做向量a,b的夾角，記作〈a,b).

TT

2.范圍：Ow<a,b)<IT.,當〈a,b)=2時，a_Lb.

考點二空間向量的數(shù)量積

定

義已知已知兩個非零向量a,b,則|a||b|cos(a,b)叫做a,b的

兩個非數(shù)量積，記作a-b.

零向量即a-b=|a||b|cos〈a,b).

a,bf規(guī)定：零向量與任何向量的數(shù)量積都為0.性質①a_Lb=a-b=

則0

|a||b|c

第1頁共27頁

os〈a,

b〉叫做

a,b的

數(shù)量

積，記

作a-b.

性

質

①aJ_b=a?b=0

①a，

②a?a=a2=|a|2運算律①（入a）?b=Ma?b）,AeR.

b=a?b

=0

運

算律

①（入a）?b=；^（a-b）,AGR.

①（入a）

②a-b=b-a（交換律）.

?b=

③2?9+（：）=2心+2（（分配律）.

入（a?b）,

入€R.

考點三向量a的投影

1.如圖(1),在空間，向量a向向量b投影，由于它們是自由向量，因此

可以先將它們平移到同一個平面a內(nèi)，進而利用平面上向量的投影，得到與向

量b共線的向量c,c=|a|cos〈a,b)音，向量c稱為向量a在向量b上的投

影向量.類似地，可以將向量a向直線1投影(如圖(2)).

2.如圖(3),向量a向平面0投影，就是分別由向量a的起點A和終點B

作平面0的垂線，垂足分別為A',B',得到一次3一,向量一篦/一稱為向量a

在平面0上的投影向量.這時，向量a,—I79—的夾角就是向量a所在直線與

平面0所成的角.

第2頁共27頁

A

(1)(2)(3)

【題型歸納】

題型一：空間向量的數(shù)量積的運算

1.已知空間中非零向量。，b,且H=2,卜|=3,<&>>=60。，則卜”一3目的

值為（）.

A.質？?B.97??C.府？?D.61

2.平行六面體（底面是平行四邊形的棱柱）ABCQ-A4GR中，

ZA.AB=ZA,AD=ZBAD=60°AB=AD^\,人弓=而，則（）

A.1??B.行??C.2??D.4

3.在底面是正方形的四棱柱4BCO-A&CQ中，AB=1,BB,=2,

7TIUUITI

幺則明=（

5H）

A.3??B.M??C.G??D.2

題型二：空間向量的數(shù)量積的應用（夾角和模）

NAO3=/AOC=-

4.如圖所示，空間四邊形O3C中，08=0C,3,則cos<OA,

8C>的值是（）

（aA=—,則空間向量。在向量方

5已知同=4,空間向量e為單位向量,W,e-3e

第3頁共27頁

向上的投影的數(shù)量為（)

_11

A.2??B.-2??C.2??D.2

6.如圖，在四棱錐中，底面為平行四邊形，且A8=AP=6,

AD=2,ZBAD=ZBAP=ZDAP=60°,E,F分別為PB,PC上的點，且PE=2EB,

PF=FC,網(wǎng)=()

A.1??B.啦??C.2??D.瓜

??.【雙基達標】

??.1.一、單選題

7.已知非零向量出》不平行，并且其模相等，則與之間的關系是

（）

A.垂直??B.共線??C.不垂直??D.以上都可以

8.已知均為單位向量，它們的夾角為60。，那么卜"叫=（）

A.不??B.M

C.屈??D.4

9.如圖，在平行六面體A88-A4GR中，AB=AD=],

|UUIT|

A4,=42,^BAA]=ZDAA,=45,^BAD=60,貝心6|二（）

第4頁共27頁

3

A.1??B.K??C.9??D.3

10.已知空間向量”，b,c滿足a+b+c=0,，1=1,W=2,M=”,則與

。的夾角為（）

A.30°??B.45°??C.60°??D.90°

11.己知四面體ABC。中，AByAC、4。兩兩互相垂直，則下列結論中不

成立的是（）.

A\AB+AC+AD\=\AB+AC-AI^

B|AB+AC+AD|2=|AB|2+|?AC|：+\AD^

C（AB+AC+4D）.8C=0

D.ABCD^ACBD^ADBC

12.空間四邊形ABC。各邊及對角線長均為E,F,G分別是AB,AD,

OC的中點，則GE.GF=()

_1_e

A.2??B.l??c.應？?D.2

13.已知是夾角為60。的兩個單位向量，則與b=e-2e2的夾角

是（）

A.60°??B.120°??C.30°??D.90°

14.已知四棱柱"CD-ABCa的底面ABC。是矩形，

7T|UUIT|

AB=\9AD=AA]=2yZA]AD=ZA]AB=-則卜（

A.2國?B,4??C.3亞？?D.亞

第5頁共27頁

15.已知平行六面體■中，AB=4,AD=3,AA'=5,

ZBAD=9Q,ZBAA'=ZDAA'=60.則4。的長為()

A.病??B.歷??C.12??D.2聞

16.如圖在長方體A3CQ-A4CQ中，設AD=M=1,AB=2,則叫工。等

于()

A.1??B.2??C.3??D.3

??.【高分突破】

??.1.—:單選題

17.已知空間向量。=(3,0,e，〃=(-3,2,5),則向量6在向量。上的投

影向量是()

11(_311(_311(311(3

A.25.,2,5)??B.38,,2,5)??C.25,。，4)??D.38,。，4)

18.平行六面體(底面為平行四邊形的四棱柱)ABCC-ABCQ所有棱長都

為］,目ZA.AD=4AE=60",NDAB=45°,則\BD\=

t)

A.\/3-1??B.&T??C./3-丘??D.百一&

19.如圖，空間四邊形ABC。的每條邊和對角線長都等于1,點尸，G分別

是AE),CD的中點，則FGAB=()

第6頁共27頁

且J_I蟲

A.4??B.4??c.2??D.2

20.設〃、為空間中的任意兩個非零向量，有下列各式:

.2I|2a，b_b2.22/\222

①°；@T=?.③（a"'）="h.④=u~-2ab+b\

其中正確的個數(shù)為（）

A.1??B.2??C.3??D.4

21.已知在平行六面體MCQ-ABCTy中，A8=3,AD=4,AA'=5,

N8AD=120°,ZBAA'=60°,ND4A=90°,則AC'的長為（）.

A.50??B.56??C.底??D.屈

22.如圖，在四棱錐P-ABC。中，底面A3。是邊長為1的正方形，側棱以

的長為2,且以與4B,的夾角都等于60.若M是PC的中點，則|8育|=()

瓜戈娓底

A.27?B.3??c.47?D.5

23.如圖在平行六面體AB8-ABCQ中，底面48co是邊長為1的正方形,

側棱e=2且NAAO=NAAB=60。，則AG=()

第7頁共27頁

DiG

A.2^2??B.而？？C.2g??D.V14

24.在棱長為2的正四面體A3。中，點M滿足

AM=xAB+yAC-(x+y-l)AD點N滿足BN=4a4+(l-/l)BC,當AM、BN最短

時，AM-MN=()

A.3??B.3??C.3??D.3

??.2.二'多選題

25.已知ABCD-ABCR是正方體，以下正確命題有()

A(AA+AA+ABJ=34屋.??Bac(A4-AA)=o.

min

C.向量A。與向量AB的夾角為60。；??D.正方體A8CO-ABCQ的體積為

\ABAA,AD\

26.正方體AB。-44GA的棱長為a,則下列結論正確的是()

22

AAB\C}=-a??BBDBD,=2a

22

QAC-BA]=—a77j~jAB-ACt=2a

27.已知ABCD-A1B1C1D1為正方體，下列說法中正確的是()

(AA+AQ+A8j2=3(A￡『

A?

B年(4耳-44=0

C.向量ADi與向量AB的夾角是60。

第8頁共27頁

D.正方體ABCD-A1B1C1D1的體積為

28.如圖，一個結晶體的形狀為平行六面體ABS-ABCQ,其中，以頂點

A為端點的三條棱長都相等，且它們彼此的夾角都是60。，下列說法中正確的是

()

AC,（AB-AD）=Q

如

C.向量8。與小的夾角是6(r??D.8。與AC所成角的余弦值為3

??.3.三、填空題

29.設“，b,C是單位向量，且9=0,則(“-C)?伍一?)的最小值為

30.已知9是空間兩個向量，若卜|=2,小牛-。卜近，則cos”)=

31.如圖所示，已知空間四邊形ABC。的每條邊和對角線長都等于1,點E,

F,G分別是A3,AD,CO的中點，則所?54=.

32.如圖，在平行六面體ABCQ-4BCR中，底面是邊長為2的正方形，若

第9頁共27頁

NAAB=NA">=60。，且AA=3,則AC的長為

A

??.4.四'解答題

33.如圖，在正方體ABCD—A1B1C1DI中，CD1和DC1相交于點0,連接

A0.求證：A01CD1.

34.如圖，已知空間四邊形ABCD的每條邊和對角線長都等于a,點E、F,

G分別是AB、AD、DC的中點.求下列向量的數(shù)量積：

UUUUUU1UIWUUU

ABAC.(2)ADBD.(3)GF-AC.(4)EF?BC.

第10頁共27頁

35.如圖，在平行六面體中，AB=4,AD=3,AA'=5,

ZBAD=90°,ZBAA'=^DAA'=60°.求:

(3)A。'的長.

36.在空間四邊形O4BC中，E是線段8C的中點，G在線段AE上，且

AG=2GE

(1)試用°4°B，℃表示向量OG；

(2)若OA=2,OB=3,OC=49ZAOC=ZBOC=60°fZAOB=90°9求0GA8

第11頁共27頁

的值及附1

??.【答案詳解】

1.C

【詳解】

慳-3@=（2a-36）=4）+9//-124/=4x4+9x9-12忖.1小。$600

=97-12x2x3x1=61

2,

松_34=屈

故選：C.

2.C

【詳解】

第12頁共27頁

平行六面體（底面是平行四邊形的棱柱）ABS-ABCQ中,

AG=vn,作圖如下:

令AD=BC=bfM=CG=c,

，同=卜而，設即

則<a,b>=<a,c>=<b,c>=60°W=1,AA=f,ld=r,

,「■_______,0..

222

illAC}=AB+AD+AA^=a+b+c得AC1=a+b-^-c+2a-b-^2a-c+2b'C

11—1+1+廣+2x1x1x—F2x1x/x—F2x1xfx———>t~+21—8=0

即222

解得：f=2或（舍去），即艱=2.

故選：C.

3.A

因為四棱柱ABCQ-ABCQ中，底面是正方形，AB=\,BB\=2

UUUUUUHLlLUlUULUlLlllLIlUUll

ijiijAC=AG+C]C=A°+A4+AA

iiiuiriluuiuniiiiimuiuriiunmuuunuuux2

所以|AC|=|AR+A與+AA4R+AA+AA)

iiuuuiuuif|2uuunUULUuuinnuuiruuimuur

AB,AA+2AQ.AN+2AQ.AA+2Aq.A/

[iUiniin||Uuiii|uuumiiuuirUUIII||UUII

『+『+22+2ARA同cos^+2|/41DI||A|A|cosZAA1￡>1+2|4叫|4半。$/e8]

6+4cos卜一/+4cos(1一=V6-4=>/2

第13頁共27頁

故選：A.

4.A

OB=OC,

OA-BC=OA(OC-OB)=OAVC-OAOB=OA\\OCcos--OA

3

cos<OA,BC>=0,

故選：A

5.B

【詳解】

由題意，同同用#,

則空間向量”在向量e方向上的投影為向時

故選:B.

6.B

【詳解】

?：PE=2EB,PF=FC,

—————1一一一

EF=EB+BA+AP+PF=--BP-AB+AP+-PC

32

^^(AP-AB)-AB+AP+^(AB+BC-AP)=-^AP-AB)-AB+AP+^(AB+AD-AP)

=--AB+-AD+-AP

626

又A3A0=40A￡>=6x2xcos60°=6,ABAP=6x6xcos60°=18,

I\(111Yfi2i22i

EF=J一一A8+-AO+-AP=d—AB+-AD+—AP一一ABAD一一ABAP+-ADAP

1Vv626JV364366186

J—x36+—x4+—x36-—x6--xl8+—x6=Q

V364366186

第14頁共27頁

7.A

因為（"+匕）?（。-匕）=/-4="2—忖2=。，

(a+6)_L(a-6

所以

故選：A

8.C

【詳解】

卜/+30=J(a+3b)=yja+6ab+9b+6p/|-|fr|cos60°+9|/?|

=Jl+3+9=舊

故選：C

9.D

【詳解】

在平行六面體A8CD-44CQ中，

有AC=AB+A￡>,ACI=AC+AA,=AB+AD+AA]?

由題知，AB=AD=\,M=夜，^BAAl=ZDAAl=45/8A￡>=60,

所以.卜M=l,陷=血，48與A。的夾角為ZB4D=60°,

48與44的夾角為/8M=45。，A￡)與74A的夾角為‘4A，=45°,

所以

AC；

=(A3+AO+A41y

=|何+1AO『+同『+2A8.AD+2AB.AA+2皿A%

=1+1+2+2x1x1xcos60°+2x1x夜xcos45°+2x1x\/2xcos45°

=9.

所以阿=3.

故選：D.

10.C

設。與方的夾角為8.由〃+Hc=0,得〃+6=-c,兩邊平方，得

第15頁共27頁

-222

a+2。?力+匕=c,

cose」

所以l+2xlx2cos，+4=7,解得c"-2,又禮所以0=60,

故選：C.

11.C

【詳解】

QAB、AC、AO兩兩垂直，則可得A8LCD、AC1BD,ADVBC,

tK.HUUUU

且A8-AC=0、AB-AO=0、ACAD=0yAC-8O=0、ADBC=0,

:A、B、D選項均正確，

故選：C.

12.A

【詳解】

空間四邊形ABC。各邊及對角線長均為近，

所以四邊形A8CZ）構成的四面體4?。是正四面體，四個面是等邊三角形,

因為E,F,G分別是AB,AD,的中點，

-ACHFG

所以AC//FG,2

GE=GB+BE=--(BC+BD)+^BA

GF=-CAGEGF=--(BC+BD-BA\CA=--(BCCA+BDCA-BACA

2,所以4<,

=-^BCCA+BD(BA-BC)-BACA^

=-^BCCA+BDBA-BDBC-BACA

=-^-(|BC|-|CA|COS120+|BD|.|BA|COS60-|?D|-|?C|COS60-網(wǎng)?畫COS60)

故選：A.

第16頁共27頁

A

13.B

13

.2c2=1—lx1x-----2----

由題意得此二的+句干二與二臼—/一？々2=2,

?a|_'fa'=J(ei+e2，=\lei+2eiei+ei=71+1+1=6

?/7|_=J(ei-Ze?)。=Je；-4ei-e2+4區(qū)=Jl-2+4=G

_3

ab_21

...cos(聞=麗

(n,b)=120o

故選:B.

14.D

【詳解】

,G卜|A8+AO+A4t卜“CB+AD+A41y

12

^^AB+AIT+AA^+2(ABAD+ABAAl+ADAAl)

=^1+4+4+2(0+1+2)=715

故選：D

15.A

【詳解】

,15

-..b'c——i?

r

rz=AB9b=AD,c=AAf則a.〃=4x3xcos9()o=0,同理2,ac=l09

第17頁共27頁

由空間向量加法法則得AC="+"c,

[A。]=(a+8+cP=/+￡+J+2〃.b+2Z??c+2a?c=4~+3~+5-+2x萬+2x10=85

JA4病，即AC=病

故選：A.

16.A

【詳解】

由長方體的性質可知AD±AB,AD±,AD//BC,AD=BC=\

BD、=BA+BC+BB[

BDAD=(BA+BC+BB)AD=BAAD+BCAD+BB,-AD

所以tt

=O+BC2+0=1

故選：A

17.C

【詳解】

解：向量。=(3,0,幻，b=(-3,2,5),

則M=5,M卜屈，ab=ll,

所以向量匕在向量。上的投影向量為

|/?|cos(tv,7?)y^7==^^8x—!-^=x—=-6z=—(3,0,4)

11''\a\?弓帆向5x^38525251'''

故選：C.

18.C

【詳解】

如圖：

第18頁共27頁

加=(AO-A8+AA)2

222

=AB+AD+M-lABAD-lABAA.+lADAA,

=l+l+l-2xlxlxcos45°-2x1x1xcos60+2xlxlxcos60

=3-0

:\BRI=年夜

，

19.B

FG=-ACFG-AB=-AC-AB=-xlx\xcos60°=-

2224.

故選：B

20.B

a=|^|cos0=|?|

對于①,①正確；

b_

向量不能作比值,即7錯誤，②錯誤；

對于③,設〃、的夾角為巴則(則Fl桃cos?/常溫"/.￡

③錯誤；

/\222

對于④，由空間向量數(shù)量積的運算性質可得("一外="-2。為+6,④正確.

故選:B.

21.D

【詳解】

解：在平行六面體AB8-AECD中，因為AC；=A8+AO+AW,所以

|ACT=(A8+AD+AA')2=\AB\2+\AD\2+\AA'\2+2AB-AD+2AB-AA'+2AD-A4(

=9+16+25+2x3x4xcosl200+2x3x5xcos600=50-12+15=53

第19頁共27頁

所以|AC，|=庖.

22.A

【詳解】

->->TTT->

記AB=a,AD=b,AP=c,

因為A8=AO=1,PA=2,

—>—>—>

所以l"l=l切=1,|c|=2.

又因為AB_LAO,ZPA8=/PA￡)=60°,

所以。?/?=0,。?右=/?-c=2xlxcos60°=1

-?-(-a+h+c)

易得BM—2,

所以

IBM|2=；(-a+6+c>=；[。2+b2+c2+2x(-a-b-a-c+b

=^-X[12+12+22+2X(0-1+1)]=|

所以

故選：A

23.B

解：因為底面ABC。是邊長為1的正方形,側棱①=2且乙精。=幺AB=60。,

則癡=1,AD2=1,招2=4,落.罰=0,A8.A4,=網(wǎng)JM.cosZ4A3=1,

ADAA,=|AD|-|A41|-coszL4lAr>=l

則Ml

=\AB+AD+AA\

^AB+AD+AA,')

222

=^AB+AD+AA,+2AB-AAl+2AB-AD+2AD-AAt

=11+1+4+2+0+2

=Vio

第20頁共27頁

故選：B.

24.A

因為點M滿足AM=xA8+)，AC-(x+y-l)AZ),

所以Me平面BCD

因為點N滿足BN=MA+(IT)BC,

所以Nw直線AC,

若4W、8N最短時，則AM_L平面BCD,BNLAC,

所以M為△88的中心，N為AC的中點，

,..i25/3

MCr=---

此時3,

,:AM_L平面BCD,MCu平面BCD,

.-.AMLMC,

回=逃

.JMAl=y/l_AC_I2_-I_MC_I2=1\[3)3

MN=-(MC+MA)

又2,

114

AM-MN=-(AM-MC+AM-MA)=一-|M47『二——

223.

故選：A.

25.AB

【詳解】

/:/5

(■

A：AA，AQ，AB|兩兩垂直,且1AA|=|AQ1=14始1,所以

第21頁共27頁

/\222.22

(AA+40+4A)=AA+n+A4+2AA?AA+240,A4+24A?4q=3A4正

確；

B：由ae=AA+AA+A4,所以

AA)=(AA+AR+A4>(A4—AA)

—AA.A4+A。1,Aq+A8]—Aa—AD、?AA+48].AA=A4—A^A=0,正確.

C:由正方體性質知：AOL面A88M,而A8u面A8BM,即AO'AB,即向

UUU

量A。與向量AB的夾角為90。，錯誤；

D：由圖知：A8-AVA￡>=0,正方體ABCD-AMCQ的體積不為IA8.AVAOI,

錯誤；

故選：AB.

26.BC

如下圖所示：

對于A選項，A'TG=ABAC=g（4B+A￡>）=AB=/,人選項錯誤；

對于B選項，

BDBD,=（AD-AB）（BD+00^=（AD-AB）（AD-AB+AA）=AD2+AB2=2a2、比T否

'八，'八i）9D選項

正確；

對于C選項，而再=（加利（麗一碼=一附7,C選項正確；

對于D選項，就相=醺.國+小詞=褶”：D選項錯誤.

故選：BC.

27.AB

【詳解】

22

由向量的加法得到：AA+AR+A4=AC,...AC=3AE,JAIC）=3（A,BI）>

第22頁共27頁

所以A正確；

?

??A4-AA=A&,AB11A1C,..A1CAB,=O)故B正確；

???△ACDl是等邊三角形，??ZAD1C=60。，又A1B||D1C,???異面直線AD1與

A1B所成的夾角為60。，但是向量AD與向量4'的夾角是120。，故C不正確;

???AB1AA1,.收鵬=°,故河..叫=0,因此D不正確.

故選：AB.

28.AB

【詳解】

以頂點A為端點的三條棱長都相等，它們彼此的夾角都是60°,

AA-AB=AA.■AD=AD-AB=1x1xcos60°=—

可設棱長為L則2

\2.->->2

AA.+AB+4。)=AAj+AB~+AD~+2AAl-AB+2AB?AD+2AA1?AD

=l+l+l+3x2x—=6

2

而2(AC)。=2(A3+=2,+A￡>2+2AB.AO

=2(l+l+2x；)=2x3=6

所以A正確.

AC；AO)=(M+AB+AD).(AB-AO)

=AAAB-AAAD+AB2-ABAD+ADAB-AD'

]l=0,所以B正確.

向量gc=M,

顯然△AA。為等邊三角形，則乙4Az)=60。.

所以向量與AA的夾角是120。，向量8。與AA的夾角是120。,則C不正確

又的=A￡>+A4,-AB,AC=AB+AD

|BDt|=J^AD+AA,-ABY|AC|=J(A8+

BD,■AC=(AO+A4t-AB).(A8+AO)=I

/nn“\BD}AC1網(wǎng)

cos(BDpAC)=!----=—j=——f==——

所以\BD,\\AC\V2XX/36,所以D不正確.

第23頁共27頁

故選：AB

29.1-立?

【詳解】

a力=0,且a,b,c均為單位向量，

|a+Z>|=+5)=\Ja~+b2+2a-b=\J\2+12+2x0=>/2

.(Q-c)gc)=ab-{a+b^c+c2=1-(Q+Z>).C

設a+b與c的夾角為0,

(a--cj=l-|a+i?||c|cos0=1->/2cos0

則

故（d-0,伍v）的最小值為1.71

故答案為：5

1

30.8

因為忖=叫=2,|*=近,

所以（。叫2=同-2"."四=7

ab=-

解得2,

所以"3箭

故答案為：8

31.4

【詳解】

設AB=a,4C=6,A。=c,則卜卜M=K卜1且兩兩夾角為60°

1

ab=bc=a-c=—

所以2

第24頁共27頁

叫叫何一AB——

c-a\a

EFBA=—c-a-a

所以2~24

故答案為:4

32.石

【詳解】

因為A。=A^A+AC=A]A+