電路分析 第九章-正弦穩(wěn)態(tài)功率和能量

1§9-1基本概念§9-4單口網(wǎng)絡(luò)的平均功率功率因數(shù)§9-5單口網(wǎng)絡(luò)的無(wú)功功率和視在功率§9-7正弦穩(wěn)態(tài)最大功率傳遞定理§9-2電阻的平均功率§9-3電感、電容的平均儲(chǔ)能第九章正弦穩(wěn)態(tài)功率和能量2第9章正弦穩(wěn)態(tài)功率和能量學(xué)習(xí)目的：掌握正弦穩(wěn)態(tài)電路的功率計(jì)算。學(xué)習(xí)重點(diǎn)：計(jì)算平均功率、無(wú)功功率、視在功率、功率因數(shù)。學(xué)習(xí)難點(diǎn)：負(fù)載獲得最大功率。關(guān)鍵詞：功率、功率因數(shù)。3

若在dt時(shí)間內(nèi)，由a點(diǎn)轉(zhuǎn)移到b點(diǎn)的正電荷為dq，且由a到b為電壓降u，則正電荷失去的能量，即ab段電路消耗或吸收的能量為

dw=u?dq

p(t)>0時(shí)，電路吸收功率

p(t)<0時(shí)，電路放出功率1.能量瞬時(shí)功率

p(t)=dw/dt=udq/dt=uiiu+–ab在關(guān)聯(lián)參考方向下§9-1基本概念2.功率N0+–i(t)u(t)4

R:p

=

u·i=i2R>

0耗能元件L、C:p

>0吸收功率

p

<0釋放功率

儲(chǔ)能元件w(t)

=∫t0p(t

)dt消耗或吸收的能量為3.元件功率51.瞬時(shí)功率+u

i設(shè)：u(t)

=

Umcos

ti(t)

=

Imcos

t

p(t)

=

u·i

=

Umcos

t

Imcos

t

=

UmImcos2(

t

)UmIm[cos(2

t)+1]=12(2)

p

>

0，電阻消耗能量。

(1)

p

隨時(shí)間變化按正弦規(guī)律變化，變化的角頻率為2

，是電壓或電流角頻率的2倍。

0

tipuu·i·pπ2π§9-2電阻的平均功率結(jié)論：62.平均功率(有功功率）

P

=T1∫T0UmIm12UmIm[cos(2

t)＋1]dt12=P

=

I2RR

U2P

=電阻平均功率的大小與電流的頻率及初相角無(wú)關(guān)！進(jìn)一步：71p(t)

=

Umcos

t

Imsin

t

=2UmImsin2

t

0

tipuu·i·pπ2π

A.p按正弦規(guī)律變化，變化的角頻率為電壓或電流角頻率的兩倍。

B.p>0吸收功率；p<0放出功率。P

=

0，

不消耗電能

(2)平均功率結(jié)論：-

+uiL設(shè):u(t)

=

Umcos

ti(t)

=

Imcos(

t–90o)§9-3電感、電容的平均儲(chǔ)能1.電感元件（1）瞬時(shí)功率

8（4）貯能w(t)=12Li2(t)=12LIm2sin2

t

=14LIm2(1-cos2

t

)LIm2

=14LIm2cos2

t

14平均貯能：LIm2=WL

=14LI212(3)瞬時(shí)功率的最大值—無(wú)功功率：無(wú)功功率QL反映了電感與電源之間能量交換的規(guī)模。單位為乏爾(var)

。QL

=

UI

=LI2=2WL無(wú)功功率又可表示為：i(t)

=

Imcos(

t–90o)9（1）瞬時(shí)功率

A.p按正弦規(guī)律變化，變化的角頻率為電壓或電流角頻率的兩倍

B.p>0吸收功率；P<0放出功率P

=

0不消耗電能

(2)平均功率21p(t)

=

–

Umcos

t

Imsin

t

=–UmImsin2

t

UIsin2

t

=–2.電容元件設(shè):i(t)

=

Imcos(

t–90o)u(t)

=

Umcos(

t–180o)-

+uiC0

tipuu·i·pπ2π結(jié)論：10(3)瞬時(shí)功率的最大值—無(wú)功功率（4）貯能平均貯能：瞬時(shí)能量QC

=–

UI

=–

CU2=–2WC無(wú)功功率又可表示為：u(t)

=

Umcos(

t–180o)無(wú)功功率QC反映了電容與電源之間能量交換的規(guī)模。單位為乏爾(var)

。11

單一參數(shù)的交流電路小結(jié)元件類(lèi)型瞬時(shí)值關(guān)系

大小關(guān)系

相量關(guān)系

功率純電阻元件URm=RIRm

UR=RIR

UR=RIRP=IRUR=RIR2Q=0純電感元件ULm=XLILm

UL=XLILXL=

LQ=ILUL=XLI2P=0純電容元件UCm=

XCICmUC=XCIC

XC=1/

CQ=–ICUC=–

XCI2P=0uR=iRR12§9-4單口網(wǎng)絡(luò)的平均功率功率因數(shù)設(shè)u(t)=Umcos(

t+

u)i(t)=Imcos(

t+

i)p(t)=UmImcos(

t+

u)cos(

t+

i)UmIm[cos(

u-

i)+cos(2

t+

u+

i)]21=UmImcos(

u-

i)+UmImcos(2

t+

u+

i)2121=N0

i(t)電源+u(t)

一.瞬時(shí)功率2cos

cos

=cos(

-

)+cos(

+

)N0

為不含獨(dú)立源的網(wǎng)絡(luò)電壓與電流之間的相位差(阻抗角)

j=

u–

i13u·i·p0

tipuπ2π二.平均功率P=T1pdt∫T0一.瞬時(shí)功率P

=

∑PKnK=1根據(jù)功率守恒：j

：功率因數(shù)角=cosj：功率因數(shù)物理含義？14例：求單口網(wǎng)絡(luò)的功率因數(shù)和平均功率。已知：I?j43

+–U

?I1?I2?–j5解：平均功率：或：15

在無(wú)獨(dú)立源的單口網(wǎng)絡(luò)交流電路中，可將電路等效為RLC的串聯(lián)。I?U?UR?UL?

UC?UL?UC?相量圖§9-5單口網(wǎng)絡(luò)的無(wú)功功率和視在功率UX?由相量圖：UX=UL–UCUXI=ULI–UCIQ=QL+QC一.無(wú)功功率QL=ULIQC＝–UCIUURUX–jXCRjXL–

+–

+–

+–

+UIURIUXI電壓的有功分量有功功率無(wú)功功率

16電壓三角形功率三角形§9-5單口網(wǎng)絡(luò)的無(wú)功功率和視在功率S2=P2+Q2S=UIQ=UXIP=URI

視在功率：S=UI

（單位：伏安）Q

=

UIsinj

UURUX一.無(wú)功功率Q=QL+QC二.視在功率視在功率反映電源設(shè)備的容量17功率小結(jié)：1.平均功率(W):功率因數(shù)角、阻抗角、電壓與電流的相位差電阻上消耗的功率之和S=UIQ=UXIP=URI

P

=

∑PKnK=1功率因數(shù)18功率小結(jié)：3.視在功率Q=QL+QC電感與電容無(wú)功功率的代數(shù)和2.無(wú)功功率(var)

S=UI

（伏安）S=UIQ=UXIP=URI

Q

=

UIsinj電感取正，電容取負(fù)。視在功率反映電源設(shè)備的容量。Q

=

∑QKnK=119解:

例1.

R、L、C串聯(lián)交流電路如圖所示。已知R=30

、L=127mH、C=40F，。求：(1)電流

i及電壓uR，uL，uC；(2)功率P和Q。V)20314cos(2220o+=tu–

+L–

+uCRiuLuCuR–

+–

+A)73°314cos(24.4+=ti(1)20V)73°314cos(2132+=tuRV)163°314cos(2176+=tuLV)17°314cos(2352-=tuC（2）電路為電容性–

+L–

+uCRiuLuCuR–

+–

+求：(1)電流

i及電壓uR，uL，uC；(2)功率P和Q。21

例2.試求電路中的平均功率P,無(wú)功功率Q，視在功率S

及功率因數(shù)cos

，已知：=1000oV。U?解：Z=(3+j4)(–j2)3+j4–j2–6j+83+j2=10

–36.87o3.6

33.69o==2.78

–

70.56o

I=UZ??=1000o2.78

–

70.56o=36

70.56oAP=UIcos

=100×36cos(0o–

70.56o)=1200WQ=UIsin

=100×36sin(0o–

70.56o)=–3400varS=UI=100×36=3600V·Acos

=cos(0o–70.56o)=0.33I?j43

+–U

?I1?I2?–j222

例3.電路如圖所示，

V。

（1）求200

負(fù)載的功率P；

（2）求電源右側(cè)電路功率因數(shù)l；

（3）求100

電阻上消耗的功率；

2H200

+us–100

j400

Ri·RL200

+Us–100

I·23·15I

=1000?300

+

j400=1000?500

53.1?=(–53.1)?A

P200?

=

I2RL

=

(

15)2

200

=

8W(2)l

=

cos(

u

–

i)

=

cos53.1?

=

0.6(電壓超前電流)(3)P100?

=

I2Ri

=

(

15)2

100

=

4W解：(1)US

=

1000?V·j400

Ri·RL200

+Us–100

I·(1)求200

負(fù)載的功率P

；(2)求電源右側(cè)電路功率因數(shù)l；(3)求100

電阻上消耗的功率.24例4.圖示電路中電壓源在

=400rad/s和超前功率因數(shù)0.8之下供電（即電流超前電壓）,消耗在電阻上的功率是100W，試確定R和C的值。解：cosj=0.8j=–arccos0.8=–36.87°

R2

+

(

C1)2UI

=

RC1=

0.751j

C1

CR1=

R2

+

(

C)2Z

=

R

+

arctg(–)tg(–36.87?)

=

–0.75Rj

C1I·+U

=

1000?V–·RC1=

0.75

400

=

30025R2

+

(

C1)2U2P

=

I2R

=

R=

2C2RU21

+

2C2R2=

100=

100－－－(2)

2C2RU21

+

2C2R2

=

300－－－－－－(1)RC1300C1300

52.08

10-6

=R

=1

=

643001代入(2)C

=

52.08mF

RC

=Rj

C1I·+U

=

1000?V–·26功率因數(shù)低引起的問(wèn)題平均功率

P=UNIN

cos

功率因數(shù)(1)電源設(shè)備的容量不能充分利用(2)增加輸電線路和發(fā)電機(jī)繞組的功率損耗在P、U一定的情況下，cos

越低，I越大，損耗越大。情況下，cos

越低，P越小，設(shè)備得不到充分利用。P=UIcos

電壓與電流的相位差、阻抗角、功率因數(shù)角在電源設(shè)備UN、IN一定的三.提高功率因數(shù)1.提高功率因數(shù)的意義27提高功率因數(shù)的方法+–uiiRLLRCiCI

?IC?IRL?U

?

1

電路功率因數(shù)低的原因

并聯(lián)電容后，電感性負(fù)載的工作狀態(tài)沒(méi)變，但電源電壓與電路中總電流的相位差角減小，即提高了整個(gè)電路的功率因數(shù)。同時(shí)總電流減小。通常是由于存在電感性負(fù)載將適當(dāng)?shù)碾娙菖c電感性負(fù)載并聯(lián)因

<

1

故

cos

>cos

12、提高功率因數(shù)cos

的方法28例5.設(shè)有一臺(tái)220V、50Hz、50kW的感應(yīng)電動(dòng)機(jī)，功率因數(shù)為0.5。求：(1)電源供應(yīng)的電流是多少，無(wú)功功率是多少？（2）如果并聯(lián)電容使功率因數(shù)為0.9，所需電容是多大，此時(shí)電源提供的電流是多少？解：（1）PL=UIL

cos

L

+–uiLPL=50kWiCiCQL=UIL

sin

L=2204550.866=86.7kvarcos

L=0.5

L=6029例5.設(shè)有一臺(tái)220V、50Hz、50kW的感應(yīng)電動(dòng)機(jī)，功率因數(shù)為0.5（1）電源供應(yīng)的電流是多少，無(wú)功功率是多少？（2）如果并聯(lián)電容使功率因數(shù)為0.9，所需電容是多大，此時(shí)電源提供的電流是多少？+–uiLPL=50kWiCiC（2）并聯(lián)電容后，電源提供的無(wú)功功率解：cos

=0.9

=25.84由QC

=–

CU2P=UIcos

30作業(yè)P-105習(xí)題94，96，910，914

31§9-7正弦穩(wěn)態(tài)最大功率傳遞定理

Z0ZLI·+UOC-·+UL-·求負(fù)載獲得最大功率的條件設(shè)UOC、Z0不變，ZL可變，·(1)ZL=RL+jXL

RL和XL都可變Z0+ZL

UOC(R0

+

RL)

+

j(X0

+

XL)

=I

=

UOC···=(R0+RL)2+(X0+XL)2

UOC(-arctgR0+RL)X0+XL32(R0+RL)2+(X0+XL)2

UOC2

RLPL=I2RL=當(dāng)X=X0+XL=0時(shí)，分母最小，PL最大(R0

+

RL)2

UOC2

RLPL

=dPL(R0+RL)2–2RL(R0+RL)=0dRL=UOC2(R0+RL)4(R0

+

RL)2

–

2RL(R0

+

RL)

=

0R0

+

RL

–

2RL

=

0RL

=

R0負(fù)載獲得最大功率的條件：共軛匹配:RL=R0

XL=–X0*ZL

=

Z0Z0ZLI·+UOC-·+UL-·=(R0+RL)2+(X0+XL)2

UOC(-arctgR0+RL)X0+XL33(R0

+

RL

)2

UOC2

RL

=PLmax

=4R0

UOC2PLmax

=4R0

UOC2獲得的最大功率Z0ZLI·+UOC-·+UL-·負(fù)載獲得最大功率的條件：共軛匹配:RL=R0

XL=–X0*ZL

=

Z0(1)ZL=RL+jXL

RL和XL都可變34(R0+RL)2+X02

UOC2

RLPL=(2)負(fù)載為純電阻ZL=RLdPL(R0+RL)2+X02–2RL(R0+RL)dRL=[(R0+RL)2+X02]2UOC2=0(R0+RL)2+X02–2RL(R0+RL)=0R02+2R0RL+RL2+X02–2R0RL–2RL2=0R02–RL2+X02=0RL2=R02+X02RL=R02+X02=

Z0

模匹配PLmax=I2RLZ0ZLI·+UOC-·+UL-·35

(3)負(fù)載ZL的阻抗角固定而?？筛淖?/p>

ZL

=

R02

+

X02=

Z0

模匹配阻抗三角形XL

RL

ZLZL=RL

+

jXL=|ZL|∠j

在這種情況下，可以證明，負(fù)載獲得最大功率的條件為：負(fù)載阻抗的模應(yīng)與電源內(nèi)阻抗的模相等，稱(chēng)為模匹配。

在這種情況下，負(fù)載所獲得的最大功率并非為可能獲得的最大值。如果負(fù)載阻抗的阻抗角也可調(diào)節(jié)，還能使負(fù)載得到更大一些的功率。Z0ZLI·+UOC-·+UL-·36負(fù)載獲得最大功率的條件ZL=RL+jXL

RL和XL都可變*ZL

=

Z0負(fù)載為純電阻

RLPLmax=I2RLZL的阻抗角固定而模可改變模匹配PLmax=I2RL模匹配共軛匹配37例1：電路如圖，求（1）獲得最大功率時(shí)ZL為何值？（2）最大功率值；（3）若ZL為純電阻，ZL獲得的最大功率。解：用戴維南定理求=

2

+

j2

=

2245?k

（1）ZL

=

2

–

j2k

時(shí)獲得最大功率ZL2120?mAj4K2K2K(2

+

2)

103

j4

103(2

+