高中數(shù)學蘇教版選修23教學案25隨機變量的均值和方差

/

12.5陵機變量的均值和方差

第1課時離散型隨機變量的均值

入門答辯——辨析問題解疑惑

新知自解——自讀教材找關鍵

梳理主干zizf>u）（,ueK.iffiulizdugan

勿勿入口答料〃/

設有12個西瓜，其中4個重5kg,3個重6kg,5個重7kg.

問題1：任取一個西瓜，用X表示這個西瓜的重量，試想X的取值是多少？

提示：x=5,6,7.

問題2：x取上述值時，對應的概率分別是多少？

煌一11A

?3，4，12,

問題3：試想西瓜的平均質量該如何表示？

提示：5x1+6X^+7Xp^.

//////lf\i?解7〃〃

1.離散型隨機變量的均值(或數(shù)學期望)

(1)定義：假設離散型隨機變量X的概率分布為

X???

X\X2Xn

PPiP2???Pn

那么稱x0…+x”p”為離散型隨機變量X的均值或數(shù)學期望，也稱為X的

概率分布的均值，記為E(X)或〃，即E(X)=〃=xim+詡2+…+從〃“.其中，》是隨機變量X

的可能取值,p,是概率,pBO,i=l,2,???,n,pi+p2H卜P"=L

(2)意義：刻畫離散型隨機變量取值的平均水平和穩(wěn)定程度.

2.兩種常見概率分布的均值

⑴超兒何分布：假設X?H(〃，M,N),那么鳳出=得.

(2)二項分布：假設X?2(〃，p),那么E(X)=迎.

［歸納.升華.領悟］-------------------------<

1.隨機變量的均值表示隨機變量在隨機試驗中取值的平均水平，又常稱隨機變量的平

均數(shù)，它是概率意義下的平均值，不同于相應數(shù)值的算術平均數(shù).

2.離散型隨機變量的均值反映了離散型隨機變量取值的平均水平，它是一個常數(shù)，是

隨機變量的屢次觀測值的算術平均值的穩(wěn)定性，即由觀測組成的隨機樣本的均值的穩(wěn)定

值.而樣本的平均值是一個隨機變量，它隨著觀測次數(shù)的增加而趨于隨機變量的均值.

課

堂

突破考點總結規(guī)律

互

II動

高考為標提煉技法

把握熱點考向貴在學有所悟區(qū)

$hi$fienggongi)antupozfiongnan師生共研突破更難

考點1求離散型隨機變量的均值

I例1］甲盒內有大小相同的1個紅球和3個黑球，乙盒內有大小相同的2個紅球和4個黑

球.現(xiàn)從甲、乙兩個盒內各任取2個球.

(1)求取出的4個球均為黑球的概率；

(2)求取出的4個球中恰有1個紅球的概率；

(3)設X為取出的4個球中紅球的個數(shù)，求X的概率分布和均值.

［思路點撥J首先確定X的取值及其對應的概率，然后確定隨機變量的概率分布及均值.

［精解詳析］(1)設“從甲盒內取出的2個球均為黑球"為大事A,“從乙盒內取出的2

個球均為黑球"為大事B.

由于大事A,B相互，且尸(A)=^=1,

\_x4乙

02

故取出的4個球均為黑球的概率為

I21

P(AB)-P(A)P(B)=2X5=5,

(2)設“從甲盒內取出的2個球均為黑球；從乙盒內取出的2個球中，1個是紅球，1個

是黑球"為大事C,

“從甲盒內取出的2個球中，1個是紅球，1個是黑球；從乙盒內取出的2個球均為黑

球”為大事。

由于大事C,?；コ?，且詈=R,

ClC?1

P(所己?Cl=5-

故取出的4個球中恰有1個紅球的概率為

417

P(C+D)=P(O+尸(。)=百+§=正.

(3)X可能的取值為0,1,2,3.

17

由(1),(2)得P(X=0)=5，P(X=1)=石,

穌=3)嚕?表4.

3

從而P(X=2)=1-P(X=O)-P(X=1)-P(X=3)=6.

所以X的概率分布為

X0123

2731

p

5I5w30

故X的均值

!7317

￡(X)=OX-+1X運+2Xm+3X而=4.

［一點通］求離散型隨機變量X的均值的步驟：

(1)理解X的意義，寫出X可能取的全部值；

(2)求X取每個值的概率；

(3)寫出X的概率分布表(有時可以省略)；

(4)利用定義公式E(X)=X\p\^-X2P2^------\-Xnpn求出均值.

“〃/數(shù)糧集鈍'〃/〃

1.(廣東高考)離散型隨機變量X的分布列為

X123

331

P

5ToTo

那么X的均值E(X)=.

3313

解析：E(X)=1X-+2X-+3X—

3

答案：乙

2

2.假設對于某個數(shù)學問題，甲、乙兩人都在討論，甲解出該題的概率為東乙解出該題

的概率轉4，設解出該題的人數(shù)為X,求及X).

解：記“甲解出該題”為大事A,“乙解出該題”為大事B,X可能取值為0,1,2.

P(X=0)=P(AB)=P(A>P(B)

P(X=1)=P(AB)+P(AB)

=P(A)P(B)+P(A)P(B)

248

P(X=2)=P(AB)=P(A)P(B)=3X5=]7-

所以，X的分布列如下表：

X012

128

p

155

?1,2,822

故E(X)=OX—+1X-+2X—=—

超幾何分布及二項分布的均值

［例2］甲、乙兩人各進行3次射擊，甲每次擊中目標的概率尺，乙每次擊中目標的概率為

2

東記甲擊中目標的次數(shù)為X,乙擊中目標的次數(shù)為K

(1)求X的概率分布；

(2)求x和y的均值.

［思路點撥］甲、乙擊中目標的次數(shù)均聽從二項分布.

［精解詳析］(i)p(x=o)=c§a=〃；

P(X=l)=cg|=|；

P(X=2)=C壯)=|；

P(X=3)=C：W)=/

所以X的概率分布如下表：

X0123

1331

P

8888

1331

⑵由(1)知E(X)=OX-+1X^+2X-+3XQ,

oooo

或由題意X?43,￡),y?B(3,I),

12

所以E(X)=3X］,E(y)=3Xg=2.

I一點通］超幾何分布和二項分布是兩種特別的而且應用相當廣泛的概率分布，解題時

假如能發(fā)覺是這兩種分布模型，就可以直接利用規(guī)律寫出概率分布，求出均值.

〃〃，題做臬?鐘'〃〃

3.某運發(fā)動投籃命中率為p=06

(1)求一次投籃時命中次數(shù)X的均值；

(2)求重復5次投籃時，命中次數(shù)y的均值.

解：(1)投籃一次，命中次數(shù)X的概率分布如下表：

X01

P

那么E(X)=p=0.6.

(2)由題意，重復5次投籃，命中的次數(shù)y聽從二項分布，即-2(5,).

那么E(Y)=叩=5X0.6=3.

4.一個箱子中裝有大小相同的1個紅球，2個白球，3個黑球.現(xiàn)從箱子中一次性摸出

3個球，每個球是否被摸出是等可能的.

(1)求至少摸出一個白球的概率；

(2)用X表示摸出的黑球數(shù)，寫出X的概率分布并求X的均值.

解：記“至少摸出一個白球”為大事A,那么大事A的對立大事4為“摸出的3個球

中沒有白球"，

Ci1

那么P(A)=點=與

4

P(A)=1—P(A)=g,

.4

即至少摸出一個白球的概率等于亍

(2)X的全部可能取值為0,1,2,3.

G1Ci?C59

噂=0)=溫=而，P(x=l)=-^-=而，

C??Cl9C51

P(X=2)=-^―=而，RX=3)=而=4-

X的概率分布為

X0123

1991

P20202020

199133

所以E(X)=0X—+1XTT+2X—+3XTT=~,即X的數(shù)學期望為(

均值的實際應用

［例3］甲、乙、丙三人進行羽毛球練習賽，其中兩人競賽，另一人當裁判，每局競賽結束

時，負的一方在下一局當裁判.設各局中雙方獲勝的概率均為去各局競賽的結果相互，第

1局甲當裁判.

(1)求第4局甲當裁判的概率；

(2)X表示前4局中乙當裁判的次數(shù)，求X的均值.

［思路點撥1(1)第4局甲當裁判的前提是第2局甲勝，第3局甲參與競賽且負.

(2)X的取值為0,1,2.

［精解詳析］(1)記Ai表示大事“第2局結果為甲勝"，A2表示大事“第3局甲參與競

賽，結果為甲負"，

A表示大事“第4局甲當裁判”.

那么A=A\?A2.

P(A)=P(AI?A2)=P(AI)P(A2)=1.

(2)X的可能取值為0,1,2.

記A3表示大事“第3局乙和丙競賽時，結果為乙勝丙"，囪表示大事”第1局結果為

乙勝丙"，B2表示大事''第2局乙和甲競賽時，結果為乙勝甲"，治表示大事''第3局乙

參與競賽時，結果為乙負".

那么P(X=O)=P(Bi?良?4)=尸(BI)P(B2)P(A3)=4,P(X=2)=P(囪?&)=尸(豆i)P(&)

O

=不

P(X=1)=1-P(X=0)-P(X=2)=1-0-7=1，

o4o

9

E(X)=()?P(X=0)+1?P(X=1)+2?P(X=2)=［

o

［一點通］解答此類題目，應首先把實際問題概率模型化，然后利用有關概率的學問去

分析相應各大事可能性的大小，并列出概率分布表，最終利用有關的公式求出相應的概率及

均值.

〃〃，罪做臬■到“〃/

5.某保險公司新開設了一項保險業(yè)務，假設在一年內大事E發(fā)生，該公司要賠償。元,

設一年內E發(fā)生的概率為p,為使公司收益的均值等于。的10%,公司應要求投保人交多少

保險金？

解：設保險公司要求投保人交x元保險金，以保險公司的收益額X作為隨機變量，那

么不難得出其^率分布表如下：

XXx-a

pl-pP

由上述概率分布表可求得，保險公司每年收益的均值為

E(X)=x{\-p)-\-(x—d)p=x-ap,

由題意可知x—“pa,解得x=(0.1+p)a.

即投保人交(0.1+p)a元保險金時，a.

6.現(xiàn)有甲、乙兩個靶.某射手向甲靶射擊兩次，每次命中的概率為本每命中一次得1

分，沒有命中得0分；向乙靶射擊一次，命中的概率為昌命中得2分，沒有命中得0分.該

射手每次射擊的結果相互.假設該射手完成以上三次射擊.

(1)求該射手恰好命中兩次的概率；

(2)求該射手的總得分X的概率分布及均值.

解：(1)記''該射手恰好命中兩次”為大事4,“該射手第一次射擊甲靶命中"為大事8,

“該射手其次次射擊甲靶命中”為大事C,“該射手射擊乙靶命中“為大事D

32

由題意知，P(B)=P(C)=a，P(.D)=-j,

所以P(A)=P(BC5)+尸(B^￡>)+P(萬CD)

=P(B)尸(C)P(Q)+P(B)P(C)P(D)+P(B)P(C)P(D)

232_2_

X=

343l6"

(2)依據(jù)題意，X的全部可能取值為0,1,2,3,4.

P(X=0)=P(BCD)=X■aX

P(X=l)=P(BCD)+P(BC5)=1xfl-7)X

P(X=2)=P(3C萬)+P(萬力0=卜*(1一|)+0—5義(1一3義|=*

__3(3、2(3A321

P(X=3)=P(BCD)+P(BCE>)=4X^l-4jX-+^l-^X-X-=-

3323

P(X=4)=P(8CD)=jXjXQ=

故X的概率分布是

X01234

11113

P

4884848

11111317

所以E(X)=OX—+1X-+2X—+3XT+4X-=—.

4oo4o4oO

［方法?規(guī)律?小結〉

1.求隨機變量X的均值，關鍵是正確求出X的分布列，在求X取每一個值的概率時，

要聯(lián)系概率的有關學問，如古典概型、互斥大事的概率、大事的概率等.

2.對于aX+6型的隨機變量，可利用均值的性質求解，即E(aX+8)=aE(X)+b；也可

以先列出aX+b的概率分布表，再用均值公式求解，比擬兩種方式明顯前者較便利.

訓

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課下力量提升(十五)

一、填空題

1.隨機變量X的概率分布為

X-2-1012

1

Pm

43520

那么E(X)=.

解析：由隨機變量分布列的性質得，；+!+：+，“+需=1,解得相=:,

IJJ^\J

于是，X的概率分布為

X-2-1012

1111

P

435620

所以E(X)=(—2)X^+(—1)X-+OX^+1X：+2x[j=一底.

。JU/JI/

答案.一“

口"30

2.假設隨機變量X~8(〃)，且E(X)=3,那么P(X=1)=.

解析：???X?5(〃，),E(X)=3,

/I=3,即〃=5.

:.P(X=1)=egXX(1—0.6)4=3X4=0.0768.

答案：0.0768

3.考察一種耐高溫材料的一個重要指標是看其是否能夠承受600度的高溫.現(xiàn)有一種

[1,能夠承受600度高溫，

這樣的材料，，假設令隨機變量丫=干化40/皿小八曲一舊那么X的均值為_________.

10,不能夠承受600度高溫，

解析：依題意X聽從兩點分布，其概率分布為

X10

P

所以X的均值是￡(X)=0.7.

答案：

4.設10件產(chǎn)品中有3件次品，從中抽取2件進行檢查，那么查得次品數(shù)的均值為

解析：設取得次品數(shù)為X(X=0,1,2),

那么尸(X=0)=署=卷P(X=1)=黑=高

。途=2)=品+

7713

.'.ECYJ=OX—+1X—+2X—=-

3

答案2

5.(湖北高考改編)如下圖，將一個各面都涂了油漆的正方體，切割為125個同樣大小的

小正方體，經(jīng)過攪拌后，從中隨機取一個小正方體，記它的涂漆面數(shù)為X,那么X的均值

E(X)=.

解析：X的取值為0,1,2,3且P(X=0)=叵,

54368

P(X=1)=m，P(X=2)=市，P(X=3)=市，

故￡(X)=0X—+1X—+2Xj^+3X-

答案：|

二、解答題

6.兩名戰(zhàn)士在一次射擊競賽中，戰(zhàn)士甲得1分，2分，3；戰(zhàn)士乙得1分，2分，3,0.6,

0.3,那么兩名戰(zhàn)士中獲勝盼望較大的是哪一個？

解：設這次射擊競賽中戰(zhàn)士甲得x分，戰(zhàn)士乙得y分，那么它們的概率分布如下：

依據(jù)均值公式，得

E(X)=1XO.4+2XO.1+3X,

E(r)=lX0.1+2X0.6+3X0.3=2.2.

'：E(Y)>E(X),

這次射擊中戰(zhàn)士乙得分的均值較大，即獲勝的盼望也較大.

7.一接待中心有A,B,C,。四部熱線，某一時刻A,B,C,D,各部是

否占線相互間沒有影響，假設該時刻有X部占線，試求隨機變量X的概率分布和它的均

值.

解:「(MX2,

p(x=D=cix2x2+cix2xX,

P(X=2)=C?X2X2+CiC!X2XX+C2X2X2,

P(X=3)=QX2XX+ClCzX2X2,

P(￥X2=0.04.

于是得到X的概率分布列為

X01234

P

所以￡(X)=0X0.09+1X0.3+2X0.37+3X0.2+4X=1.8.

8.某種工程的射擊競賽，開頭時在距目標100m處射擊，假如命中記3分，且停止射

擊；假設第一次射擊未命中，可以進行其次次射擊，但目標已在150m處，這時命中記2

分，且停止射擊；假設其次次仍未命中，還可以進行第三次射擊，此時目標已在200m處，

假設第三次命中那么記1分，并停止射擊；假設三次都未命中，那么記0分，且競賽結束.射

手甲在100m處擊中目標的概率為去他的命中率與目標的距離的平方成反比，且各次射擊

都是的.

(1)求射手甲在這次射擊競賽中命中目標的概率；

(2)求射手甲在這次射擊競賽中得分的均值.

解：(1)記第一、二、三次射擊命中目標分別為大事A,B,C,三次都未擊中目標為大

事。，依題意P(A)=g,

設在xm處擊中目標的概率為尸(x),

k1k

那么P(x)=季，且］=礪，

.?/=5000,即4的=駕坦,

50002

P(B)=

150291

小50001

P(C)=200r=3'

17749

P<D)=2X9X8=l44-

由于各次射擊都是相互的，

，該射手在三次射擊中擊中目標的概率

P=P(A)+P(AB)+P(A^O

=P(A)+P(A)-P(B)+P(A)-P(B)-P(C)

W+(l-捐+(1-分(1-1)《=翳

(2)依題意，設射手甲得分為X,那么P(X=3)=；,

]211717

P(X=2)=]Xg=g,p(X=\)=-X-X-=—f

八49

P(X=O)=前

1174925585

所以E(X)=3X-+2X-+1X—+0X—=-^=-

第2課時離散型隨機變量的方差和標準差

預

習

入門答辯——辨析問題解疑惑

導

*

引

新知自解——自讀教材找關鍵

區(qū)

zizfiuK.uCK.1shutizfiugan自主學習梳理主干

〃人口答薜

A,8兩臺機床同時加工零件，每生產(chǎn)一批數(shù)量較大的產(chǎn)品時;出次品的概率如下表:

A機床

次品數(shù)X10123

P

3機床

次品數(shù)Xi0123

P

問題1：試求E(Xi),E(X2).

提示：E(Xt)=0X0.7+1X0.2+2X0.06+3X0.04=0.44.E(X2)=0X0.8+1X0.06+

2X0.04+3X0.10=0.44.

問題2:由E(Xi)和E(X2)的值說明白什么？

提示：E(Xt)=E(X2).

問題3：試想利用什么指標可以比擬加工質量？

提示：樣本方差.

//////6解"〃/

1.離散型隨機變量的方差和標準差

(1)離散型隨機變量的方差

①定義：設離散型隨機變量X的均值為〃，其概率分布為

???

XXIX2Xn

???

PPiP2Pn

那么(加一")2m+(及—----Hx”一(其中mN0,/=!.2,…，n,pi+p2H-…

+p〃=l)稱為離散型隨機變量X的方差，也稱為X的概率分布的方差，記為VVO或近.

2

②變形公式：v(x)=y^Pi-u.

產(chǎn)?

③意義：方差刻畫了隨機變量x與其均值〃的平均偏離程度.

(2)離散型隨機變量的標準差

X的方差WX)的算術平方根稱為X的標準差，即。的).

2.兩點分布、超幾何分布、二項分布的方差

(1)假設X?0—1分布，那么V(X)=p(l-p);

…，nM(N—M)(N—〃)

(2)假m設X?//(〃，M,N),那么叭X)=N1N—\)；

(3)假設X?B(n,p),那么V(X)=np(\-p).

［歸納.升華.領悟］---------------------------------------

1.隨機變量的方差是常數(shù)，它和標準差都反映了隨機變量X取值的穩(wěn)定性和波動、集

中與離散程度.丫(為越小，穩(wěn)定性越高，波動越小.

2.隨機變量的方差與樣本方差的關系：隨機變量的方差即為總體的方差，它是一個常

數(shù)，是不隨抽樣樣本變化而客觀存在的；樣本方差那么是隨機變量，它是隨樣本不同而變化

的.對于簡潔隨機樣本，隨著樣本容量的增加，樣本方差越來越接近于總體方差.

課

堂

規(guī)律

總結

考點

互突破

I

動I

為標

高考

技法

區(qū)提煉

考向

熱點

把握

所悟

學有

貴在

nan

ftong

upoz

ant

gongy

skeng

sfii

重難

突破

共研

師生

算

的計

準差

和標

方差

1

考點

布為

概率分

X的

變量

隨機

［例1］

0

X

X

1

2

P