高中數(shù)學解答題教學建議_第1頁
高中數(shù)學解答題教學建議_第2頁
高中數(shù)學解答題教學建議_第3頁
高中數(shù)學解答題教學建議_第4頁
高中數(shù)學解答題教學建議_第5頁
已閱讀5頁,還剩4頁未讀, 繼續(xù)免費閱讀

下載本文檔

版權(quán)說明:本文檔由用戶提供并上傳,收益歸屬內(nèi)容提供方,若內(nèi)容存在侵權(quán),請進行舉報或認領(lǐng)

文檔簡介

高中數(shù)學解答題教學建議

把數(shù)學的解答嚴謹?shù)財⑹龀鰜硎且患蝗菀鬃龅降氖?這有著較

高的能力要求。總的說來,敘述要正確、合理、嚴密、簡捷和清楚。

把運算、推理、作圖與所得的結(jié)果無誤地加以敘述,是解題的一項基

本要求。敘述要合理,對列式、計算、推理、作圖都要有充分的理由,

遵循嚴格的思維規(guī)律,做到言必有據(jù),理由充足,合乎邏輯性。嚴密

就是要周密地考慮問題中的全部內(nèi)容,不能遺漏,也不能重復(fù)。任何

數(shù)學題的解答都有一定的規(guī)格要求,無論哪種格式,敘述都應(yīng)層次分

明,條理清楚,表述規(guī)范。這里包含書寫時要力求字跡清楚,作圖正

確,疏密適度,行款得體。所有這些能力的培養(yǎng)有一個漸進的過程,

非蹴而就。

如,用數(shù)學歸納法證明數(shù)學問題,學生往往只完成〃=%和〃=左

到〃=k+1的證明之后就結(jié)束了。實際上完成這兩步之后,還要有一

個結(jié)論性的表述:由(1)(2)可知,命題對從〃=%開始的所有自

然數(shù)都成立。

再如,求函數(shù)/(%)=—1—的單調(diào)區(qū)間,對于這樣的簡單問題不會

x-1

求的學生很少,但求出來錯了的學生也不少。他們往往把單調(diào)區(qū)間寫

成(-oo,l)U(l,+oo),這顯然是錯誤的,若是填空題或選擇題,會得0

分。

如,等差數(shù)列{為}的前加項的和為30,前2切項的和為100,求

它的前3小項的和。

對于本題,至少可以有以下兩種方法:

法1:設(shè)出首項q及公差d,然后代入公式-l)d,

解關(guān)于q、d的方程組即可得邑“二210。

法2:利用性質(zhì)”等差數(shù)列中,黑、Szm-Sm、83.—S27n成等差

數(shù)列?!?/p>

反思以上兩種方法,法1雖常規(guī)、易想但計算量大,實在不能算是

一種好方法;法2能抓住問題的本質(zhì),是一種很好的思路,但利用此

法的前提是知道上述性質(zhì)并能隨時提取信息。

又如,已知點M與點/(4,0)的距離比它到直線/:%+5=0的距

離少1,求點M的軌跡方程。

解法1:設(shè)M點的坐標為(%,y),

根據(jù)已知條件:點M屬于集合{M||用/|+1=|%+51,

即J(X-4)2+/+1=|%+5|。

因此,當x》-5時,-4)2+=x+5-l,即y2=i6x;

當xV—5時,7(^-4)2+/=-^-5-1,即:/=20(X+1),

(說明:有部分學生在這里忘記討論)

因為當龍V-5時,20(%+1)<0,所以V。20。+1),即點M不

存在,故所求M點的軌跡方程為9=16%。

解法2:因為“點M到/(4,0)的距離比它到直線/:%+5=0的

距離少1”等價于“點M到/(4,0)的距離等于它到直線/:%+4=0

的距離”。由此可知點用的軌跡是以尸為焦點,直線/:%+4=0為

準線的拋物線。易知〃=8,所以所求方程為丁=16%。

解法1用了求軌跡方程的一般方法,這種方法常見、易想,解題

過程繁瑣,須分類討論,易漏易錯。解法2通過分析題目的條件,抓

住問題本質(zhì),對已知條件進行知識遷移,發(fā)現(xiàn)點的軌跡滿足拋物線的

定義,從而應(yīng)用待定系數(shù)法求解,避免了繁雜的計算,優(yōu)勢顯而易見。

例(2008年高考江蘇卷)設(shè)函數(shù)/(%)=以3—3%+1(%eR),若

對于任意工4-1,1],都有/(%)及成立,則實數(shù)〃的值

為.

本題以不等式恒成立的問題為載體,反映了對抽象概括能力的考

查.本題考慮用分離變量來解決.當x=0時,無論“取何值,

/(尤)=1>0成立;當時,a>——^—恒成立.令g(x)=——r—,

XX'

則轉(zhuǎn)化為研究g(x)的最大值與。的關(guān)系.令

g'(%)=W+S=0,求得尤=[.當時,g'(x)>0;當

1<j<Mg(x)<0,可知x時,g(%)取最大值4,所以

.當-1<%<0時,〃<書1恒成立.令g(%)="l,則轉(zhuǎn)化為

XX

研究g(%)的最小值與。的關(guān)系.由g(?¥)=—+下>0得8(%)在[-1,

XX

0)是增函數(shù),所以g(%)min=g(—D=4,所以.綜上,1=4.

本題考查了一些常見的解題規(guī)律或模式,如:4/(%)恒成立

問題”一般轉(zhuǎn)化為研究/(%)的最小值與a的關(guān)系問題.

從現(xiàn)實問題中概括出具體的數(shù)學模型,需要抽象概括能力,最典

型的是解應(yīng)用題.我們知道,應(yīng)用題一般都有模型,如“指數(shù)型函數(shù)”

是重要的數(shù)學模型,在細胞分裂、生物繁殖、人口增長、勞動生產(chǎn)率、

銀行利息等問題上經(jīng)常用到.解決應(yīng)用題的關(guān)鍵是建立數(shù)學模型,即

把生產(chǎn)或生活中遇到的實際問題,抽象為一個數(shù)學問題來解決.從雜

亂無章的現(xiàn)實世界中,由表及里,去偽存真,將生活問題提煉、抽象

為一個數(shù)學問題來解決,體現(xiàn)了我們常說的“分析問題和解決問題的

能力”,體現(xiàn)了抽象概括能力.

如,已知一個函數(shù)的解析式為y=V,它的值域是[1,4],這樣的

函數(shù)有多少個?試寫出其中的兩個。

變題1:已知函數(shù)y=%2,它的值域是{1,4},這樣的函數(shù)有多少

個?

變題2:已知函數(shù)y=V,它的值域是{1,4,9},這樣的函數(shù)有多

少個?

變題3:已知函數(shù)y=V,它的值域是{1,4,9,L,/},這樣的函

數(shù)有多少個?

變題4:已知函數(shù)y=V,它的定義域是[-1,0,值域是[0,4],

求實數(shù)”的取值范圍。

變題5:已知函數(shù)y=它的定義域是[-2,0,值域是[0,4],

求實數(shù)a的取值范圍。

變題6:已知函數(shù)y=V,它的定義域是[-1,0,求函數(shù)的最大

值和最小值。

變題7:已知函數(shù)=它的定義域是[a-La],求函數(shù)的最大

值和最小值。

變題8:請寫出幾個不同的函數(shù)的解析式y(tǒng)=/(%),使/⑴=1,

/⑵=4。

引導(dǎo)學生對問題的變式進行對比、分析,從而使學生解決的不是

一道題,而是一串題,更重要的是,在對問題的變式中使學生對問題

的本質(zhì)及內(nèi)在聯(lián)系、規(guī)律的認識更加深刻。

例(2009年高考海南與寧夏卷理科)用min表示三

個數(shù)中的最小值.設(shè)/(%)=min{2v,%+2,10-%}(%N0),貝!的

最大值為

數(shù)形結(jié)合思想除了在解選擇題、填空題中能顯其優(yōu)越,對一些解

答題,通過畫圖,往往能激發(fā)解題靈感.如函數(shù)的解答題,在解答書

寫的過程中,一般不必畫出函數(shù)圖象,但解題思路又必須依賴于函數(shù)

圖象,這是在解答題中考查數(shù)形結(jié)合思想的一種形式.

例(2006年高考福建卷理科)已知函數(shù)/。)=-尤2+8工,

g(x)=61nx+m。

(I)求/(%)在區(qū)間"什1]上的最大值/2⑺;

(II)是否存在實數(shù)相,使得y=/(%)的圖象與y=g(%)的圖象

有且只有三個不同的交點?若存在,求出根的取值范圍;若不存在,

說明理由。

本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值等基本知識,考查了有

限與無限思想.第(I)問利用二次函數(shù)的圖象和性質(zhì),可以寫出函

數(shù)/(%)在區(qū)間">1]上的最大值K),

—1~+6t+7,f<3,

〃⑺=<16,3<Z<4,第(H)問,研究函數(shù)》=/(%)的圖象

—/+87,,〉4,

與y=g(%)的圖象的交點個數(shù),即研究函數(shù)1?(%)-/(%)的圖象與%軸

的正半軸的交點個數(shù).構(gòu)造函數(shù)°(x)=d—8%+61n%+根,由

(p'(x)=2心133)(%〉0),可知:若函數(shù)y=/(%)的圖象與

X

y=g(x)的圖象有且只有三個不同的交點,即函數(shù)°(%)=g(X)-/(X)

的圖象與光軸的正半軸有且只有三個不同的交點.當X£(0,1)時,

(p'{x}>0,0(x)是增函數(shù);當%£(1,3)時,(p\x)>0,d%)是減函

數(shù);當了£(3,+8)時,(p\x)>0,次%)是增函數(shù);當了=1,或%=3

時,夕'(%)=0;所以0(%)極大值=°⑴=m-7,e(x)極小值

=d3)=根+61n3—15.因為當%充分接近0時,以工)<0;當人充分大

時,以%)>0,所以要使e(x)的圖象與x軸正半軸有三個不同的交點,

[0(x)極王值二m—7>0

必須且只須極人值9即7<機<15—6山3,所

〔。(%)極小值=m+61n3-15<0,

以存在實數(shù)相,使得函數(shù)y=/(%)與y=g(%)的圖象有且只有三個不

同的交點,機的取值范圍為(7,15-61n3).

本題是從求函數(shù)的導(dǎo)數(shù),判斷函數(shù)的單調(diào)性,確定函數(shù)在某一區(qū)

間的根的個數(shù)考查有限與無限的思想.尤其是研究函數(shù)的極值,在極

值的定義中對極值的描述從另一個角度體現(xiàn)了有限與無限的關(guān)系:

“一般地,設(shè)函數(shù)/(x)在點%。附近有定義,如果對工。附近除毛外的

所有的點工,都有/(%)</(%),我們就說A%。)是函數(shù)/(%)的一個

極大值”,在以上文字描述中的“附近”和“所有”都含有有限與無

限的辯正關(guān)系.首先“附近”就是個模糊的概念,多近才叫附近?用

“要多近有多近”來理解也是形象的生活語言.實際上,這里所言的

“附近”只有用極限的思想,用由有限到無限的觀點去領(lǐng)悟才能理解

其真諦.同樣,由“所有的點”組成的集合是個無限集,不可能將它

們一一取出進行研究.因此,這里的“所有”也體現(xiàn)出有限與無限的

關(guān)系.由此可以看出,極值概念的本身就充滿有限與無限的辯正關(guān)系.

例10過拋物線V=2px(p〉0)的焦點的一條直線和這條拋物線

相交于《、6兩點,兩個交點的縱坐標分別是%、%,求證:

在完成上例后,可引導(dǎo)學生作如下變式:

(1)條件不變,提出新問題:

①求證:X]X=—;②求焦點弦6A的長;③求SV”p;④求焦

IN2412

點弦《寫的中點的軌跡方程。

(2)改成逆命題:一條直線與拋物線V=2px(p>0)相交于點

片(再,*)、鳥(%2,%)兩點,如果滿足必必=一〃2(或不%2=£),

那么這條直線過拋物線的焦點。

n

(3)增加條件“過《、鳥分別作X軸的垂線,垂足為M2,

提出新問題“求證:|OMJ、|。片|、IOM2I成等比數(shù)列”。

例如,在教學“平均值不等式”時,學生常忽略應(yīng)用公式的條件,

為了引起學生的重視,我們可依次設(shè)計如下三道練習。

練習1:已知%eR,求函數(shù)y=的值域。

X

練習2:已知0<x<l,求函數(shù)y=x(l—尤丁的最大值。

rr2

練習3:已知%G(0,—],求函數(shù)y=sin%d-----的最小值。

2sinx

在學生解題過程中,練習1普遍忽略了應(yīng)用平均值不等式的條

件,誤認為x>0,得到的值域是[2,+00),經(jīng)更正后進入第2小題,

結(jié)果不少學生這樣解:

I--.2

因為x(l—%)2K尸,一立,所以當x=(l—x)2時,即

3-石葉工+(1-%)一3-6為生梏而|函物7-3>/5

%=-y—時,---------=—^—為定值,則函數(shù)>min=---。

這顯然也是錯誤的。因為定值不是在“相等”的條件下,而是先有

“定值”后有“相等”,本題應(yīng)先想辦法把工?(1

溫馨提示

  • 1. 本站所有資源如無特殊說明,都需要本地電腦安裝OFFICE2007和PDF閱讀器。圖紙軟件為CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.壓縮文件請下載最新的WinRAR軟件解壓。
  • 2. 本站的文檔不包含任何第三方提供的附件圖紙等,如果需要附件,請聯(lián)系上傳者。文件的所有權(quán)益歸上傳用戶所有。
  • 3. 本站RAR壓縮包中若帶圖紙,網(wǎng)頁內(nèi)容里面會有圖紙預(yù)覽,若沒有圖紙預(yù)覽就沒有圖紙。
  • 4. 未經(jīng)權(quán)益所有人同意不得將文件中的內(nèi)容挪作商業(yè)或盈利用途。
  • 5. 人人文庫網(wǎng)僅提供信息存儲空間,僅對用戶上傳內(nèi)容的表現(xiàn)方式做保護處理,對用戶上傳分享的文檔內(nèi)容本身不做任何修改或編輯,并不能對任何下載內(nèi)容負責。
  • 6. 下載文件中如有侵權(quán)或不適當內(nèi)容,請與我們聯(lián)系,我們立即糾正。
  • 7. 本站不保證下載資源的準確性、安全性和完整性, 同時也不承擔用戶因使用這些下載資源對自己和他人造成任何形式的傷害或損失。

評論

0/150

提交評論