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文檔簡介
高中數(shù)學解答題教學建議
把數(shù)學的解答嚴謹?shù)財⑹龀鰜硎且患蝗菀鬃龅降氖?這有著較
高的能力要求。總的說來,敘述要正確、合理、嚴密、簡捷和清楚。
把運算、推理、作圖與所得的結(jié)果無誤地加以敘述,是解題的一項基
本要求。敘述要合理,對列式、計算、推理、作圖都要有充分的理由,
遵循嚴格的思維規(guī)律,做到言必有據(jù),理由充足,合乎邏輯性。嚴密
就是要周密地考慮問題中的全部內(nèi)容,不能遺漏,也不能重復(fù)。任何
數(shù)學題的解答都有一定的規(guī)格要求,無論哪種格式,敘述都應(yīng)層次分
明,條理清楚,表述規(guī)范。這里包含書寫時要力求字跡清楚,作圖正
確,疏密適度,行款得體。所有這些能力的培養(yǎng)有一個漸進的過程,
非蹴而就。
如,用數(shù)學歸納法證明數(shù)學問題,學生往往只完成〃=%和〃=左
到〃=k+1的證明之后就結(jié)束了。實際上完成這兩步之后,還要有一
個結(jié)論性的表述:由(1)(2)可知,命題對從〃=%開始的所有自
然數(shù)都成立。
再如,求函數(shù)/(%)=—1—的單調(diào)區(qū)間,對于這樣的簡單問題不會
x-1
求的學生很少,但求出來錯了的學生也不少。他們往往把單調(diào)區(qū)間寫
成(-oo,l)U(l,+oo),這顯然是錯誤的,若是填空題或選擇題,會得0
分。
如,等差數(shù)列{為}的前加項的和為30,前2切項的和為100,求
它的前3小項的和。
對于本題,至少可以有以下兩種方法:
法1:設(shè)出首項q及公差d,然后代入公式-l)d,
解關(guān)于q、d的方程組即可得邑“二210。
法2:利用性質(zhì)”等差數(shù)列中,黑、Szm-Sm、83.—S27n成等差
數(shù)列?!?/p>
反思以上兩種方法,法1雖常規(guī)、易想但計算量大,實在不能算是
一種好方法;法2能抓住問題的本質(zhì),是一種很好的思路,但利用此
法的前提是知道上述性質(zhì)并能隨時提取信息。
又如,已知點M與點/(4,0)的距離比它到直線/:%+5=0的距
離少1,求點M的軌跡方程。
解法1:設(shè)M點的坐標為(%,y),
根據(jù)已知條件:點M屬于集合{M||用/|+1=|%+51,
即J(X-4)2+/+1=|%+5|。
因此,當x》-5時,-4)2+=x+5-l,即y2=i6x;
當xV—5時,7(^-4)2+/=-^-5-1,即:/=20(X+1),
(說明:有部分學生在這里忘記討論)
因為當龍V-5時,20(%+1)<0,所以V。20。+1),即點M不
存在,故所求M點的軌跡方程為9=16%。
解法2:因為“點M到/(4,0)的距離比它到直線/:%+5=0的
距離少1”等價于“點M到/(4,0)的距離等于它到直線/:%+4=0
的距離”。由此可知點用的軌跡是以尸為焦點,直線/:%+4=0為
準線的拋物線。易知〃=8,所以所求方程為丁=16%。
解法1用了求軌跡方程的一般方法,這種方法常見、易想,解題
過程繁瑣,須分類討論,易漏易錯。解法2通過分析題目的條件,抓
住問題本質(zhì),對已知條件進行知識遷移,發(fā)現(xiàn)點的軌跡滿足拋物線的
定義,從而應(yīng)用待定系數(shù)法求解,避免了繁雜的計算,優(yōu)勢顯而易見。
例(2008年高考江蘇卷)設(shè)函數(shù)/(%)=以3—3%+1(%eR),若
對于任意工4-1,1],都有/(%)及成立,則實數(shù)〃的值
為.
本題以不等式恒成立的問題為載體,反映了對抽象概括能力的考
查.本題考慮用分離變量來解決.當x=0時,無論“取何值,
/(尤)=1>0成立;當時,a>——^—恒成立.令g(x)=——r—,
XX'
則轉(zhuǎn)化為研究g(x)的最大值與。的關(guān)系.令
g'(%)=W+S=0,求得尤=[.當時,g'(x)>0;當
1<j<Mg(x)<0,可知x時,g(%)取最大值4,所以
.當-1<%<0時,〃<書1恒成立.令g(%)="l,則轉(zhuǎn)化為
XX
研究g(%)的最小值與。的關(guān)系.由g(?¥)=—+下>0得8(%)在[-1,
XX
0)是增函數(shù),所以g(%)min=g(—D=4,所以.綜上,1=4.
本題考查了一些常見的解題規(guī)律或模式,如:4/(%)恒成立
問題”一般轉(zhuǎn)化為研究/(%)的最小值與a的關(guān)系問題.
從現(xiàn)實問題中概括出具體的數(shù)學模型,需要抽象概括能力,最典
型的是解應(yīng)用題.我們知道,應(yīng)用題一般都有模型,如“指數(shù)型函數(shù)”
是重要的數(shù)學模型,在細胞分裂、生物繁殖、人口增長、勞動生產(chǎn)率、
銀行利息等問題上經(jīng)常用到.解決應(yīng)用題的關(guān)鍵是建立數(shù)學模型,即
把生產(chǎn)或生活中遇到的實際問題,抽象為一個數(shù)學問題來解決.從雜
亂無章的現(xiàn)實世界中,由表及里,去偽存真,將生活問題提煉、抽象
為一個數(shù)學問題來解決,體現(xiàn)了我們常說的“分析問題和解決問題的
能力”,體現(xiàn)了抽象概括能力.
如,已知一個函數(shù)的解析式為y=V,它的值域是[1,4],這樣的
函數(shù)有多少個?試寫出其中的兩個。
變題1:已知函數(shù)y=%2,它的值域是{1,4},這樣的函數(shù)有多少
個?
變題2:已知函數(shù)y=V,它的值域是{1,4,9},這樣的函數(shù)有多
少個?
變題3:已知函數(shù)y=V,它的值域是{1,4,9,L,/},這樣的函
數(shù)有多少個?
變題4:已知函數(shù)y=V,它的定義域是[-1,0,值域是[0,4],
求實數(shù)”的取值范圍。
變題5:已知函數(shù)y=它的定義域是[-2,0,值域是[0,4],
求實數(shù)a的取值范圍。
變題6:已知函數(shù)y=V,它的定義域是[-1,0,求函數(shù)的最大
值和最小值。
變題7:已知函數(shù)=它的定義域是[a-La],求函數(shù)的最大
值和最小值。
變題8:請寫出幾個不同的函數(shù)的解析式y(tǒng)=/(%),使/⑴=1,
/⑵=4。
引導(dǎo)學生對問題的變式進行對比、分析,從而使學生解決的不是
一道題,而是一串題,更重要的是,在對問題的變式中使學生對問題
的本質(zhì)及內(nèi)在聯(lián)系、規(guī)律的認識更加深刻。
例(2009年高考海南與寧夏卷理科)用min表示三
個數(shù)中的最小值.設(shè)/(%)=min{2v,%+2,10-%}(%N0),貝!的
最大值為
數(shù)形結(jié)合思想除了在解選擇題、填空題中能顯其優(yōu)越,對一些解
答題,通過畫圖,往往能激發(fā)解題靈感.如函數(shù)的解答題,在解答書
寫的過程中,一般不必畫出函數(shù)圖象,但解題思路又必須依賴于函數(shù)
圖象,這是在解答題中考查數(shù)形結(jié)合思想的一種形式.
例(2006年高考福建卷理科)已知函數(shù)/。)=-尤2+8工,
g(x)=61nx+m。
(I)求/(%)在區(qū)間"什1]上的最大值/2⑺;
(II)是否存在實數(shù)相,使得y=/(%)的圖象與y=g(%)的圖象
有且只有三個不同的交點?若存在,求出根的取值范圍;若不存在,
說明理由。
本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值等基本知識,考查了有
限與無限思想.第(I)問利用二次函數(shù)的圖象和性質(zhì),可以寫出函
數(shù)/(%)在區(qū)間">1]上的最大值K),
—1~+6t+7,f<3,
〃⑺=<16,3<Z<4,第(H)問,研究函數(shù)》=/(%)的圖象
—/+87,,〉4,
與y=g(%)的圖象的交點個數(shù),即研究函數(shù)1?(%)-/(%)的圖象與%軸
的正半軸的交點個數(shù).構(gòu)造函數(shù)°(x)=d—8%+61n%+根,由
(p'(x)=2心133)(%〉0),可知:若函數(shù)y=/(%)的圖象與
X
y=g(x)的圖象有且只有三個不同的交點,即函數(shù)°(%)=g(X)-/(X)
的圖象與光軸的正半軸有且只有三個不同的交點.當X£(0,1)時,
(p'{x}>0,0(x)是增函數(shù);當%£(1,3)時,(p\x)>0,d%)是減函
數(shù);當了£(3,+8)時,(p\x)>0,次%)是增函數(shù);當了=1,或%=3
時,夕'(%)=0;所以0(%)極大值=°⑴=m-7,e(x)極小值
=d3)=根+61n3—15.因為當%充分接近0時,以工)<0;當人充分大
時,以%)>0,所以要使e(x)的圖象與x軸正半軸有三個不同的交點,
[0(x)極王值二m—7>0
必須且只須極人值9即7<機<15—6山3,所
〔。(%)極小值=m+61n3-15<0,
以存在實數(shù)相,使得函數(shù)y=/(%)與y=g(%)的圖象有且只有三個不
同的交點,機的取值范圍為(7,15-61n3).
本題是從求函數(shù)的導(dǎo)數(shù),判斷函數(shù)的單調(diào)性,確定函數(shù)在某一區(qū)
間的根的個數(shù)考查有限與無限的思想.尤其是研究函數(shù)的極值,在極
值的定義中對極值的描述從另一個角度體現(xiàn)了有限與無限的關(guān)系:
“一般地,設(shè)函數(shù)/(x)在點%。附近有定義,如果對工。附近除毛外的
所有的點工,都有/(%)</(%),我們就說A%。)是函數(shù)/(%)的一個
極大值”,在以上文字描述中的“附近”和“所有”都含有有限與無
限的辯正關(guān)系.首先“附近”就是個模糊的概念,多近才叫附近?用
“要多近有多近”來理解也是形象的生活語言.實際上,這里所言的
“附近”只有用極限的思想,用由有限到無限的觀點去領(lǐng)悟才能理解
其真諦.同樣,由“所有的點”組成的集合是個無限集,不可能將它
們一一取出進行研究.因此,這里的“所有”也體現(xiàn)出有限與無限的
關(guān)系.由此可以看出,極值概念的本身就充滿有限與無限的辯正關(guān)系.
例10過拋物線V=2px(p〉0)的焦點的一條直線和這條拋物線
相交于《、6兩點,兩個交點的縱坐標分別是%、%,求證:
在完成上例后,可引導(dǎo)學生作如下變式:
(1)條件不變,提出新問題:
①求證:X]X=—;②求焦點弦6A的長;③求SV”p;④求焦
IN2412
點弦《寫的中點的軌跡方程。
(2)改成逆命題:一條直線與拋物線V=2px(p>0)相交于點
片(再,*)、鳥(%2,%)兩點,如果滿足必必=一〃2(或不%2=£),
那么這條直線過拋物線的焦點。
n
(3)增加條件“過《、鳥分別作X軸的垂線,垂足為M2,
提出新問題“求證:|OMJ、|。片|、IOM2I成等比數(shù)列”。
例如,在教學“平均值不等式”時,學生常忽略應(yīng)用公式的條件,
為了引起學生的重視,我們可依次設(shè)計如下三道練習。
練習1:已知%eR,求函數(shù)y=的值域。
X
練習2:已知0<x<l,求函數(shù)y=x(l—尤丁的最大值。
rr2
練習3:已知%G(0,—],求函數(shù)y=sin%d-----的最小值。
2sinx
在學生解題過程中,練習1普遍忽略了應(yīng)用平均值不等式的條
件,誤認為x>0,得到的值域是[2,+00),經(jīng)更正后進入第2小題,
結(jié)果不少學生這樣解:
I--.2
因為x(l—%)2K尸,一立,所以當x=(l—x)2時,即
3-石葉工+(1-%)一3-6為生梏而|函物7-3>/5
%=-y—時,---------=—^—為定值,則函數(shù)>min=---。
這顯然也是錯誤的。因為定值不是在“相等”的條件下,而是先有
“定值”后有“相等”,本題應(yīng)先想辦法把工?(1
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