高一數(shù)學(xué)教材同步知識(shí)點(diǎn)專(zhuān)題詳解(蘇教版必修第一冊(cè))1.3交集、并集(原卷版+解析)

1.3交集、并集TOC\o"1-4"\h\z\u1.3交集、并集 1知識(shí)框架 1一、基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn) 1知識(shí)點(diǎn)1交集 2知識(shí)點(diǎn)2并集 4知識(shí)點(diǎn)3區(qū)間的概念 6二、典型題型 7題型1交并補(bǔ)的綜合應(yīng)用 9題型2交集、并集性質(zhì)的應(yīng)用 12三、難點(diǎn)題型 14題型1集合的應(yīng)用 15題型2集合的新定義 17四、活學(xué)活用培優(yōu)訓(xùn)練 24一．基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)1交集：1．交集的概念(1)文字語(yǔ)言：一般地，由所有屬于集合A且屬于集合B的元素構(gòu)成的集合，稱(chēng)為A與B的交集，記作A∩B(讀作“A交B”)．(2)符號(hào)語(yǔ)言：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．(3)Venn圖①②③2．交集的性質(zhì)(1)A∩B＝B∩A；(2)A∩B?A；(3)A∩B?B；(4)A∩A＝A；(5)A∩?＝?；(6)A∩(?UA)＝?；(7)A∩U＝A(其中U為全集)．例1已知集合，，則（

）A． B．C． D．或例2（多選題）已知集合，集合，若，則a的取值可能是（

）A．2 B． C．1 D．0例3已知集合，集合．(1)當(dāng)時(shí)，求；(2)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍知識(shí)點(diǎn)2并集：并集(1)文字語(yǔ)言：一般地，由所有屬于集合A或者屬于集合B的元素構(gòu)成的集合，稱(chēng)為A與B的并集，記作A∪B(讀作“A并B”)．(2)符號(hào)語(yǔ)言：A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}．(3)Venn圖①②③(3)并集的性質(zhì)①A∪B＝B∪A；②A?A∪B；③B?A∪B；④A∪A＝A；⑤A∪?＝A；⑥A∪(?UA)＝U；⑦A∪U＝U(其中U為全集)．例1已知集合A，B滿(mǎn)足，若則（

）A． B． C． D．例2（多選題）已知集合，若，則的取值可以是（

）A．2 B．3 C．4 D．5例3已知集合，集合，(1)求；(2)求．知識(shí)點(diǎn)3區(qū)間的概念：區(qū)間的概念(1)設(shè)a，b∈R，且a<b，規(guī)定：[a，b]＝{x|a≤x≤b}，(a，b)＝{x|a<x<b}，[a，b)＝{x|a≤x<b}，(a，b]＝{x|a<x≤b}，(a，＋∞)＝{x|x>a}，(－∞，b)＝{x|x<b}，(－∞，＋∞)＝R.[a，b]，(a，b)分別叫作閉區(qū)間、開(kāi)區(qū)間；[a，b)，(a，b]叫作半開(kāi)半閉區(qū)間；a，b叫作相應(yīng)區(qū)間的端點(diǎn)．(2)區(qū)間的數(shù)軸表示區(qū)間表示數(shù)軸表示[a，b](a，b)[a，b)(a，b][a，＋∞)(a，＋∞)二．典型題型題型1交并補(bǔ)的綜合應(yīng)用：解題技巧：?U(A∪B)＝(?UA)∩(?UB)；?U(A∩B)＝(?UA)∪(?UB)．例1已知集合，集合，則（

）A． B． C． D．例2（多選題）集合，是實(shí)數(shù)集的子集，定義，叫做集合的對(duì)稱(chēng)差．若集合，，則以下說(shuō)法正確的是（

）A． B．C． D．例3已知集合．(1)若，求；(2)若，求m的取值范圍．題型2交集、并集性質(zhì)的應(yīng)用解題技巧：1．在進(jìn)行集合運(yùn)算時(shí)，若條件中出現(xiàn)A∩B＝A或A∪B＝B，應(yīng)轉(zhuǎn)化為A?B，然后用集合間的關(guān)系解決問(wèn)題，并注意A＝?的情況．2．集合運(yùn)算常用的性質(zhì)①A∪B＝B?A?B；②A∩B＝A?A?B；③A∩B＝A∪B?A＝B.例1已知全集，，，則圖中陰影部分表示的集合是（

）A． B． C． D．例2（多選題）我們知道，如果集合，那么的子集的補(bǔ)集為．類(lèi)似地，對(duì)于集合、，我們把集合叫作集合與的差集，記作．例如，，，則有，，下列說(shuō)法正確的是（

）A．若，，則B．若，則C．若是高一（1）班全體同學(xué)的集合，是高一（1）班全體女同學(xué)的集合，則D．若，則2一定是集合的元素例3已知集合，.(1)當(dāng)時(shí)，求；(2)若，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.三．難點(diǎn)題型題型1集合的應(yīng)用：例1設(shè)，其中，，，是1，2，3，4的一個(gè)組合，若下列四個(gè)關(guān)系：①；②；③；④有且只有一個(gè)是錯(cuò)誤的，則滿(mǎn)足條件的的最大值與最小值的差為（

）A． B． C． D．例2（多選題）設(shè)非空集合S?R.若x，y∈S，都有x+y，x-y，xy∈S，則稱(chēng)S是封閉集.下列結(jié)論正確的是（

）A．有理數(shù)集Q是封閉集B．若S是封閉集，則S一定是無(wú)限集C．一定是封閉集D．若是封閉集，則一定是封閉集例3在“①，②A恰有兩個(gè)子集，③”這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下列橫線(xiàn)中，求解下列問(wèn)題.已知集合，（1）若，求實(shí)數(shù)m的值；（2）若集合A滿(mǎn)足__________，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.題型2集合的新定義：例1在整數(shù)集Z中，被4除所得余數(shù)為k的所有整數(shù)組成一個(gè)“類(lèi)”，記為，即，，1，2，3．給出如下四個(gè)結(jié)論：①；②；③；④“整數(shù)a，b屬于同一‘類(lèi)’”的充要條件是“”其中正確的結(jié)論有（

）A．①② B．③④ C．②③ D．②③④例2（多選題）設(shè)是一個(gè)數(shù)集，且至少含有兩個(gè)元素.若對(duì)任意的，都有（除數(shù)），則稱(chēng)是一個(gè)數(shù)域.則關(guān)于數(shù)域的理解正確的是（

）A．有理數(shù)集是一個(gè)數(shù)域B．整數(shù)集是數(shù)域C．若有理數(shù)集，則數(shù)集必為數(shù)域D．?dāng)?shù)域必為無(wú)限集例3已知集合.(1)證明：若，則是偶數(shù)；(2)設(shè)，且，求實(shí)數(shù)的值；(3)若，試判斷是否屬于集合，并說(shuō)明理由.四．活學(xué)活用培優(yōu)訓(xùn)練一、單選題1．設(shè)I為全集，、、是I的三個(gè)非空子集且.則下面論斷正確的是（

）A． B．C． D．2．已知集合，，若，則實(shí)數(shù)a滿(mǎn)足（

）A． B． C． D．3．集合，，若，則（

）A． B． C． D．4．設(shè)全集且，，若，，則這樣的集合共有（

）A．個(gè) B．個(gè)C．個(gè) D．個(gè)二、多選題5．已知全集，集合，，則使成立的實(shí)數(shù)的取值范圍可以是（）A． B．C． D．6．對(duì)于集合M，N，我們把屬于集合M但不屬于集合N的元素組成的集合叫作集合M與N的“差集”，記作，即，且；把集合M與N中所有不屬于的元素組成的集合叫作集合M與N的“對(duì)稱(chēng)差集”，記作，即，且.下列四個(gè)選項(xiàng)中，正確的有（

）A．若，則 B．若，則C． D．三、填空題7．我們將稱(chēng)為集合的“長(zhǎng)度”．若集合，，且，都是集合的子集，則集合的“長(zhǎng)度”的最小值為_(kāi)_____．8．2021年是中國(guó)共產(chǎn)黨成立100周年，電影頻道推出“經(jīng)典頻傳：看電影，學(xué)黨史”系列短視頻，傳揚(yáng)中國(guó)共產(chǎn)黨的偉大精神，為廣大青年群體帶來(lái)精神感召.現(xiàn)有《青春之歌》《建黨偉業(yè)》《開(kāi)國(guó)大典》三支短視頻，某大學(xué)社團(tuán)有50人，觀看了《青春之歌》的有21人，觀看了《建黨偉業(yè)》的有23人，觀看了《開(kāi)國(guó)大典》的有26人.其中，只觀看了《青春之歌》和《建黨偉業(yè)》的有4人，只觀看了《建黨偉業(yè)》和《開(kāi)國(guó)大典》的有7人，只觀看了《青春之歌》和《開(kāi)國(guó)大典》的有6人，三支短視頻全觀看了的有3人，則沒(méi)有觀看任何一支短視頻的人數(shù)為_(kāi)_______.四、解答題9．設(shè)集合，.(1)若，試求；(2)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍．10．設(shè)全集為，，．(1)若，求，；(2)請(qǐng)?jiān)冖?，②，③三個(gè)條件中，任選其中一個(gè)作為條件，并求在該條件下實(shí)數(shù)的取值范圍．（若多個(gè)選擇，只對(duì)第一個(gè)選擇給分．）11．已知集合，或，.(1)當(dāng)時(shí)，求，；(2)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.1.3交集、并集TOC\o"1-4"\h\z\u1.3交集、并集 1知識(shí)框架 1一、基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn) 1知識(shí)點(diǎn)1交集 2知識(shí)點(diǎn)2并集 4知識(shí)點(diǎn)3區(qū)間的概念 6二、典型題型 7題型1交并補(bǔ)的綜合應(yīng)用 9題型2交集、并集性質(zhì)的應(yīng)用 12三、難點(diǎn)題型 14題型1集合的應(yīng)用 15題型2集合的新定義 17四、活學(xué)活用培優(yōu)訓(xùn)練 24一．基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)1交集：1．交集的概念(1)文字語(yǔ)言：一般地，由所有屬于集合A且屬于集合B的元素構(gòu)成的集合，稱(chēng)為A與B的交集，記作A∩B(讀作“A交B”)．(2)符號(hào)語(yǔ)言：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．(3)Venn圖①②③2．交集的性質(zhì)(1)A∩B＝B∩A；(2)A∩B?A；(3)A∩B?B；(4)A∩A＝A；(5)A∩?＝?；(6)A∩(?UA)＝?；(7)A∩U＝A(其中U為全集)．例1已知集合，，則（

）A． B．C． D．或【答案】B【解析】【分析】由交集的定義可求得集合.【詳解】因?yàn)椋?，?故選：B.例2（多選題）已知集合，集合，若，則a的取值可能是（

）A．2 B． C．1 D．0【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)可知，然后對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類(lèi)討論求解.【詳解】解：集合，集合，當(dāng)時(shí)，，成立；當(dāng)時(shí)，，故或，解得或綜上a的取值可能是，，.故選：BCD例3已知集合，集合．(1)當(dāng)時(shí)，求；(2)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍【答案】(1)；(2).【解析】【分析】（1）由題意可得，利用交集的定義運(yùn)算即得；（2）由題可得，即得．(1)當(dāng)時(shí)，，；(2)由，則有：，解得：，即，實(shí)數(shù)的取值范圍為．知識(shí)點(diǎn)2并集：并集(1)文字語(yǔ)言：一般地，由所有屬于集合A或者屬于集合B的元素構(gòu)成的集合，稱(chēng)為A與B的并集，記作A∪B(讀作“A并B”)．(2)符號(hào)語(yǔ)言：A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}．(3)Venn圖①②③(3)并集的性質(zhì)①A∪B＝B∪A；②A?A∪B；③B?A∪B；④A∪A＝A；⑤A∪?＝A；⑥A∪(?UA)＝U；⑦A∪U＝U(其中U為全集)．例1已知集合A，B滿(mǎn)足，若則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】根據(jù)并集的定義求解．【詳解】由題意，所以．故選：D．例2（多選題）已知集合，若，則的取值可以是（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】AB【解析】【分析】根據(jù)并集的結(jié)果可得，即可得到的取值；【詳解】解：因?yàn)椋?，所以或；故選：AB例3已知集合，集合，(1)求；(2)求．【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）由一元二次不等式的解法可求得集合，再由集合的并集定義，計(jì)算即可；（2）先根據(jù)全集和集合求出集合的補(bǔ)集，然后再求出集合的補(bǔ)集與的交集.(1)由題意得，，

．(2)，

∴．知識(shí)點(diǎn)3區(qū)間的概念：區(qū)間的概念(1)設(shè)a，b∈R，且a<b，規(guī)定：[a，b]＝{x|a≤x≤b}，(a，b)＝{x|a<x<b}，[a，b)＝{x|a≤x<b}，(a，b]＝{x|a<x≤b}，(a，＋∞)＝{x|x>a}，(－∞，b)＝{x|x<b}，(－∞，＋∞)＝R.[a，b]，(a，b)分別叫作閉區(qū)間、開(kāi)區(qū)間；[a，b)，(a，b]叫作半開(kāi)半閉區(qū)間；a，b叫作相應(yīng)區(qū)間的端點(diǎn)．(2)區(qū)間的數(shù)軸表示區(qū)間表示數(shù)軸表示[a，b](a，b)[a，b)(a，b][a，＋∞)(a，＋∞)二．典型題型題型1交并補(bǔ)的綜合應(yīng)用：解題技巧：?U(A∪B)＝(?UA)∩(?UB)；?U(A∩B)＝(?UA)∪(?UB)．例1已知集合，集合，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】先分析集合M、N，得到，再對(duì)四個(gè)選項(xiàng)一一判斷.【詳解】，.因?yàn)榭梢员硎九紨?shù)，列舉出為，而可以表示全部整數(shù).所以對(duì)于A：.故A錯(cuò)誤；對(duì)于B、C：.故B正確；C錯(cuò)誤；對(duì)于D：.故D錯(cuò)誤.故選：B例2（多選題）集合，是實(shí)數(shù)集的子集，定義，叫做集合的對(duì)稱(chēng)差．若集合，，則以下說(shuō)法正確的是（

）A． B．C． D．【答案】BC【解析】【分析】計(jì)算，A錯(cuò)誤，，B正確，，C正確，，D錯(cuò)誤，得到答案.【詳解】，A錯(cuò)誤；，，B正確；，C正確；，D錯(cuò)誤.故選：BC.例3已知集合．(1)若，求；(2)若，求m的取值范圍．【答案】(1)，或(2)【解析】【分析】（1）根據(jù)交集、并集和補(bǔ)集的定義即可得解；（2），即，分和兩種情況討論，從而可得出答案.(1)解：若，則，所以，或，所以或；(2)解：因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，則，解得，此時(shí)，符合題意，當(dāng)時(shí)，則，解得，綜上所述，所以若，m的取值范圍為.題型2交集、并集性質(zhì)的應(yīng)用解題技巧：1．在進(jìn)行集合運(yùn)算時(shí)，若條件中出現(xiàn)A∩B＝A或A∪B＝B，應(yīng)轉(zhuǎn)化為A?B，然后用集合間的關(guān)系解決問(wèn)題，并注意A＝?的情況．2．集合運(yùn)算常用的性質(zhì)①A∪B＝B?A?B；②A∩B＝A?A?B；③A∩B＝A∪B?A＝B.例1已知全集，，，則圖中陰影部分表示的集合是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】確定全集中的元素，根據(jù)可確定，再結(jié)合圖中陰影部分的含義即可得答案.【詳解】全集,又因?yàn)?，所?而所以陰影部分表示的集合是即為，故選：B.例2（多選題）我們知道，如果集合，那么的子集的補(bǔ)集為．類(lèi)似地，對(duì)于集合、，我們把集合叫作集合與的差集，記作．例如，，，則有，，下列說(shuō)法正確的是（

）A．若，，則B．若，則C．若是高一（1）班全體同學(xué)的集合，是高一（1）班全體女同學(xué)的集合，則D．若，則2一定是集合的元素【答案】AC【解析】【分析】選項(xiàng)AC符合題意，正確；選項(xiàng)BD可以通過(guò)舉反例來(lái)證明錯(cuò)誤.【詳解】選項(xiàng)A：，，則.判斷正確；選項(xiàng)B：令，，則，但.判斷錯(cuò)誤；選項(xiàng)C：表示高一（1）班全體同學(xué)中去除全體女同學(xué)后剩下的全體同學(xué)的集合，即為高一（1）班全體男同學(xué)的集合，則必有.判斷正確；選項(xiàng)D：令，，則，，此時(shí).判斷錯(cuò)誤；故選：AC例3已知集合，.(1)當(dāng)時(shí)，求；(2)若，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）求出集合A，進(jìn)而求出A的補(bǔ)集，根據(jù)集合的交集運(yùn)算求得答案；（2）根據(jù)，可得，由此列出相應(yīng)的不等式組，解得答案.(1)，則或，當(dāng)時(shí)，，；(2)若，則，，實(shí)數(shù)a的取值范圍為，即.三．難點(diǎn)題型題型1集合的應(yīng)用：例1設(shè)，其中，，，是1，2，3，4的一個(gè)組合，若下列四個(gè)關(guān)系：①；②；③；④有且只有一個(gè)是錯(cuò)誤的，則滿(mǎn)足條件的的最大值與最小值的差為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】因?yàn)橹挥幸粋€(gè)錯(cuò)誤，故分類(lèi)討論，若①錯(cuò)，有兩種情況，若②錯(cuò)則互相矛盾，若③錯(cuò)，有三種情況，若④錯(cuò)，有一種情況，分別求解即可得結(jié)果．【詳解】若①錯(cuò)，則，，，有兩種情況：，，，，或，，，，；若②錯(cuò)，則，，互相矛盾，故②對(duì)；若③錯(cuò)，則，，，有三種情況：，，，，；，，，，；，，，，；若④錯(cuò)，則，，，只有一種情況：，，，，所以故選：C例2（多選題）設(shè)非空集合S?R.若x，y∈S，都有x+y，x-y，xy∈S，則稱(chēng)S是封閉集.下列結(jié)論正確的是（

）A．有理數(shù)集Q是封閉集B．若S是封閉集，則S一定是無(wú)限集C．一定是封閉集D．若是封閉集，則一定是封閉集【答案】AC【解析】【分析】直接利用定義性問(wèn)題和集合的運(yùn)算的應(yīng)用判斷、、、的結(jié)論．【詳解】解：對(duì)于：有理數(shù)集，相加，相減，相乘還為有理數(shù)，故正確；對(duì)于：若，則，，此時(shí)，故為封閉集，故錯(cuò)誤；對(duì)于，任取，，所以，，．，故正確；對(duì)于：若，是封閉集，設(shè)，，則，，但是，不一定屬于，所以不一定是封閉集，故錯(cuò)誤；故選：．例3在“①，②A恰有兩個(gè)子集，③”這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下列橫線(xiàn)中，求解下列問(wèn)題.已知集合，（1）若，求實(shí)數(shù)m的值；（2）若集合A滿(mǎn)足__________，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.【答案】（1）1；（2）選①，選②，或，選③.【解析】【分析】（1）若，代入即可得出結(jié)果.（2）選①，方程無(wú)實(shí)數(shù)根，利用判別式即可得出結(jié)果.選②，A為單元素集，方程只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，分別討論和時(shí)情況，即可求出結(jié)果.選③，方程在區(qū)間內(nèi)有解，等價(jià)于，的值域問(wèn)題，進(jìn)而可得結(jié)果.【詳解】（1）若，則，所以（2）選①，則，則方程無(wú)實(shí)數(shù)根所以，且選②，A恰有兩個(gè)子集，則A為單元素集，則方程只有一個(gè)實(shí)數(shù)根當(dāng)時(shí)，滿(mǎn)足題意當(dāng)時(shí)，所以或選③，，則方程在區(qū)間內(nèi)有解等價(jià)于時(shí)，的值域，所以【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：方程在區(qū)間內(nèi)有解，轉(zhuǎn)化為當(dāng)時(shí)，求的值域問(wèn)題是解題的關(guān)鍵.本題考查了運(yùn)算求解能力和邏輯推理能力，轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想題型2集合的新定義：例1在整數(shù)集Z中，被4除所得余數(shù)為k的所有整數(shù)組成一個(gè)“類(lèi)”，記為，即，，1，2，3．給出如下四個(gè)結(jié)論：①；②；③；④“整數(shù)a，b屬于同一‘類(lèi)’”的充要條件是“”其中正確的結(jié)論有（

）A．①② B．③④ C．②③ D．②③④【答案】D【解析】【分析】根據(jù)“類(lèi)”的定義計(jì)算后可判斷①②④的正誤，根據(jù)集合的包含關(guān)系可判斷③的正誤，從而可得正確的選項(xiàng).【詳解】因?yàn)?，故，故①錯(cuò)誤；而，故，故②正確；由“類(lèi)”的定義可得，任意，設(shè)除以4的余數(shù)為，則，故，所以，故，故③正確若整數(shù)a，b屬于同一“類(lèi)”，設(shè)此類(lèi)為，則，故即，若，故為的倍數(shù)，故a，b除以4的余數(shù)相同，故a，b屬于同一“類(lèi)”，故整數(shù)a，b屬于同一“類(lèi)”的充要條件為，故④正確；例2（多選題）設(shè)是一個(gè)數(shù)集，且至少含有兩個(gè)元素.若對(duì)任意的，都有（除數(shù)），則稱(chēng)是一個(gè)數(shù)域.則關(guān)于數(shù)域的理解正確的是（

）A．有理數(shù)集是一個(gè)數(shù)域B．整數(shù)集是數(shù)域C．若有理數(shù)集，則數(shù)集必為數(shù)域D．?dāng)?shù)域必為無(wú)限集【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)數(shù)域的定義逐項(xiàng)進(jìn)行分析即可求解.【詳解】對(duì)于A，若，則，所以有理數(shù)集是一個(gè)數(shù)域，故A正確；對(duì)于B，因?yàn)樗?，所以整?shù)集不是數(shù)域，故B不正確；對(duì)于C,令數(shù)集，則但，故C不正確；對(duì)于D，根據(jù)定義，如果在數(shù)域中，那么（為整數(shù)），都在數(shù)域中，故數(shù)域必為無(wú)限集，故D正確.故選：AD.例3已知集合.(1)證明：若，則是偶數(shù)；(2)設(shè)，且，求實(shí)數(shù)的值；(3)若，試判斷是否屬于集合，并說(shuō)明理由.【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)；(3)，理由見(jiàn)解析.【解析】【分析】（1）設(shè)出且，則可求出，從而可證明結(jié)論；（2）設(shè)出且，根據(jù)可求出；然后根據(jù)（1）的結(jié)論可得出，從而得到，從而可求出的值；（3）設(shè)出且，從而得到，只需驗(yàn)證，即可得出結(jié)論.(1)若，則且.所以.因?yàn)?，所以原式，因?yàn)?，所以為偶?shù)，即若，則是偶數(shù).(2)因?yàn)椋?，則，所以設(shè)，.由（1）可知，即；所以或.當(dāng)時(shí)，代入可得，此時(shí)，滿(mǎn)足，所以成立；當(dāng)時(shí)，代入解得，不滿(mǎn)足，所以不成立；綜上可知.(3)因?yàn)?，所以可設(shè)且，則，因?yàn)?，，所以成?四．活學(xué)活用培優(yōu)訓(xùn)練一、單選題1．設(shè)I為全集，、、是I的三個(gè)非空子集且.則下面論斷正確的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】【分析】畫(huà)出關(guān)于且含7個(gè)不同區(qū)域的韋恩圖，根據(jù)韋恩圖結(jié)合集合的交并補(bǔ)運(yùn)算確定各選項(xiàng)中對(duì)應(yīng)集合所包含的區(qū)域，并判斷包含關(guān)系.【詳解】將分為7個(gè)部分(各部分可能為空或非空)，如下圖示：所以、、，則，，，所以，故，A錯(cuò)誤；，故，B錯(cuò)誤；，C正確；，顯然與沒(méi)有包含關(guān)系，D錯(cuò)誤.故選：C2．已知集合，，若，則實(shí)數(shù)a滿(mǎn)足（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】由并集結(jié)果得到，分和討論，得到實(shí)數(shù)a的取值范圍.【詳解】因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，，即，滿(mǎn)足題意；當(dāng)時(shí)，若，則或4，當(dāng)時(shí)，，滿(mǎn)足題意；當(dāng)時(shí)，，滿(mǎn)足題意；若，則-2,2是方程的兩根，顯然，故不合題意，綜上：實(shí)數(shù)a滿(mǎn)足.故選：D3．集合，，若，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】由可得，從而可求出，然后解方程求出集合A，B，再求兩集合的并集【詳解】因?yàn)?，所以，所以，解得，所以，，所以，故選：D4．設(shè)全集且，，若，，則這樣的集合共有（

）A．個(gè) B．個(gè)C．個(gè) D．個(gè)【答案】D【解析】【分析】先求出全集，再求出集合的子集即為，再進(jìn)行補(bǔ)集運(yùn)算可得集合，進(jìn)而可得正確選項(xiàng).【詳解】且，的子集有，，，，，，，，的子集有個(gè)，，所以有個(gè)，因?yàn)?，所以存在一個(gè)即有一個(gè)相應(yīng)的，所以，，，，，，，有個(gè)，故選：D.二、多選題5．已知全集，集合，，則使成立的實(shí)數(shù)的取值范圍可以是（）A． B．C． D．【答案】ABC【解析】【分析】討論和時(shí)，計(jì)算，根據(jù)列不等式，解不等式求得的取值范圍，再結(jié)合選項(xiàng)即可得正確選項(xiàng).【詳解】當(dāng)時(shí)，，即，此時(shí)，符合題意，當(dāng)時(shí)，，即，由可得或，因?yàn)?，所以或，可得或，因?yàn)?，所以，所以?shí)數(shù)的取值范圍為或，所以選項(xiàng)ABC正確，選項(xiàng)D不正確；故選：ABC.6．對(duì)于集合M，N，我們把屬于集合M但不屬于集合N的元素組成的集合叫作集合M與N的“差集”，記作，即，且；把集合M與N中所有不屬于的元素組成的集合叫作集合M與N的“對(duì)稱(chēng)差集”，記作，即，且.下列四個(gè)選項(xiàng)中，正確的有（

）A．若，則 B．若，則C． D．【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)集合的新定義得到A正確，當(dāng)時(shí)，，B錯(cuò)誤，根據(jù)定義知C正確，畫(huà)出集合圖形知D正確，得到答案.【詳解】若，則，A正確；當(dāng)時(shí)，，B錯(cuò)誤；，且，C正確；和均表示集合中陰影部分，D正確.故選：ACD.三、填空題7．我們將稱(chēng)為集合的“長(zhǎng)度”．若集合，，且，都是集合的子集，則集合的“長(zhǎng)度”的最小值為_(kāi)_____．【答案】2021【解析】【分析】對(duì)的取值進(jìn)行分類(lèi)討論，結(jié)合“長(zhǎng)度”的定義求得集合的“長(zhǎng)度”的最小值.【詳解】由題意得，的“長(zhǎng)度”為2022，的“長(zhǎng)度”為2023，要使的“長(zhǎng)度”最小，則，分別在的兩端．當(dāng)，時(shí)，得，，則，此時(shí)集合的“長(zhǎng)度”為；當(dāng)，時(shí)，，，則，此時(shí)集合的“長(zhǎng)度”為．故的“長(zhǎng)度”的最小值為2021．故答案為：8．2021年是中國(guó)共產(chǎn)黨成立100周年，電影頻道推出“經(jīng)典頻傳：看電影，學(xué)黨史”系列短視頻，傳揚(yáng)中國(guó)共產(chǎn)黨的偉大精神，為廣大青年群體帶來(lái)精神感召.現(xiàn)有《青春之歌》《建黨偉業(yè)》《開(kāi)國(guó)大典》三支短視頻，某大學(xué)社團(tuán)有50人，觀看了《青春之歌》的有21人，觀看了《建黨偉業(yè)》的有23人，觀看了《開(kāi)國(guó)大典》的有26人.其中，只觀看了《青春之歌》和《建黨偉業(yè)》的有4人，只觀看了《建黨偉業(yè)》和《開(kāi)國(guó)大典》的有7人，只觀看了《青春之歌》和《開(kāi)國(guó)大典》的有6人，三支短視頻全觀看了的有3人，則沒(méi)有觀看任何一支短視頻的人數(shù)為_(kāi)_______.【答案】3【解析】【分析】把大學(xué)社團(tuán)50人形成的集合記為全集U，觀看了《青春之歌》《建黨偉業(yè)》《開(kāi)國(guó)大典》三支短視頻的人形成的集合分別記為A，B，C，作出韋恩圖，數(shù)形結(jié)合計(jì)算即得.【詳解】把大學(xué)社團(tuán)50人形成的集合記為全集U，觀看了《青春之歌》《建黨偉業(yè)》