高一數(shù)學(xué)教材同步知識(shí)點(diǎn)專題詳解(蘇教版必修第一冊(cè))5.3函數(shù)的單調(diào)性(原卷版+解析)

5.3函數(shù)的單調(diào)性TOC\o"1-4"\h\z\u5.3函數(shù)的單調(diào)性 1知識(shí)框架 1一、基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn) 1知識(shí)點(diǎn)1單調(diào)增(減)函數(shù)的概念 2知識(shí)點(diǎn)2函數(shù)的單調(diào)性與單調(diào)區(qū)間 4知識(shí)點(diǎn)3函數(shù)的最大值與最小值 6二、典型題型 7題型1函數(shù)單調(diào)性的判定與證明 9題型2函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用 10三、難點(diǎn)題型 10題型1利用單調(diào)性求函數(shù)的最值 13題型2二次函數(shù)的最值 15四、活學(xué)活用培優(yōu)訓(xùn)練 26一．基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)1單調(diào)增(減)函數(shù)的概念：設(shè)函數(shù)y＝f(x)的定義域?yàn)锳，區(qū)間I?A.如果對(duì)于區(qū)間I內(nèi)的任意兩個(gè)值x1，x2.當(dāng)x1<x2時(shí)，都有(1)f(x1)<f(x2)①稱y＝f(x)在區(qū)間I上是增函數(shù)．②I稱為y＝f(x)的增區(qū)間．(2)f(x1)>f(x2)①稱y＝f(x)在區(qū)間I上為減函數(shù)．②I稱為y＝f(x)的減區(qū)間．例1若函數(shù)在上是增函數(shù)，對(duì)于任意的，（），則下列結(jié)論不正確的是（

）A． B．C． D．例2（多選題）下列函數(shù)中，在區(qū)間上單調(diào)遞增的是（

）A． B． C． D．例3用定義證明函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減．知識(shí)點(diǎn)2函數(shù)的單調(diào)性與單調(diào)區(qū)間：如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間I上是增函數(shù)或減函數(shù)，那么稱函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間I上具有單調(diào)性，增區(qū)間和減區(qū)間統(tǒng)稱為單調(diào)區(qū)間．例1函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（

）A． B．C． D．例2（多選題）函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是（

）A． B． C． D．例3已知函數(shù)f（x）=，（Ⅰ）畫出f（x）的圖象；（Ⅱ）寫出f（x）的值域及單調(diào)遞增區(qū)間．知識(shí)點(diǎn)3函數(shù)的最大值與最小值(1)函數(shù)的最大值：一般地，設(shè)y＝f(x)的定義域?yàn)锳.如果存在x0∈A，使得對(duì)于任意的x∈A，都有f(x)≤f(x0)，那么稱f(x0)為y＝f(x)的最大值，記為ymax＝f(x0)．(2)函數(shù)的最小值：一般地，設(shè)y＝f(x)的定義域?yàn)锳.如果存在x0∈A，使得對(duì)于任意的x∈A，都有f(x)≥f(x0)，那么稱f(x0)為y＝f(x)的最小值，記為ymin＝f(x0)．例1已知函數(shù)在區(qū)間上的最大值為A，最小值為B，則A-B等于（

）A． B． C．1 D．-1例2（多選題）下列四個(gè)命題，其中為假命題的是（

）A．若函數(shù)在時(shí)是增函數(shù)，也是增函數(shù)，則是增函數(shù)B．若函數(shù)的圖象與軸沒有交點(diǎn)，則且C．的單調(diào)遞增區(qū)間為D．和表示同一個(gè)函數(shù)例3已知，函數(shù)．(1)指出在上的單調(diào)性（不需說明理由）；(2)若在上的值域是，求的值．二．典型題型題型1函數(shù)單調(diào)性的判定與證明解題技巧：利用定義證明函數(shù)單調(diào)性的步驟(1)取值：設(shè)x1，x2是該區(qū)間內(nèi)的任意兩個(gè)值，且x1<x2.(2)作差變形：作差f(x1)－f(x2)，并通過因式分解、通分、配方、有理化等手段，轉(zhuǎn)化為易判斷正負(fù)的式子．(3)定號(hào)：確定f(x1)－f(x2)的符號(hào)．(4)結(jié)論：根據(jù)f(x1)－f(x2)的符號(hào)及定義判斷單調(diào)性．例1函數(shù)的圖象如圖所示（圖象與正半軸無限接近，但永遠(yuǎn)不相交），則下列說法正確的是（

）A．函數(shù)的定義城為B．函數(shù)的值域?yàn)镃．當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)不同的值與之對(duì)應(yīng)D．當(dāng)、時(shí)，例2（多選題）如果函數(shù)在上單調(diào)遞增，對(duì)于任意的，，下列結(jié)論中正確的是（

）A． B．C． D．例3已知函數(shù)，且.(1)求函數(shù)的解析式；(2)判斷函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性并用定義法加以證明.題型2函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用解題技巧：1．利用函數(shù)單調(diào)性的定義比較大小，一方面是正向應(yīng)用，即若y＝f(x)在給定區(qū)間上是增函數(shù)，則當(dāng)x1<x2時(shí)，f(x1)<f(x2)，當(dāng)x1>x2時(shí)，f(x1)>f(x2)；另一方面是逆向應(yīng)用，即若y＝f(x)在給定區(qū)間上是增函數(shù)，則當(dāng)f(x1)<f(x2)時(shí)，x1<x2，當(dāng)f(x1)>f(x2)時(shí)，x1>x2.當(dāng)y＝f(x)在給定區(qū)間上是減函數(shù)時(shí)，同理可得相應(yīng)結(jié)論．2．根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性研究參數(shù)的取值范圍，往往會(huì)根據(jù)函數(shù)在某一區(qū)間上的增減性確定不等式，此時(shí)常需要將含參數(shù)的變量單獨(dú)移到一側(cè)，用變量的范圍推出參數(shù)的范圍．例1若函數(shù)在上是增函數(shù)，則與的大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．例2（多選題）已知函數(shù)，下列結(jié)論正確的是（

）A．定義域、值域分別是， B．單調(diào)減區(qū)間是C．定義域、值域分別是， D．單調(diào)減區(qū)間是例3已知函數(shù).(1)根據(jù)絕對(duì)值和分段函數(shù)知識(shí)，將寫成分段函數(shù)；(2)在下面的直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象，寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、值域．（不要求證明）；(3)若在區(qū)間上，滿足，求實(shí)數(shù)的取值范圍.三．難點(diǎn)題型題型1利用單調(diào)性求函數(shù)的最值解題技巧：1．當(dāng)函數(shù)圖象不好作或無法作出時(shí)，往往運(yùn)用函數(shù)單調(diào)性求最值．2．函數(shù)的最值與單調(diào)性的關(guān)系(1)若函數(shù)在閉區(qū)間[a，b]上是減函數(shù)，則f(x)在[a，b]上的最大值為f(a)，最小值為f(b)；(2)若函數(shù)在閉區(qū)間[a，b]上是增函數(shù)，則f(x)在[a，b]上的最大值為f(b)，最小值為f(a)；(3)求最值時(shí)一定要注意所給區(qū)間的開閉，若是開區(qū)間，則不一定有最大(小)值．例1已知，，若，則的最值是（

）最大值為3，最小值 B．最大值為，無最小值 C．最大值為3，無最小值 D．無最大值，最小值為例2（多選題）關(guān)于函數(shù)，下列說法正確的是（

）A．在區(qū)間上單調(diào)遞減 B．單調(diào)遞增區(qū)間為C．最大值為2 D．沒有最小值例3已知函數(shù)(常數(shù)).(1)若，在平面直角坐標(biāo)系中畫出該函數(shù)的圖像;(2)若該函數(shù)在區(qū)間上是嚴(yán)格減函數(shù)，且在上存在自變量，使得函數(shù)值為正，求整數(shù)的值.題型2二次函數(shù)的最值解題技巧：求二次函數(shù)的最大(小)值有兩種類型：一是函數(shù)定義域?yàn)閷?shí)數(shù)集R，這時(shí)只要根據(jù)拋物線的開口方向，應(yīng)用配方法即可求出最大(小)值；二是函數(shù)定義域?yàn)槟骋粎^(qū)間，這時(shí)二次函數(shù)的最大(小)值由它的單調(diào)性確定，而它的單調(diào)性又由拋物線的開口方向和對(duì)稱軸的位置(在區(qū)間內(nèi)，在區(qū)間左側(cè)，在區(qū)間右側(cè))來決定，當(dāng)開口方向或?qū)ΨQ軸位置不確定時(shí)，需要進(jìn)行分類討論．例1已知，則的最大值為（

）A．3 B． C．4 D．例2（多選題）已知，，設(shè)，則關(guān)于的說法正確的是（

）A．最大值為3，最小值為B．最大值為，無最小值C．單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為和D．單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為和例3已知函數(shù)，，若在上的值域?yàn)?，求的值；四．活學(xué)活用培優(yōu)訓(xùn)練一、單選題1．設(shè)，已知函數(shù)是定義在上的減函數(shù)，且，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．2．下列結(jié)論正確的是（

）A．當(dāng)時(shí)， B．若，且，則C．當(dāng)時(shí)，的最小值為2 D．當(dāng)時(shí)，無最大值3．當(dāng)時(shí)，關(guān)于的不等式恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B．C． D．4．函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．5．定義在上的函數(shù)滿足對(duì)任意的（）恒有，若，，，則（

）A． B．C． D．6．已知函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B．C． D．二、多選題7．（多選）下列關(guān)于函數(shù)的結(jié)論正確的是（

）A．單調(diào)遞增區(qū)間是 B．單調(diào)遞減區(qū)間是C．最大值為2 D．沒有最小值8．設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镈，若對(duì)任意的，，都有，則稱滿足“L條件”，則下列函數(shù)不滿足“L條件”的是（

）A．， B．，C．， D．，9．已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則，的取值可以是（

）A．， B．，C．， D．，三、填空題10．已知函數(shù)f（x）＝在R上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為________．11．已知函數(shù)為定義在上的函數(shù)滿足以下兩個(gè)條件：（1）對(duì)于任意的實(shí)數(shù)x，y恒有；（2）在上單調(diào)遞減.請(qǐng)寫出滿足條件的一個(gè)___________.12．已知函數(shù)y＝ax2－2x＋3在[2，＋∞)上是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．四、解答題13．已知函數(shù).判斷在區(qū)間上的單調(diào)性，并用定義法證明.14．已知．(1)若對(duì)，都有成立，求實(shí)數(shù)x的取值范圍；(2)記關(guān)于x的不等式的解集為A，求集合A．15．已知函數(shù)是定義在R上的增函數(shù)，并且滿足，．(1)求的值；(2)若，求的取值范圍．16．已知函數(shù)的解析式.(1)求；(2)若，求的值；(3)畫出的圖象，并寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和值域（直接寫出結(jié)果即可）.5.3函數(shù)的單調(diào)性TOC\o"1-4"\h\z\u5.3函數(shù)的單調(diào)性 1知識(shí)框架 1一、基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn) 1知識(shí)點(diǎn)1單調(diào)增(減)函數(shù)的概念 2知識(shí)點(diǎn)2函數(shù)的單調(diào)性與單調(diào)區(qū)間 4知識(shí)點(diǎn)3函數(shù)的最大值與最小值 6二、典型題型 7題型1函數(shù)單調(diào)性的判定與證明 9題型2函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用 10三、難點(diǎn)題型 10題型1利用單調(diào)性求函數(shù)的最值 13題型2二次函數(shù)的最值 15四、活學(xué)活用培優(yōu)訓(xùn)練 26一．基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)1單調(diào)增(減)函數(shù)的概念：設(shè)函數(shù)y＝f(x)的定義域?yàn)锳，區(qū)間I?A.如果對(duì)于區(qū)間I內(nèi)的任意兩個(gè)值x1，x2.當(dāng)x1<x2時(shí)，都有(1)f(x1)<f(x2)①稱y＝f(x)在區(qū)間I上是增函數(shù)．②I稱為y＝f(x)的增區(qū)間．(2)f(x1)>f(x2)①稱y＝f(x)在區(qū)間I上為減函數(shù)．②I稱為y＝f(x)的減區(qū)間．例1若函數(shù)在上是增函數(shù)，對(duì)于任意的，（），則下列結(jié)論不正確的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的等價(jià)條件進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：由函數(shù)的單調(diào)性定義知，若函數(shù)在給定的區(qū)間上是增函數(shù)，則，與同號(hào)，由此可知，選項(xiàng)A，B，D都正確.若，則，故選項(xiàng)C不正確.故選：C.例2（多選題）下列函數(shù)中，在區(qū)間上單調(diào)遞增的是（

）A． B． C． D．【答案】BCD【分析】A：由反比例函數(shù)的圖象即可判斷；B：由一次函數(shù)的圖象即可判斷；C：開由二次函數(shù)的圖象即可判斷；D：利用單調(diào)性的定義進(jìn)行判斷.【詳解】A：由反比例函數(shù)的圖象可知在區(qū)間和上單調(diào)遞減，故A錯(cuò)誤；B：由一次函數(shù)的圖象可知在區(qū)間上單調(diào)遞減，故B正確；C:開口向上，對(duì)稱軸為，所以在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，故C正確；D：設(shè)，令，，即，由函數(shù)單調(diào)性得概念可知在上單調(diào)遞增，故D正確故選：BCD.例3用定義證明函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減．【答案】證明見解析.【分析】令，應(yīng)用作差法判斷的大小關(guān)系，即可證明結(jié)論.【詳解】任取，且，有，由，則，，且，，∴，即，∴在區(qū)間上單調(diào)遞減．知識(shí)點(diǎn)2函數(shù)的單調(diào)性與單調(diào)區(qū)間：如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間I上是增函數(shù)或減函數(shù)，那么稱函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間I上具有單調(diào)性，增區(qū)間和減區(qū)間統(tǒng)稱為單調(diào)區(qū)間．例1函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】直接由二次函數(shù)的單調(diào)性求解即可.【詳解】由知，函數(shù)為開口向上，對(duì)稱軸為的二次函數(shù)，則單調(diào)遞增區(qū)間是.故選：B.例2（多選題）函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是（

）A． B． C． D．【答案】CD【分析】根據(jù)函數(shù)的開口方向及對(duì)稱軸求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.【詳解】解：函數(shù)開口向上，對(duì)稱軸為，故單調(diào)遞減區(qū)間為，遞增區(qū)間為，故選：CD.例3已知函數(shù)f（x）=，（Ⅰ）畫出f（x）的圖象；（Ⅱ）寫出f（x）的值域及單調(diào)遞增區(qū)間．【答案】（Ⅰ）圖象見解析；（Ⅱ）值域?yàn)椋瑔握{(diào)遞增區(qū)間為，.【解析】（Ⅰ）根據(jù)分段函數(shù)的函數(shù)解析式畫出即可；（Ⅱ）觀察圖象即可求出值域和單調(diào)遞增區(qū)間.【詳解】（Ⅰ）函數(shù)f（x）的圖象如下，（Ⅱ）根據(jù)函數(shù)f（x）的圖象可知，f（x）的值域?yàn)?，單調(diào)遞增區(qū)間為，.【點(diǎn)睛】本題考查分段函數(shù)圖象的畫法，考查根據(jù)圖象求函數(shù)值域和單調(diào)區(qū)間，屬于基礎(chǔ)題.知識(shí)點(diǎn)3函數(shù)的最大值與最小值(1)函數(shù)的最大值：一般地，設(shè)y＝f(x)的定義域?yàn)锳.如果存在x0∈A，使得對(duì)于任意的x∈A，都有f(x)≤f(x0)，那么稱f(x0)為y＝f(x)的最大值，記為ymax＝f(x0)．(2)函數(shù)的最小值：一般地，設(shè)y＝f(x)的定義域?yàn)锳.如果存在x0∈A，使得對(duì)于任意的x∈A，都有f(x)≥f(x0)，那么稱f(x0)為y＝f(x)的最小值，記為ymin＝f(x0)．例1已知函數(shù)在區(qū)間上的最大值為A，最小值為B，則A-B等于（

）A． B． C．1 D．-1【答案】A【解析】利用的單調(diào)性將區(qū)間值代入可求得答案.【詳解】函數(shù)在區(qū)間是減函數(shù)，所以時(shí)有最大值為1，即A=1，時(shí)有最小值，即B=，則,故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查反比例函數(shù)的單調(diào)性及最值，屬于基礎(chǔ)題.例2（多選題）下列四個(gè)命題，其中為假命題的是（

）A．若函數(shù)在時(shí)是增函數(shù)，也是增函數(shù)，則是增函數(shù)B．若函數(shù)的圖象與軸沒有交點(diǎn)，則且C．的單調(diào)遞增區(qū)間為D．和表示同一個(gè)函數(shù)【答案】ABCD【分析】根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，以及函數(shù)的圖象，結(jié)合函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求解方法以及函數(shù)相等的定義，對(duì)每個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行逐一分析，即可判斷和選擇.【詳解】對(duì)于，如在時(shí)是增函數(shù)，在時(shí)也是增函數(shù)，但不能說為增函數(shù)，故A是假命題；對(duì)于，當(dāng)時(shí)，函數(shù)與軸沒有交點(diǎn)，此時(shí)不滿足結(jié)論，故是假命題；對(duì)于，畫出的圖象如下所示：數(shù)形結(jié)合可知：?jiǎn)握{(diào)遞增區(qū)間為和，故是假命題；對(duì)于與的對(duì)應(yīng)關(guān)系不同，故D是假命題.故選：.例3已知，函數(shù)．(1)指出在上的單調(diào)性（不需說明理由）；(2)若在上的值域是，求的值．【答案】(1)在上是增函數(shù)(2)2【分析】（1）由于，利用反比例函數(shù)的性質(zhì)，即可得到結(jié)果；（2）根據(jù)（1）的函數(shù)單調(diào)性，可知，，解方程即可求出結(jié)果.(1)解：因?yàn)?，所以在上是增函?shù)．(2)解：易知，由（1）可知在上為增函數(shù)．，解得，由得，解得．二．典型題型題型1函數(shù)單調(diào)性的判定與證明解題技巧：利用定義證明函數(shù)單調(diào)性的步驟(1)取值：設(shè)x1，x2是該區(qū)間內(nèi)的任意兩個(gè)值，且x1<x2.(2)作差變形：作差f(x1)－f(x2)，并通過因式分解、通分、配方、有理化等手段，轉(zhuǎn)化為易判斷正負(fù)的式子．(3)定號(hào)：確定f(x1)－f(x2)的符號(hào)．(4)結(jié)論：根據(jù)f(x1)－f(x2)的符號(hào)及定義判斷單調(diào)性．例1函數(shù)的圖象如圖所示（圖象與正半軸無限接近，但永遠(yuǎn)不相交），則下列說法正確的是（

）A．函數(shù)的定義城為B．函數(shù)的值域?yàn)镃．當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)不同的值與之對(duì)應(yīng)D．當(dāng)、時(shí)，【答案】D【分析】利用圖象可判斷ABC選項(xiàng)的正誤，由圖象可得出函數(shù)在上的單調(diào)性，可判斷D選項(xiàng)的正誤.【詳解】對(duì)于A：由圖象可知：函數(shù)在沒有圖象，故定義城不是，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：由圖象可知函數(shù)的值域?yàn)?，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：由圖象可知，當(dāng)時(shí)，有個(gè)不同的值與之對(duì)應(yīng)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：由圖象可知函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，當(dāng)、時(shí)，不妨設(shè)，則，則，故D正確.故選：D.例2（多選題）如果函數(shù)在上單調(diào)遞增，對(duì)于任意的，，下列結(jié)論中正確的是（

）A． B．C． D．【答案】AB【分析】根據(jù)單調(diào)性的定義得出與的關(guān)系后判斷．【詳解】由函數(shù)單調(diào)性的定義，可知若函數(shù)在給定的區(qū)間上單調(diào)遞增，則與同號(hào)，由此可知，選項(xiàng)A，B正確，D錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C，因?yàn)?，的大小關(guān)系無法判斷，所以，的大小關(guān)系也無法判斷，故C錯(cuò)誤，故選：AB．例3已知函數(shù)，且.(1)求函數(shù)的解析式；(2)判斷函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性并用定義法加以證明.【答案】(1)(2)單調(diào)遞增，證明見解析【分析】（1）直接根據(jù)題意代入求值即可；（2）根據(jù)定義法判斷函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性即可.（1）因?yàn)?，所以，所?（2）函數(shù)在上單調(diào)遞增，證明如下：任取，且，所以，因?yàn)?，所以所以，即，所以在上單調(diào)遞增.題型2函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用解題技巧：1．利用函數(shù)單調(diào)性的定義比較大小，一方面是正向應(yīng)用，即若y＝f(x)在給定區(qū)間上是增函數(shù)，則當(dāng)x1<x2時(shí)，f(x1)<f(x2)，當(dāng)x1>x2時(shí)，f(x1)>f(x2)；另一方面是逆向應(yīng)用，即若y＝f(x)在給定區(qū)間上是增函數(shù)，則當(dāng)f(x1)<f(x2)時(shí)，x1<x2，當(dāng)f(x1)>f(x2)時(shí)，x1>x2.當(dāng)y＝f(x)在給定區(qū)間上是減函數(shù)時(shí)，同理可得相應(yīng)結(jié)論．2．根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性研究參數(shù)的取值范圍，往往會(huì)根據(jù)函數(shù)在某一區(qū)間上的增減性確定不等式，此時(shí)常需要將含參數(shù)的變量單獨(dú)移到一側(cè)，用變量的范圍推出參數(shù)的范圍．例1若函數(shù)在上是增函數(shù)，則與的大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由一次函數(shù)性質(zhì)得，再由單調(diào)性比較函數(shù)值大小.【詳解】依題意，即，由于在上單調(diào)遞增，所以.故選：B例2（多選題）已知函數(shù)，下列結(jié)論正確的是（

）A．定義域、值域分別是， B．單調(diào)減區(qū)間是C．定義域、值域分別是， D．單調(diào)減區(qū)間是【答案】BC【分析】首先根據(jù)題意得到，從而得到函數(shù)的定義域?yàn)椋Y(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)得到函數(shù)和單調(diào)減區(qū)間是，再依次判斷選項(xiàng)即可.【詳解】要使函數(shù)有意義，則有，解得，所以函數(shù)的定義域?yàn)椋驗(yàn)?，，時(shí)，，或時(shí)，，所以．因?yàn)閽佄锞€的對(duì)稱軸為直線，開口向下，，所以的單調(diào)減區(qū)間是．故選：BC．例3已知函數(shù).(1)根據(jù)絕對(duì)值和分段函數(shù)知識(shí)，將寫成分段函數(shù)；(2)在下面的直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象，寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、值域．（不要求證明）；(3)若在區(qū)間上，滿足，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)圖象見解析；單調(diào)增區(qū)間，單調(diào)減區(qū)間；值域?yàn)?3)【分析】（1）根據(jù)絕對(duì)值的知識(shí)將寫成分段函數(shù)的形式.（2）根據(jù)的解析式畫出的圖象，結(jié)合圖象求得的單調(diào)區(qū)間、值域.（3）結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性列不等式組，由此求得的取值范圍.（1）.（2）的圖象如下圖所示：由圖可知：的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間，值域?yàn)椋?（3）由（2）可知：在區(qū)間上單調(diào)遞增，由得，解得：.三．難點(diǎn)題型題型1利用單調(diào)性求函數(shù)的最值解題技巧：1．當(dāng)函數(shù)圖象不好作或無法作出時(shí)，往往運(yùn)用函數(shù)單調(diào)性求最值．2．函數(shù)的最值與單調(diào)性的關(guān)系(1)若函數(shù)在閉區(qū)間[a，b]上是減函數(shù)，則f(x)在[a，b]上的最大值為f(a)，最小值為f(b)；(2)若函數(shù)在閉區(qū)間[a，b]上是增函數(shù)，則f(x)在[a，b]上的最大值為f(b)，最小值為f(a)；(3)求最值時(shí)一定要注意所給區(qū)間的開閉，若是開區(qū)間，則不一定有最大(小)值．例1已知，，若，則的最值是（

）最大值為3，最小值 B．最大值為，無最小值 C．最大值為3，無最小值 D．無最大值，最小值為【答案】B【分析】作出的圖象，其實(shí)表示的是較小的值.如圖實(shí)線部分，知有最大值而無最小值，且最大值不是3，故可得答案．【詳解】解：根據(jù)已知條件，可以求出，如圖所示，在A處取得最大值，沒有最小值.由得.所以有最大值，無最小值.故選：B．例2（多選題）關(guān)于函數(shù)，下列說法正確的是（

）A．在區(qū)間上單調(diào)遞減 B．單調(diào)遞增區(qū)間為C．最大值為2 D．沒有最小值【答案】ABC【分析】先求出函數(shù)定義域，令，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，由已知解析式，逐項(xiàng)判斷，即可得出結(jié)果.【詳解】由得，即函數(shù)的定義域?yàn)?，令，則的圖象是開口向下，對(duì)稱軸為x＝－1的拋物線，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故A，B正確；，當(dāng)x＝－3時(shí)，，當(dāng)x＝1時(shí)，，則，故C正確，D錯(cuò)誤.故選：ABC.例3已知函數(shù)(常數(shù)).(1)若，在平面直角坐標(biāo)系中畫出該函數(shù)的圖像;(2)若該函數(shù)在區(qū)間上是嚴(yán)格減函數(shù)，且在上存在自變量，使得函數(shù)值為正，求整數(shù)的值.【答案】(1)見解析(2)或【分析】（1）先對(duì)函數(shù)化簡(jiǎn)，再列表，描點(diǎn)，連線可得函數(shù)圖像，（2）由函數(shù)在區(qū)間上是嚴(yán)格減函數(shù)，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性的定義可得，再由在上存在自變量，使得函數(shù)值為正，可得在上有解，從而可求出的范圍，進(jìn)而可得整數(shù)的值.（1）當(dāng)時(shí)，，列表如下：……0…………032……函數(shù)圖像如下：（2），任取，且，因?yàn)樵摵瘮?shù)在區(qū)間上是嚴(yán)格減函數(shù)，所以，因?yàn)?，所以，因?yàn)樗?，得，因?yàn)樵谏洗嬖谧宰兞浚沟煤瘮?shù)值為正，所以在上有解，因?yàn)?，所以在上有解，所以在上有解，所以，因?yàn)樵谏线f增，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值為，所以，綜上，因?yàn)?，所以或題型2二次函數(shù)的最值解題技巧：求二次函數(shù)的最大(小)值有兩種類型：一是函數(shù)定義域?yàn)閷?shí)數(shù)集R，這時(shí)只要根據(jù)拋物線的開口方向，應(yīng)用配方法即可求出最大(小)值；二是函數(shù)定義域?yàn)槟骋粎^(qū)間，這時(shí)二次函數(shù)的最大(小)值由它的單調(diào)性確定，而它的單調(diào)性又由拋物線的開口方向和對(duì)稱軸的位置(在區(qū)間內(nèi)，在區(qū)間左側(cè)，在區(qū)間右側(cè))來決定，當(dāng)開口方向或?qū)ΨQ軸位置不確定時(shí)，需要進(jìn)行分類討論．例1已知，則的最大值為（

）A．3 B． C．4 D．【答案】C【分析】分和去絕對(duì)值后，分別求出最大值，即可求解.【詳解】當(dāng)時(shí)，，又，顯然當(dāng)或2，時(shí)，該式取得最大值；當(dāng)時(shí)，，又，顯然當(dāng)，時(shí)，該式取得最大值；綜上：的最大值為4.故選：C.例2（多選題）已知，，設(shè)，則關(guān)于的說法正確的是（

）A．最大值為3，最小值為B．最大值為，無最小值C．單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為和D．單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為和【答案】BC【分析】在同一坐標(biāo)系中由與的圖象得出函數(shù)的圖象，結(jié)合圖象即可得出的性質(zhì)，判斷各選項(xiàng)．【詳解】在同一坐標(biāo)系中先畫出與的圖象，當(dāng)時(shí)，，表示的圖象在的圖象下方就留下的圖象，當(dāng)時(shí)，，表示的圖象在的圖象下方就留下的圖象，然后根據(jù)定義畫出，就容易看出有最大值，無最小值，故A錯(cuò)誤，當(dāng)時(shí)，由，得舍或，此時(shí)的最大值為：，無最小值，故B正確，時(shí)，由，解得：（舍去），故F在，遞增，在和遞減故C正確，D錯(cuò)誤，故選：BC．例3已知函數(shù)，，若在上的值域?yàn)?，求的值；【答案?【分析】討論二次函數(shù)的對(duì)稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系，求出函數(shù)的單調(diào)性，由條件列方程求.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)，，對(duì)稱軸，且，，，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，即，此時(shí)無解；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，即，解得；當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)在取得最小值，所以，即，化簡(jiǎn)得，解方程可得，又所以方程在上無解，綜上得：.四．活學(xué)活用培優(yōu)訓(xùn)練一、單選題1．設(shè)，已知函數(shù)是定義在上的減函數(shù)，且，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)函數(shù)的定義域，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性求解即可.【詳解】∵函數(shù)是定義在上的減函數(shù)，且，∴，解得.故選：C2．下列結(jié)論正確的是（

）A．當(dāng)時(shí)， B．若，且，則C．當(dāng)時(shí)，的最小值為2 D．當(dāng)時(shí)，無最大值【答案】A【分析】由基本不等式判斷選項(xiàng)A，舉例判斷B，確定等號(hào)成立的條件判斷C，由函數(shù)的單調(diào)性判斷D．【詳解】選項(xiàng)A，時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，A正確；選項(xiàng)B，例如，則，B錯(cuò)；選項(xiàng)C，，但取不到1，C錯(cuò)；選項(xiàng)D，時(shí)，函數(shù)是增函數(shù)，所以時(shí)，，D錯(cuò)．故選：A．3．當(dāng)時(shí)，關(guān)于的不等式恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】分離參變量得恒成立，只用可求解.【詳解】當(dāng)時(shí)，由恒成立可得，恒成立，令，，當(dāng)，即當(dāng)時(shí)，取得最小值為，因?yàn)楹愠闪ⅲ?，?故選:B．4．函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由分段函數(shù)單調(diào)性列不等式組求解【詳解】，故在上單調(diào)遞減，由題意得解得，故選：B5．定義在上的函數(shù)滿足對(duì)任意的（）恒有，若，，，則（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)已知，利用函數(shù)單調(diào)性的定義判斷函數(shù)的單調(diào)性，再利用單調(diào)性比較大小.【詳解】因?yàn)椋?，即，因?yàn)槎x在上的函數(shù)對(duì)任意的（）都滿足，所以在上單調(diào)遞增，因?yàn)椋?，，所以，?故A，C，D錯(cuò)誤.故選：B.6．已知函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用換元法以及復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的法則進(jìn)行處理.【詳解】當(dāng)a=0時(shí)，，不符合題意.當(dāng)a>0時(shí)，設(shè)，則函數(shù)，因?yàn)樵趨^(qū)間上單調(diào)遞減，要使函數(shù)在上單調(diào)遞減，則，解得.當(dāng)a<0時(shí)，在區(qū)間上為增函數(shù)，要使函數(shù)在上單調(diào)遞減，則，解得a<0.綜上，a的取值范圍為.故B，C，D錯(cuò)誤.故選：A.二、多選題7．（多選）下列關(guān)于函數(shù)的結(jié)論正確的是（

）A．單調(diào)遞增區(qū)間是 B．單調(diào)遞減區(qū)間是C．最大值為2 D．沒有最小值【答案】AC【分析】先求的定義域排除選項(xiàng)B，再利用一元二次函數(shù)的性質(zhì)與復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求得的單調(diào)性，進(jìn)而求其最值.【詳解】要使函數(shù)有意義，則，得，故B錯(cuò)誤；函數(shù)由與復(fù)合而成，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，又在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故,又，所以，故A，C正確，D錯(cuò)誤．故選：AC.8．設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镈，若對(duì)任意的，，都有，則稱滿足“L條件”，則下列函數(shù)不滿足“L條件”的是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】ACD【分析】根據(jù)“L條件”的定義對(duì)選項(xiàng)逐一分析，結(jié)合特殊值法、函數(shù)的單調(diào)性、最值等知識(shí)確定正確選項(xiàng).【詳解】由定義知函數(shù)的最大值與最小值差的絕對(duì)值小于1.選項(xiàng)A，，，取，，則，不滿足“L條件”；選項(xiàng)B，，，任取，，其中，當(dāng)時(shí)，，遞減；當(dāng)時(shí)，，遞增，即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以的最小值為，最大值為，所以對(duì)任意的，，都有，所以，滿足“L條件”；選項(xiàng)C，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，，，所以的最大值為，最小值為，，所以，不滿足“L條件”；選項(xiàng)D，函數(shù)在上單調(diào)遞增，顯然不滿足“L條件”.故選：ACD9．已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則，的取值可以是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】AC【分析】分離常數(shù)得，若在單調(diào)遞增，則滿足，檢驗(yàn)選項(xiàng)即可求解.【詳解】在上單調(diào)遞增,則滿足:,即,故，滿足，，滿足，故選:AC三、填空題10．已知函數(shù)f（x）＝在R上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為________．【答案】【分析】要使f（x）在R上單調(diào)遞增，必須滿足：f（x）在(－∞，1)上單調(diào)遞增，f（x）在(1，＋∞)上單調(diào)遞增；又x=1時(shí)，(x2－2ax)≥(x＋1)．【詳解】要使f（x）在R上單調(diào)遞增，必須滿足三條：第一條：f（x）在(－∞，1)上單調(diào)遞增；第二條：f（x）在(1，＋∞)上單調(diào)遞增；第三條：x=1時(shí)，(