人教版高一數(shù)學(xué)新教材同步配套教學(xué)講義4.5.1函數(shù)的零點(diǎn)與方程的解(原卷版+解析)

4.5.1函數(shù)的零點(diǎn)與方程的解【題型歸納目錄】題型一：求函數(shù)的零點(diǎn)題型二：根據(jù)零點(diǎn)求函數(shù)解析式的參數(shù)題型三：零點(diǎn)存在性定理的應(yīng)用題型四：根據(jù)零點(diǎn)所在區(qū)間求參數(shù)范圍題型五：根據(jù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍題型六：一次函數(shù)零點(diǎn)分布求參數(shù)范圍題型七：二次函數(shù)零點(diǎn)分布求參數(shù)范圍題型八：指對(duì)冪函數(shù)零點(diǎn)分布求參數(shù)范圍題型九：函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用【知識(shí)點(diǎn)梳理】知識(shí)點(diǎn)一：函數(shù)的零點(diǎn)1、函數(shù)的零點(diǎn)（1）一般地，如果函數(shù)在實(shí)數(shù)處的值等于零，即，則叫做這個(gè)函數(shù)的零點(diǎn).知識(shí)點(diǎn)詮釋：①函數(shù)的零點(diǎn)是一個(gè)實(shí)數(shù)，當(dāng)函數(shù)的自變量取這個(gè)實(shí)數(shù)時(shí)，其函數(shù)值等于零；②函數(shù)的零點(diǎn)也就是函數(shù)的圖象與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)；③函數(shù)的零點(diǎn)就是方程的實(shí)數(shù)根．歸納：方程有實(shí)數(shù)根函數(shù)的圖象與軸有交點(diǎn)函數(shù)有零點(diǎn)．（2）二次函數(shù)的零點(diǎn)二次函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，方程的實(shí)根個(gè)數(shù)見(jiàn)下表.判別式方程的根函數(shù)的零點(diǎn)兩個(gè)不相等的實(shí)根兩個(gè)零點(diǎn)兩個(gè)相等的實(shí)根一個(gè)二重零點(diǎn)無(wú)實(shí)根無(wú)零點(diǎn)（3）二次函數(shù)零點(diǎn)的性質(zhì)①二次函數(shù)的圖象是連續(xù)的，當(dāng)它通過(guò)零點(diǎn)時(shí)（不是二重零點(diǎn)），函數(shù)值變號(hào).②相鄰兩個(gè)零點(diǎn)之間的所有的函數(shù)值保持同號(hào).引伸：對(duì)任意函數(shù)，只要它的圖象是連續(xù)不間斷的，上述性質(zhì)同樣成立.2、函數(shù)零點(diǎn)的判定（1）利用函數(shù)零點(diǎn)存在性的判定定理如果函數(shù)在一個(gè)區(qū)間上的圖象不間斷，并且在它的兩個(gè)端點(diǎn)處的函數(shù)值異號(hào)，即，則這個(gè)函數(shù)在這個(gè)區(qū)間上，至少有一個(gè)零點(diǎn)，即存在一點(diǎn)，使，這個(gè)也就是方程的根.知識(shí)點(diǎn)詮釋：①滿足上述條件，我們只能判定區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)，但不能確定有幾個(gè)．若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)，則只有一個(gè)；若不單調(diào)，則個(gè)數(shù)不確定．②若函數(shù)在區(qū)間上有，在內(nèi)也可能有零點(diǎn)，例如在上，在區(qū)間上就是這樣的．故在內(nèi)有零點(diǎn)，不一定有．③若函數(shù)在區(qū)間上的圖象不是連續(xù)不斷的曲線，在內(nèi)也可能是有零點(diǎn)，例如函數(shù)在上就是這樣的．（2）利用方程求解法求函數(shù)的零點(diǎn)時(shí)，先考慮解方程，方程無(wú)實(shí)根則函數(shù)無(wú)零點(diǎn)，方程有實(shí)根則函數(shù)有零點(diǎn)．（3）利用數(shù)形結(jié)合法函數(shù)的零點(diǎn)就是方程的實(shí)數(shù)根，也就是函數(shù)的圖象與的圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)．【方法技巧與總結(jié)】1、函數(shù)在區(qū)間上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，，且具有單調(diào)性，則函數(shù)在區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)零點(diǎn).2、函數(shù)在區(qū)間上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)，且函數(shù)具有單調(diào)性，則3、零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷方法（1）直接法：直接求零點(diǎn)，令，如果能求出解，則有幾個(gè)不同的解就有幾個(gè)零點(diǎn).（2）定理法：利用零點(diǎn)存在定理，函數(shù)的圖象在區(qū)間上是連續(xù)不斷的曲線，且，結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性)才能確定函數(shù)有多少個(gè)零點(diǎn).（3）數(shù)形結(jié)合法：①單個(gè)函數(shù)圖象：利用圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，畫(huà)出函數(shù)的圖象，函數(shù)的圖象與軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)就是函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；②兩個(gè)函數(shù)圖象：將函數(shù)拆成兩個(gè)函數(shù)和的差，根據(jù)，則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)就是函數(shù)和的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù).4、判斷函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間（1）將區(qū)間端點(diǎn)代入函數(shù)求函數(shù)的值；（2）將所得函數(shù)值相乘，并進(jìn)行符號(hào)判斷；（3）若符號(hào)為正且在該區(qū)間內(nèi)是遞增或遞減，則函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)無(wú)零點(diǎn)；若符號(hào)為負(fù)且函數(shù)圖象連續(xù)，則函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)至少一個(gè)零點(diǎn)。5、已知函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)，求參數(shù)取值范圍的方法（1）直接法：利用零點(diǎn)存在的判定定理建立不等式；（2）數(shù)形結(jié)合法：轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)問(wèn)題，再結(jié)合圖象求參數(shù)的取值范圍；（3）分離參數(shù)法：分離參數(shù)后轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域問(wèn)題．【典型例題】題型一：求函數(shù)的零點(diǎn)例1．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）函數(shù)的零點(diǎn)為（

）A．10 B．9 C．（10，0） D．（9，0）例2．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）若是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)，則的另一個(gè)零點(diǎn)為（

）A．1 B．2 C．（1，0） D．（2，0）例3．（2022·廣西玉林·高一期末）若關(guān)于x的不等式的解集為，則關(guān)于函數(shù)，下列說(shuō)法不正確的是（

）A．在上單調(diào)遞減 B．有2個(gè)零點(diǎn)，分別為1和3C．在上單調(diào)遞增 D．最小值是變式1．（2022·全國(guó)·高一專題練習(xí)）若為奇函數(shù)，且是的一個(gè)零點(diǎn)，則一定是下列哪個(gè)函數(shù)的零點(diǎn)（

）A． B．C． D．【方法技巧與總結(jié)】求函數(shù)的零點(diǎn)就是求相應(yīng)方程的實(shí)數(shù)根，一般可以借助求根公式或因式分解等方法，求出方程的根，從而得到函數(shù)的零點(diǎn).題型二：根據(jù)零點(diǎn)求函數(shù)解析式的參數(shù)例4．（2022·全國(guó)·高一專題練習(xí)）若滿足，滿足，則________.例5．（2022·安徽·高一階段練習(xí)）若正實(shí)數(shù)是方程的根，則___________．例6．（2022·全國(guó)·高一單元測(cè)試）已知實(shí)數(shù)滿足，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則關(guān)于函數(shù)的零點(diǎn)的下列關(guān)系式一定正確的是（

）A． B．C． D．變式2．（2022·北京市八一中學(xué)高一階段練習(xí)）已知，若是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)，是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)，則的值為（

）A．1 B．2021 C． D．4016變式3．（2022·四川達(dá)州·高一期末）已知2是函數(shù)（為常數(shù)）的零點(diǎn)，且，則的值為（

）A． B． C．4 D．3變式4．（2022·湖北·高一階段練習(xí)）若實(shí)數(shù)，滿足，，則（

）A． B．1 C． D．2題型三：零點(diǎn)存在性定理的應(yīng)用例7．（2022·內(nèi)蒙古·北方重工集團(tuán)第五中學(xué)高一階段練習(xí)（文））函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間是（

）A． B． C． D．例8．（2022·山東·臨沂二十四中高一階段練習(xí)）方程的根所在的區(qū)間是（

）A． B． C． D．例9．（2022·山西·長(zhǎng)治市第四中學(xué)校高一期末）函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間為（

）A． B． C． D．變式5．（2022·重慶·巫山縣官渡中學(xué)高一期末）在下列區(qū)間中，函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)所在的區(qū)間為（

）．A． B． C． D．【方法技巧與總結(jié)】解答這類判斷函數(shù)零點(diǎn)的大致區(qū)間的選擇題，只需用函數(shù)零點(diǎn)的存在性定理依次檢驗(yàn)所提供的區(qū)間，即可得到答案．題型四：根據(jù)零點(diǎn)所在區(qū)間求參數(shù)范圍例10．（2022·內(nèi)蒙古包頭·高一期末）已知為冪函數(shù)，（，且）的圖象過(guò)點(diǎn)．，若的零點(diǎn)所在區(qū)間為，那么（

）A．3 B．2 C．1 D．0例11．（2022·海南·高一期末）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．例12．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）若函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)0，1，，且(1，2)，則a的取值范圍是（

）A．(-2，0) B．(1，2) C．(2，3) D．(-3，-2)變式6．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）若函數(shù)在區(qū)間上有零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．變式7．（2022·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)的零點(diǎn)在區(qū)間上，則（

）A．1 B．2 C．3 D．4變式8．（2022·江蘇·高一單元測(cè)試）若函數(shù)在區(qū)間中恰好有一個(gè)零點(diǎn)，則的值可能是（

）A．-2 B．0 C．1 D．3變式9．（2022·全國(guó)·高一單元測(cè)試）已知函數(shù)，若a，b，c互不相等，且，則abc的取值范圍是（

）A． B． C． D．題型五：根據(jù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍例13．（2022·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)若函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．例14．（2022·山西長(zhǎng)治·高一期末）若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則整數(shù)a的值共有（

）A．7個(gè) B．8個(gè) C．9個(gè) D．17個(gè)例15．（2022·浙江·高一階段練習(xí)）已知函數(shù)，若存在互不相等的實(shí)數(shù)，滿足，則的取值范圍是__________．變式10．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)若關(guān)于x的方程有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是________．變式11．（2022·湖北·黃石一中高一期中）已知函數(shù)若方程有且僅有三個(gè)不等實(shí)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（

）A． B． C． D．變式12．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)有零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．變式13．（2022·北京大興·高一期末）若函數(shù)恰有個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．變式14．（2022·全國(guó)·高一單元測(cè)試）已知函數(shù)有唯一的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的值為（

）A．1 B．－1 C．0 D．－2【方法技巧與總結(jié)】體現(xiàn)了函數(shù)與方程的互相轉(zhuǎn)化，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，它對(duì)于解決有更多限制條件的問(wèn)題提供了一種新的途徑．題型六：一次函數(shù)零點(diǎn)分布求參數(shù)范圍例16．（2022·全國(guó)·高一專題練習(xí)）函數(shù)的零點(diǎn)為，則實(shí)數(shù)的值為（

）A． B． C． D．例17．（2022·天津南開(kāi)·高一期末）已知函數(shù)f（x）=ax-3（a>0，且a≠1），f（x0）=0，若x0∈（0，1），則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，+）例18．（2022·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)在區(qū)間上存在零點(diǎn)，則（

）A． B． C．或 D．變式15．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）若函數(shù)在內(nèi)恰有一解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．變式16．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)在區(qū)間上存在零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A．B．C．D．變式17．（2022·全國(guó)·高一單元測(cè)試）已知且在內(nèi)存在零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A． B． C． D．題型七：二次函數(shù)零點(diǎn)分布求參數(shù)范圍例19．（2022·江蘇·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)，若在其定義域內(nèi)存在實(shí)數(shù)滿足，則稱函數(shù)為“局部奇函數(shù)”，若函數(shù)是定義在上的“局部奇函數(shù)”，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．例20．（2022·廣東·化州市第三中學(xué)高一期末）若方程的兩實(shí)根中一個(gè)小于，另一個(gè)大于，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．例21．（2022·江蘇·南京市金陵中學(xué)河西分校高一階段練習(xí)）已知關(guān)于x的不等式（4x﹣3）2≤4ax2的解集中恰有三個(gè)整數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A．[，3] B．（2，3] C．（2，] D．變式18．（2022·四川成都·高一開(kāi)學(xué)考試）若關(guān)于x的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根、，且滿足，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是（

）A．（2，5） B．C． D．變式19．（2022·山東·招遠(yuǎn)市第二中學(xué)高一階段練習(xí)）已知實(shí)數(shù)，關(guān)于x的方程有兩個(gè)實(shí)根，，且，則實(shí)數(shù)a，b，，的大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．變式20．（2022·廣東·深圳實(shí)驗(yàn)學(xué)校高中部高一階段練習(xí)）若關(guān)于的方程在內(nèi)有解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．變式21．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)的零點(diǎn)至少有一個(gè)大于0，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．變式22．（2022·江蘇省鎮(zhèn)江中學(xué)高一階段練習(xí)）函數(shù)在上存在零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B．或 C． D．或變式23．（2022·吉林·長(zhǎng)春吉大附中實(shí)驗(yàn)學(xué)校高一階段練習(xí)）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)恰有一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．變式24．（2022·湖南省臨澧縣第一中學(xué)高一階段練習(xí)）已知一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，，且，則m的值為（

）A．-4 B．-5 C．-6 D．-7題型八：指對(duì)冪函數(shù)零點(diǎn)分布求參數(shù)范圍例22．（2022·內(nèi)蒙古·阿拉善盟第一中學(xué)高一期末）已知函數(shù)的零點(diǎn)位于區(qū)間（）內(nèi)，則（

）A．1 B．2C． D．4例23．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)的零點(diǎn)位于區(qū)間內(nèi)，則整數(shù)（

）A．1 B．2 C．3 D．4例24．（2022·全國(guó)·高一單元測(cè)試）已知函數(shù)，，的零點(diǎn)分別為，，，以下說(shuō)法正確的是（

）A． B． C． D．變式25．（2022·江蘇·南京師范大學(xué)附屬中學(xué)江寧分校高一期中）設(shè)函數(shù)，若關(guān)于的函數(shù)恰好有六個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_____________．變式26．（2022·全國(guó)·高一專題練習(xí)）設(shè)依次表示函數(shù)的零點(diǎn)，則的大小關(guān)系為_(kāi)_____．題型九：函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用例25．（2022·湖南·周南中學(xué)高一階段練習(xí)）已知函數(shù)，若方程有4個(gè)不同的根，，，，且，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．例26．（2022·浙江·溫州市第八高級(jí)中學(xué)高一期中）設(shè)函數(shù)，若關(guān)于x的方程有四個(gè)實(shí)根，則的最小值為（

）A． B． C．10 D．9例27．（2022·安徽·高一階段練習(xí)）已知函數(shù)且時(shí)，，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．變式27．（2022·黑龍江·雞西實(shí)驗(yàn)中學(xué)高一競(jìng)賽）已知函數(shù)，若互不相等，且，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．變式28．（2022·河南·信陽(yáng)高中高一階段練習(xí)（理））已知函數(shù)若關(guān)于x的方程有8個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)b的取值范圍是（）A．

B．

C． D．[﹣5，﹣4]變式29．（2022·廣東·深圳科學(xué)高中高一期中）已知函數(shù)，若方程有六個(gè)相異實(shí)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍（

）A． B． C． D．變式30．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）已知定義在上的函數(shù)的圖像連續(xù)不斷，若存在常數(shù)，使得對(duì)于任意的實(shí)數(shù)恒成立，則稱是“回旋函數(shù)”．若函數(shù)是“回旋函數(shù)”，且，則在上（

）A．至多有2022個(gè)零點(diǎn) B．至多有1011個(gè)零點(diǎn)C．至少有2022個(gè)零點(diǎn) D．至少有1011個(gè)零點(diǎn)變式31．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)，若關(guān)于的方程有個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．變式32．（2022·湖北·華中師大一附中高一階段練習(xí)）若對(duì)于定義域內(nèi)的每一個(gè)，都有，則稱函數(shù)為“雙倍函數(shù)”.已知函數(shù)是定義在上的“雙2倍函數(shù)”，且當(dāng)時(shí)，，若函數(shù)恰有4個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．變式33．（2022·貴州·遵義航天高級(jí)中學(xué)高一階段練習(xí)）已知函數(shù)，若有四個(gè)不等實(shí)根，且，求的取值范圍（

）A．（－∞，－3） B．（－3，+∞）C．[－，－3) D．[－，－3]【同步練習(xí)】一、單選題1．（2022·遼寧·金石高級(jí)中學(xué)高一階段練習(xí)）已知關(guān)于的方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，并且這兩個(gè)實(shí)數(shù)根的平方和比兩個(gè)根的積大21.則實(shí)數(shù)的值是（

）A．17 B．－1 C．17或－1 D．－17或12．（2022·全國(guó)·高一單元測(cè)試）在下列區(qū)間中，函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間為（

）A． B． C． D．3．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）若函數(shù)的零點(diǎn)為2，則函數(shù)的零點(diǎn)是（

）A．0， B．0， C．0，2 D．2，4．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)的零點(diǎn)為，不等式的最小整數(shù)解為k，則k＝（

）A．8 B．7 C．5 D．65．（2022·全國(guó)·高一專題練習(xí)）下列函數(shù)中，是偶函數(shù)且不存在零點(diǎn)的是（）A． B．C． D．6．（2022·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)，若且，則（

）A． B． C． D．隨值變化7．（2022·全國(guó)·高一單元測(cè)試）已知，分別是方程，的根，則（

）A．1 B．2 C． D．8．（2022·河南洛陽(yáng)·高一期末（文））已知函數(shù)，，的零點(diǎn)分別為，，，則，，的大小順序?yàn)椋?/p>

）A． B．C． D．二、多選題9．（2022·全國(guó)·高一專題練習(xí)）關(guān)于函數(shù)，下列描述正確的有（

）A．在區(qū)間上單調(diào)遞增 B．的圖象關(guān)于直線對(duì)稱C．若則 D．有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)10．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）（多選）下列函數(shù)不存在零點(diǎn)的是（）A． B．C． D．11．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）若函數(shù)的圖像在R上連續(xù)，且，，，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．函數(shù)在區(qū)間上有且只有1個(gè)零點(diǎn)B．函數(shù)在區(qū)間上一定沒(méi)有零點(diǎn)C．函數(shù)在區(qū)間上可能有零點(diǎn)D．函數(shù)在區(qū)間上至少有1個(gè)零點(diǎn)12．（2022·全國(guó)·高一單元測(cè)試）函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，且，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的有（

）A．且 B．且 C．且 D．三、填空題13．（2022·江蘇·宿遷中學(xué)高一期中）已知函數(shù)，若在上單調(diào)遞增，且有兩個(gè)零點(diǎn)，則滿足題意的一個(gè)實(shí)數(shù)的值可以為_(kāi)_____．14．（2022·甘肅·慶陽(yáng)第六中學(xué)高一階段練習(xí)）已知函數(shù)的零點(diǎn)是和，則________.15．（2022·江蘇·泗陽(yáng)縣實(shí)驗(yàn)高級(jí)中學(xué)高一階段練習(xí)）若二次函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的值為_(kāi)________．16．（2022·江蘇省阜寧中學(xué)高一階段練習(xí)）已知函數(shù)在區(qū)間上有零點(diǎn)，則的取值范圍為_(kāi)__________.四、解答題17．（2022·上海市楊思高級(jí)中學(xué)高一階段練習(xí)）用反證法證明：對(duì)任意的，關(guān)于的方程與至少有一個(gè)方程有實(shí)根.18．（2022·山東·臨沂二十四中高一階段練習(xí)）已知函數(shù)．(1)若，求函數(shù)的零點(diǎn)；(2)探索是否存在實(shí)數(shù)，使得函數(shù)為奇函數(shù)？若存在，求出實(shí)數(shù)的值并證明；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．19．（2022·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)，且．(1)求證：函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)；(2)設(shè)，是函數(shù)的兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求的取值范圍．20．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）當(dāng)時(shí)，若關(guān)于x的二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.21．（2022·全國(guó)·高一單元測(cè)試）已知函數(shù)是偶函數(shù).當(dāng)時(shí)，.(1)求函數(shù)在上的解析式；(2)若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(3)已知，試討論的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并求對(duì)應(yīng)的m的取值范圍.4.5.1函數(shù)的零點(diǎn)與方程的解【題型歸納目錄】題型一：求函數(shù)的零點(diǎn)題型二：根據(jù)零點(diǎn)求函數(shù)解析式的參數(shù)題型三：零點(diǎn)存在性定理的應(yīng)用題型四：根據(jù)零點(diǎn)所在區(qū)間求參數(shù)范圍題型五：根據(jù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍題型六：一次函數(shù)零點(diǎn)分布求參數(shù)范圍題型七：二次函數(shù)零點(diǎn)分布求參數(shù)范圍題型八：指對(duì)冪函數(shù)零點(diǎn)分布求參數(shù)范圍題型九：函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用【知識(shí)點(diǎn)梳理】知識(shí)點(diǎn)一：函數(shù)的零點(diǎn)1、函數(shù)的零點(diǎn)（1）一般地，如果函數(shù)在實(shí)數(shù)處的值等于零，即，則叫做這個(gè)函數(shù)的零點(diǎn).知識(shí)點(diǎn)詮釋：①函數(shù)的零點(diǎn)是一個(gè)實(shí)數(shù)，當(dāng)函數(shù)的自變量取這個(gè)實(shí)數(shù)時(shí)，其函數(shù)值等于零；②函數(shù)的零點(diǎn)也就是函數(shù)的圖象與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)；③函數(shù)的零點(diǎn)就是方程的實(shí)數(shù)根．歸納：方程有實(shí)數(shù)根函數(shù)的圖象與軸有交點(diǎn)函數(shù)有零點(diǎn)．（2）二次函數(shù)的零點(diǎn)二次函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，方程的實(shí)根個(gè)數(shù)見(jiàn)下表.判別式方程的根函數(shù)的零點(diǎn)兩個(gè)不相等的實(shí)根兩個(gè)零點(diǎn)兩個(gè)相等的實(shí)根一個(gè)二重零點(diǎn)無(wú)實(shí)根無(wú)零點(diǎn)（3）二次函數(shù)零點(diǎn)的性質(zhì)①二次函數(shù)的圖象是連續(xù)的，當(dāng)它通過(guò)零點(diǎn)時(shí)（不是二重零點(diǎn)），函數(shù)值變號(hào).②相鄰兩個(gè)零點(diǎn)之間的所有的函數(shù)值保持同號(hào).引伸：對(duì)任意函數(shù)，只要它的圖象是連續(xù)不間斷的，上述性質(zhì)同樣成立.2、函數(shù)零點(diǎn)的判定（1）利用函數(shù)零點(diǎn)存在性的判定定理如果函數(shù)在一個(gè)區(qū)間上的圖象不間斷，并且在它的兩個(gè)端點(diǎn)處的函數(shù)值異號(hào)，即，則這個(gè)函數(shù)在這個(gè)區(qū)間上，至少有一個(gè)零點(diǎn)，即存在一點(diǎn)，使，這個(gè)也就是方程的根.知識(shí)點(diǎn)詮釋：①滿足上述條件，我們只能判定區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)，但不能確定有幾個(gè)．若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)，則只有一個(gè)；若不單調(diào)，則個(gè)數(shù)不確定．②若函數(shù)在區(qū)間上有，在內(nèi)也可能有零點(diǎn)，例如在上，在區(qū)間上就是這樣的．故在內(nèi)有零點(diǎn)，不一定有．③若函數(shù)在區(qū)間上的圖象不是連續(xù)不斷的曲線，在內(nèi)也可能是有零點(diǎn)，例如函數(shù)在上就是這樣的．（2）利用方程求解法求函數(shù)的零點(diǎn)時(shí)，先考慮解方程，方程無(wú)實(shí)根則函數(shù)無(wú)零點(diǎn)，方程有實(shí)根則函數(shù)有零點(diǎn)．（3）利用數(shù)形結(jié)合法函數(shù)的零點(diǎn)就是方程的實(shí)數(shù)根，也就是函數(shù)的圖象與的圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)．【方法技巧與總結(jié)】1、函數(shù)在區(qū)間上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，，且具有單調(diào)性，則函數(shù)在區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)零點(diǎn).2、函數(shù)在區(qū)間上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)，且函數(shù)具有單調(diào)性，則3、零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷方法（1）直接法：直接求零點(diǎn)，令，如果能求出解，則有幾個(gè)不同的解就有幾個(gè)零點(diǎn).（2）定理法：利用零點(diǎn)存在定理，函數(shù)的圖象在區(qū)間上是連續(xù)不斷的曲線，且，結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性)才能確定函數(shù)有多少個(gè)零點(diǎn).（3）數(shù)形結(jié)合法：①單個(gè)函數(shù)圖象：利用圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，畫(huà)出函數(shù)的圖象，函數(shù)的圖象與軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)就是函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；②兩個(gè)函數(shù)圖象：將函數(shù)拆成兩個(gè)函數(shù)和的差，根據(jù)，則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)就是函數(shù)和的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù).4、判斷函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間（1）將區(qū)間端點(diǎn)代入函數(shù)求函數(shù)的值；（2）將所得函數(shù)值相乘，并進(jìn)行符號(hào)判斷；（3）若符號(hào)為正且在該區(qū)間內(nèi)是遞增或遞減，則函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)無(wú)零點(diǎn)；若符號(hào)為負(fù)且函數(shù)圖象連續(xù)，則函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)至少一個(gè)零點(diǎn)。5、已知函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)，求參數(shù)取值范圍的方法（1）直接法：利用零點(diǎn)存在的判定定理建立不等式；（2）數(shù)形結(jié)合法：轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)問(wèn)題，再結(jié)合圖象求參數(shù)的取值范圍；（3）分離參數(shù)法：分離參數(shù)后轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域問(wèn)題．【典型例題】題型一：求函數(shù)的零點(diǎn)例1．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）函數(shù)的零點(diǎn)為（

）A．10 B．9 C．（10，0） D．（9，0）【答案】A【解析】令，即，所以，因此x＝10，所以函數(shù)的零點(diǎn)為10，故選：A.例2．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）若是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)，則的另一個(gè)零點(diǎn)為（

）A．1 B．2 C．（1，0） D．（2，0）【答案】A【解析】因?yàn)槭呛瘮?shù)的一個(gè)零點(diǎn)，所以，解得．設(shè)另一個(gè)零點(diǎn)為，則，解得，所以的另一個(gè)零點(diǎn)為1．故選：A．例3．（2022·廣西玉林·高一期末）若關(guān)于x的不等式的解集為，則關(guān)于函數(shù)，下列說(shuō)法不正確的是（

）A．在上單調(diào)遞減 B．有2個(gè)零點(diǎn)，分別為1和3C．在上單調(diào)遞增 D．最小值是【答案】C【解析】方程的兩個(gè)根是1和3，則函數(shù)圖象的對(duì)稱軸方程是，是開(kāi)口向上的拋物線，A正確；C錯(cuò)誤；函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)是1和3，因此B正確；又，，，即，為最小值，D正確．故選：C.變式1．（2022·全國(guó)·高一專題練習(xí)）若為奇函數(shù)，且是的一個(gè)零點(diǎn)，則一定是下列哪個(gè)函數(shù)的零點(diǎn)（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】是奇函數(shù)，且是的一個(gè)零點(diǎn)，，，把分別代入下面四個(gè)選項(xiàng)，對(duì)于A，，故A正確；對(duì)于B，不一定為0，故B不正確；對(duì)于C，，故C不正確；對(duì)于D，，故D不正確；故選：A.【方法技巧與總結(jié)】求函數(shù)的零點(diǎn)就是求相應(yīng)方程的實(shí)數(shù)根，一般可以借助求根公式或因式分解等方法，求出方程的根，從而得到函數(shù)的零點(diǎn).題型二：根據(jù)零點(diǎn)求函數(shù)解析式的參數(shù)例4．（2022·全國(guó)·高一專題練習(xí)）若滿足，滿足，則________.【答案】2【解析】設(shè)，因?yàn)闈M足，滿足，所以時(shí)函數(shù)與的交點(diǎn)橫坐標(biāo)，時(shí)函數(shù)與的交點(diǎn)橫坐標(biāo)，由于函數(shù)與互為反函數(shù)，其圖象關(guān)于直線對(duì)稱，所以兩圖象與直線的交點(diǎn)也關(guān)于對(duì)稱，如圖所示，又由，解得，所以，可得.故答案為：.例5．（2022·安徽·高一階段練習(xí)）若正實(shí)數(shù)是方程的根，則___________．【答案】【解析】由題可得：，即，令，則在上單調(diào)遞增，，∵正實(shí)數(shù)是方程的根，∴，即．例6．（2022·全國(guó)·高一單元測(cè)試）已知實(shí)數(shù)滿足，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則關(guān)于函數(shù)的零點(diǎn)的下列關(guān)系式一定正確的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】方程即為，令，，，，.根據(jù)零點(diǎn)存在性定理得出在上函數(shù)各有一個(gè)零點(diǎn)，所以.故選：D.變式2．（2022·北京市八一中學(xué)高一階段練習(xí)）已知，若是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)，是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)，則的值為（

）A．1 B．2021 C． D．4016【答案】B【解析】因?yàn)槭呛瘮?shù)的一個(gè)零點(diǎn)，是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)，所以，，即，，設(shè)函數(shù)與的交點(diǎn)為，則，，設(shè)函數(shù)與的交點(diǎn)為，則，，因?yàn)楹瘮?shù)與函數(shù)互為反函數(shù)，所以其圖象關(guān)于對(duì)稱，所以點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱，即，所以由得，即.故選：B.變式3．（2022·四川達(dá)州·高一期末）已知2是函數(shù)（為常數(shù)）的零點(diǎn)，且，則的值為（

）A． B． C．4 D．3【答案】C【解析】因?yàn)?是函數(shù)（為常數(shù)）的零點(diǎn)，所以，得，所以，因?yàn)?，所以，得，故選：C變式4．（2022·湖北·高一階段練習(xí)）若實(shí)數(shù)，滿足，，則（

）A． B．1 C． D．2【答案】D【解析】由可得，所以是方程的解，即是與圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，由可得，所以是方程的解，即是與圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，在平面直角坐標(biāo)系中分別作出，，的圖象如圖所示，因?yàn)榕c互為反函數(shù)，圖象關(guān)于直線對(duì)稱，而的圖象也關(guān)于直線對(duì)稱，所以兩個(gè)交點(diǎn)，關(guān)于直線對(duì)稱，所以，可得，故選：D題型三：零點(diǎn)存在性定理的應(yīng)用例7．（2022·內(nèi)蒙古·北方重工集團(tuán)第五中學(xué)高一階段練習(xí)（文））函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，又，所以由零點(diǎn)存在定理可得函數(shù)在(3，4)之間存在零點(diǎn)，故選：C例8．（2022·山東·臨沂二十四中高一階段練習(xí)）方程的根所在的區(qū)間是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】令，顯然單調(diào)遞增，又因?yàn)?，，由零點(diǎn)存在性定理可知：的零點(diǎn)所在區(qū)間為，所以的根所在區(qū)間為.故選：B例9．（2022·山西·長(zhǎng)治市第四中學(xué)校高一期末）函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)榕c在定義域上單調(diào)遞增，所以在定義域上單調(diào)遞增，又，，，即，所以的零點(diǎn)位于內(nèi)；故選：C變式5．（2022·重慶·巫山縣官渡中學(xué)高一期末）在下列區(qū)間中，函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)所在的區(qū)間為（

）．A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意，函數(shù)，可得，所以，結(jié)合零點(diǎn)的存在定理，可得函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)所在的區(qū)間為.故選：B.【方法技巧與總結(jié)】解答這類判斷函數(shù)零點(diǎn)的大致區(qū)間的選擇題，只需用函數(shù)零點(diǎn)的存在性定理依次檢驗(yàn)所提供的區(qū)間，即可得到答案．題型四：根據(jù)零點(diǎn)所在區(qū)間求參數(shù)范圍例10．（2022·內(nèi)蒙古包頭·高一期末）已知為冪函數(shù)，（，且）的圖象過(guò)點(diǎn)．，若的零點(diǎn)所在區(qū)間為，那么（

）A．3 B．2 C．1 D．0【答案】C【解析】為冪函數(shù)，，，的圖象過(guò)點(diǎn)，，，，故在上單調(diào)遞增，由于（1），（2），故在區(qū)間上存在唯一零點(diǎn)，的零點(diǎn)所在區(qū)間為，，那么，故選：C．例11．（2022·海南·高一期末）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在零點(diǎn)，且函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，由零點(diǎn)存在性定理知，即，解得所以實(shí)數(shù)的取值范圍是故選：B例12．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）若函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)0，1，，且(1，2)，則a的取值范圍是（

）A．(-2，0) B．(1，2) C．(2，3) D．(-3，-2)【答案】D【解析】因?yàn)楹瘮?shù)有三個(gè)零點(diǎn)0，1，，所以，解得，所以，所以，又(1，2)，所以，解得，故選：D.變式6．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）若函數(shù)在區(qū)間上有零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】函數(shù)f(x)定義域是，因函數(shù)，在上都是單調(diào)遞增的，而，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，無(wú)零點(diǎn)，于是得當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上連續(xù)且單調(diào)，因函數(shù)在區(qū)間上有零點(diǎn)，則由零點(diǎn)存在定理有：，即，解得，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是.故選：C變式7．（2022·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)的零點(diǎn)在區(qū)間上，則（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】由題意，都在為增函數(shù)故函數(shù)在為增函數(shù)，又，，即，則函數(shù)的零點(diǎn)在區(qū)間上，即2故選：B變式8．（2022·江蘇·高一單元測(cè)試）若函數(shù)在區(qū)間中恰好有一個(gè)零點(diǎn)，則的值可能是（

）A．-2 B．0 C．1 D．3【答案】A【解析】當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，又，故在區(qū)間上恰有一個(gè)零點(diǎn)，滿足題意，故A正確；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，又，故在區(qū)間上沒(méi)有零點(diǎn)，故B不正確；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，又，故在區(qū)間上沒(méi)有零點(diǎn)，故C不正確；當(dāng)時(shí)，函數(shù)，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，故在區(qū)間上沒(méi)有零點(diǎn)，不滿足題意，故D正確；故選：A.變式9．（2022·全國(guó)·高一單元測(cè)試）已知函數(shù)，若a，b，c互不相等，且，則abc的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】根據(jù)已知畫(huà)出函數(shù)圖象：不妨設(shè)，（a）（b）（c），，，解得，，．故選：B題型五：根據(jù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍例13．（2022·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)若函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題意，與有2個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，遞增且值域?yàn)?；?dāng)時(shí)，在上遞減，上遞增且值域?yàn)?；所以的圖像如下：由圖知：時(shí)，有2個(gè)零點(diǎn).故選：A例14．（2022·山西長(zhǎng)治·高一期末）若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則整數(shù)a的值共有（

）A．7個(gè) B．8個(gè) C．9個(gè) D．17個(gè)【答案】A【解析】因?yàn)榉匠淘赗上有且僅有一解，所以要使函數(shù)在R有兩個(gè)零點(diǎn),只需在R上有且僅有一個(gè)解,同時(shí)該解不能為.因?yàn)樵赗上值域?yàn)?0,+∞），因此要滿足即有解,只需a>0.又因?yàn)樵赗上單調(diào)遞增,因此當(dāng)a>0時(shí),在R上有且僅有一個(gè)解.因?yàn)榍襛>0,所以整數(shù)a可以為1,2,3,4,5,6,7,8,9,其中當(dāng)a=3或a=9時(shí),.因此滿足條件的a為1,2,4,5,6,7,8共7個(gè).故選：A例15．（2022·浙江·高一階段練習(xí)）已知函數(shù)，若存在互不相等的實(shí)數(shù)，滿足，則的取值范圍是__________．【答案】【解析】作出函數(shù)的圖象如圖，若存在互不相等的實(shí)數(shù)，滿足，不妨設(shè)，如圖示，則，由于，令，則，故，則，即，故答案為：變式10．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)若關(guān)于x的方程有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是________．【答案】【解析】作出函數(shù)的圖像和直線，如圖所示:由圖可知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖像和直線有三個(gè)交點(diǎn)，所以．故答案為：或.變式11．（2022·湖北·黃石一中高一期中）已知函數(shù)若方程有且僅有三個(gè)不等實(shí)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】依據(jù)基本初等函數(shù)的圖形變換，可畫(huà)出的圖像如圖，方程有且僅有三個(gè)不等實(shí)根，即函數(shù)與圖像有三個(gè)交點(diǎn)，易得，故選：B.變式12．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)有零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】，，函數(shù)有零點(diǎn)，與有交點(diǎn)，，即，故選：C變式13．（2022·北京大興·高一期末）若函數(shù)恰有個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因?yàn)闀r(shí)至多有一個(gè)零點(diǎn)，單調(diào)函數(shù)至多一個(gè)零點(diǎn)，而函數(shù)恰有個(gè)零點(diǎn)，所以需滿足有1個(gè)零點(diǎn)，有1個(gè)零點(diǎn)，所以，解得，故選：D變式14．（2022·全國(guó)·高一單元測(cè)試）已知函數(shù)有唯一的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的值為（

）A．1 B．－1 C．0 D．－2【答案】B【解析】函數(shù)定義域?yàn)镽，函數(shù)，即函數(shù)為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則當(dāng)時(shí)，，因函數(shù)有唯一的零點(diǎn)，于是得，解得，所以實(shí)數(shù)a的值為.故選：B【方法技巧與總結(jié)】體現(xiàn)了函數(shù)與方程的互相轉(zhuǎn)化，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，它對(duì)于解決有更多限制條件的問(wèn)題提供了一種新的途徑．題型六：一次函數(shù)零點(diǎn)分布求參數(shù)范圍例16．（2022·全國(guó)·高一專題練習(xí)）函數(shù)的零點(diǎn)為，則實(shí)數(shù)的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意得，即．故選：B.例17．（2022·天津南開(kāi)·高一期末）已知函數(shù)f（x）=ax-3（a>0，且a≠1），f（x0）=0，若x0∈（0，1），則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，+）【答案】D【解析】因?yàn)楹瘮?shù)f（x）=ax-3（a>0，且a≠1）單調(diào)，所以函數(shù)在區(qū)間（0，1）上至多有一個(gè)零點(diǎn)，因?yàn)閒（x0）=0，且x0∈（0，1），所以，解得，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是（3，+），故選：D例18．（2022·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)在區(qū)間上存在零點(diǎn)，則（

）A． B． C．或 D．【答案】C【解析】∵在區(qū)間上單調(diào)且存在零點(diǎn)，∴，∴或．故選：C變式15．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）若函數(shù)在內(nèi)恰有一解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】當(dāng)時(shí)不成立取則解得故答案選B變式16．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)在區(qū)間上存在零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A．B．C．D．【答案】C【解析】因?yàn)楹瘮?shù)為一次函數(shù)，要使其在區(qū)間上存在零點(diǎn)，要保證其兩端點(diǎn)分別在軸的兩側(cè)，所以即，解得或，故選項(xiàng).變式17．（2022·全國(guó)·高一單元測(cè)試）已知且在內(nèi)存在零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A． B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)?，故?而且在內(nèi)存在零點(diǎn)，故即，解得，故選：A.題型七：二次函數(shù)零點(diǎn)分布求參數(shù)范圍例19．（2022·江蘇·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)，若在其定義域內(nèi)存在實(shí)數(shù)滿足，則稱函數(shù)為“局部奇函數(shù)”，若函數(shù)是定義在上的“局部奇函數(shù)”，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】根據(jù)“局部奇函數(shù)”定義知：有解，即方程有解，則有解；設(shè)，則（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），方程等價(jià)于在時(shí)有解，在時(shí)有解；在上單調(diào)遞增，，，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：B.例20．（2022·廣東·化州市第三中學(xué)高一期末）若方程的兩實(shí)根中一個(gè)小于，另一個(gè)大于，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由可得，令，由已知可得，解得，故選：A.例21．（2022·江蘇·南京市金陵中學(xué)河西分校高一階段練習(xí)）已知關(guān)于x的不等式（4x﹣3）2≤4ax2的解集中恰有三個(gè)整數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A．[，3] B．（2，3] C．（2，] D．【答案】D【解析】由題意可知，a≥0，則不等式（4x﹣3）2≤4ax2可變形為（4x﹣3）2﹣4ax2≤0，即，①當(dāng)a＝4時(shí)，不等式為﹣24x+9≤0，解得x≥，不符合題意；②當(dāng)a≠4時(shí)，不等式為關(guān)于x的一元二次不等式，若，即a＝0時(shí)，不等式的解集為{}，不符合題意；若，即0＜a＜4時(shí)，不等式的解集為，又，所以如果恰有三個(gè)整數(shù)，只能是1，2，3，故，解得；若，即a＞4時(shí)，不等式的解集為或，不會(huì)恰好有三個(gè)整數(shù)解，不符合題意．綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍為．故選：D．變式18．（2022·四川成都·高一開(kāi)學(xué)考試）若關(guān)于x的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根、，且滿足，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是（

）A．（2，5） B．C． D．【答案】B【解析】令，且，所以只需滿足且即可，即且，解得，故選:B.變式19．（2022·山東·招遠(yuǎn)市第二中學(xué)高一階段練習(xí)）已知實(shí)數(shù)，關(guān)于x的方程有兩個(gè)實(shí)根，，且，則實(shí)數(shù)a，b，，的大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由，令，，則，所以，為與x軸交點(diǎn)橫坐標(biāo)，且，將向下移動(dòng)1個(gè)單位得到，且與x軸交點(diǎn)橫坐標(biāo)且，所以.故選：C變式20．（2022·廣東·深圳實(shí)驗(yàn)學(xué)校高中部高一階段練習(xí)）若關(guān)于的方程在內(nèi)有解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題意在內(nèi)有解，，時(shí)，，時(shí)，，所以．故選：A．變式21．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)的零點(diǎn)至少有一個(gè)大于0，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】①當(dāng)時(shí)，由，得，符合題意．②當(dāng)時(shí)，由，得，此時(shí)，解得，符合題意；由，得，此時(shí)設(shè)的兩根分別為，，且，若，則，，即，，符合題意，若，則，，即，，符合題意．綜上，，即實(shí)數(shù)的取值范圍為．故選：B變式22．（2022·江蘇省鎮(zhèn)江中學(xué)高一階段練習(xí)）函數(shù)在上存在零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B．或 C． D．或【答案】B【解析】令，因?yàn)?，所以函?shù)圖象與軸有兩個(gè)交點(diǎn)，因?yàn)楹瘮?shù)在上存在零點(diǎn)，且函數(shù)圖象連續(xù)，所以，或，所以，或，解得或故選：B變式23．（2022·吉林·長(zhǎng)春吉大附中實(shí)驗(yàn)學(xué)校高一階段練習(xí)）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)恰有一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】當(dāng)時(shí)，，此時(shí)只有一個(gè)零點(diǎn)，零點(diǎn)為-1，不符合要求；當(dāng)時(shí)，函數(shù)為二次函數(shù)，，利用零點(diǎn)存在性定理和二次函數(shù)的圖象性質(zhì)得，解得.故選：D.變式24．（2022·湖南省臨澧縣第一中學(xué)高一階段練習(xí)）已知一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，，且，則m的值為（

）A．-4 B．-5 C．-6 D．-7【答案】A【解析】因?yàn)樵畏匠逃袃蓚€(gè)實(shí)數(shù)根，，且，令，則由題意可得，即解得，又，可得.故選：A.題型八：指對(duì)冪函數(shù)零點(diǎn)分布求參數(shù)范圍例22．（2022·內(nèi)蒙古·阿拉善盟第一中學(xué)高一期末）已知函數(shù)的零點(diǎn)位于區(qū)間（）內(nèi)，則（

）A．1 B．2C． D．4【答案】D【解析】∵在定義域上單調(diào)遞增，，，∴，，且是唯一的，所以整數(shù)，∴.故選：D．例23．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)的零點(diǎn)位于區(qū)間內(nèi)，則整數(shù)（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】因?yàn)楹瘮?shù)與在上均為增函數(shù)，所以函數(shù)在上為增函數(shù)，因?yàn)?，，，所以函?shù)的零點(diǎn)位于區(qū)間內(nèi)，故.故選：B.例24．（2022·全國(guó)·高一單元測(cè)試）已知函數(shù)，，的零點(diǎn)分別為，，，以下說(shuō)法正確的是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題設(shè)，，，，所以問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為直線與，，的圖象的交點(diǎn)問(wèn)題，函數(shù)圖象如下．由圖知．故選：A．變式25．（2022·江蘇·南京師范大學(xué)附屬中學(xué)江寧分校高一期中）設(shè)函數(shù)，若關(guān)于的函數(shù)恰好有六個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_____________．【答案】【解析】作出函數(shù)的圖象如圖，令，則當(dāng)，方程有個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則方程化為，使關(guān)于的方程恰好有六個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則方程在內(nèi)有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，令所以,解得:，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為故答案為變式26．（2022·全國(guó)·高一專題練習(xí)）設(shè)依次表示函數(shù)的零點(diǎn)，則的大小關(guān)系為_(kāi)_____．【答案】【解析】函數(shù)的零點(diǎn)，即為方程的解，在坐標(biāo)系中分別畫(huà)出函數(shù)與的圖象，如圖所示，結(jié)合圖象，可得.故答案為：.題型九：函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用例25．（2022·湖南·周南中學(xué)高一階段練習(xí)）已知函數(shù)，若方程有4個(gè)不同的根，，，，且，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】作函數(shù)與的圖像如下：方程有4個(gè)不同的根，，，，且，可知關(guān)于對(duì)稱，即，且，則，即，則即，則；當(dāng)?shù)没颍瑒t；；故，；則函數(shù)，在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)；故取得最小值為，而當(dāng)時(shí)，函數(shù)值最大值為.即函數(shù)取值范圍是.故選：D.例26．（2022·浙江·溫州市第八高級(jí)中學(xué)高一期中）設(shè)函數(shù)，若關(guān)于x的方程有四個(gè)實(shí)根，則的最小值為（

）A． B． C．10 D．9【答案】D【解析】作函數(shù)的大致圖象，如圖所示：當(dāng)時(shí)，對(duì)稱軸為，所以，關(guān)于的方程有四個(gè)實(shí)根，則，由，得或，則，又，所以，所以，所以，且，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，故的最小值為.故選：D.例27．（2022·安徽·高一階段練習(xí)）已知函數(shù)且時(shí)，，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】作出圖象如圖所示設(shè)，由圖象可知：時(shí)有四個(gè)交點(diǎn)，可得即，解得；∵關(guān)于對(duì)稱，∴；又，則，∴，∴，∵，∴，即∴的取值范圍為.故選：D.變式27．（2022·黑龍江·雞西實(shí)驗(yàn)中學(xué)高一競(jìng)賽）已知函數(shù)，若互不相等，且，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】作出函數(shù)的圖象，如圖，不妨設(shè)，則，得，由圖可知，，，故.故選：C變式28．（2022·河南·信陽(yáng)高中高一階段練習(xí)（理））已知函數(shù)若關(guān)于x的方程有8個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)b的取值范圍是（）A．

B．

C． D．[﹣5，﹣4]【答案】B【解析】作出函數(shù)f（x）的圖象如圖：設(shè)t＝f（x），由圖象知當(dāng)t＞3時(shí)，t＝f（x）有3個(gè)根；當(dāng)1＜t≤3時(shí)，t＝f（x）有4個(gè)根；當(dāng)t＝1時(shí)，t＝f（x）有5個(gè)根；當(dāng)0＜t＜1時(shí)，t＝f（x）有6個(gè)根；當(dāng)t＝0時(shí)，t＝f（x）有3個(gè)根，當(dāng)t＜0時(shí)，t＝f（x）有0個(gè)根，方程f2（x）+bf（x）+4＝0等價(jià)為t2+bt+4＝0，∵當(dāng)t＝0時(shí)，方程不成立，∴若方程f2（x）+bf（x）+4＝0有8個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則①等價(jià)為t2+bt+4＝0有兩個(gè)根，滿足1＜t1≤3，1＜t2≤3，②或者t2+bt+4＝0有兩個(gè)根，滿足t1＝1，t2＞3，由①等價(jià)為t2+bt+4＝0有兩個(gè)根，滿足1＜t1≤3，1＜t2≤3，設(shè)h（x）＝t2+bt+4，則滿足，即，得﹣≤b＜﹣4，由②t2+bt+4＝0有兩個(gè)根，滿足t1＝1，t2＞3，則1+b+4＝0，則b＝﹣5，此時(shí)由t2﹣5t+4＝0得t＝1或t＝4，滿足t2＞3，綜上所述，﹣≤b＜﹣4或b＝﹣5，故選：B．變式29．（2022·廣東·深圳科學(xué)高中高一期中）已知函數(shù)，若方程有六個(gè)相異實(shí)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】的圖像如圖所示：則要使方程有六個(gè)相異實(shí)根即使在上有兩個(gè)相異實(shí)根;則解得：.故選：D.變式30．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）已知定義在上的函數(shù)的圖像連續(xù)不斷，若存在常數(shù)，使得對(duì)于任意的實(shí)數(shù)恒成立，則稱是“回旋函數(shù)”．若函數(shù)是“回旋函數(shù)”，且，則在上（

）A．至多有2022個(gè)零點(diǎn) B．至多有1011個(gè)零點(diǎn)C．至少有2022個(gè)零點(diǎn) D．至少有1011個(gè)零點(diǎn)【答案】D【解析】因?yàn)閷?duì)任意的實(shí)數(shù)恒成立，令，得．若，則與異號(hào)，即，由零點(diǎn)存在定理得在上至少存在一個(gè)零點(diǎn)．由于，得到，進(jìn)而，所以在區(qū)間，，…，內(nèi)均至少有一個(gè)零點(diǎn)，所以在上至少有1011個(gè)零點(diǎn)．構(gòu)造函數(shù)，滿足對(duì)任意的實(shí)數(shù)恒成立，是“回旋函數(shù)”，在上恰好有1011個(gè)零點(diǎn).若，則，此時(shí)在上至少有1012個(gè)零點(diǎn)．綜上所述，在上至少有1011個(gè)零點(diǎn)，且可能有1011個(gè)零點(diǎn)，故C錯(cuò)誤，D正確；可能零點(diǎn)各數(shù)個(gè)數(shù)至少1012，大于1011，故B錯(cuò)誤；對(duì)于A,[解法一]取函數(shù)，滿足，但在上處處是零點(diǎn)，故A錯(cuò)誤.[解法二]構(gòu)造函數(shù)，滿足對(duì)任意的實(shí)數(shù)恒成立，是“回旋函數(shù)”，在上恰好有2023個(gè)零點(diǎn)，故A錯(cuò)誤.故選：D．變式31．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)，若關(guān)于的方程有個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題意得，則或．函數(shù)的圖象如圖所示，因?yàn)殛P(guān)于的方程有個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，所以或，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為．故選：A變式32．（2022·湖北·華中師大一附中高一階段練習(xí)）若對(duì)于定義域內(nèi)的每一個(gè)，都有，則稱函數(shù)為“雙倍函數(shù)”.已知函數(shù)是定義在上的“雙2倍函數(shù)”，且當(dāng)時(shí)，，若函數(shù)恰有4個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題知，對(duì)，都有設(shè)，則所以又所以則因?yàn)楹瘮?shù)恰有4個(gè)不同的零點(diǎn)，即方程有4個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，記，則方程必有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根為，且和都有兩個(gè)不同實(shí)數(shù)根，由圖可知，當(dāng)時(shí)，有，且，此時(shí)和都有兩個(gè)不同實(shí)數(shù)根，滿足題意.所以，實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：D變式33．（2022·貴州·遵義航天高級(jí)中學(xué)高一階段練習(xí)）已知函數(shù)，若有四個(gè)不等實(shí)根，且，求的取值范圍（

）A．（－∞，－3） B．（－3，+∞）C．[－，－3) D．[－，－3]【答案】C【解析】作出函數(shù)和的圖象如下圖所示：由于二次函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，所以，，由，得，即，所以，，可得，由圖象知，當(dāng)時(shí)，直線與函數(shù)的圖象有四個(gè)交點(diǎn)，所以，，即，即，，得，由于函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)，.故選：C.【同步練習(xí)】一、單選題1．（2022·遼寧·金石高級(jí)中學(xué)高一階段練習(xí)）已知關(guān)于的方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，并且這兩個(gè)實(shí)數(shù)根的平方和比兩個(gè)根的積大21.則實(shí)數(shù)的值是（

）A．17 B．－1 C．17或－1 D．－17或1【答案】B【解析】設(shè)方程的兩個(gè)實(shí)根分別為，則.由方程的這兩個(gè)實(shí)數(shù)根的平方和比兩個(gè)根的積大21得：，，解得：或，又方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，，得，.故選：B2．（2022·全國(guó)·高一單元測(cè)試）在下列區(qū)間中，函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意，因?yàn)?，，由零點(diǎn)存在定理，故函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間為故選：C3．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）若函數(shù)的零點(diǎn)為2，則函數(shù)的零點(diǎn)是（

）A．0， B．0， C．0，2 D．2，【答案】A【解析】因?yàn)楹瘮?shù)的零點(diǎn)為2，所以，∵，，∴，∴．令，得或．故選：A.4．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)的零點(diǎn)為，不等式的最小整數(shù)解為k，則k＝（

）A．8 B．7 C．5 D．6【答案】A【解析】方法一：∵函數(shù)為R上的增函數(shù)，，，∴函數(shù)的零點(diǎn)滿足，∴，∴的最小整數(shù)解k＝8.方法二：已知函數(shù)的零點(diǎn)即為函數(shù)的圖象與的圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，通過(guò)圖象可看出函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間為(1,2)，∴，∴的最小整數(shù)解k＝8.故選：A.5．（2022·全國(guó)·高一專題練習(xí)）下列函數(shù)中，是偶函數(shù)且不存在零點(diǎn)的是（）A． B．C． D．【答案】D【解析】對(duì)于A中，函數(shù)的對(duì)稱軸為軸，故是偶函數(shù)，令得，所以的零點(diǎn)為．不符合題意；對(duì)于B中，函數(shù)的定義域?yàn)椋魂P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故不是偶函數(shù)，不符合題意；對(duì)于C中，函數(shù)的定義域?yàn)椋魂P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故不是偶函數(shù)，不符合題意．對(duì)于D中，函數(shù)，可得，所以函數(shù)為偶函數(shù)，令，此時(shí)方程無(wú)解，所以函數(shù)無(wú)零點(diǎn)，不符合題意.故選：D.6．（2022·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)，若且，則（

）A． B． C． D．隨值變化【答案】B【解析】函數(shù)的圖象如下圖所示：由圖可知，函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，又，且，則．故選：B7．（2022·全國(guó)·高一單元測(cè)試）已知，分別是方程，的根，則（

）A．1 B．2 C． D．【答案】B【解析】由題意可得是函數(shù)的圖象與直線交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，是函數(shù)圖象與直線交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，因?yàn)榈膱D象與圖象關(guān)于直線對(duì)稱，而直線也關(guān)于直線對(duì)稱，所以線段的中點(diǎn)就是直線與的交點(diǎn)，由，得，即線段的中點(diǎn)為，所以，得，故選：B8．（2022·河南洛陽(yáng)·高一期末（文））已知函數(shù)，，的零點(diǎn)分別為，，，則，，的大小順序?yàn)椋?/p>

）A． B．C． D．【答案】D【解析】依題意令，即，同理可得，，則函數(shù)的零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為、、與的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，在平面直角坐標(biāo)系上畫(huà)出函數(shù)圖象如下：由圖可得，，，即.故選：D二、多選題9．（2022·全國(guó)·高一專題練習(xí)）關(guān)于函數(shù)，下列描述正確的有（

）A．在區(qū)間上單調(diào)遞增 B．的圖象關(guān)于直線對(duì)稱C