備戰(zhàn)2024年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)7.1空間幾何中的平行與垂直(精講)(原卷版+解析)

7.1空間幾何中的平行與垂直（精講）（提升版）思維導(dǎo)圖思維導(dǎo)圖考點(diǎn)呈現(xiàn)考點(diǎn)呈現(xiàn)例題剖析例題剖析考點(diǎn)一平行問(wèn)題【例1-1】（2022·廣東珠海）如圖，在三棱柱中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，求證：平面【例1-2】（2022·河南·商丘市第一高級(jí)中學(xué)）在直三棱柱中，E，F(xiàn)分別是，的中點(diǎn)，求證：平面【例1-3】（2022·云南·彌勒市一中）如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，其中，，，且．點(diǎn)在棱上，點(diǎn)為中點(diǎn)，證明：若，則直線平面【例1-4】（2022·遼寧葫蘆島）如圖，在四面體中，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，且直線面，直線直線【例1-5】（2022·甘肅酒泉）如圖，在四棱錐中，是邊長(zhǎng)為2的正三角形，，，，，，分別是線段，的中點(diǎn)，求證：平面【例1-6】（2022·山西臨汾）如圖（1），在梯形中，且，線段上有一點(diǎn)E，滿足，，現(xiàn)將，分別沿，折起，使，，得到如圖（2）所示的幾何體，求證：【一隅三反】1．（2022·山東濱州）如圖，在四棱錐中，底面ABCD是平行四邊形，點(diǎn)E是PB的中點(diǎn)，求證：平面EAC2．（2022·遼寧營(yíng)口）如圖，三棱柱中，E為中點(diǎn)，F(xiàn)為中點(diǎn)，求證：平面3（2022·江蘇宿遷）如圖，三棱柱中，，，點(diǎn)，分別在和上，且滿足，，證明：平面4．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖所示，四棱錐的底面是直角梯形，，底面，過(guò)的平面交于，交于（與不重合）.求證：；5．（2022·江蘇省鎮(zhèn)江第一中學(xué)）如圖，三棱柱中M，N，P，D分別為，BC，，的中點(diǎn)，求證：面6.（2022·新疆·三模（文））多面體ABDEC中，△BCD與△ABC均為邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，△CDE為腰長(zhǎng)為的等腰三角形，平面CDE⊥平面BCD，平面ABC⊥平面BCD，F(xiàn)為BC的中點(diǎn)，求證：平面ECD考點(diǎn)二空間幾何中的垂直問(wèn)題【例2-1】（2022·云南師大附中高三階段練習(xí)）如圖，是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，E，F(xiàn)分別是的中點(diǎn)，G是的重心，將沿折起，使點(diǎn)A到達(dá)點(diǎn)P的位置，點(diǎn)P在平面的射影為點(diǎn)G．證明：【例2-2】（2022·湖北·鄂州市教學(xué)研究室）在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD是正方形，平面ABCD⊥平面PAB，E，F(xiàn)分別是線段AD，PB的中點(diǎn)，.證明：(1)平面PDC；(2)PB⊥平面DEF.【例2-3】（2022·四川成都）如圖，三棱錐中，等邊三角形的重心為O，，，，E，F(xiàn)，M分別是棱BC，BP，AP的中點(diǎn)，D是線段AM的中點(diǎn).(1)求證：平面DEF；(2)求證：平面平面PBC.【一隅三反】1．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，四棱錐中，側(cè)面為等邊三角形，且平面底面，，＝＝，證明：2．（2022·北京豐臺(tái)）如圖，在直角梯形中，，，，并將直角梯形繞AB邊旋轉(zhuǎn)至ABEF．(1)求證：直線平面ADF；(2)求證：直線平面ADF；(3)當(dāng)平面平面ABEF時(shí)，再?gòu)臈l件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使平面ADE與平面BCE垂直．并證明你的結(jié)論．條件①：；條件②：；條件③：．3．（2022·四川宜賓）如圖，正方形ABED的邊長(zhǎng)為1，AC＝BC，平面ABED⊥平面ABC，直線CE與平面ABC所成角的正切值為．(1)若G，F(xiàn)分別是EC，BD的中點(diǎn)，求證：平面ABC；(2)求證：平面BCD⊥平面ACD．考點(diǎn)三空間幾何中的定理辨析【例3-1】（2022·全國(guó)·長(zhǎng)垣市第一中學(xué)高三開學(xué)考試（理））設(shè)表示兩條不同的直線，表示平面，且，則“”是“”成立的（

）A．充要條件 B．必要不充分條件C．充分不必要條件 D．既不充分也不必要條件【例3-2】（2022·湖北武漢·高三開學(xué)考試）（多選）如圖，已知正方體，分別是，的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C．平面 D．平面【一隅三反】1．（2022·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）設(shè)m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個(gè)不同的平面，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）A．若，，，則 B．若，，，則C．若，，，則 D．若，，，則2．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)（理））已知m、n是兩條不同的直線，α、β是兩個(gè)不同的平面，則下列結(jié)論一定成立的是（

）A．若m⊥n，m⊥α，則n∥α B．若m∥α，α∥β，則m∥βC．若m⊥α，α⊥β，則m∥β D．若m⊥α，n⊥β，m⊥n，則α⊥β3．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，在四棱柱中，，，，，M，N分別是棱和的中點(diǎn)，則下列說(shuō)法中不正確的是（

）A．四點(diǎn)共面 B．與共面C．平面 D．平面7.1空間幾何中的平行與垂直（精講）（提升版）思維導(dǎo)圖思維導(dǎo)圖考點(diǎn)呈現(xiàn)考點(diǎn)呈現(xiàn)例題剖析例題剖析考點(diǎn)一平行問(wèn)題【例1-1】（2022·廣東珠海）如圖，在三棱柱中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，求證：平面【答案】證明見解析；【解析】連接交于，連接，由為三棱柱，則為平行四邊形，所以是中點(diǎn)，又是的中點(diǎn)，故在△中，面，面，所以平面.【例1-2】（2022·河南·商丘市第一高級(jí)中學(xué)）在直三棱柱中，E，F(xiàn)分別是，的中點(diǎn)，求證：平面【答案】證明見解析【解析】證明：在直三棱柱中，E，F(xiàn)分別是，的中點(diǎn)，取的中點(diǎn)，連接，，如圖，則且，又且，所以且，所以四邊形是平行四邊形，所以．因?yàn)槠矫?，平面，所以平面；【?-3】（2022·云南·彌勒市一中）如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，其中，，，且．點(diǎn)在棱上，點(diǎn)為中點(diǎn)，證明：若，則直線平面【答案】證明見解析【解析】在上取一點(diǎn)，使得，連接，，，又平面，平面，平面；，，，，，四邊形為平行四邊形，，又平面，平面，平面；，平面，平面平面，平面，平面.【例1-4】（2022·遼寧葫蘆島）如圖，在四面體中，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，且直線面，直線直線【答案】證明見解析【解析】直線平面，，平面平面，．【例1-5】（2022·甘肅酒泉）如圖，在四棱錐中，是邊長(zhǎng)為2的正三角形，，，，，，分別是線段，的中點(diǎn)，求證：平面【答案】證明見解析【解析】如圖，取中點(diǎn)，連，，∵為中位線，∴，又平面，平面，∴平面，同理，在梯形中，，又平面，平面，∴平面，且平面，平面，，∴平面平面，又平面，所以平面．【例1-6】（2022·山西臨汾）如圖（1），在梯形中，且，線段上有一點(diǎn)E，滿足，，現(xiàn)將，分別沿，折起，使，，得到如圖（2）所示的幾何體，求證：【答案】證明見解析【解析】證明：在中，，所以，，在中，，，，由余弦定理得，所以，所以，同理可得，在中，，且，在中，，所以，因?yàn)?，，平面，所以平面，在中，，在中，，則，因?yàn)椋云矫?，所以；【一隅三反?．（2022·山東濱州）如圖，在四棱錐中，底面ABCD是平行四邊形，點(diǎn)E是PB的中點(diǎn)，求證：平面EAC【答案】證明見解析【解析】證明：連結(jié)BD交AC于點(diǎn)O，連接EO.顯然，O為BD的中點(diǎn)，又因?yàn)镋為PB的中點(diǎn)，所以.又因?yàn)槊鍱AC，面EAC，所以平面EAC；2．（2022·遼寧營(yíng)口）如圖，三棱柱中，E為中點(diǎn)，F(xiàn)為中點(diǎn)，求證：平面【答案】證明見解析【解析】證明：取BC中點(diǎn)為D,連接ED,AD,因?yàn)镋為中點(diǎn),故,又,F為中點(diǎn),故,所以四邊形EDAF為平行四邊形，故,因?yàn)槠矫妫矫?故平面；3（2022·江蘇宿遷）如圖，三棱柱中，，，點(diǎn)，分別在和上，且滿足，，證明：平面【答案】見解析【解析】過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，連接，由題意得，故，，而平面，平面，平面，同理得平面，而，平面平面，平面4．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖所示，四棱錐的底面是直角梯形，，底面，過(guò)的平面交于，交于（與不重合）.求證：；【答案】證明見解析【解析】證明：在梯形中，，平面，平面，平面.又平面，平面平面，所以.5．（2022·江蘇省鎮(zhèn)江第一中學(xué)）如圖，三棱柱中M，N，P，D分別為，BC，，的中點(diǎn)，求證：面【答案】證明見解析【解析】∵P，D分別為，的中點(diǎn)，∴，且平面，平面，∴平面，∵D，N分別為，BC的中點(diǎn)，∴，且平面，平面，∴平面，又，∴平面平面，又∵平面PDN，∴平面.6.（2022·新疆·三模（文））多面體ABDEC中，△BCD與△ABC均為邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，△CDE為腰長(zhǎng)為的等腰三角形，平面CDE⊥平面BCD，平面ABC⊥平面BCD，F(xiàn)為BC的中點(diǎn)，求證：平面ECD【答案】證明見解析【解析】證明：取CD的中點(diǎn)G，連接EG∵△CDE為腰長(zhǎng)為的等腰三角形，∴又∵平面CDE⊥平面BCD，平面ECD，平面平面,∴EG⊥平面BCD，同理可得，AF⊥平面BCD∴又∵平面ECD，平面CDE，∴平面CDE考點(diǎn)二空間幾何中的垂直問(wèn)題【例2-1】（2022·云南師大附中高三階段練習(xí)）如圖，是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，E，F(xiàn)分別是的中點(diǎn)，G是的重心，將沿折起，使點(diǎn)A到達(dá)點(diǎn)P的位置，點(diǎn)P在平面的射影為點(diǎn)G．證明：【答案】證明見解析；【解析】連接，因是等邊三角形，是的中點(diǎn)，是的重心，所以在上，，又點(diǎn)在平面的射影為點(diǎn)，即平面，平面，所以，又，所以平面，又平面，所以.【例2-2】（2022·湖北·鄂州市教學(xué)研究室）在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD是正方形，平面ABCD⊥平面PAB，E，F(xiàn)分別是線段AD，PB的中點(diǎn)，.證明：(1)平面PDC；(2)PB⊥平面DEF.【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【解析】(1)取PC的中點(diǎn)M，連接DM，MF.∵M(jìn)，F(xiàn)分別是PC，PB的中點(diǎn)，∴，.∵E為DA的中點(diǎn)，四邊形ABCD為正方形，∴，，∴，，∴四邊形DEFM為平行四邊形.∴，∵平面PDC，平面PDC.∴平面PDC.(2)∵四邊形ABCD為正方形，∴.又平面ABCD⊥平面PAB，平面平面，平面ABCD，∴AD⊥平面PAB.∵平面PAB，∴.連接AF，∵，F(xiàn)為PB中點(diǎn)，∴.又，AD，平面DEF，∴PB⊥平面DEF.【例2-3】（2022·四川成都）如圖，三棱錐中，等邊三角形的重心為O，，，，E，F(xiàn)，M分別是棱BC，BP，AP的中點(diǎn)，D是線段AM的中點(diǎn).(1)求證：平面DEF；(2)求證：平面平面PBC.【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【解析】(1)連接PE，因?yàn)闉榈冗吶切?，且O為重心，所以P、O、E三點(diǎn)共線，且，因?yàn)镸為PA中點(diǎn)，D是線段AM的中點(diǎn)，所以，所以，所以，因?yàn)槠矫鍰EF，平面DEF，所以平面DEF(2)連接AE、BD，如圖所示因?yàn)闉榈冗吶切?，E為BC中點(diǎn)，所以，因?yàn)?，，E為BC中點(diǎn)，所以，因?yàn)槠矫鍼AE，所以平面PAE，因?yàn)槠矫鍼AE，所以，在中，，，，所以，即，所以，在中，，由余弦定理得，在中，，，所以，在中，，，所以，即，因?yàn)槠矫鍼BC，所以平面PBC，因?yàn)槠矫鍰EF，所以平面平面PBC【一隅三反】1．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，四棱錐中，側(cè)面為等邊三角形，且平面底面，，＝＝，證明：【答案】證明見解析【解析】證明：取的中點(diǎn)，連，，∵為等邊三角形，且是邊的中點(diǎn)，∴，∵平面底面，且它們的交線為，∴平面，則，∵，且∴平面，∴；2．（2022·北京豐臺(tái)）如圖，在直角梯形中，，，，并將直角梯形繞AB邊旋轉(zhuǎn)至ABEF．(1)求證：直線平面ADF；(2)求證：直線平面ADF；(3)當(dāng)平面平面ABEF時(shí)，再?gòu)臈l件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使平面ADE與平面BCE垂直．并證明你的結(jié)論．條件①：；條件②：；條件③：．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析(3)答案見解析【解析】(1)證明：在直角梯形中，，，將直角梯形繞邊旋轉(zhuǎn)至，所以，又，平面，所以平面；(2)證明：依題意可得且，所以四邊形為平行四邊形，所以，平面，平面，所以平面；(3)證明：因?yàn)槠矫嫫矫妫?，平面平面，平面，所以平面，平面，所以，過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，若選①，，，所以，所以，此時(shí)，所以如圖過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，因?yàn)槠矫妫矫?，所以，，平面，所以平面，又平面，所以平面平面，顯然平面與平面不垂直；若選②：，則，所以，，所以，即，又，平面，所以平面，又平面，所以平面平面；若選③：，又，，平面，所以平面，又平面，所以平面平面；3．（2022·四川宜賓）如圖，正方形ABED的邊長(zhǎng)為1，AC＝BC，平面ABED⊥平面ABC，直線CE與平面ABC所成角的正切值為．(1)若G，F(xiàn)分別是EC，BD的中點(diǎn)，求證：平面ABC；(2)求證：平面BCD⊥平面ACD．【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析.【解析】（1）如圖，連接AE，因F是正方形ABED對(duì)角線BD的中點(diǎn)，則F是AE的中點(diǎn)，而G是CE的中點(diǎn)，則，又平面，平面，所以平面.（2）在正方形中，，因平面ABED⊥平面ABC，平面平面，平面，則平面，即是與平面所成的角，有，解得，即有，則，即，而，則有平面，又平面，于是得，因，平面，則平面，平面，所以平面平面.考點(diǎn)三空間幾何中的定理辨析【例3-1】（2022·全國(guó)·長(zhǎng)垣市第一中學(xué)高三開學(xué)考試（理））設(shè)表示兩條不同的直線，表示平面，且，則“”是“”成立的（

）A．充要條件 B．必要不充分條件C．充分不必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】若兩條平行線中的一條垂直于一個(gè)平面，則另一條也垂直于該平面.所以由“”可得“”，充分性成立；反之亦成立.所以“”是“”成立的充要條件.故選：A【例3-2】（2022·湖北武漢·高三開學(xué)考試）（多選）如圖，已知正方體，分別是，的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C．平面 D．平面【答案】AC【解析】連接，如圖：由正方體可知，因?yàn)槠矫?，平面，所以，又，，，平面，所以平面，又平面，所以，故A正確，B錯(cuò)誤；由題意知為的中位線，所以，又,所以又平面，平面，所以平面，故C正確；若平面，BD1在平面BDD1B1中，則，進(jìn)而，在中易知與不垂直，故D錯(cuò)誤；故選：AC【一隅三反】1．（2022·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）設(shè)m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個(gè)不同的平面，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）A．若，，，則 B．若，，，則C．若，，，則 D．若，，，則【答案】C【解析】對(duì)于A，因，，當(dāng)時(shí)，而，則，當(dāng)時(shí)，在直線上取點(diǎn)，過(guò)作直線，