河南省南陽市六校2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題含答案

絕密★啟用前大聯(lián)考2023—2024學(xué)年（下）南陽六校高二年級(jí)期末考試數(shù)學(xué)考生注意：1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名?考生號(hào)填寫在試卷和答題卡上，并將考生號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一?單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的：1.已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，且，則（）A.0.05B.0.1C.0.3D.0.42.如圖，均為直角三角形，為直角頂點(diǎn)，，且，設(shè)這些直角三角形的周長(zhǎng)從小到大組成的數(shù)列為，則（）A.B.C.D.3.已知函數(shù)，且，則實(shí)數(shù)（）A.1B.2C.D.4.已知是正項(xiàng)等比數(shù)列，若成等差數(shù)列，則（）A.3B.4C.5D.65.已知為虛數(shù)單位，則的展開式中的系數(shù)為（）A.-10B.10C.-15D.156.已知數(shù)列滿足，且，設(shè)，則數(shù)列的前2024項(xiàng)和為（）A.674B.673C.-673D.-6747.已知函數(shù)若恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A.B.C.D.8.已知雙曲線，如圖，過的右焦點(diǎn)作直線與的兩條漸近線分別交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，若，且，則的離心率為（）A.B.C.2D.二?多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.假定生男孩和生女孩是等可能的，已知一個(gè)家庭中共有3個(gè)孩子，用表示事件“該家庭中既有男孩又有女孩”，用表示事件“該家庭中最多有1個(gè)女孩”，則（）A.B.C.D.與相互獨(dú)立10.已知數(shù)列的前項(xiàng)和，則下列說法中正確的是（）A.一定為等差數(shù)列B.可能為等比數(shù)列C.若，則一定為遞增數(shù)列D.若，則存在，使得11.已知函數(shù)，若不等式恰有一個(gè)整數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值不可能是（）A.B.C.D.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.把4個(gè)不同顏色的球放入3個(gè)不同的盒子里，每個(gè)盒子里至少有1個(gè)球，則不同的放法種數(shù)為__________.13.已知點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，則的最小值是__________.14.已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為，且為偶函數(shù)，若時(shí)，，且，則不等式的解集為__________.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.（13分）如圖，在四棱錐中，四邊形為正方形，平面.（1）若，求；（2）若，求直線與平面所成角的正弦值.16.（15分）揚(yáng)子鱷是中國(guó)特有的一種小型鱷類，是國(guó)家一級(jí)重點(diǎn)保護(hù)野生動(dòng)物，活動(dòng)區(qū)域主要在長(zhǎng)江下游流域.研究人員為了解揚(yáng)子鱷的生長(zhǎng)發(fā)育情況，隨機(jī)抽取了6只揚(yáng)子鱷，測(cè)量它們的頭長(zhǎng)（單位與體長(zhǎng)（單位：），得到如下數(shù)據(jù)：樣本編號(hào)123456頭長(zhǎng)1515.315.316.616.817體長(zhǎng)125128130138142153并計(jì)算得（1）求這6只揚(yáng)子鱷的平均頭長(zhǎng)與平均體長(zhǎng)；（2）求揚(yáng)子鱷的頭長(zhǎng)與體長(zhǎng)的樣本相關(guān)系數(shù)；（精確到0.01）（3）已知與可以用模型進(jìn)行擬合，若某只揚(yáng)子鱷的頭長(zhǎng)為，利用所給數(shù)據(jù)估計(jì)這只揚(yáng)子鱷的體長(zhǎng).附：相關(guān)系數(shù).17.（15分）已知數(shù)列滿足，當(dāng)時(shí)，.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，證明：.參考結(jié)論：當(dāng)時(shí)，.18.（17分）已知函數(shù)，其中.（1）討論在區(qū)間上的單調(diào)性；（2）若，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在唯一的極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.19.（17分）已知拋物線的焦點(diǎn)到直線的距離為為直線上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作直線分別與相切于點(diǎn).（1）求的方程；（2）證明：直線過定點(diǎn)；（3）若直線分別交軸于點(diǎn)，求的最小值.大聯(lián)考2023—2024學(xué)年（下）南陽六校高二年級(jí)期末考試數(shù)學(xué)·答案一?單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.1.答案B命題意圖本題考查正態(tài)分布的性質(zhì).解析根據(jù)正態(tài)分布的基本性質(zhì)可知.2.答案C命題意圖本題考查等比數(shù)列的概念.解析根據(jù)題意，這些直角三角形是相似的，并且相鄰兩個(gè)三角形的相似比為，從而這些三角形的周長(zhǎng)從小到大組成的數(shù)列是等比數(shù)列，公比，首項(xiàng)為的周長(zhǎng)，因此.3.答案B命題意圖本題考查導(dǎo)數(shù)的計(jì)算.解析由題意知，所以，所以，又，所以.4.答案D命題意圖本題考查等比數(shù)列的性質(zhì).解析設(shè)等比數(shù)列的公比為.由成等差數(shù)列，可得，即，解得（負(fù)值舍去）.所以.5.答案C命題意圖本題考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用.解析展開式的通項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，因此的系數(shù)為-15.6.答案D命題意圖本題考查數(shù)列的遞推關(guān)系.解析因?yàn)槠鏀?shù)與奇數(shù)之和為偶數(shù)，奇數(shù)與偶數(shù)之和為奇數(shù)，所以數(shù)列的各項(xiàng)的奇偶情況依次為奇?偶?奇?奇?偶?奇所以數(shù)列的各項(xiàng)依次為，以3為周期，且相鄰3項(xiàng)之和為-1，因?yàn)?，所以?shù)列的前2024項(xiàng)和為.7.答案A命題意圖本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì).解析當(dāng)時(shí)，.當(dāng)時(shí)，恒成立等價(jià)于恒成立，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以.當(dāng)時(shí)，恒成立等價(jià)于恒成立.記，則在區(qū)間上為增函數(shù)，并且零點(diǎn)為，因此，所以.綜上，.8.答案命題意圖本題考查雙曲線與直線的位置關(guān)系.解析根據(jù)雙曲線漸近線的性質(zhì)，可知在中，，由三角形相似可知.，因此.因?yàn)椋?設(shè)，則，因此，又，所以，即，從而，得，故離心率.二?多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.每小題全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.答案ACD命題意圖本題考查條件概率與相互獨(dú)立事件.解析，故A正確.，所以，故B錯(cuò)誤，C正確.因?yàn)?，所以與相互獨(dú)立，故D正確.10.答案BD命題意圖本題考查數(shù)列的通項(xiàng)與前項(xiàng)和.解析對(duì)于A，根據(jù)等差數(shù)列的求和公式，只有當(dāng)時(shí)，才是等差數(shù)列，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，滿足要求，故B正確；對(duì)于C，若，則，所以，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，若，函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，因此，從而，故D正確.11.答案BCD命題意圖本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì).解析因?yàn)?，所以，?若，不等式化為，此不等式對(duì)任意恒成立，不符合條件.若，不等式化為，即恰有一個(gè)整數(shù)解.記，則，可得在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，并且，因此恰有一個(gè)整數(shù)解時(shí)，實(shí)數(shù)的取值不可能是B，C，D.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.答案36命題意圖本題考查計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用.解析將4個(gè)球按分為3部分，再放入3個(gè)盒子里，所以不同的放法種數(shù)為.13.答案命題意圖本題考查直線與圓的位置關(guān)系.解析由得，表示以為圓心，1為半徑的圓.令，則表示直線，從而圓心到該直線的距離滿足，兩邊平方整理得，解得，即的最小值為.14.答案命題意圖本題考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)?不等式的綜合.解析因?yàn)闀r(shí)，，所以，即，因此，從而在上單調(diào)遞增，又是上的偶函數(shù)，從而是上的偶函數(shù)，并且在上單調(diào)遞減.由于，因此即，即，因此的取值范圍為.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.命題意圖本題考查空間垂直關(guān)系的推理和空間向量的應(yīng)用.解析（1）由平面，可得.，且平面..四邊形是正方形，與重合，.（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，.設(shè)為平面的法向量，則即可取.設(shè)為直線與平面所成的角，則，即直線與平面所成角的正弦值為.16.命題意圖本題考查一元線性回歸分析的應(yīng)用.解析（1）平均頭長(zhǎng)為，平均體長(zhǎng)為.（2）由題可知.（3）由題意知.所以，所以，令，得，因此估計(jì)這只揚(yáng)子鱷的體長(zhǎng)為.17.命題意圖本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式?等差數(shù)列與等比數(shù)列的求和.解析（1）當(dāng)時(shí)，.又，因此的通項(xiàng)公式為.（2）由（1）知，因此.因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，.因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以，此時(shí).綜上，.18.命題意圖本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值點(diǎn).解析（1）.設(shè)，則.因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，所以，因此在上單調(diào)遞減.（2）因?yàn)?，所?若，由（1）知在上恒成立，從而在內(nèi)無極值點(diǎn)，不符合題意.若，設(shè)，則，且.設(shè)，則在上恒成立，因此在上單調(diào)遞減.若，即，則在上恒成立，因此在上單調(diào)遞增，可知在上恒成立，從而單調(diào)遞增，無極值點(diǎn)，不符合題意.若，即，則在上存在零點(diǎn)，且在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.又，所以要使有極值點(diǎn)，必須有，即，從而的取