2023-2024學(xué)年福建省漳州實(shí)驗(yàn)高級中學(xué)高一（下）質(zhì)檢數(shù)學(xué)試卷（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2023-2024學(xué)年福建省漳州實(shí)驗(yàn)高級中學(xué)高一（下）質(zhì)檢數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.下列說法中正確的是(

)A.單位向量都相等

B.若a,b滿足|a|>|b|且a與b同向，則a>b

2.已知復(fù)數(shù)z=4+3i1?i，其中i為虛數(shù)單位，則z+zA.i B.7i C.7 D.13.在△ABC中，A=60°，AC=4，BC=23，則角B的值為(

)A.90° B.60° C.45° D.30°4.已知向量|a|=3,|b|=6A.30 B.61 C.785.O是平面上一定點(diǎn)，A、B、C是該平面上不共線的3個點(diǎn)，一動點(diǎn)P滿足：OP=OA+λ(AB+AC)，λ>0，則直線A.外心 B.內(nèi)心 C.重心 D.垂心6.某中學(xué)校園內(nèi)的紅豆樹已有百年歷史，小明為了測量紅豆樹高度，他選取與紅豆樹根部C在同一水平面的A，B兩點(diǎn)，在A點(diǎn)測得紅豆樹根部C在北偏西60°的方向上，沿正西方向步行40米到B處，測得樹根部C在北偏西15°的方向上，樹梢D的仰角為30°，則紅豆樹的高度為(

)A.106米 B.203米 C.207.如圖，M為△ABC的外接圓的圓心，AB=4，AC=6，N為邊BC的中點(diǎn)，則AN?AM=(

)A.5

B.10

C.13

D.26

8.我國南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶提出了由三角形三邊求三角形面積的“三斜求積”，設(shè)△ABC的三個內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，面積為S，則“三斜求積”公式為S=14[a2c2?(aA.3 B.32 C.1二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.已知i為虛數(shù)單位，則以下四個說法中正確的是(

)A.i+i2+i3+i4=0

B.復(fù)數(shù)?2?i的虛部為?i10.下列說法正確的有(

)A.在△ABC中，BC?CA<0，則△ABC為銳角三角形

B.已知O為△ABC的內(nèi)心，且A=30°，B=60°，則OA+3OB+2OC=0

C.已知非零向量a，b滿足：a?b=a2，4c=211.對于△ABC，下列說法正確的是(

)A.若A=45°,a=2,b=22，則△ABC只有一解

B.若sin2A=sin2B，則△ABC一定為等腰三角形

C.若a+b<2c，則0<C<π3

D.若三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知復(fù)數(shù)z滿足|z|=1，則|z+3?4i|(i為虛數(shù)單位)的最大值為______．13.已知向量a,b夾角為π3,|a|=2，對任意t∈R，有|a14.窗花是貼在窗子或窗戶上的剪紙，是中國古老的傳統(tǒng)民間藝術(shù)之一，圖1是一個正八邊形窗花隔斷，圖2是從窗花圖中抽象出的幾何圖形的示意圖.如圖2，讓八邊形ABCDEFGH內(nèi)角和為1080°，若AE=λAC+μAF(λ,μ∈R)，則λ+μ的值為______；若正八邊形ABCDEFGH的邊長為2，P是正八邊形ABCDEFGH四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題15分)

已知向量a=(2,1)，b=(1,2)，c=(3,λ)．

(1)若c/?/a，求|c|的值；

(2)16.(本小題15分)

已知復(fù)數(shù)z1=a+2+(a?1)i，z2=2+(3a+1)i，a∈R．

(1)若復(fù)數(shù)z1?z2在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點(diǎn)落在第二象限，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

(2)17.(本小題15分)

在△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且bcosA+3bsinA=a+c．

(1)求B；

(2)若△ABC的中線BD長為218.(本小題15分)

某海岸的A哨所在凌晨1點(diǎn)15分發(fā)現(xiàn)哨所北偏東30°方向20nmile處的D點(diǎn)出現(xiàn)可疑船只，因天氣惡劣能見度低，無法對船只進(jìn)行識別，所以將該船雷達(dá)特征信號進(jìn)行標(biāo)記并上報(bào)周圍哨所.早上5點(diǎn)15分位于A哨所正西方向20nmile的B哨所發(fā)現(xiàn)了該可疑船只位于B哨所北偏西30°方向60nmile處的E點(diǎn)，并識別出其為走私船，立刻命令位于B哨所正西方向30nmile處C點(diǎn)的我方緝私船前往攔截，已知緝私船速度大小為30nmile/?.(假設(shè)所有船只均保持勻速直線航行)

(1)求走私船的速度大小；

(2)緝私船沿什么方向行駛才能最快截獲走私船，并求出截獲走私船的具體時間．19.(本小題17分)

如圖，在凸四邊形ABCD中，AB=1,BC=3,AC⊥DC,CD=3AC.設(shè)∠ABC=θ．

(1)若θ=30°，求AD的長．

(2)當(dāng)θ多大時，

參考答案1C

2D

3A

4A

5C

6D

7C

8B

9ACD

10BD

11AD

126

133142

[?215解：(1)由c/?/a得2λ=3，解得λ=32，

故|c|=32+(32)2=316解：(1)復(fù)數(shù)z1=a+2+(a?1)i，z2=2+(3a+1)i，

則z1?z2=a?(2a+2)i，

復(fù)數(shù)z1?z2在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點(diǎn)落在第二象限，

則a<0?(2a+2)>0，解得a<?1，

故實(shí)數(shù)a的取值范圍為(?∞,?1)．

(2)虛數(shù)z1是方程x217解：(1)因?yàn)閎cosA+3bsinA=a+c，由正弦定理可得sinBcosA+3sinBsinA=sinA+sinC，

在△ABC中，sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB，sinA≠0，

可得3sinB?cosB=2sin(B?π6)=1，所以sin(B?π6)=12

即B?π6=π6或5π6，而B∈(0,π)，

解得B=π3；

(2)因?yàn)椤鰽BC的中線BD長為23，B=π18解：(1)某海岸的A哨所在凌晨1點(diǎn)15分發(fā)現(xiàn)哨所北偏東30°方向20nmile處的D點(diǎn)出現(xiàn)可疑船只，

∵D點(diǎn)位于A哨所北偏東30°方向20nmile處，

∴∠BAD=90°+30°=120°，AD=20，

∵AB=20，

∴BD=AD2+AB2?2AD?ABcos120°=203，

∵AB=AD，∴∠ABD=∠ADB=30°，

∵E點(diǎn)位于B哨所北偏西30°方向60nmile處，

∴∠DBE=90°?30°+30°=90°，

∴DE=BD2+BE2=403，

∴ν走私船=4034=103nmile/?，

∴走私船的速度大小為103nmile/?；

(2)早上5點(diǎn)15分位于A哨所正西方向20nmile的B哨所發(fā)現(xiàn)了該可疑船只位于B哨所北偏西30°方向60nmile處的E點(diǎn)，

設(shè)在F點(diǎn)處截獲走私船，截獲走私船所需時間為t，

∵BE=60，BC=30，∠CBE=60°，

∴CE=BE2+BC2?2BE?BCcos60°=303，

∵BE2=BC2+CE2，∴∠B