2025屆高考數(shù)學沖刺復習兩直線的位置關(guān)系

2025屆高考數(shù)學沖刺復習兩直線的位置關(guān)系1.能根據(jù)斜率判定兩條直線平行或垂直.2.能用解方程組的方法求兩條直線的交點坐標.3.探索并掌握平面上兩點間的距離公式、點到直線的距離公式，會求

兩條平行直線間的距離.目錄CONTENTS123知識體系構(gòu)建課時跟蹤檢測考點分類突破PART1知識體系構(gòu)建必備知識系統(tǒng)梳理基礎重落實課前自修

1.點

A

（2，5）到直線

l

：

x

－2

y

＋3＝0的距離為（

）

2.已知點

A

（3，3

a

＋3）與點

B

（

a

，3）之間的距離為5，則實數(shù)

a

＝（

）A.－1

3.若直線

l

1：

ax

－（

a

＋1）

y

＋1＝0與直線

l

2：2

x

－

ay

－1＝0垂直，

則實數(shù)

a

＝（

）A.3B.0C.－3D.0或－3解析：

∵直線

l

1與直線

l

2垂直，∴2

a

＋

a

（

a

＋1）＝0，整理得

a

2＋3

a

＝0，解得

a

＝0或

a

＝－3.故選D.4.已知直線3

x

＋4

y

－3＝0與直線6

x

＋8

y

＋14＝0平行，則它們之間的

距離是

?.

25.若三條直線

y

＝2

x

，

x

＋

y

＝3，

mx

＋2

y

＋5＝0相交于同一點，則

m

＝

?.

－9

1.與直線

Ax

＋

By

＋

C

＝0（

A

2＋

B

2≠0）垂直或平行的直線方程

可設為：（1）垂直：

Bx

－

Ay

＋

m

＝0；（2）平行：

Ax

＋

By

＋

n

＝0（

n

≠

C

）.2.過直線

l

1：

A

1

x

＋

B

1

y

＋

C

1＝0與

l

2：

A

2

x

＋

B

2

y

＋

C

2＝0的交點的

直線系方程為

A

1

x

＋

B

1

y

＋

C

1＋λ（

A

2

x

＋

B

2

y

＋

C

2）＝0

（λ∈R），但不包括

l

2.3.與對稱問題相關(guān)的六個結(jié)論（1）點（

x

，

y

）關(guān)于原點（0，0）的對稱點為（－

x

，－

y

）；（2）點（

x

，

y

）關(guān)于點（

a

，

b

）的對稱點為（2

a

－

x

，2

b

－

y

）；（3）點（

x

，

y

）關(guān)于

x

軸的對稱點為（

x

，－

y

），關(guān)于

y

軸的對

稱點為（－

x

，

y

）；（4）點（

x

，

y

）關(guān)于直線

x

＝

a

的對稱點為（2

a

－

x

，

y

），關(guān)于

直線

y

＝

b

的對稱點為（

x

，2

b

－

y

）；（5）點（

x

，

y

）關(guān)于直線

y

＝

x

的對稱點為（

y

，

x

），關(guān)于直線

y

＝－

x

的對稱點為（－

y

，－

x

）；（6）點（

x

，

y

）關(guān)于直線

x

＋

y

＝

k

的對稱點為（

k

－

y

，

k

－

x

），關(guān)于直線

x

－

y

＝

k

的對稱點為（

k

＋

y

，

x

－

k

）.

1.過點（2，1）且與直線3

x

－2

y

＝0垂直的直線方程為（

）A.2

x

－3

y

－1＝0B.2

x

＋3

y

－7＝0C.3

x

－2

y

－4＝0D.3

x

＋2

y

－8＝0解析：

由結(jié)論1可設直線方程為2

x

＋3

y

＋

b

＝0，把（2，1）代

入，則4＋3＋

b

＝0，即

b

＝－7，則所求直線方程為2

x

＋3

y

－7＝0.2.過直線2

x

－

y

＋2＝0和

x

＋

y

＋1＝0的交點，且斜率為3的直線方程

為

?.

3.點

P

（2，5）關(guān)于直線

x

＋

y

＝1的對稱點的坐標是

?.解析：由結(jié)論3可知，對稱點為（1－5，1－2），即（－4，－1）.3

x

－

y

＋3＝0（－4，－1）

PART2考點分類突破精選考點典例研析技法重悟通課堂演練兩條直線的位置關(guān)系1.“

a

＝1”是“直線（2

a

＋1）

x

＋

ay

＋1＝0和直線

ax

－3

y

＋3＝0垂

直”的（

）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件

2.（多選）已知直線

l

1：（

a

＋1）

x

＋

ay

＋2＝0，

l

2：

ax

＋（1－

a

）

y

－1＝0，則（

）A.

l

1恒過點（2，－2）C.若

l

1⊥

l

2，則

a

2＝1D.當0≤

a

≤1時，

l

2不經(jīng)過第三象限

3.（2024·瀘州模擬）已知兩直線

l

1：

x

＋

y

sinα＋1＝0和

l

2：2

x

sinα

＋

y

＋1＝0.若

l

1∥

l

2，則α＝

?.

4.（2024·石家莊質(zhì)檢）已知直線

l

經(jīng)過直線2

x

－

y

－3＝0和4

x

－3

y

－

5＝0的交點

P

，且垂直于直線

x

＋

y

－2＝0，則直線

l

的方程為

?

?.

x

－

y

－1＝0

練后悟通1.斜率存在的兩直線平行、垂直的判斷方法（1）兩直線平行?兩直線的斜率相等且在坐標軸上的截距不等；（2）兩直線垂直?兩直線的斜率之積等于－1.2.解決兩直線平行與垂直的參數(shù)問題要“前思后想”距離問題【例1】

（1）已知直線

l

1：

ax

＋

y

＋1＝0過定點

P

，則點

P

到直線

l

2：

y

＝

k

（

x

＋1）距離的最大值是（

）A.1B.2

4或－16

解題技法求解距離問題的解題思路（1）點到直線的距離的求法：可直接利用點到直線的距離公式來

求，但要注意此時直線方程必須為一般式；（2）兩平行線間的距離的求法：①利用“轉(zhuǎn)化法”將兩條平行線間

的距離轉(zhuǎn)化為一條直線上任意一點到另一條直線的距離；②利

用兩平行線間的距離公式.

1.設直線

l

：3

x

＋2

y

－6＝0，

P

（

m

，

n

）為直線

l

上的動點，則（

m

－1）2＋

n

2的最小值為（

）

2.若

P

，

Q

分別為直線3

x

＋4

y

－12＝0與6

x

＋8

y

＋5＝0上任意一點，

則｜

PQ

｜的最小值為（

）

對稱問題考向1

中心對稱問題【例2】

（1）（2024·寧波質(zhì)檢）直線

x

－2

y

－3＝0關(guān)于定點

M

（－2，1）對稱的直線方程是

?；解析：設所求直線上任一點（

x

，

y

），則關(guān)于

M

（－2，1）的對稱點（－4－

x

，2－

y

）在已知直線上，所以所求直線方程為（－4－

x

）－2（2－

y

）－3＝0，即

x

－2

y

＋11＝0.x

－2

y

＋11＝0（2）過點

P

（0，1）作直線

l

，使它被直線

l

1：2

x

＋

y

－8＝0和

l

2：

x

－3

y

＋10＝0截得的線段被點

P

平分，則直線

l

的方程為

?

?.解析：設

l

1與

l

的交點為

A

（

a

，8－2

a

），則由題意知，點

A

關(guān)

于點

P

的對稱點

B

（－

a

，2

a

－6）在

l

2上，代入

l

2的方程得－

a

－3（2

a

－6）＋10＝0，解得

a

＝4，即點

A

（4，0）在直線

l

上，所以直線

l

的方程為

x

＋4

y

－4＝0.x

＋4

y

－4＝0解題技法中心對稱問題的類型及解題策略

（2）直線關(guān)于點對稱：①在已知直線上取兩點，利用中點坐標公式

求出它們關(guān)于已知點對稱的點的坐標，再由兩點式求出所求直

線方程；②求出一個對稱點，再利用兩對稱直線平行，由點斜

式得到所求直線方程.考向2

軸對稱問題【例3】

（1）已知入射光線經(jīng)過點

M

（－3，4），被直線

l

：

x

－

y

＋3＝0反射，反射光線經(jīng)過點

N

（2，6），則反射光線所在直線的方

程為

?；6

x

－

y

－6＝0

（2）直線2

x

－

y

＋3＝0關(guān)于直線

x

－

y

＋2＝0對稱的直線方程是

?

?.

x

－2

y

＋3＝0解題技法軸對稱問題的類型及解題策略

①當

l

1與

l

相交時，則交點必在

l

2上，再求出

l

1上某個點

P

1關(guān)于

直線

l

對稱的點

P

2，那么由交點及點

P

2的坐標即可求出直線

l

2的

方程；②當

l

1∥

l

時，借助兩直線平行所滿足的條件設出對稱直線

l

2的

方程，再利用兩平行直線間的距離公式列出方程，求得直線

l

2

的方程中的常數(shù)項，從而得

l

2的方程.（2）直線關(guān)于直線對稱：設直線

l

1關(guān)于直線

l

的對稱直線為

l

2.

1.坐標原點（0，0）關(guān)于直線

x

－2

y

＋2＝0對稱的點的坐標是

（

）

2.光線沿著直線

y

＝－3

x

＋

b

射到直線

x

＋

y

＝0上，經(jīng)反射后沿著直

線

y

＝

ax

＋2射出，則有（

）

PART3課時跟蹤檢測關(guān)鍵能力分層施練素養(yǎng)重提升課后練習1.（2024·合肥質(zhì)檢）若

l

1：3

x

－

my

－1＝0與

l

2：3（

m

＋2）

x

－3

y

＋1＝0是兩條不同的直線，則“

m

＝1”是“

l

1∥

l

2”的（

）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件解析：

若

l

1∥

l

2，則3×（－3）＝－

m

×3（

m

＋2），解得

m

＝1

或

m

＝－3，而當

m

＝－3時，

l

1，

l

2重合，故舍去，則“

m

＝1”是

“

l

1∥

l

2”的充要條件.123456789101112131415161718192021222324252627282.（2024·廈門模擬）已知

A

（4，0）到直線4

x

－3

y

＋

a

＝0的距離等

于3，則

a

的值為（

）A.－1B.

－13或－19C.－1或－31D.

－13

3.（2024·臨川模擬）已知點

A

（0，－1），點

B

在直線

x

－

y

＋1＝0

上，直線

AB

垂直于直線

x

＋2

y

－3＝0，則點

B

的坐標是（

）A.（－2，－3）B.

（2，3）C.（2，1）D.

（－2，1）

4.（多選）已知直線

l

：（

a

2＋

a

＋1）

x

－

y

＋1＝0，其中

a

∈R，則

下列說法正確的是（

）A.當

a

＝－1時，直線

l

與直線

x

＋

y

＝0垂直B.若直線

l

與直線

x

－

y

＝0平行，則

a

＝0C.直線

l

過定點（0，1）D.當

a

＝0時，直線

l

在兩坐標軸上的截距相等解析：

對于A，當

a

＝－1時，直線

l

的方程為

x

－

y

＋1＝0，顯

然與

x

＋

y

＝0垂直，正確；對于B，若直線

l

與直線

x

－

y

＝0平行，

可知（

a

2＋

a

＋1）·（－1）＝1×（－1），解得

a

＝0或

a

＝－1，

不正確；對于C，當

x

＝0時，有

y

＝1，所以直線過定點（0，1），

正確；對于D，當

a

＝0時，直線

l

的方程為

x

－

y

＋1＝0，在

x

軸，

y

軸上的截距分別是－1，1，不正確.5.（多選）已知三條直線

l

1：2

x

－3

y

＋1＝0，

l

2：4

x

＋3

y

＋5＝0，

l

3：

mx

－

y

－1＝0.若

l

1，

l

2，

l

3三條直線構(gòu)不成三角形，則

m

的值可能為（

）

6.（2024·汕頭一模）點（3，4）關(guān)于直線

x

＋

y

＋1＝0對稱的點的坐

標為

?.

（－5，－4）7.（2024·東北師大附中模擬）已知

l

1，

l

2是分別經(jīng)過

A

（1，1），

B

（0，－1）的兩條平行直線，當

l

1與

l

2之間的距離最大時，直線

l

1

的方程是

?.

x

＋2

y

－3＝08.若直線

ax

＋4

y

－2＝0與直線2

x

－5

y

＋

b

＝0垂直，垂足為（1，

c

），則

a

＋

b

＋

c

＝

?.

－4

9.直線

l

：

y

＝

k

（

x

＋2）上存在兩個不同的點到原點的距離等于1，

則

k

的取值范圍是（

）A.（－2，2）C.（－1，1）

10.若直線

y

＝2

x

，

x

＋

y

＝3，

mx

＋

ny

＋5＝0相交于同一點，則點

（

m

，

n

）與原點之間的距離的最小值為（

）

11.設△

ABC

的一個頂點是

A

（3，－1），角

B

，

C

的角平分線的方程

分別是

x

＝0，

y

＝

x

，則直線

BC

的方程是（

）A.

y

＝3

x

＋5B.

y

＝2

x

＋3C.

y

＝2

x

＋5解析：

A

關(guān)于直線

x

＝0的對稱點是

A

'（－3，－1），關(guān)于直線

y

＝

x

的對稱點是

A

″（－1，3），由角平分線的性質(zhì)可知，點

A

'，

A

″均在直線

BC

上，所以直線

BC

的方程為

y

＝2

x

＋5.故選C.12.（多選）已知直線

l

1：

ax

－

y

＋1＝0，

l

2：

x

＋

ay

＋1＝0，

a

∈R，以下結(jié)論正確的是（

）A.不論

a

為何值時，

l

1與

l

2都互相垂直B.當

a

變化時，

l

1與

l

2分別經(jīng)過定點

A

（0，1）和

B

（－1，0）C.不論

a

為何值，

l

1與

l

2都關(guān)于直線

x

＋

y

＝0對稱解析：

對于A，

a

×1＋（－1）×

a

＝0恒成立，

l

1與

l

2互相

垂直恒成立，故A正確；對于B，直線

l

1：

ax

－

y

＋1＝0，當

a

變

化時，

x

＝0，

y

＝1恒成立，所以

l

1恒過定點

A

（0，1）；

l

2：

x

＋

ay

＋1＝0，當

a

變化時，

x

＝－1，