2024高考數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識綜合復(fù)習(xí)優(yōu)化集訓(xùn)19簡單幾何體的表面積與體積

優(yōu)化集訓(xùn)19簡潔幾何體的表面積與體積基礎(chǔ)鞏固1.如圖所示,在三棱臺A'B'C'-ABC中,截去三棱錐A'-ABC,則剩余部分是()A.三棱錐 B.四棱錐 C.三棱柱 D.組合體2.下列說法正確的是()A.棱錐是由一個底面為多邊形,其余各面為三角形圍成的幾何體B.球面可以看作一個圓圍著它的直徑所在的直線旋轉(zhuǎn)180°所形成的曲面C.有兩個面相互平行,其余四個面都是等腰梯形的六面體為棱臺D.用一個平面去截棱錐,棱錐底面和截面之間的部分為棱臺3.(2024浙江杭州)如圖,梯形A1B1C1D1是一水平放置的平面圖形ABCD在斜二測畫法下的直觀圖.若A1D1平行于y1軸,A1B1∥C1D1,A1B1=34C1D1=3,A1D1=1,則四邊形ABCD的面積是(A.14 B.7 C.72 D.1424.(2024浙江環(huán)大羅山聯(lián)盟)已知一張邊長為2的正方形紙片圍著它的一條邊所在的直線旋轉(zhuǎn)π4弧度,則該紙片掃過的區(qū)域形成的幾何體的表面積為(A.2π B.π+8 C.2π+8 D.4π+85.如圖,三棱錐D'-A'CD的體積與長方體ABCD-A'B'C'D'體積的比值為 ()A.13 B.14 C.166.(2024浙江強基聯(lián)盟)下列說法錯誤的是()A.一個八棱柱有10個面B.隨意四面體都可以割成4個棱錐C.棱臺側(cè)棱的延長線必相交于一點D.矩形旋轉(zhuǎn)一周確定形成一個圓柱7.(2024浙江浙南名校聯(lián)盟)用半徑為3cm,圓心角為2π3的扇形紙片卷成一個圓錐筒,則這個圓錐筒的高為(A.1cm B.22cm C.2cm D.2cm8.已知軸截面是正方形的圓柱的高與球的直徑相等,則圓柱的表面積與球的表面積的比是()A.1∶1 B.5∶4 C.4∶3 D.3∶29.(2024浙江浙北兩校)在三棱錐P-ABC中,PA,AB,AC兩兩垂直,AP=3,BC=6,則三棱錐外接球的表面積為()A.57π B.63π C.45π D.84π10.(多選)(2024浙江杭州六縣九校)如圖,AC為圓錐底面圓的直徑,點B是圓O上異于A,C的點,SO=OC=2,則下列結(jié)論正確的是()A.圓錐SO的側(cè)面積為82πB.三棱錐S-ABC體積的最大值為8C.∠SAB的取值范圍是π4,D.若AB=BC,E為線段AB上的動點,則SE+CE的最小值為2(3+1)11.(多選)(2024浙江A9協(xié)作體)直三棱柱ABC-A1B1C1的六個頂點均位于一個半徑為1的球的球面上,已知三棱柱的底面為銳角三角形,∠BAC=π3,BC=1,那么該直三棱柱的體積可能是(A.23 B.225 C.312.已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1,除平面ABCD外,該正方體其余各面的中心分別為點E,F,G,H,M(如圖),則四棱錐M-EFGH的體積為.

13.如圖,在矩形ABCD中,E為邊AD的中點,AB=1,BC=2,分別以A,D為圓心,1為半徑作圓弧EB,EC,若由兩圓弧EB,EC及邊BC所圍成的平面圖形繞直線AD14.(2024浙江杭州六縣九校)已知在三棱錐P-ABC中,AB=4,BC=5,CA=6,側(cè)棱PA,PB,PC兩兩垂直,則三棱錐P-ABC的外接球的表面積為.

15.在圓柱內(nèi)有一個球O,該球與圓柱的上、下底面及母線均相切.記圓柱的體積為V1,球O的體積為V2,則V1V2的值是16.如圖1,把棱長為1的正方體沿平面AB1D1和平面A1BC1截去部分后,得到如圖2所示幾何體,該幾何體的體積為.

圖1圖217.如圖,在長方體ABCD-A'B'C'D'中,AB=12,BC=10,AA'=6,過A'D'作長方體的截面A'D'EF使它成為正方形.(1)求三棱柱AA'F-DD'E的外接球的表面積;(2)求VB-A'D'EF.實力提升18.(2024浙江金華)已知球的半徑為R,一等邊圓錐(圓錐母線長與圓錐底面圓直徑相等)位于球內(nèi),圓錐頂點在球上,底面與球相接,則該圓錐的表面積為()A.3π4R2 B.9π4R2 C.34R219.(2024浙江北斗聯(lián)盟)如圖所示的建筑物的形態(tài)可視為一個正四棱錐(底面是正方形,側(cè)棱長都相等的四棱錐),其側(cè)面三角形底邊上的高與底面正方形邊長的比值為5+14,則以該四棱錐的高為邊長的正方形面積與該四棱錐的側(cè)面積的數(shù)值之比為(A.2 B.14 C.12 D20.(2024浙江湖州)在三棱錐P-ABC中,平面PAB⊥平面ABC,△ABC是邊長為2的正三角形,PA=PB=3,則三棱錐P-ABC外接球的表面積為()A.35π3 B.35π6 C.21.(多選)(2024浙江七彩陽光聯(lián)盟)已知正三棱錐的側(cè)棱長為43,底面邊長為6,則()A.正三棱錐的表面積為93+2713B.正三棱錐的高為6C.正三棱錐的體積為183D.正三棱錐的外接球的表面積為64π22.(2024浙江金華)如圖,平面ABC⊥平面BCDE,四邊形BCDE為矩形,BE=2,BC=4,△ABC的面積為23,點P為線段DE上一點,當(dāng)三棱錐P-ACE的體積為33時,DPDE=23.(2024浙江七彩陽光聯(lián)盟)如圖,在三棱錐P-ABC中,PC=4,PC⊥底面ABC,AB=BC=3,∠ABC=120°.(1)求三棱錐P-ABC的體積;(2)求三棱錐P-ABC外接球的表面積.優(yōu)化集訓(xùn)19簡潔幾何體的表面積與體積基礎(chǔ)鞏固1.B解析依據(jù)棱錐的結(jié)構(gòu)特征可推斷,余下部分是四棱錐A'-BCC'B'.故選B.2.B解析對于A,除底面外的其余各面的三角形假如沒有一個公共頂點,圍成的幾何體不是棱錐,故A錯誤;B正確;對于C,因為不能保證各側(cè)棱的延長線交于一點,錯誤;對于D,不能保證截面與底面平行,錯誤.故選B.3.B解析因為A1D1平行于y1軸,則在平面圖形中,AD平行于y軸,則AD⊥DC,且AD=2A1D1=2.因為在直觀圖中,A1B1∥C1D1,A1B1=34C1D1=3,則在平面圖形ABCD中,AB∥CD,AB=34即四邊形ABCD是上底和下底邊長分別為3,4,高為2的直角梯形,如圖所示,故其面積S=12×(3+4)×2=7故選B.4.C解析由題可知,所得幾何體為18個底面半徑為2的圓柱,故其表面積為2×2×π4+2×π4×2+2×2×2=2π5.C解析設(shè)AB=a,AD=b,AA'=c,因為A'D'⊥平面D'DC,所以VD'-A'CD=VA'-D'DC=13×12因為V長方體ABCD-A'B'C'D'=abc,所以棱錐D'-A'CD的體積與長方體ABCD-A'B'C'D'體積的比值為16,故選C6.D解析假如矩形圍著對角線旋轉(zhuǎn),就不會形成圓柱,故D錯誤.7.B解析設(shè)圓錐底面半徑為r,高為h,由題得,2π3×3=2πr,解得r=1,故h=32-8.D解析由題意,圓柱的軸截面是正方形,假設(shè)圓柱的高為a,則底面圓的直徑也為a,則圓柱的表面積為2×π×a22+2π×a2×a=32πa2,因為球的直徑也為a,所以球的表面積為4×π×a22=πa2,則圓柱的表面積與球的表面積的比為3∶2,故選D.9.C解析由于PA,AB,AC兩兩垂直,故該三棱錐可補全為一個長方體,該三棱錐的外接球也是該長方體的外接球.因為長方體外接球的半徑為長方體體對角線的一半,所以R=PA2+AB2+AC2210.BD解析由題得,SC=22,故圓錐側(cè)面積為S=π·OC·SC=π×2×22=42π,故A錯誤;因為點B在圓周上,故當(dāng)AB=BC時,△ABC的面積取最大值,為12×4×2=4,則三棱錐S-ABC體積的最大值為13×4×2=cos∠SAB=AB2又在△ABC中,0<AB<4,所以0<cos∠SAB<22,所以π4<∠SAB<當(dāng)AB=BC時,把△SAB和△ABC綻開,使這兩個三角形共面,如圖.連接SC,得SE+CE的最小值是SC,此時,AB=BC=22=SA=SB,AB⊥BC,∠SBC=150°,故SC=SB2+BC2-2故選BD.11.BCD解析設(shè)△ABC外接圓的半徑為r,則2r=BCsin∠BAC=設(shè)直三棱柱ABC-A1B1C1的高為h,則r2+h22=12,即332+h22=12,則h=263.在銳角三角形ABC中,A=π3,BC=1,由正弦定理,得AC則AC=233sinB,AB=23則AC·AB=43sinBsinC=43sinBsin(A+B)=43sinB32cosB+12sinB=233sinBcosB+23sin2B=33sin2B-13cos2B+13因為0<B<π2所以2B-π6∈π6,5π6,所以sin2B-π6∈12,1,所以AC·AB∈23,1,所以S△ABC=12AC·ABsinA=34AC·AB∈36,34,所以VABC-A1B1C1=S故選BCD.12.112解析由題可得,EF=FG=GH=HE=(12)

2+(12)

2=13.8π解析如圖,該圖形旋轉(zhuǎn)一周后,形成的幾何體是一個圓柱挖掉兩個半球,它的表面積為圓柱側(cè)面積加上球的表面積,∴S=2πrh+4πr22×214.77π2解析三棱錐P-ABC的側(cè)棱PA,PB,PC兩兩垂直,且P,A,B,C都在同一個球面上(如圖所示),以PA,PB,PC設(shè)長方體的相鄰三條棱長分別為x,y,z,則x2+y2=16,y2+z2=25,x2+z2=36,故x2+y2+z2=772,設(shè)三棱錐外接球半徑為R,則(2R)2=x2+y2+z2=772,故該球的表面積為S=4πR2=4π×15.32解析設(shè)球O的半徑為r,因為球O與圓柱的上、下底面及母線均相切,所以圓柱的底面半徑為r、高為2r,所以V16.1724解析V=V正方體-V三棱錐B1-AA1D1-V三棱錐A1-BB1C1+V三棱錐17.解(1)因為截面A'D'EF為正方形,所以A'D'=A'F=BC=10.在Rt△A'AF中,AA'2+AF2=A'F2,即62+AF2=102,解得AF=8.在直三棱柱AA'F-DD'E中,底面三角形A'AF的外接圓半徑為12A'F=12×10=5,直三棱柱AA'F-DD'E的外接球球心到平面A'AF的距離為12×10設(shè)三棱柱的外接球半徑為R,則R=52+52=52,所以S=4πR2(2)因為VB-A'D'EF=2VB-A'EF=2VA'-BEF,又在長方體中,AA'⊥平面BEF,所以三棱錐A'-BEF的高為AA'=6,所以VB-A'D'EF=2×13×S△BEF×A'A=2×13×12×EF×BF×6=2×13×12×10×4實力提升18.B解析如圖,設(shè)圓錐的底面半徑為r,母線長為2r,則圓錐的高為3r,則R2=r2+(3r-R)2,解得r=32R,則圓錐的表面積為S=πr2+πr·2r=3πr2=3π32R2=9π4R219.B解析如圖,P-ABCD為正四棱錐,PE為側(cè)面三角形PAD底邊上的高,設(shè)AD=4x,由已知側(cè)面三角形PAD底邊上的高與底面正方形邊長的比值為5+14,所以PE=(5+1)連接AC,BD,交點為O.因為四邊形ABCD為正方形,所以O(shè)為AC,BD的中點.因為PA=PB=PC=PD,PO⊥AC,PO⊥BD,AC∩BD=O,AC,BD?平面ABCD,所以PO⊥平面ABCD.又OE?平面ABCD,所以PO⊥OE,即△POE為以PE為斜邊的直角三角形.因為PE=(5+1)x,OE=2x,所以PO=(5+1所以以四棱錐P-ABCD的高為邊長的正方形面積S'=(25+2)x2,四棱錐P-ABCD的側(cè)面積S=4×12×4x×(5+1)x=8(5+1)x2,所以S'S=1420.B解析如圖,取AB中點為D,連接CD,PD,設(shè)△ABC外接圓的圓心為O1,連接O1A.因為PA=PB,AB中點為D,所以PD⊥AB.因為平面PAB⊥平面ABC,平面PAB∩平面ABC=AB,PD?平面PAB,所以PD⊥平面ABC.設(shè)O為三棱錐P-ABC外接球的球心,半徑為R,連接OO1,則OO1⊥平面ABC,OO1∥PD.因為PA=PB=3,AB=AC=BC=2,所以AD=1,PD=PA2-AD2=2,CD=3,AO設(shè)OO1=x,0<x≤2,過點O作OE⊥PD交PD于點E,連接OP,則OE=O1D=13CD=33,PE=2-x,又O1A?平面ABC,OO1⊥O1A,在Rt△OO1A中,R=OA=在Rt△OEP中,R=OP=OE所以x2+43=13+(2-x)2,解得x=24,所以R2=24故三棱錐P-ABC外接球的表面積為4πR2=35π故選B.21.BCD解析如圖,在正三棱錐P-ABC中,過點P作PD⊥AB交AB于點D,過點P作PO⊥平面ABC,H為其外接球球心,則點H在PO上,連接CH.對于A,PD=(43)2-32=39,故正三棱錐的表面積為3×12×6×39+12對于B,CD=62-32=33,DO=13CD=3對于C,正三棱錐的體積為13×6×12×6×6×32=對于D,設(shè)外接球半徑為R,CO=23CD=23,由CH2=CO2+OH2,可得R2=(23)2+(6-R)2,解得R=4,故外接球表面積為4πR2=64π,故D正確.故選BCD22.34解析如圖,過點A作AF⊥BC,交CB的延長線于點F∵平面ABC⊥平面BCDE,平面ABC∩平面BCDE=BC,AF?平面ABC,∴AF⊥平面BCDE.由BE=2,BC=4,△ABC的面積為23,得12BC·AF=12×4AF=23,∴AF=3,則VD-ACE=VA-CDE=13×12×DE×BE×AF=13∵VP-ACE=VA-PCE=13×12×PE×BE∴PEDE=V23.解(1)由題意知,AB=BC=