2025屆新教材高中數(shù)學(xué)第2章直線和圓的方程2.4圓的方程2.4.2圓的一般方程課件新人教A屆選擇性必修第一冊(cè)

2．4圓的方程2.4.2圓的一般方程素養(yǎng)目標(biāo)?定方向

1．掌握?qǐng)A的一般方程及其特點(diǎn)．(重點(diǎn))2．會(huì)將圓的一般方程化為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，會(huì)由一般式求圓心和半徑．(易混點(diǎn))3．能根據(jù)某些具體條件，運(yùn)用待定系數(shù)法求圓的方程．(重點(diǎn)、難點(diǎn))

1．通過(guò)圓的一般方程的推導(dǎo)，提升邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算的數(shù)學(xué)素養(yǎng)．2．通過(guò)學(xué)習(xí)圓的一般方程的應(yīng)用，培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算的數(shù)學(xué)素養(yǎng).必備知識(shí)?探新知

方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的圖形知識(shí)點(diǎn)1方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0變形為：(1)當(dāng)D2＋E2－4F>0時(shí)，方程表示圓，圓心為_(kāi)___________，半徑為_(kāi)_______________.(2)當(dāng)D2＋E2－4F＝0時(shí)，方程表示點(diǎn)__________________.(3)當(dāng)D2＋E2－4F<0時(shí)，方程不表示任何圖形．提醒：一般地，二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圓的充要條件是：A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF>0.做一做：1.圓x2＋y2－6x＝0的圓心坐標(biāo)是__________，半徑長(zhǎng)是______.[解析]

方程x2＋y2－6x＝0可化為(x－3)2＋y2＝9，則圓心坐標(biāo)為(3,0)，半徑長(zhǎng)為3.2．方程x2＋y2－2x＋2k＋3＝0表示圓，則k的取值范圍是_________________.[解析]

由x2＋y2－2x＋2k＋3＝0得(x－1)2＋y2＝－2k－2，因?yàn)榉匠蘹2＋y2－2x＋2k＋3＝0表示圓，所以－2k－2>0，解得k<－1.(3,0)3(－∞，－1)圓的一般方程知識(shí)點(diǎn)2(1)方程：當(dāng)__________________時(shí)，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0稱(chēng)為圓的一般方程．(2)本質(zhì)：圓的方程的另一種表示形式，更具有方程特征．D2＋E2－4F>0

思考：(1)圓的一般方程有什么特征？(2)如果點(diǎn)P(x0，y0)在圓x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0內(nèi)，那么應(yīng)滿足什么關(guān)系式？圓外呢？做一做：1.若方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示以(2，－4)為圓心，4為半徑的圓，則F＝______.[解析]

以(2，－4)為圓心，4為半徑的圓的方程為(x－2)2＋(y＋4)2＝16，即x2＋y2－4x＋8y＋4＝0，故F＝4.2．已知圓C的一般方程為x2＋y2＋2ax＋9＝0，它的圓心C(5,0)，則圓C的半徑r＝_____.[解析]

由x2＋y2＋2ax＋9＝0得(x＋a)2＋y2＝a2－9.由－a＝5得a＝－5，所以r2＝16.所以圓C的半徑r＝4.44關(guān)鍵能力?攻重難1．(1)若方程x2＋y2＋2x＋4y＋m＝0表示的曲線是圓，則m的取值范圍為(

)A．(－∞，20) B．(－∞，5)C．(5，＋∞) D．(20，＋∞)(2)已知a∈R，方程a2x2＋(2－a)y2＋8x－4y－5a＝0表示圓，則圓心坐標(biāo)是________________.題型探究題型一圓的一般方程的概念B(－4,2)[解析]

(1)方程x2＋y2＋2x＋4y＋m＝0表示的曲線是圓，22＋42－4m＞0，解得m＜5，所以m的取值范圍是(－∞，5)．[規(guī)律方法]

圓的一般方程的特點(diǎn)(1)x2，y2的系數(shù)相等，且不為0；(2)沒(méi)有xy項(xiàng)；D2＋E2－4F>0.可以根據(jù)這些特點(diǎn)，列出相應(yīng)的條件解題．(1)圓x2＋y2－4x＋2y＋4＝0的半徑和圓心坐標(biāo)分別為(

)A．r＝1，(－2,1) B．r＝2，(－2,1)C．r＝2，(2，－1) D．r＝1，(2，－1)(2)若方程x2＋y2－x＋y＋m＝0表示圓，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是(

)對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練?DA題型二求圓的一般方程2．求圓心在直線x－2y－3＝0上，且過(guò)點(diǎn)A(2，－3)，B(－2，－5)的圓的方程．[規(guī)律方法]

求圓的方程的兩種方法(1)幾何法：根據(jù)圓的幾何性質(zhì)，直接求出圓心坐標(biāo)和半徑，進(jìn)而寫(xiě)出方程；(2)待定系數(shù)法：①根據(jù)題意，選擇標(biāo)準(zhǔn)方程或一般方程；②根據(jù)條件列出關(guān)于a，b，r或D，E，F(xiàn)的方程組；③解出a，b，r或D，E，F(xiàn)，代入標(biāo)準(zhǔn)方程或一般方程．(1)圓心在直線y＝x上，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(－1,1)，B(3，－1)的圓的一般方程是_______________________.(2)已知A(2,2)，B(5,3)，C(3，－1)，則△ABC的外接圓的方程是________________________.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練?x2＋y2－4x－4y－2＝0x2＋y2－8x－2y＋12＝0題型三求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程3．公元前3世紀(jì)，古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯在《平面軌跡》一書(shū)中，曾研究了眾多的平面軌跡問(wèn)題，其中有如下結(jié)果：平面內(nèi)到兩定點(diǎn)距離之比等于已知數(shù)的動(dòng)點(diǎn)軌跡為直線或圓．后世把這種圓稱(chēng)之為阿波羅尼斯圓．已知直角坐標(biāo)系中A(－2,0)，B(2,0)，則滿足|PA|＝2|PB|的點(diǎn)P的軌跡的圓心為_(kāi)_____________，面積為_(kāi)_______.[規(guī)律方法]

求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程的常用方法1．直接法：能直接根據(jù)題目提供的條件列出方程．2．代入法：找到所求動(dòng)點(diǎn)與已知?jiǎng)狱c(diǎn)的關(guān)系，代入已知?jiǎng)狱c(diǎn)所在的方程．

設(shè)定點(diǎn)M(－3,4)，動(dòng)點(diǎn)N在圓x2＋y2＝4上運(yùn)動(dòng)，以O(shè)M，ON為兩邊作平行四邊形MONP，求點(diǎn)P的軌跡．對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練?易錯(cuò)警示忽視圓的方程成立的條件4．已知點(diǎn)O(0,0)在圓x2＋y2＋kx＋2ky＋2k2＋k－1＝0外，求k的取值范圍．[辨析]

本題忽視了圓的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圓的條件為D2＋E2－4F＞0，而導(dǎo)致錯(cuò)誤．[分析]

方程是否滿足表示圓的條件，這是將二元二次方程按圓的方程處理時(shí)應(yīng)首先考慮的問(wèn)題．[誤區(qū)警示]

二元二次方程表示圓的條件和圓的一般式方程中求圓的半徑容易失誤，要特別注意.課堂檢測(cè)?固雙基1．圓x2＋y2＋4x－6y－3＝0的圓心和半徑分別為(

)A．(4，－6)，16 B．(2，－3)，4C．(－2,3)，4 D．(2，－3)，16C2．若直線3x＋y＋a＝0過(guò)圓x2＋y2＋2x－4y＝0的圓心，則a的值為(

)A．－1 B．1C．3 D．－3[解析]

將圓的一般方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程得(x＋1)2＋(y－2)2＝5，則圓心為(－1,2)．∵直線過(guò)圓心，∴3×(－1)＋2＋a＝0，∴