2025屆新教材高中數(shù)學(xué)第1章空間向量與立體幾何1.1空間向量及其運算1.1.1空間向量及其線性運算題型探究新人教A屆選擇性必修第一冊

1.1空間向量及其運算1.1.1空間向量及其線性運算題型探究題型一空間向量及相關(guān)概念的理解1．給出下列命題：①兩個空間向量相等，則它們起點相同，終點也相同；②若空間向量a，b滿足|a|＝|b|，則a＝±b；③在正方體ABCD－A1B1C1D1中，必有eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(A1C1,\s\up6(→))；④若空間向量m，n，p滿足m＝n，n＝p，則m＝p；⑤在三棱柱ABC－A1B1C1中，模與eq\o(AA1,\s\up6(→))的模相等的向量一共有4個．其中不正確的命題的個數(shù)是(C)A．1 B．2C．3 D．4[解析]當兩向量的起點相同，終點也相同時，這兩個向量必相等；但當兩個向量相等時，它們的起點和終點均不一定相同，故①錯；模相等的兩個向量不一定為相等向量或相反向量，故②錯；根據(jù)正方體ABCD－A1B1C1D1中，向量eq\o(AC,\s\up6(→))與eq\o(A1C1,\s\up6(→))的方向相同，模也相等，必有eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(A1C1,\s\up6(→))，故③正確；命題④顯然正確；在三棱柱ABC－A1B1C1中，與eq\o(AA1,\s\up6(→))的模一定相等的向量是eq\o(A1A,\s\up6(→))，eq\o(BB1,\s\up6(→))，eq\o(B1B,\s\up6(→))，eq\o(CC1,\s\up6(→))，eq\o(C1C,\s\up6(→))，一共有5個．故⑤錯．[規(guī)律方法]空間向量的概念與平面向量的概念相類似，平面向量的其他相關(guān)概念，如向量的模、相等向量、平行向量、相反向量、單位向量等都可以拓展為空間向量的相關(guān)概念．對點訓(xùn)練?如圖所示，以長方體ABCD－A1B1C1D1的8個頂點中的兩點為起點和終點的向量中：(1)試寫出與eq\o(AB,\s\up6(→))相等的所有向量；(2)試寫出eq\o(AA1,\s\up6(→))的相反向量；(3)若AB＝AD＝2，AA1＝1，求向量eq\o(AC1,\s\up6(→))的模．[解析](1)與向量eq\o(AB,\s\up6(→))相等的所有向量(除它自身之外)有eq\o(A1B1,\s\up6(→))，eq\o(DC,\s\up6(→))及eq\o(D1C1,\s\up6(→))共3個．(2)向量eq\o(AA1,\s\up6(→))的相反向量為eq\o(A1A,\s\up6(→))，eq\o(B1B,\s\up6(→))，eq\o(C1C,\s\up6(→))，eq\o(D1D,\s\up6(→)).(3)eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(AC1,\s\up6(→))))＝eq\r(\o(\s\up7(),\s\do5())\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(AB,\s\up6(→))))2＋\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(BC,\s\up6(→))))2＋\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(CC1,\s\up6(→))))2)＝eq\r(22＋22＋12)＝eq\r(9)＝3.題型二空間向量的線性運算2．如圖所示，已知平行六面體ABCD－A′B′C′D′，化簡下列向量表達式，并在圖中標出化簡后的結(jié)果所對應(yīng)的向量．(1)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AA′,\s\up6(→))；(2)eq\o(DD′,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))；(3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(DD′,\s\up6(→))－eq\o(BC,\s\up6(→)))．[解析](1)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AA′,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(AA′,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CC′,\s\up6(→))＝eq\o(AC′,\s\up6(→)).(2)eq\o(DD′,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(BB′,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(BA′,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(BA′,\s\up6(→))＋eq\o(A′D′,\s\up6(→))＝eq\o(BD′,\s\up6(→)).(3)設(shè)點M為CB′的中點，則eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(DD′,\s\up6(→))－eq\o(BC,\s\up6(→)))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(BB′,\s\up6(→))－eq\o(BC,\s\up6(→)))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(CB′,\s\up6(→))＝eq\o(AM,\s\up6(→)).即化簡后所對應(yīng)的向量如圖所示．[規(guī)律方法]空間向量線性運算的技巧(1)數(shù)形結(jié)合：要結(jié)合具體圖形，利用三角形法則、平行四邊形法則，將目標向量轉(zhuǎn)化為已知向量．(2)巧用相反向量：向量減法的三角形法則是解決空間向量加法、減法的關(guān)鍵，靈活運用相反向量可使向量首尾相接．(3)巧用平移：運算時，務(wù)必注意和向量、差向量的方向，必要時可采用空間向量的自由平移獲得運算結(jié)果．對點訓(xùn)練?(1)(多選題)如圖，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，下列各式運算結(jié)果為eq\o(BD1,\s\up6(→))的是(AB)A.eq\o(A1D1,\s\up6(→))－eq\o(A1A,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)) B.eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(BB1,\s\up6(→))－eq\o(D1C1,\s\up6(→))C.eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(DD1,\s\up6(→)) D.eq\o(B1D1,\s\up6(→))－eq\o(A1A,\s\up6(→))＋eq\o(DD1,\s\up6(→))(2)化簡(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→)))－(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(BD,\s\up6(→)))＝0.[解析](1)A中，eq\o(A1D1,\s\up6(→))－eq\o(A1A,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AD1,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(BD1,\s\up6(→))；B中，eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(BB1,\s\up6(→))－eq\o(D1C1,\s\up6(→))＝eq\o(BC1,\s\up6(→))＋eq\o(C1D1,\s\up6(→))＝eq\o(BD1,\s\up6(→))；C中，eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(DD1,\s\up6(→))＝eq\o(BD,\s\up6(→))－eq\o(DD1,\s\up6(→))＝eq\o(BD,\s\up6(→))－eq\o(BB1,\s\up6(→))＝eq\o(B1D,\s\up6(→))≠eq\o(BD1,\s\up6(→))；D中，eq\o(B1D1,\s\up6(→))－eq\o(A1A,\s\up6(→))＋eq\o(DD1,\s\up6(→))＝eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(DD1,\s\up6(→))＝eq\o(BD1,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→))≠eq\o(BD1,\s\up6(→)).故選AB.(2)方法一(轉(zhuǎn)化為加法運算)(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→)))－(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(BD,\s\up6(→)))＝eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→))＝0.方法二(轉(zhuǎn)化為減法運算)(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→)))－(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(BD,\s\up6(→)))＝(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→)))＋(eq\o(BD,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→)))＝eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝0.題型三空間共線向量定理及其應(yīng)用3．如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，O為A1C上一點，且eq\o(A1O,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(A1C,\s\up6(→))，BD與AC交于點M.求證：C1，O，M三點共線．[分析]eq\o(AO,\s\up6(→))用eq\o(AC1,\s\up6(→))與eq\o(AM,\s\up6(→))表示．[證明]如圖所示，連接AO，A1C1，∵eq\o(A1O,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(A1C,\s\up6(→))，∴eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(A1O,\s\up6(→))＝eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(A1C,\s\up6(→))＝eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)(eq\o(A1A,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,3)eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up6(→)).∵eq\o(AC,\s\up6(→))＝2eq\o(AM,\s\up6(→))，∴eq\o(AA1,\s\up6(→))＝eq\o(AC1,\s\up6(→))＋eq\o(C1A1,\s\up6(→))＝eq\o(AC1,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AC1,\s\up6(→))－2eq\o(AM,\s\up6(→))，∴eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(eq\o(AC1,\s\up6(→))－2eq\o(AM,\s\up6(→)))＋eq\f(4,3)eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AC1,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AM,\s\up6(→)).∵eq\f(1,3)＋eq\f(2,3)＝1，∴C1，O，M三點共線．[規(guī)律方法]證明空間三點共線的三種思路對于空間三點P、A、B可通過證明下列結(jié)論來證明三點共線．(1)存在實數(shù)λ，使eq\o(PA,\s\up6(→))＝λeq\o(PB,\s\up6(→))成立．(2)對空間任一點O，有eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋teq\o(AB,\s\up6(→))(t∈R)．(3)對空間任一點O，有eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))(x＋y＝1)．對點訓(xùn)練?如圖所示，ABCD－ABEF都是平行四邊形，且不共面，M、N分別是AC、BF的中點，判斷eq\o(CE,\s\up6(→))與eq\o(MN,\s\up6(→))是否共線？[解析]M、N分別是AC、BF的中點，而四邊形ABCD、ABEF都是平行四邊形，∴eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(MA,\s\up6(→))＋eq\o(AF,\s\up6(→))＋eq\o(FN,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(AF,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(FB,\s\up6(→)).又∵eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(MC,\s\up6(→))＋eq\o(CE,\s\up6(→))＋eq\o(EB,\s\up6(→))＋eq\o(BN,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(CE,\s\up6(→))－eq\o(AF,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(FB,\s\up6(→))，∴eq\f(1,2)eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(AF,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(FB,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(CE,\s\up6(→))－eq\o(AF,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(FB,\s\up6(→)).∴eq\o(CE,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))＋2eq\o(AF,\s\up6(→))＋eq\o(FB,\s\up6(→))＝2(eq\o(MA,\s\up6(→))＋eq\o(AF,\s\up6(→))＋eq\o(FN,\s\up6(→)))．∴eq\o(CE,\s\up6(→))＝2eq\o(MN,\s\up6(→))，∴eq\o(CE,\s\up6(→))∥eq\o(MN,\s\up6(→))，即eq\o(CE,\s\up6(→))與eq\o(MN,\s\up6(→))共線．題型四空間向量共面定理及其應(yīng)用4．已知A，B，C三點不共線，平面ABC外的一點M滿足eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(1,6)eq\o(OC,\s\up6(→)).(1)判斷eq\o(MA,\s\up6(→))，eq\o(MB,\s\up6(→))，eq\o(MC,\s\up6(→))三個向量是否共面；(2)判斷點M是否在平面ABC內(nèi)．[分析]要證明三個向量eq\o(MA,\s\up6(→))，eq\o(MB,\s\up6(→))，eq\o(MC,\s\up6(→))共面，只需證明存在實數(shù)x，y，使eq\o(MA,\s\up6(→))＝xeq\o(MB,\s\up6(→))＋yeq\o(MC,\s\up6(→))，證明了三個向量共面，即可說明點M就在平面內(nèi)．[解析](1)因為eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(1,6)eq\o(OC,\s\up6(→))，所以6eq\o(OM,\s\up6(→))＝3eq\o(OA,\s\up6(→))＋2eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))，所以3eq\o(OA,\s\up6(→))－3eq\o(OM,\s\up6(→))＝(2eq\o(OM,\s\up6(→))－2eq\o(OB,\s\up6(→)))＋(eq\o(OM,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→)))，因此3eq\o(MA,\s\up6(→))＝2eq\o(BM,\s\up6(→))＋eq\o(CM,\s\up6(→))＝－2eq\o(MB,\s\up6(→))－eq\o(MC,\s\up6(→)).故向量eq\o(MA,\s\up6(→))，eq\o(MB,\s\up6(→))，eq\o(MC,\s\up6(→))共面．(2)由(1)知向量eq\o(MA,\s\up6(→))，eq\o(MB,\s\up6(→))，eq\o(MC,\s\up6(→))共面，三個向量又有公共點M，故M，A，B，C共面，即點M在平面ABC內(nèi)．[規(guī)律方法]證明空間三向量共面或四點共面的方法(1)向量表示：證明其中一個向量可以表示成另兩個不共線向量的線性組合，即若p＝xa＋yb(x，y為實數(shù))，則向量p，a，b共面．(2)若存在有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)使得對于空間任一點O，有eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))＋zeq\o(OC,\s\up