生活中的變量關(guān)系高一上學(xué)期數(shù)學(xué)北師大版（2019）必修第一冊(cè)

北師大版（2019）必修第一冊(cè)2.1生活中的變量關(guān)系學(xué)習(xí)目標(biāo)LearningObjectives探索新知Explorenewknowledge題型突破Breakthroughinquestiontypes當(dāng)堂檢測Classroomtest學(xué)習(xí)目錄ParentConferenceDirectory壹叁貳肆學(xué)習(xí)目標(biāo)PART01學(xué)習(xí)目標(biāo)01了解生活中兩個(gè)變量的依賴關(guān)系01能辨析依賴關(guān)系和函數(shù)關(guān)系的區(qū)別和聯(lián)系02探索新知PART02探索新知02情境導(dǎo)學(xué)

通過播放視頻，你發(fā)現(xiàn)了哪些量不可以改變？哪些量可以改變？（1）瓶口的大小不可以改變，水的數(shù)量也不能改變.（2）但瓶中水的高度可以改變，石塊的數(shù)量可以改變，投的石塊越多，水面越高.探索新知02例1下圖是某高速公路加油站的圖片，加油站在地下常用圓柱體儲(chǔ)油罐儲(chǔ)存汽油等燃料。儲(chǔ)油罐的長度d、截面半徑r是常量，油面高度h，油面寬度w、儲(chǔ)油量V是變量。儲(chǔ)油量V與油面高度h存在著依賴關(guān)系，也與油面寬度w存在著依賴關(guān)系.思考V，h，w是否具有某種關(guān)系？對(duì)于油面高度h的每一個(gè)取值，都有唯一的儲(chǔ)油量V和它對(duì)應(yīng)，但是，取一個(gè)油面寬度w的值，卻對(duì)應(yīng)著兩個(gè)儲(chǔ)油量V.探索新知02例2自2008年京津城際列車開通運(yùn)營以來，高速鐵路在中國大陸迅猛發(fā)展。截至2017年年底，中國高鐵運(yùn)營里程突破25000km。圖2-2表示的是中國高鐵年運(yùn)營里程的變化。

由圖2-2，不難看出(1)隨著時(shí)間的變化，高鐵運(yùn)營里程在變化，它與年份存在著依賴關(guān)系.(2)從2008年到2017年，高鐵年運(yùn)營里程是不斷增加的，與前一年相比，2014年增長得最多.探索新知02函數(shù)關(guān)系(傳統(tǒng)定義)：如果在一個(gè)變化過程中，有兩個(gè)變量x和y，對(duì)于變量x的每一個(gè)值，變量y都有唯一確定的值和它對(duì)應(yīng)，那么y就是x的函數(shù)，其中x是自變量，y是因變量.這時(shí)變量x和y就建立起了函數(shù)關(guān)系.在現(xiàn)實(shí)生活中，凡是要確定兩個(gè)變量具有函數(shù)關(guān)系，就要判斷“對(duì)于變量x的每一個(gè)值，變量y都有唯一確定的值和它對(duì)應(yīng)”知識(shí)點(diǎn)

變量間的函數(shù)關(guān)系依照這個(gè)概念，在以上兩個(gè)例題中，儲(chǔ)油量V是油面高度h的函數(shù)，高鐵運(yùn)營里程是年份時(shí)間的函數(shù)，但儲(chǔ)油量V不是油面寬度w的函數(shù).探索新知02依賴關(guān)系：一個(gè)變量的變化引起與之相關(guān)的另一個(gè)變量的變化，這時(shí)稱這兩個(gè)變量之間具有依賴關(guān)系.知識(shí)剖析：(1)依賴關(guān)系不一定是函數(shù)關(guān)系，函數(shù)關(guān)系是特殊的依賴關(guān)系.判斷兩個(gè)有依賴關(guān)系的變量之間是否是函數(shù)關(guān)系的方法：首先，確定因變量和自變量；其次，判斷對(duì)于自變量的每一個(gè)確定值，因變量是否有唯一確定的值與之對(duì)應(yīng)，若滿足則是函數(shù)關(guān)系，否則不是函數(shù)關(guān)系.知識(shí)點(diǎn)

變量間的函數(shù)關(guān)系(2)研究函數(shù)關(guān)系時(shí)，通常要指明自變量和因變量，因?yàn)槎呓粨Q位置后可能會(huì)變成另一個(gè)函數(shù)關(guān)系，也可能不存在函數(shù)關(guān)系.探索新知02例3彈簧的伸長量x與彈力y滿足函數(shù)關(guān)系y＝kx，其中k為勁度系數(shù).對(duì)于變量“伸長量”的每一個(gè)值，變量“彈力”都有唯一確定的值和它對(duì)應(yīng)，彈力y是伸長量x的函數(shù).

探索新知02例4下表記錄了幾個(gè)不同氣壓下水的沸點(diǎn)：.對(duì)于變量“氣壓”的每一個(gè)值，變量“沸點(diǎn)”都有唯一確定的值和它對(duì)應(yīng)，沸點(diǎn)是氣壓的函數(shù).

氣壓/(105Pa)0.51.02.05.010沸點(diǎn)/0C82100121152180探索新知02例5綠化可以改變小環(huán)境氣候。某市有甲、乙兩個(gè)氣溫觀測點(diǎn)，觀測點(diǎn)甲的綠化優(yōu)于觀測點(diǎn)乙，圖2-3是這兩個(gè)觀測點(diǎn)某一天的氣溫曲線圖。為了方便比較，將兩條曲線畫在了同一直角坐標(biāo)系中。圖中反映的都是對(duì)于“時(shí)間”的每一個(gè)值，都有唯一確定的“氣溫”值和它對(duì)應(yīng)，所以每一條曲線都表示了一個(gè)函數(shù)關(guān)系.探索新知02例5綠化可以改變小環(huán)境氣候。某市有甲、乙兩個(gè)氣溫觀測點(diǎn)，觀測點(diǎn)甲的綠化優(yōu)于觀測點(diǎn)乙，圖2-3是這兩個(gè)觀測點(diǎn)某一天的氣溫曲線圖。為了方便比較，將兩條曲線畫在了同一直角坐標(biāo)系中。不能，因?yàn)閷?duì)于任何一個(gè)氣溫值，時(shí)間并不是唯一確定的值與它相對(duì)應(yīng)，例如氣溫為0℃時(shí)，對(duì)應(yīng)了8點(diǎn)和21點(diǎn)兩個(gè)時(shí)間。因此不能將時(shí)間看成氣溫的函數(shù)思考：能將時(shí)間看成氣溫的函數(shù)嗎？探索新知02對(duì)于變量“用電量(x)”的每一個(gè)值，都有唯一確定的變量“應(yīng)繳電費(fèi)(y)”值和它對(duì)應(yīng)，所以應(yīng)繳電費(fèi)是用電量的函數(shù).如圖例6某地電公司為勵(lì)市民節(jié)約用電,采取階梯電價(jià)，即按月用電量分段計(jì)費(fèi)辦法居民每月應(yīng)繳電費(fèi)y(單位：元)與用電量x(單位kW·h)的關(guān)系是

探索新知02形如上述的函數(shù)，一般叫做分段函數(shù).在生活中，有很多可用分段函數(shù)描述的實(shí)際問題，如出租車的計(jì)費(fèi)、個(gè)人所得稅的稅率等.

生活中存在著許許多多的函數(shù)關(guān)系.在很多時(shí)候，正是函數(shù)概念中的關(guān)鍵詞“每一個(gè)”“唯一”“對(duì)應(yīng)”恰當(dāng)?shù)胤从沉耸挛锾卣?探索新知02例如1.一定量的水銀，溫度與其體積間存在函數(shù)關(guān)系，溫度越高，水銀的體積越大.因此，可以用這個(gè)體積表示溫度，這就是制造溫度計(jì)的依據(jù).2.在銀行，給定本金和利率后，活期存款的利息依存款的天數(shù)而定，利息是天數(shù)的函數(shù)，天數(shù)越多，利息就越多.知識(shí)點(diǎn)

變量間的函數(shù)關(guān)系3.在田徑比賽時(shí)，鉛球運(yùn)動(dòng)員的擲遠(yuǎn)距離和出手速度、出手角度、出手高度均有關(guān)系.當(dāng)出手速度和出手高度確定后，調(diào)整好出手角度，會(huì)使鉛球擲得更遠(yuǎn)一些.這時(shí)，運(yùn)動(dòng)員的擲遠(yuǎn)距離是出手角度的函數(shù).題型突破PART03題型突破03題型1依賴關(guān)系，函數(shù)關(guān)系的判斷例1.下列過程中，各變量之間是否存在依賴關(guān)系？其中哪些是函數(shù)關(guān)系？(1)將保溫瓶中的熱水倒入茶杯中緩慢冷卻，并將一溫度計(jì)放入茶杯中，每隔一段時(shí)間，觀察溫度計(jì)示數(shù)的變化，冷卻時(shí)間與溫度計(jì)示數(shù)的關(guān)系；(2)商品的銷售額與廣告費(fèi)之間的關(guān)系；(3)家庭的食品支出與電視機(jī)價(jià)格之間的關(guān)系；(4)高速公路上行駛的汽車所走的路程與時(shí)間的關(guān)系.【方法指導(dǎo)】兩個(gè)變量中的一個(gè)變量發(fā)生變化時(shí)，如果另一個(gè)變量也發(fā)生變化，那么它們具有依賴關(guān)系；如果另一個(gè)變量發(fā)生變化且取值唯一，那么它們具有函數(shù)關(guān)系.【解析】(1)冷卻時(shí)間與溫度計(jì)示數(shù)具有依賴關(guān)系，根據(jù)函數(shù)的定義知，二者之間存在函數(shù)關(guān)系，且冷卻時(shí)間是自變量，溫度計(jì)示數(shù)是因變量.題型突破03題型1依賴關(guān)系，函數(shù)關(guān)系的判斷例1.下列過程中，各變量之間是否存在依賴關(guān)系？其中哪些是函數(shù)關(guān)系？(2)商品的銷售額與廣告費(fèi)之間的關(guān)系；(3)家庭的食品支出與電視機(jī)價(jià)格之間的關(guān)系；(4)高速公路上行駛的汽車所走的路程與時(shí)間的關(guān)系.【解析】(2)商品的銷售額與廣告費(fèi)這兩個(gè)變量在現(xiàn)實(shí)生活中存在依賴關(guān)系，但商品的銷售額還受其他因素的影響，比如產(chǎn)品的質(zhì)量、價(jià)格、售后服務(wù)等，所以商品的銷售額與廣告費(fèi)之間不是函數(shù)關(guān)系.(3)家庭的食品支出與電視機(jī)價(jià)格之間沒有依賴關(guān)系，更不具有函數(shù)關(guān)系.(4)高速公路上行駛的汽車所走的路程與時(shí)間這兩個(gè)變量存在依賴關(guān)系，且對(duì)于每一個(gè)時(shí)間的值，路程是唯一確定的，因此它們之間存在函數(shù)關(guān)系，且時(shí)間是自變量，路程是因變量.題型突破03題型1依賴關(guān)系，函數(shù)關(guān)系的判斷【解析】綜上可知，(1)(4)中的變量間具有依賴關(guān)系，且是函數(shù)關(guān)系；(2)中變量間存在依賴關(guān)系，但不是函數(shù)關(guān)系；(3)中兩個(gè)變量不存在依賴關(guān)系，也不具有函數(shù)關(guān)系.例1.下列過程中，各變量之間是否存在依賴關(guān)系？其中哪些是函數(shù)關(guān)系？(1)將保溫瓶中的熱水倒入茶杯中緩慢冷卻，并將一溫度計(jì)放入茶杯中，每隔一段時(shí)間，觀察溫度計(jì)示數(shù)的變化，冷卻時(shí)間與溫度計(jì)示數(shù)的關(guān)系；(2)商品的銷售額與廣告費(fèi)之間的關(guān)系；(3)家庭的食品支出與電視機(jī)價(jià)格之間的關(guān)系；(4)高速公路上行駛的汽車所走的路程與時(shí)間的關(guān)系.題型突破03解題通法(1)判斷兩個(gè)變量之間是否具有依賴關(guān)系，只需分析當(dāng)其中一個(gè)變量變化時(shí)，另一個(gè)變量是否也發(fā)生變化即可，如果發(fā)生變化，那么它們具有依賴關(guān)系，如果不發(fā)生變化，那么它們不具有依賴關(guān)系.(2)判斷兩個(gè)具有依賴關(guān)系的變量是否具有函數(shù)關(guān)系時(shí)，可分以下兩個(gè)步驟：①確定因變量和自變量；②判斷對(duì)于自變量的每一個(gè)確定值，因變量是否有唯一確定的值與之對(duì)應(yīng).若滿足，則是函數(shù)關(guān)系，否則不是函數(shù)關(guān)系.題型1依賴關(guān)系，函數(shù)關(guān)系的判斷題型突破03題型2分段函數(shù)

全月應(yīng)納稅所得額稅率不超過3000元的部分3%超過3000元至12000元的部分10%超過12000元至25000元的部分20%當(dāng)堂檢測PART04當(dāng)堂檢測041.下列變化過程中，變量之間存在怎樣的依賴關(guān)系？其中哪些是函數(shù)關(guān)系？（1）地球繞太陽公轉(zhuǎn)的過程中，二者間的距離與時(shí)間的關(guān)系；（2）在空中做斜拋運(yùn)動(dòng)的鉛球，鉛球距離地面的高度與時(shí)間的關(guān)系；（3）某超市一天的銷售額與客流量之間的關(guān)系.解析：（1）地球繞太陽公轉(zhuǎn)的過程中距離與時(shí)間存在周期性變化的依賴關(guān)系，在某段時(shí)間內(nèi)兩者距離隨時(shí)間增大而減少，在另一段時(shí)間內(nèi)隨時(shí)間增大而增大。對(duì)于任何一個(gè)確定的時(shí)間，有唯一確定的距離與之對(duì)應(yīng)，因此“距離”是“時(shí)間”的函數(shù)。當(dāng)堂檢測041.下列變化過程中，變量之間存在怎樣的依賴關(guān)系？其中哪些是函數(shù)關(guān)系？（1）地球繞太陽公轉(zhuǎn)的過程中，二者間的距離與時(shí)間的關(guān)系；（2）在空中做斜拋運(yùn)動(dòng)的鉛球，鉛球距離地面的高度與時(shí)間的關(guān)系；（3）某超市一天的銷售額與客流量之間的關(guān)系.解析：（2）在空中做斜拋運(yùn)動(dòng)的鉛球，鉛球距離地面的高度與時(shí)間存在依賴關(guān)系，對(duì)于對(duì)于任何一個(gè)確定的時(shí)間，有唯一確定的高度與之對(duì)應(yīng)，因此“高度”是“時(shí)間”的函數(shù)。當(dāng)堂檢測041.下列變化過程中，變量之間存在怎樣的依賴關(guān)系？其中哪些是函數(shù)關(guān)系？（1）地球繞太陽公轉(zhuǎn)的過程中，二者間的距離與時(shí)間的關(guān)系；（2）在空中做斜拋運(yùn)動(dòng)的鉛球，鉛球距離地面的高度與時(shí)間的關(guān)系；（3）某超市一天的銷售額與客流量之間的關(guān)系.解析：（3）某超市一天的銷售額與客流量之間存在對(duì)于變量“客流量”的每一個(gè)值，變量“銷售額”都有唯一確定的值和它對(duì)應(yīng)，因此“銷售額”是“客流量”的函數(shù)。當(dāng)堂檢測042.坐電梯上升時(shí)，電梯距離地面的高度與時(shí)間之間存在怎樣的依賴關(guān)系？解析：坐電梯上升時(shí)，電梯距離地面的高度與時(shí)間之間存在對(duì)于變量“時(shí)間”的每一個(gè)值，變量“距地面高度”都有唯一確定的值和它對(duì)應(yīng)，因此“高度”是“時(shí)間”的函數(shù)。當(dāng)堂檢測043.在一定量的水中加入蔗糖，糖水的質(zhì)量分?jǐn)?shù)與所加蔗糖的質(zhì)量之間存在怎樣的依賴關(guān)系？解析：在一定量的水中加入蔗糖，糖水的質(zhì)量分?jǐn)?shù)與所加蔗糖的質(zhì)量存在對(duì)于變量“蔗糖質(zhì)量”的每一個(gè)值，變量“糖水的質(zhì)量分?jǐn)?shù)”都有唯一確定的值和它對(duì)應(yīng)，因此“糖水質(zhì)量分?jǐn)?shù)”是“蔗糖質(zhì)量”的函數(shù)。當(dāng)堂檢測044.找出一個(gè)生活實(shí)例，說明兩個(gè)變量之間存在