事件的相互獨(dú)立性 高一下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修2

第十章

概

率10.2事件的相互獨(dú)立性

一二三學(xué)習(xí)目標(biāo)兩個(gè)事件獨(dú)立的直觀意義與相互獨(dú)立的含義能夠利用直觀意義與定義判斷事件的獨(dú)立性，以及理解獨(dú)立性的性質(zhì)利用獨(dú)立性的定義與性質(zhì)計(jì)算積事件的概率與復(fù)雜事件的概率學(xué)習(xí)目標(biāo)復(fù)習(xí)回顧性質(zhì)6

設(shè)A、B是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中的兩個(gè)事件，則有

P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B).

或P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)性質(zhì)3

如果事件A與事件B互斥，那么P(A∪B)=P(A)+P(B).性質(zhì)4

如果事件A與事件B互為對(duì)立事件，那么

P(B)=1-P(A)，P(A)=1-P(B).即P(A)+P(B)=1.互斥事件概率加法公式并事件(和事件)交事件(積事件)A與B至少一個(gè)發(fā)生A∪B或A+BA與B同時(shí)發(fā)生A∩B或AB

類(lèi)比并事件A∪B的概率性質(zhì)，你認(rèn)為積事件AB發(fā)生的概率是否也與事件A、B發(fā)生的概率有關(guān)呢？這種關(guān)系會(huì)是怎樣的呢?下面我們來(lái)討論一類(lèi)與積事件有關(guān)的特殊問(wèn)題。新知探究探究1

下面兩個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)各定義了一對(duì)隨機(jī)事件A和B，你覺(jué)得事件A發(fā)生與否會(huì)影響事件B發(fā)生的概率嗎?

試驗(yàn)1

分別拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，A=“第一枚硬幣正面朝上”，B=“第二枚硬幣反面朝上”.

試驗(yàn)2

一個(gè)袋子中裝有標(biāo)號(hào)分別是1,2,3,4的4個(gè)球，除標(biāo)號(hào)外沒(méi)有其他差異，采用有放回方式從袋中依次任意摸出兩球.設(shè)A=“第一次摸到球的標(biāo)號(hào)小于3”,B=“第二次摸到球的標(biāo)號(hào)小于3”.對(duì)于試驗(yàn)1，因?yàn)閮擅队矌欧謩e拋擲，第一枚硬幣的拋擲結(jié)果與第二枚硬幣的拋擲結(jié)果互相不受影響，所以事件A發(fā)生與否不影響事件B發(fā)生的概率.對(duì)于試驗(yàn)2，因?yàn)槭怯蟹呕孛?，第一次摸球的結(jié)果與第二次摸球的結(jié)果互相不受影響，所以事件A發(fā)生與否也不影響事件B發(fā)生的概率.問(wèn)題1以上試驗(yàn)中P(AB)與P(A)和P(B)有何聯(lián)系?新知探究試驗(yàn)1中，Ω={(1,1),(1,0),(0,1),(0,0)}A={(1,1),(1,0)}，B={(1,0),(0,0)}，AB={(1,0)}.試驗(yàn)2中，Ω={(m,n)|m,n∈{1,2,3,4}}，包含16個(gè)樣本點(diǎn).A={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4)}，B={(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2)}，AB={(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)}.積事件AB的概率P(AB)恰好等于P(A)與P(B)的乘積.概念生成相互獨(dú)立事件

對(duì)任意兩個(gè)事件A與B，如果

P(AB)=P(A)P(B)成立，則稱(chēng)事件A與事件B相互獨(dú)立，簡(jiǎn)稱(chēng)為獨(dú)立.

通俗地說(shuō)，對(duì)于兩個(gè)事件A，B，如果其中一個(gè)事件是否發(fā)生對(duì)另一個(gè)事件發(fā)生的概率沒(méi)有影響，就把它們叫做相互獨(dú)立事件．獨(dú)立事件概率乘法公式根據(jù)相互獨(dú)立事件的定義，可以：①用來(lái)判斷兩個(gè)事件是否獨(dú)立②在相互獨(dú)立的條件下求積事件的概率問(wèn)題2

必然事件Ω、不可能事件

與任意事件相互獨(dú)立嗎？新知探究必然事件一定發(fā)生，不受任何事件是否發(fā)生的影響不可能事件一定不會(huì)發(fā)生，不受任何事件是否發(fā)生的影響它們也都不影響其他事件的發(fā)生一方面：另一方面：由兩個(gè)事件相互獨(dú)立的定義，易知：P(AΩ)=P(A)=P(A)P(Ω)P(A

)=P(

)=P(A)P(

)成立必然事件Ω、不可能事件

與任意事件相互獨(dú)立．新知探究問(wèn)題3

互為對(duì)立的兩個(gè)事件是非常特殊的一種事件關(guān)系.如果事件A與事件B相互獨(dú)立，那么它們的對(duì)立事件是否也相互獨(dú)立?即需驗(yàn)證①A與B、②A與B、③A與B是否也相互獨(dú)立？例如證①若事件A,B相互獨(dú)立，則A與B、A與B、A與B也相互獨(dú)立.結(jié)論新知探究問(wèn)題4

我們知道，如果三個(gè)事件A,B,C兩兩互斥，那么概率加法公式

P(A1∪A2∪A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3)成立；但當(dāng)三個(gè)事件A,B,C兩兩獨(dú)立時(shí)，等式P(ABC)=P(A)P(B)P(C)是否成立?

課本P252-2.設(shè)樣本空間Ω={a,b,c,d}含有等可能的樣本點(diǎn)，且A={a,b},B={a,c},C={a,d}.請(qǐng)驗(yàn)證A,B,C三個(gè)事件兩兩獨(dú)立，但P(ABC)≠P(A)P(B)P(C).

但P(ABC)≠P(A)P(B)P(C).解:A={a,b},B={a,c},C={a,d},AB={a},AC={a},BC={a},ABC={a}.∴P(A)=P(B)=P(C)=1/2,P(AB)=P(AC)=P(BC)=1/4.P(A)P(B)P(C)=1/8,P(ABC)=1/4.∴P(AB)=P(A)P(B),P(AC)=P(A)P(C),P(BC)=P(B)P(C),即A,B,C三個(gè)事件兩兩獨(dú)立,一般不成立互斥事件相互獨(dú)立事件

概念符號(hào)計(jì)算公式不可能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件事件A(或B)是否發(fā)生對(duì)事件B(或A)發(fā)生的概率沒(méi)有影響P(A∪B)=P(A)+P(B)P(A·B)=P(A)·P(B)互斥事件A、B中有一個(gè)發(fā)生,記作:A∪B相互獨(dú)立事件A、B同時(shí)發(fā)生記作:AB追問(wèn)

互斥事件與相互獨(dú)立的事件有什么區(qū)別？新知探究性質(zhì)歸納相互獨(dú)立事件的性質(zhì)①必然事件Ω、不可能事件

與任意事件A相互獨(dú)立.②若事件A,B相互獨(dú)立，則A與B、A與B、A與B也相互獨(dú)立.③三個(gè)事件A、B、C兩兩互斥，則P(A1∪A2∪A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3)成立，但三個(gè)事件A、B、C兩兩獨(dú)立時(shí)，P(ABC)=P(A)P(B)P(C)一般不成立.獲得一對(duì)獨(dú)立，即獲得四對(duì)獨(dú)立典例解析例1

一個(gè)袋子中有標(biāo)號(hào)分別為1,2,3,4的4個(gè)球,除標(biāo)號(hào)外沒(méi)有其他差異.采用不放回方式從中任意摸球兩次.設(shè)事件A=“第一次摸出球的標(biāo)號(hào)小于3”,事件B=“第二次摸出球的標(biāo)號(hào)小于3”,那么事件A與事件B是否相互獨(dú)立?B={(1,2),(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2)}，解：樣本空間Ω={(m,n)|m,n∈{1,2,3,4},且m≠n}，共12個(gè)樣本點(diǎn).A={(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4)}，AB={(1,2),(2,1)}.因此，事件A與事件B不獨(dú)立.判斷事件是否相互獨(dú)立的方法3.轉(zhuǎn)化法：事件A與事件B是否相互獨(dú)立，與事件A與

,

與B,

與

是否具有獨(dú)立性可互相轉(zhuǎn)化.

1.直接法：直接判斷一個(gè)事件發(fā)生與否是否影響另一事件發(fā)生的概率.2.定義法：判斷P(AB)=P(A)P(B)是否成立.歸納小結(jié)鞏固練習(xí)課本P2521.分別拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，設(shè)事件A=“第1枚正面朝上”，B=“第2枚正面朝上”，C=“2枚硬幣朝上的面相同”，A、B、C中哪兩個(gè)相互獨(dú)立？對(duì)接新高考【2021年·新高考Ⅰ卷】有6個(gè)相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6，從中有放回的隨機(jī)取兩次，每次取1個(gè)球.甲表示事件“第一次取出的球的數(shù)字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的數(shù)字是2”，丙表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是8”，丁表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是7”，則下列正確的是()A.甲與丙相互獨(dú)立

B.甲與丁相互獨(dú)立 C.乙與丙相互獨(dú)立

D.丙與丁相互獨(dú)立B

n(Ω)=36典例解析例2

甲、乙兩名射擊運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行射擊比賽，甲的中靶概率為0.8，乙的中靶概率為0.9，求下列事件的概率:(1)兩人都中靶；(2)恰好有一人中靶；(3)兩人都脫靶；(4)至少有一人中靶.解：由于兩個(gè)人射擊的結(jié)果互不影響，∴A與B相互獨(dú)立，(2)“恰有1人中靶”=AB∪AB，且AB與AB互斥，典例解析例2

甲、乙兩名射擊運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行射擊比賽，甲的中靶概率為0.8，乙的中靶概率為0.9，求下列事件的概率:(1)兩人都中靶；

(2)恰好有一人中靶；

(3)兩人都脫靶；

(4)至少有一人中靶.解：（4）方法一：（4）方法二：

1.對(duì)事件進(jìn)行分解：一方面分解為互斥的幾類(lèi)簡(jiǎn)單事件求概率；

另一方面分解為獨(dú)立的事件，利用事件同時(shí)發(fā)生(乘法)求出概率.已知兩個(gè)事件A,B,那么:

(1)A,B中至少有一個(gè)發(fā)生為事件A∪B2.對(duì)事件分解時(shí)，要明確事件中的“至少有一個(gè)發(fā)生”“至多有一個(gè)發(fā)生”

“恰好有一個(gè)發(fā)生”“都發(fā)生”“都不發(fā)生”“不都發(fā)生”等詞語(yǔ)的意義.(2)A,B中至多有一個(gè)發(fā)生為事件(3)A,B恰好有一個(gè)發(fā)生為事件

(5)A,B都不發(fā)生為事件(4)A,B都發(fā)生為事件AB

方法歸納求較為復(fù)雜事件的概率的方法3.天氣預(yù)報(bào)元旦假期甲地的降雨概率是0.2，乙地的降雨概率是0.3，假定在這段時(shí)間內(nèi)兩地是否降雨相互之間沒(méi)有影響，計(jì)算在這段時(shí)間內(nèi):

(1)甲、乙兩地都降雨的概率;

(2)甲、乙兩地都不降雨的概率;(3)至少一個(gè)地方降雨的概率.鞏固練習(xí)課本P252P(A)=0.2P(B)=0.3=0.2×0.3=0.06=0.8×0.7=0.56P(AB)=P(A)P(B)P(AB)=P(A)P(B)－－－－事件M(拆分事件)P(M)=________________________=0.2×0.7+0.8×0.3+0.2×0.3=0.44(對(duì)立事件)P(M)=1－P(AB)－－=1－0.56=0.44(并事件)P(M)=P(A∪B)