事件的相互獨立性 高一下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修2

第十章

概

率10.2事件的相互獨立性

一二三學(xué)習(xí)目標(biāo)兩個事件獨立的直觀意義與相互獨立的含義能夠利用直觀意義與定義判斷事件的獨立性，以及理解獨立性的性質(zhì)利用獨立性的定義與性質(zhì)計算積事件的概率與復(fù)雜事件的概率學(xué)習(xí)目標(biāo)復(fù)習(xí)回顧性質(zhì)6

設(shè)A、B是一個隨機(jī)試驗中的兩個事件，則有

P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B).

或P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)性質(zhì)3

如果事件A與事件B互斥，那么P(A∪B)=P(A)+P(B).性質(zhì)4

如果事件A與事件B互為對立事件，那么

P(B)=1-P(A)，P(A)=1-P(B).即P(A)+P(B)=1.互斥事件概率加法公式并事件(和事件)交事件(積事件)A與B至少一個發(fā)生A∪B或A+BA與B同時發(fā)生A∩B或AB

類比并事件A∪B的概率性質(zhì)，你認(rèn)為積事件AB發(fā)生的概率是否也與事件A、B發(fā)生的概率有關(guān)呢？這種關(guān)系會是怎樣的呢?下面我們來討論一類與積事件有關(guān)的特殊問題。新知探究探究1

下面兩個隨機(jī)試驗各定義了一對隨機(jī)事件A和B，你覺得事件A發(fā)生與否會影響事件B發(fā)生的概率嗎?

試驗1

分別拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，A=“第一枚硬幣正面朝上”，B=“第二枚硬幣反面朝上”.

試驗2

一個袋子中裝有標(biāo)號分別是1,2,3,4的4個球，除標(biāo)號外沒有其他差異，采用有放回方式從袋中依次任意摸出兩球.設(shè)A=“第一次摸到球的標(biāo)號小于3”,B=“第二次摸到球的標(biāo)號小于3”.對于試驗1，因為兩枚硬幣分別拋擲，第一枚硬幣的拋擲結(jié)果與第二枚硬幣的拋擲結(jié)果互相不受影響，所以事件A發(fā)生與否不影響事件B發(fā)生的概率.對于試驗2，因為是有放回摸球，第一次摸球的結(jié)果與第二次摸球的結(jié)果互相不受影響，所以事件A發(fā)生與否也不影響事件B發(fā)生的概率.問題1以上試驗中P(AB)與P(A)和P(B)有何聯(lián)系?新知探究試驗1中，Ω={(1,1),(1,0),(0,1),(0,0)}A={(1,1),(1,0)}，B={(1,0),(0,0)}，AB={(1,0)}.試驗2中，Ω={(m,n)|m,n∈{1,2,3,4}}，包含16個樣本點.A={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4)}，B={(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2)}，AB={(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)}.積事件AB的概率P(AB)恰好等于P(A)與P(B)的乘積.概念生成相互獨立事件

對任意兩個事件A與B，如果

P(AB)=P(A)P(B)成立，則稱事件A與事件B相互獨立，簡稱為獨立.

通俗地說，對于兩個事件A，B，如果其中一個事件是否發(fā)生對另一個事件發(fā)生的概率沒有影響，就把它們叫做相互獨立事件．獨立事件概率乘法公式根據(jù)相互獨立事件的定義，可以：①用來判斷兩個事件是否獨立②在相互獨立的條件下求積事件的概率問題2

必然事件Ω、不可能事件

與任意事件相互獨立嗎？新知探究必然事件一定發(fā)生，不受任何事件是否發(fā)生的影響不可能事件一定不會發(fā)生，不受任何事件是否發(fā)生的影響它們也都不影響其他事件的發(fā)生一方面：另一方面：由兩個事件相互獨立的定義，易知：P(AΩ)=P(A)=P(A)P(Ω)P(A

)=P(

)=P(A)P(

)成立必然事件Ω、不可能事件

與任意事件相互獨立．新知探究問題3

互為對立的兩個事件是非常特殊的一種事件關(guān)系.如果事件A與事件B相互獨立，那么它們的對立事件是否也相互獨立?即需驗證①A與B、②A與B、③A與B是否也相互獨立？例如證①若事件A,B相互獨立，則A與B、A與B、A與B也相互獨立.結(jié)論新知探究問題4

我們知道，如果三個事件A,B,C兩兩互斥，那么概率加法公式

P(A1∪A2∪A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3)成立；但當(dāng)三個事件A,B,C兩兩獨立時，等式P(ABC)=P(A)P(B)P(C)是否成立?

課本P252-2.設(shè)樣本空間Ω={a,b,c,d}含有等可能的樣本點，且A={a,b},B={a,c},C={a,d}.請驗證A,B,C三個事件兩兩獨立，但P(ABC)≠P(A)P(B)P(C).

但P(ABC)≠P(A)P(B)P(C).解:A={a,b},B={a,c},C={a,d},AB={a},AC={a},BC={a},ABC={a}.∴P(A)=P(B)=P(C)=1/2,P(AB)=P(AC)=P(BC)=1/4.P(A)P(B)P(C)=1/8,P(ABC)=1/4.∴P(AB)=P(A)P(B),P(AC)=P(A)P(C),P(BC)=P(B)P(C),即A,B,C三個事件兩兩獨立,一般不成立互斥事件相互獨立事件

概念符號計算公式不可能同時發(fā)生的兩個事件事件A(或B)是否發(fā)生對事件B(或A)發(fā)生的概率沒有影響P(A∪B)=P(A)+P(B)P(A·B)=P(A)·P(B)互斥事件A、B中有一個發(fā)生,記作:A∪B相互獨立事件A、B同時發(fā)生記作:AB追問

互斥事件與相互獨立的事件有什么區(qū)別？新知探究性質(zhì)歸納相互獨立事件的性質(zhì)①必然事件Ω、不可能事件

與任意事件A相互獨立.②若事件A,B相互獨立，則A與B、A與B、A與B也相互獨立.③三個事件A、B、C兩兩互斥，則P(A1∪A2∪A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3)成立，但三個事件A、B、C兩兩獨立時，P(ABC)=P(A)P(B)P(C)一般不成立.獲得一對獨立，即獲得四對獨立典例解析例1

一個袋子中有標(biāo)號分別為1,2,3,4的4個球,除標(biāo)號外沒有其他差異.采用不放回方式從中任意摸球兩次.設(shè)事件A=“第一次摸出球的標(biāo)號小于3”,事件B=“第二次摸出球的標(biāo)號小于3”,那么事件A與事件B是否相互獨立?B={(1,2),(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2)}，解：樣本空間Ω={(m,n)|m,n∈{1,2,3,4},且m≠n}，共12個樣本點.A={(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4)}，AB={(1,2),(2,1)}.因此，事件A與事件B不獨立.判斷事件是否相互獨立的方法3.轉(zhuǎn)化法：事件A與事件B是否相互獨立，與事件A與

,

與B,

與

是否具有獨立性可互相轉(zhuǎn)化.

1.直接法：直接判斷一個事件發(fā)生與否是否影響另一事件發(fā)生的概率.2.定義法：判斷P(AB)=P(A)P(B)是否成立.歸納小結(jié)鞏固練習(xí)課本P2521.分別拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，設(shè)事件A=“第1枚正面朝上”，B=“第2枚正面朝上”，C=“2枚硬幣朝上的面相同”，A、B、C中哪兩個相互獨立？對接新高考【2021年·新高考Ⅰ卷】有6個相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6，從中有放回的隨機(jī)取兩次，每次取1個球.甲表示事件“第一次取出的球的數(shù)字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的數(shù)字是2”，丙表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是8”，丁表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是7”，則下列正確的是()A.甲與丙相互獨立

B.甲與丁相互獨立 C.乙與丙相互獨立

D.丙與丁相互獨立B

n(Ω)=36典例解析例2

甲、乙兩名射擊運動員進(jìn)行射擊比賽，甲的中靶概率為0.8，乙的中靶概率為0.9，求下列事件的概率:(1)兩人都中靶；(2)恰好有一人中靶；(3)兩人都脫靶；(4)至少有一人中靶.解：由于兩個人射擊的結(jié)果互不影響，∴A與B相互獨立，(2)“恰有1人中靶”=AB∪AB，且AB與AB互斥，典例解析例2

甲、乙兩名射擊運動員進(jìn)行射擊比賽，甲的中靶概率為0.8，乙的中靶概率為0.9，求下列事件的概率:(1)兩人都中靶；

(2)恰好有一人中靶；

(3)兩人都脫靶；

(4)至少有一人中靶.解：（4）方法一：（4）方法二：

1.對事件進(jìn)行分解：一方面分解為互斥的幾類簡單事件求概率；

另一方面分解為獨立的事件，利用事件同時發(fā)生(乘法)求出概率.已知兩個事件A,B,那么:

(1)A,B中至少有一個發(fā)生為事件A∪B2.對事件分解時，要明確事件中的“至少有一個發(fā)生”“至多有一個發(fā)生”

“恰好有一個發(fā)生”“都發(fā)生”“都不發(fā)生”“不都發(fā)生”等詞語的意義.(2)A,B中至多有一個發(fā)生為事件(3)A,B恰好有一個發(fā)生為事件

(5)A,B都不發(fā)生為事件(4)A,B都發(fā)生為事件AB

方法歸納求較為復(fù)雜事件的概率的方法3.天氣預(yù)報元旦假期甲地的降雨概率是0.2，乙地的降雨概率是0.3，假定在這段時間內(nèi)兩地是否降雨相互之間沒有影響，計算在這段時間內(nèi):

(1)甲、乙兩地都降雨的概率;

(2)甲、乙兩地都不降雨的概率;(3)至少一個地方降雨的概率.鞏固練習(xí)課本P252P(A)=0.2P(B)=0.3=0.2×0.3=0.06=0.8×0.7=0.56P(AB)=P(A)P(B)P(AB)=P(A)P(B)－－－－事件M(拆分事件)P(M)=________________________=0.2×0.7+0.8×0.3+0.2×0.3=0.44(對立事件)P(M)=1－P(AB)－－=1－0.56=0.44(并事件)P(M)=P(A∪B)