高中數(shù)學題型全面歸納（學生版）：第二節(jié)導教的應用

第二節(jié)導教的應用

考綱解讀

1.了解函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)的關系，能利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，會求函數(shù)的單調(diào)

區(qū)間(其中多項式函數(shù)一般不超過三次).

2.了解函數(shù)在某點取得極值的必要條件和充分條件；會用導數(shù)求函數(shù)的極大值、極小

值；會求閉區(qū)間上函數(shù)最大值、最小值；

3.生活中的優(yōu)化問題，會利用導數(shù)解決某些實際問題.

知識點精講

1.函數(shù)單調(diào)性與導函數(shù)符號的關系

一般地，函數(shù)的單調(diào)性與其導數(shù)正負有以下關系：在某個區(qū)間(a,份內(nèi)，如果/'(X)>0,

那么函數(shù)y=/(x)在該區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；如果/'(x)<0,那么函數(shù)y=/(x)在該區(qū)間內(nèi)

單調(diào)遞減.

2.求可導函數(shù)單調(diào)區(qū)間的一般步驟

(1)確定函數(shù)/(x)的定義域；

(2)求廣(x),令/'(x)=0,解此方程，求出它在定義域內(nèi)的一切實數(shù)；

(3)把函數(shù)/(x)的間斷點(即/(x)的無定義點)的橫坐標和/'(X)=0的各實根按

由小到大的順序排列起來，然后用這些點把函數(shù)/(x)的定義域分成若干個小區(qū)間；

(4)確定了'(X)在各小區(qū)間內(nèi)的符號，根據(jù)尸(x)的符號判斷函數(shù)/(x)在每個相應小

區(qū)間內(nèi)的增減性.

注①使r(x)=o的離散點不影響函數(shù)的單調(diào)性，即當了‘(X)在某個區(qū)間內(nèi)離散點處為

零，在其余點處均為正(或負)時，/(X)在這個區(qū)間上仍舊是單調(diào)遞增(或遞減)的.例如,

在(—00,+8)上，f(x)=x3,當x=0時，r(x)=0；當XHO時，/'(x)>0,而顯然

/(無)=/在(一8,+00)上是單調(diào)遞增函數(shù).

②若函數(shù)y=/(x)在區(qū)間(a,份上單調(diào)遞增，則/'(x)20(/'(x)不恒為0),反之不

成立.因為/'(X)之0,即/'(x)>0或/'(x)=0,當/''(x)〉。時，函數(shù)y=/(x)在區(qū)間

(a,。)上單調(diào)遞增.當尸(x)=0時，/(處在這個區(qū)間為常值函數(shù)；同理，若函數(shù)y=/(x)在

區(qū)間(a,勿上單調(diào)遞減，則/'(x)<0(/'(x)不恒為0),反之不成立.這說明在一個區(qū)間上

函數(shù)的導數(shù)大于零，是這個函數(shù)在該區(qū)間上單調(diào)遞增的充分不必要條件.于是有如下結論：

f'(x)>0=>f(x)單調(diào)遞增；

/(x)單調(diào)遞增n/'(x)20；

f\x)<0=>/(x)單調(diào)遞減；

/(X)單調(diào)遞減n/(x)<0.

3.函數(shù)極值的概念

r

設函數(shù)y=/(x)在點X。處連續(xù)且y=f(xn)=0,若在點x0附近的左側(cè)尸(幻>0,右

側(cè)/''(x)<0,則與為函數(shù)的極大值點；若在工。附近的左側(cè)/'(x)<0,右側(cè)尸(x)>0,則

與為函數(shù)的極小值點.

函數(shù)的極值是相對函數(shù)在某一點附近的小區(qū)間而言，在函數(shù)的整個定義區(qū)間內(nèi)可能有

多個極大值或極小值，且極大值不一定比極小值大.極大值與極小值統(tǒng)稱為極值，極大值點

與極小值點統(tǒng)稱為極值點.

4.求可導函數(shù)/(x)極值的一般步驟

(1)先確定函數(shù)/(x)的定義域；

(2)求導數(shù)

(3)求方程/'(x)=()的根；

(4)檢驗尸(x)在方程/'(x)=0的根的左右兩側(cè)的符號，如果在根的左側(cè)附近為正，

在右側(cè)附近為負，那么函數(shù)y=/(x)在這個根處取得極大值；如果在根的左側(cè)附近為負，

在右側(cè)附近為正，那么函數(shù)y=/(x)在這個根處取得極小值.

注①可導函數(shù)/(x)在點/處取得極值的充要條件是：/是導函數(shù)的變號零點，即

f'(xQ)=O,且在/左側(cè)與右側(cè)，尸(x)的符號導號.

②/'(%)=0是％為極值點的既不充分也不必要條件，如八%)=/，/(0)=0,但

%=0不是極值點?另外，極值點也可以是不可導的，如函數(shù)/(x)=W，在極小值點%=0

是不可導的，于是有如下結論：

%為可導函數(shù)/(x)的極值點nf'(x0)=0；

但/'(尤0)=()幺/為/a)的極值點.

5.函數(shù)的最大值、最小值

若函數(shù)y=/(x)在閉區(qū)間句上的圖像是一條連續(xù)不間斷的曲線，則該函數(shù)在［a,h］

上一定能夠取得最大值與最小值，函數(shù)的最值必在極值點或區(qū)間端點處取得.

6.求函數(shù)的最大值、最小值的一般步驟

設丫=/(x)是定義在區(qū)間［a,可上的函數(shù)，y=/(X)在(a,b)可導，求函數(shù)丁=/(x)在

目上的最大值與最小值，可分兩步進行：

(1)求函數(shù)y=/(x)在(。,匕)內(nèi)的極值；

(2)將函數(shù)y=/(x)的各極值與端點處的函數(shù)值/(a),/g)比較，其中最大的一個

是最大值，最小的一個是最小值.

注①函數(shù)的極值反映函數(shù)在一點附近情況，是局部函數(shù)值的比較，故極值不一定是最

值；函數(shù)的最值是對函數(shù)在整個區(qū)間上函數(shù)值比較而言的，故函數(shù)的最值可能是極值，也

可能是區(qū)間端點處的函數(shù)值；

②函數(shù)的極值點必是開區(qū)間的點，不能是區(qū)間的端點；

③函數(shù)的最值必在極值點或區(qū)間端點處取得.

題型歸納與思路提示

題型42利用導函數(shù)與原函數(shù)的關系確定原函數(shù)圖像

思路提示

原函數(shù)的單調(diào)性與導函數(shù)的函數(shù)值的符號的關系，原函數(shù)f(x)單調(diào)遞增o導函數(shù)

f'(x)>0(導函數(shù)等于0,只在離散點成立，其余點滿足r(x)>0)；原函數(shù)單調(diào)遞減0

導函數(shù)r(x)W0(導函數(shù)等于0,只在離散點成立，其余點滿足/(/)<0).

例3.8若函數(shù)y=/(x)的導函數(shù)在區(qū)間［。,句上是增函數(shù)，則函數(shù)y=/(x)在區(qū)間目

上的圖像可能是()

變式1設/'(X)是/(X)的導函數(shù)，將y=/(x)和y=/'(x)的圖像畫在同一直角坐標系

中，不可能的是()

A.B.C.D.

變式2已知函數(shù)y=4”(x)的圖像如圖3-3所示.(其中尸(x)是/(x)的導函數(shù))，下面4

個圖像中，y=/(x)的圖像大致是

變式3設函數(shù)/(x)=ax2+bx+c(a,6,ceR),若％=-1為函數(shù)/(x)e'的一個極值點,

則下列圖像不可熊為y=/(x)的圖像的是()

變式4函數(shù)/(幻=依"'(1一幻"在區(qū)間［0,1］上的圖像如圖3-4所示，貝打小〃的值可能是

()

A.m=1,H=1B.m=1,幾=2C.m=2,n=lD.m=3,n=1

圖3-4

題型43利用導數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間

思路提不

求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的步驟如下：

(1)求/(X)的定義域

(2)求出尸(x).

(3)令/'(x)=0,求出其全部根，把全部的根在x軸上標出，穿針引線.

(4)在定義域內(nèi)，令/'(x)>0,解出x的取值范圍，得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；令

/'(x)<0,解出x的取值范圍，得函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間.若一個函數(shù)具有相同單調(diào)性的區(qū)間

不只一個，則這些單調(diào)區(qū)間不能用“U”、“或”連接，而應用“和”隔開.

27

例3.9求函數(shù)/(x)=§d+/f-15x+4(xeR)的單調(diào)區(qū)間.

評注單調(diào)區(qū)間的呈現(xiàn)形式，解題過程盡量列表.

變式1已知函數(shù)/(%)=/-3/+6.

(1)討論/(x)的單調(diào)性；

(2)設點P在曲線y=/(x)上，若該曲線在點P處的切線/通過坐標原點，求/的方程.

變式2已知曲線/(x)=V*+OX?+3)x+cS/0),且g(x)=/(x)-2是奇函數(shù).

(1)求a,c的值；

(2)求函數(shù)/(x)的單調(diào)區(qū)間.

變式3函數(shù)/(x)的定義域為R,/(-1)=2,對任意xeR,/'(x)>2,貝J/(x)>2x+4

的解集為()

A.(—1,1)B.(—1,+<x>)C.(-co,-1)D.(—8,4-oo)

題型44含參函數(shù)的單調(diào)性(區(qū)間)

思路提示

第1步求函數(shù)定義域；第2步求導函數(shù)；第3步以導函數(shù)的零點存在性進行討論；第4

步當導函數(shù)存在多個零點時，討論它們的大小關系以及與區(qū)間的位置關系；第5步畫出導

函數(shù)的同號函數(shù)的草圖，從而判斷導函數(shù)的符號;第6步根據(jù)第5步的草圖列出了'(x),/(x)

隨x的變化情況表，并寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；第7步綜合以上討論的情形，完整寫出函數(shù)

的單調(diào)區(qū)間.

例3.10設函數(shù)/(幻=女2+以+?左>0)在x=0處取得極值，且曲線y=/(x)在點

(1,/(1))處的切線垂直于直線x+2y+1=0.

(1)求a,b的值；

(2)若函數(shù)g(x)=，一，討論g(x)的單調(diào)性.

fW

評注本題導函數(shù)的符號是由有關含參數(shù)的二次函數(shù)來確定，導函數(shù)在區(qū)間上無變號零點

則必單調(diào)；在區(qū)間上有變時等總則必不單調(diào)，故當二次函數(shù)的八=。2一4ac?0時，導函

數(shù)無變號零點，故為單調(diào)函數(shù)；當△=^-4ac>0時，此時導函數(shù)有變號零點，就是不

單調(diào)函數(shù)，應分具體區(qū)間討論不同的單調(diào)性.

Y4-a

變式1已知函數(shù)/(x)=-----(aeH).

x+1

(1)若函數(shù)/(x)在點(1,/⑴)處的切線為y=人，求實數(shù)的值;

(2)求函數(shù)/(x)的單調(diào)區(qū)間.

2

變式2已知函數(shù)/(x)=x--+Q(2—lnx)(Q>0),討論f(x)的單調(diào)性.

X

例3.11求函數(shù)/(x)=(l—a)lnx-x+；-的單調(diào)區(qū)間.

分析含參函數(shù)求解單調(diào)區(qū)間，討論的關鍵在于導函數(shù)的零點區(qū)間端點的相對大小關系.

評注本題難度較大，在分類中要不重不漏，標準統(tǒng)一，分層不越級.討論的重點在于比較

導函數(shù)的零點％=1,x,=—及定義域端點值x=0的大小來確定的參數(shù)范圍，但千萬

a

不要以二次項系數(shù)。的正負作為對a的分類的依據(jù)！即不要分。>0,“=0M<0討論!

易錯點：①容易忘記當。=0時的情況.

②當a<0時，二次函數(shù)的圖像開口方向向下，單調(diào)性發(fā)生變化.

③綜上，單調(diào)性相同的歸為一類，但各個區(qū)間不能使用“U”連接.

變式1求函數(shù)/(x)=e-fe(x2+x--)(Zr<0)的單調(diào)區(qū)間.

k

變式2求函數(shù)/(x)=ea\-+a+1)(。＞-1)的單調(diào)區(qū)間.

X

題型45已知含量參函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)或不單調(diào)或存在單調(diào)區(qū)間，

求參數(shù)范圍

思路提示

(1)已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增或單調(diào)遞減，轉(zhuǎn)化為導函數(shù)恒大于等于或恒小于等于

零求解，先分析導函數(shù)的形式及圖像特點，如一次函數(shù)最值落在端點，開口向上的拋物線

最大值落在端點，開口向下的拋物線最小值落在端點等.

(2)已知區(qū)間上函數(shù)不單調(diào)，轉(zhuǎn)化為導數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在變號零點，通常用分離變量法

求解參變量范圍.

(3)已知函數(shù)在區(qū)間上存在單調(diào)遞增或遞減區(qū)間，轉(zhuǎn)化為導函數(shù)在區(qū)間上大于零或小

于零有解.

一、已知含參函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，求參數(shù)的范圍

例3.12已知函數(shù)/(x)=3ax4-2(3。+l)x2+4x.

(1)當時，求f(x)的極值；

6

(2)若/。)在(-1,1)上是增函數(shù)，求。的取值范圍.

評注二次函數(shù)模型是在解決導數(shù)問題中常用的模型，經(jīng)常用來類比解決三次函數(shù)(其導

數(shù)為二次函數(shù))以及函數(shù)的導數(shù)只有一個極值點的函數(shù)(類二次函數(shù))的某些問題.

若一個三次函數(shù)在某區(qū)間上單調(diào)遞增或遞減，可相應轉(zhuǎn)化為其導函數(shù)(二次函數(shù))在此

區(qū)間上恒為非負或非正的問題.

設/(x)=or?++c(a>0),若/(x)>0在區(qū)間上恒成立o/(x)在［加,〃］上

的最小值大于0,如圖3-5所示.

hhhh

<=>當----N機時，f(77?)>0；當初<-----<AZ時，f(----)>0；當---->〃時，

若/(x)<0在區(qū)間［見用上恒成立O/(x)在［九川上最大值小于0,如圖3-6所示.

這是因為對于開口向上的拋物線，最大值必在區(qū)間的端點處取得.

1/(〃)<0

對于開口向下的拋物線，只要結合圖像類似討論即可.

變式1函數(shù)/?(》)=/^(?！?)在區(qū)間(—1,1)內(nèi)單調(diào)遞增，求。的取值范圍.

k+b

變式2已知函數(shù)/*)=(2必一/卜％其中。為常數(shù)，且

(1)若。=1,求函數(shù)/(x)的極值點；

(2)若/(x)在區(qū)間(血,2)內(nèi)單調(diào)遞增，求a的取值范圍.

變式3已知函數(shù)/(x)=加+芯(xGR)的圖像過點P(-l,2),且在點P處的切線恰好與

直線x—3y=0垂直.

(1)求函數(shù)/(x)的解析式；

(2)若函數(shù)/(x)在區(qū)間［〃z,m+1］上單調(diào)遞增，求實數(shù)〃?的取值范圍.

二、含參函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，求參數(shù)范圍

例3.13已知函數(shù)/(%)=丁+(1-tz)x2-a(a+2)x+b(a,beR).

(1)若函數(shù)/(x)的圖像過原點，且在原點處的切線斜率是-3,求。力的值;

(2)若函數(shù)/(處在區(qū)間(-1,1)上不單調(diào)，求。的取值范圍.

評注若/(%)在某區(qū)間上不單調(diào)，則/'(x)在此區(qū)間有變號零點，可先考慮尸(x)=0在整

個定義域內(nèi)根的情況，結合函數(shù)的圖像和性質(zhì)找出給定區(qū)間有變號零點的充要條件，若不

易直接求解極值點，應分離自變量與參變量，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的值域求解.

變式1已知函數(shù)/(>)=犬+優(yōu)一1)/+伏+5)X-1,其中keR,若函數(shù)/(x)在區(qū)間

(0,3)上不單調(diào)，求左的取值范圍.

三、含參函數(shù)在區(qū)間上存在單調(diào)增(或減)區(qū)間，求參數(shù)范圍

例3.14設函數(shù)/(x)=lnx+(x-a)?中，aeR,若函數(shù)/(x)在［1,2］上存在單調(diào)遞增區(qū)

間，求的取值范圍.

評注解本類題目的一般思路是：含參函數(shù)/（X）在區(qū)間句上存在單調(diào)遞增（減）區(qū)間,

則/'（X）>0（/'。）<0）在區(qū)間口,句上有解=/'（X）的最大（小）值大（?。┯?在區(qū)

間上成立.

變式1已知函數(shù)/*）=5^+/一%，meR,且函數(shù)/（x）在⑵+8）上存在單調(diào)遞增

區(qū)間，求實數(shù)〃?的取值范圍.

例3.15已知函數(shù)/(x)=ox-lnx,g(x)=e'"+3龍，其中aeR.

(1)求/(x)的極值；

(2)若存在區(qū)間使/(x)和g(x)在區(qū)間M上具有相同的單調(diào)性，求。的取值范圍.

題型46函數(shù)的極值與最值的求解

思路提示

有關極值問題要從極值存在的充分條件與必要條件上考慮，不僅要注意導數(shù)為零點,

同時也要注意導數(shù)為零附近導數(shù)變號情況.

例3.16(2012陜西理7)設函數(shù)/(x)=xe1則()

A.x=l為/(x)的極大值點B.x=l為/(x)的極小值點

C.x=-l為/(x)極大值點D.x=-l為/(x)的極小值點

變式1(函數(shù)/(x)在R上可導，其導函數(shù)為了'(X),且函數(shù)丫=(1一%)/'(》)的圖像如圖

3-7所示，則下列結論中一定成立的是()

A.函數(shù)/(%)有極大值/(2)和極小值/(I)

B.函數(shù)/(x)有極大值/(-2)和極小值/(I)

C.函數(shù),f(x)有極小值/(2)和極小值/(一2)

D.函數(shù)/(x)有極大值/(-2)和極小值/(2)

圖3-7

變式2若。＞0力＞0,且函數(shù)/(外=4/-℃2_2加+2在工=1處有極值，則時的最

大值等于()

A.2B.3C.6D.9

例3.17已知函數(shù),/'(x)=ox：!+l(a>0),g(x)=x3+/zr,.

(1)若曲線y=/(x)與曲線y=g(x)在它們的交點(l,c)處有公共切線，求a,/?的值；

(2)當/=48時，求函數(shù)/(x)+g(x)的單調(diào)區(qū)間，并求其在區(qū)間上的最大值.

評注本題求解在給定區(qū)間上的最值，將零點與區(qū)間的端點加以比較，分析函數(shù)在區(qū)間上

的單調(diào)性，從而求出最值.

變式1已知函數(shù)/(x)=lnx+0.

(1)當。＜0時，求函數(shù)/(%)的單調(diào)區(qū)間；

a

(2)若函數(shù)/(x)在［I,e］上的最小值是I,求a的值.

變式2已知中函數(shù)〃x)=x—gar?—ln(l+x),其中aeE

(1)若x=2是/(x)的極值點，求n的值.

(2)求/(x)的單調(diào)區(qū)間.

(3)若/(x)在［0,+8)上的最大值是0,求a的取值范圍.

題型47方程解(函數(shù)零點)的個數(shù)問題

思路提示

研究函數(shù)/(力的零點問題常常與研究對應方程/(x)=0的實根問題相互轉(zhuǎn)化.

(1)已知含參函數(shù)/(X)存在零點(即至少一個零點)，求參數(shù)范圍問題，一般可

作為代數(shù)問題求解.即對/(x)=0進行參變分離，得到a=g(x)的形式，則所求a的范圍

就是g(x)的值域.

(2)當研究函數(shù)/(x)的零點個數(shù)問題，即方程/(x)=0的實根個數(shù)問題時，也

常要進行參變分離，得到a=g(x)的形式，然后借助數(shù)形結合(幾何法)思想求解.

例3.18設。為實數(shù)，函數(shù)/(%)=-義+3%+。

(1)求“X)的極值；

(2)若方程/(力=0有3個實數(shù)根，求。的取值范圍；

(3)若函數(shù)y=/(x)恰好有兩個零點，求a的值.

評注本類題要結合函數(shù)的單調(diào)性和極值，體現(xiàn)數(shù)形結合的數(shù)學思想

變式1已知f(x)=o?+hx2_x(xw/?,a力常數(shù)，awO),且當x=l和x=2時，函數(shù)

f(x)取極值.

(1)求f(x)的解析式

(2)若曲線產(chǎn)f(x)與8(力=-3%一相(一2<%<0)有兩個不同的交點，求實數(shù)的加取值

范圍.

變式2已知函數(shù)/(力=加+加一3%(a,beR),在點(1,/⑴)處的切線方程為

y+2=0.

(1)求的解析式；

(2)若對于區(qū)間［2,2］上任意兩個自變量的值芭，々，都有l(wèi)f(%)—f(w)l<c，求實數(shù)c

的最小值；

(3)若過點M(2,㈤(〃沖-2)可作曲線產(chǎn)f(x)的三條切線，求實數(shù)〃z的取值范圍.

題型48不等式恒成立與存在性問題

思路提示

J在關等式恒成立或不等式有解條件下求參數(shù)的取值范圍，一般利用等價轉(zhuǎn)化的思想其

轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值或值域問題加以求解，可采用分離參數(shù)或不分離參數(shù)法直接移項構造輔

助函數(shù).

(1)若函數(shù)”X)在區(qū)間D上存在最小值八》)而,和最大值/(x)a,則

不等式/(x)>a在區(qū)間D上恒成立=/(x)min>a；

不等式/(x)2a在區(qū)間D上恒成立o>a；

不等式在區(qū)間D上恒成立o/(x)心<b；

不等式在區(qū)間D上恒成立。/(力…<b；

(2)若函數(shù)/(x)在區(qū)間D上不存在最大(小)值，且值域為(見〃)，則

不等式/(x)>a(或在區(qū)間D上恒成立。〃此a.

不等式/(x)<可或*x)W在區(qū)間D上恒成立omW反

例3.19已知函數(shù)/(x)=xlnx

(1)求/(x)的最小值.

(2)對所有xNl都有/(%)之以—1,求實數(shù)a的取值范圍.

評注對于恒成立問題，其根本思路是轉(zhuǎn)化，而轉(zhuǎn)化只有兩種方法.1,變量分離法，2,不

分離參數(shù)法，本例第(2)間運用分離變量的方法，使得構造中的函數(shù)不含有參數(shù)，避免

了對參數(shù)的分類討論，對于不等式驗證區(qū)間端點成立的情形，一般采用不分離參數(shù)法(見

本例的變式1),同學們應該視不同的情形使用不同的方法.

變式1設函數(shù)〃x)=(l+x)2—21n(l+x).

⑴求的單調(diào)區(qū)間；

(2)若當龍G1-1,e-1時，不等式/(%)?加恒成立，求實數(shù)加的取值范圍；

(3)若關于x的方程〃x)=x2+x+a在區(qū)間［0,2］上恰好有兩個相異的實根，求實數(shù)a

的取值范圍.

變式2(2012湖南22(1))已知函數(shù)f(x)=*7,其中aH0,若對一切xeR,f(x)>1

恒成立，求a的取值集合.

例320設函數(shù)f(x)=，—eT

(1)證明；f(x)的導數(shù)f，(x"O；

(2)若對所有x?0,都有f(x)2or,求。的取值范圍.

評注對于恒成立問題，其根本思想是“轉(zhuǎn)化”，而轉(zhuǎn)化有兩種方法：分離參數(shù)法和不分離

參數(shù)法，對于不等式試驗區(qū)間端點值成立的情形，一般采用不分離參數(shù)法，相比分離參數(shù)

法操作上簡單，可以視不同情形，選擇不同的方法

變式1(2012天津20)已知〃x)=x—ln(x+a)的最小值為0,其中a〉0.

(1)求a的值；

(2)若對任意的xe[O,+8),均有4丘2成立，求實數(shù)攵的最小值.

變式2已知函數(shù)/(x)=lnx—a(x—l),a&R.

(1)討論函數(shù)/(x)的單調(diào)性；

(2)當xNl時，f(x)W四土恒成立，求”的取值范圍.

-x+1

思路提示2

(1)若函數(shù)/(x)在區(qū)間D上存在最小值〃初““和最大值”XL、，即

則對不等式有解問題有以下結論：

不等式a</(x)在區(qū)間D上有解=a</(力,皿；

不等式aW/(力在區(qū)間D上有解=aW/(X)M；

不等式a>/(x)在區(qū)間D上有解oa>/a).,；

不等式a2/(x)在區(qū)間D上有解。a'/"";

(2)若函數(shù)/(x)在區(qū)間D上不存在最大(小)值，如值域為(”，〃)，則對不等式有解

問題有以下結論：

不等式a</(x)(或aW/(%))在區(qū)間D上有解oa<〃

不等式Z?>〃x)(或b2/⑺)在區(qū)間D上有解=b>m

例3,21已知函數(shù)f(x)=x-alnx,g(x)=-3把(as/?).

x

(1)若a=l,求函數(shù)/(x)的極值；

(2)設函數(shù)/z(x)=/(x)—g(x),求函數(shù)〃(x)的單調(diào)區(qū)間；

(3)若在［1,e］上存在一點與，使得/(%)<g(占)成立，求a的取值范圍.

A

變式1設函數(shù)/(x)=x—Mnx+2，在x=l處取得極值.(1)求。與b滿足的關系式;

(2)若a>l,求函數(shù)/(x)的單調(diào)區(qū)間；(3)若a>3,函數(shù)g(x)=a2%2+3,若存在

,m2eg,2,使得|f—g(牡)|<9成立，求a的取值范圍.

思路提示3

(1)對于任意的玉e[a,可，總存在x,e[m,〃],使得

(2)對于任意的玉e[a,可，總存在wWm,ri\,使得

/a)Ng(/)o/a)1nbiNg(9)1ns/

(3)若存在％e[a,b],對于任意的％2w[m,n\,使得

/a)Wg(X2)=〃必<g(%L；

(4)若存在玉e[a,b\,對于任意的赴e[m,ri\,使得

/&)幺(々)=/(%)皿々(9)2；

(5)對于任意的X|e[a,b],e[m,川使得1/(%)<8(/)。/(石)1rax?g(毛).；

(6)對于任意的X|e[a,句，A2Glm,可使得Ng(xj)皿;

(7)若存在玉e[a,4，總存在毛s[m,〃],使得

/&)<g(W)=/&L<g(W)a

(8)若存在玉e[a,可，總存在赴e[m,/?],使得

/(%)Ng(/)o/(X)1raxNg㈤而小

]—Q

例3.22已知/(x)=lnx-ar+-----1G/?).

(1)當aW；時，討論/(x)的單調(diào)性；

(2)設g(x)=x2_2/zx+4,當a=；時，若對任意X]€(0,2),存在赴41,2],使

/(x,)2g(W).求實數(shù)匕的取值范圍.

評注對于存在性與任意性的綜合問題，不妨先定存在，如本例中對任意的％€(0,2),總

存在x2G[1,2],便令g(%2)=M,則％e(0,2),

/(xj2M。/(X,)min>M,設/(%L=m,ge(0,2),再分析存在

We[l,2],g(x2<m,則，即最終轉(zhuǎn)化為“㈤二的問題.

變式1已知函數(shù)_(2a+l)x+21nx(aeR).

(1)求/(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)設g(x)=f—2x,若對任意的王e(0,2],均存在々e(0,2J,使得

/(玉)<g(±)，求4的取值范圍.

變式2已知函數(shù)/(x)=ln[；+gax]+x2-ax,(“為常數(shù)，a>0)

(1)若x=g是函數(shù)/(x)的一個極值點，求a的值；

(2)求證：當()<a?2時，“X)在[g,+8)上是增函數(shù)；

(3)若對任意的。?1,2),總存在*061,1,使不等式—成立，求實

數(shù)機的取值范圍.

題型49利用導數(shù)證明不等式

思路提示

利用導數(shù)證明不等式常用的方法是構造輔助函數(shù)，通過構造輔助函數(shù)將不等式的證明

問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性證明或函數(shù)的最值問題.

例3.23設。為實數(shù)，函數(shù)/(x)=/-2x+2a,xeR

(1)求“X)的單調(diào)區(qū)間與極值；

(2)求證：當a>ln2-1且x>()時e'-2ox+l

評注一般地，要證/(X)〉g(X),XG(0,+8),在區(qū)間I上恒成立，構造輔助函數(shù)

=通過分析產(chǎn)(力的單調(diào)性，從而求出尸(X)在I上的最小值，只要

能證明/(x/n〉。，就可證明/(x)>g(x).

變式1設a2(),/(x)=x—1-In?x+2alnx(x>0).

(1)令E(X)=4'(X),討論尸(x)在(0,+00)上的單調(diào)性并求極值;

(2)求證：當X>1時，恒有x>ln2x—2℃+1

變式2已知函數(shù).f(x)=av+g+c(a>0)的圖象在點處的切線方程為

y=x-\.

(1)用〃表示出。,c；

(2)若/(x"lnx在[I,4w)上恒成立，求a的取值范圍.

(3)證明：1+，+1+…+1>ln(n+l)+—~~r[n>\,〃eN*)

23nv'2(〃+l)、'

lnx+A

變式3已知函數(shù)/(%)(k為常數(shù)，e=2.71828…是自然對數(shù)的底數(shù))，曲線

y=/(x)在點(1J⑴)處的切線與x軸平行.

(I)求左的值；

(II)求/(x)的單調(diào)區(qū)間；

(HI)設g(x)=(f+x)/(x),其中尸(x)為/(x)的導函數(shù).證明：對任意

X>O,g(x)<1+0-2.

題型50導數(shù)在實際問題中的應用

思路提示

導數(shù)在實際問題中的應用主要用于生活中的優(yōu)化問題，思路是選取適當自變量列函數(shù)

式求最值，這里根據(jù)實際問題存在最值，若/'(x)=0只有一個點，即為極值點，也就是所

求最值(間峰函數(shù)).

例3.24一個圓環(huán)直徑為20相，通過鐵絲8C,C41,C4,C43(A，4，A是圓上三個等

分點)懸掛在B處，圓環(huán)呈水平狀態(tài)并距天花板2小，如圖3—9所示.

//////////

圖3-9

(1)設BC的長為xm,鐵絲總長為ym,試寫出y關于x的函數(shù)關系式，并寫出函數(shù)

定義域；

(2)為多長的時，鐵絲總長y有最小值，并求此最小值.

變式1某企業(yè)擬建造如圖3-10所示的容器(不計厚度，長度單位：m),其中容器的中間為

QH

圓柱形，左右兩端均為半球形，按照設計要求容器的容積為”萬優(yōu)3,且/22r，假設該容

3

器的建造費用僅與其表面積有關.已知圓柱形部分建造費用為3千元//〃2,半球形部分建

造費用為c.(c>3)千元/，/,設該容器的建造費用為y千元.

---------1---------->1

AH力、

圖3-10

(1)寫出y關于「的函數(shù)表達式，并求該函數(shù)的定義域;

(2)求該容器的建造費用最小時的r.

變式2請你設計一個包裝盒，如圖3-11所示，ABCD是邊長為60cm的正方形硬紙片，切

去陰影部分所示的四個全等的等腰直角三角形，再沿虛線折起，使得ABCD四個點重合于

圖中的點P,正好形成一個正四棱柱形狀的包裝盒，E,F在AB上，是被切去的等腰直角

三角形斜邊的兩個端點.設AE=FB=x(cm).

(1)若廣告商要求包裝盒側(cè)面積S(cm2)最大，試問