新人教A版：2022年高考數(shù)學(xué)綜合測(cè)試模擬試卷（三模）（含解析）

新人教A版：2022年高考數(shù)學(xué)綜合測(cè)試模擬試卷(三模)

時(shí)間：120分鐘分值：150分

一、選一選:本題共8小題,每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合

題目要求的.

1.(2020北京八中10月月考，1)己知集合片｛xx〉l｝,比｛x|x〈屈，且/U廬R,那么次的值可以是

()

A.-lB.0

C.1D.2

答案D由力U廬R數(shù)軸，可得卬>1,因此加的值可以是2,故選D.

易錯(cuò)警示本題易錯(cuò)認(rèn)為021,事實(shí)上m=l時(shí),4=(1,+8),廬(-8,1),不滿足［U廬R.

2.(2020江西臨川第二中學(xué)10月月考,2)已知i為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)產(chǎn)，則|z|=()

1+1

A.1B.2C.V2D.V5

答案D因?yàn)樗詚\=J12+(-2)2=G,故選D.

1+i(1+1)?(1-1)

3.(2019北京西城月考,5)已知向量降(3,-4),OB=(6,-3),0(=(2皿,Ml),若法〃征則實(shí)數(shù)m的

值為()

A.-4B.-3C.TD.7

755

答案B而=(3,-4),磅=(6,-3),則法無(wú)■而=(3,1).?.?翦〃

茲役(2皿,研］),3(研］)-2獷0,/n=-3,故選B.

易錯(cuò)警示向量a=(x“必)與非零向量"通公共線的充分必要條件是存在“使得卡〃”其坐

標(biāo)表示為要注意與兩向量垂直的坐標(biāo)表示區(qū)分,此處容易混淆.

4.(2020包頭二模,5)己知a,6dR,下列四個(gè)條件中，使a"成立的必要而不充分條件是()

A.a<b-\B.水價(jià)1C.a2<62D.2"<2"

答案B..,a<Zrl=a<6,反之不成立，...aVAl是使a<6成立的充分而不必要條件；YaVbn

反之不成立，〈從1是使a〈6成立的必要而不充分條件;，32是使a〈6成立的既不充分

也不必要條件；；2"<2"=a〈6,.?.2"<2"是使a〈6成立的充分必要條件.故選B.

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解題關(guān)鍵正確理解充分條件和必要條件的定義,弄清楚前后推出關(guān)系是解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵.

5.（2020北京十三中開(kāi)學(xué)摸底,3）投擲一顆骰子，擲出的點(diǎn)數(shù)構(gòu)成的基本空間是

0={1,2,3,4,5,6}，設(shè)4={1,3}，廬{3,5,6},<={2,4,6）,則下列結(jié)論中正確的是（）

A.A,C為對(duì)立

B.48為對(duì)立

C.A,C為互斥，但不是對(duì)立

D.48為互斥，但不是對(duì)立

答案C本題考查互斥、對(duì)立的定義，考查學(xué)生對(duì)概念的理解，運(yùn)用概念分析問(wèn)題的能力，體現(xiàn)

邏輯推理的核心素養(yǎng).

???投擲一顆骰子,擲出的點(diǎn)數(shù)構(gòu)成的基本空間是。={1,2,3,4,5,6）,

上{1,3},層{3,5,6},0{2,4,6）,當(dāng)擲出的點(diǎn)數(shù)是3時(shí),48同時(shí)發(fā)生，

故A,方不是互斥，故A,5也不是對(duì)立,故B,D錯(cuò)誤.

A,C不可能同時(shí)發(fā)生,故A,，為互斥，

但4UO{1,2,3,4,6}工。,

故A,C不是對(duì)立，故A錯(cuò)誤,C正確，故選C.

思路分析已知中基本空間是。={1,2,3,4,5,6},力={1,3},爐{3,5,6},0{2,4,6},分析4是C

是否滿足互斥和對(duì)立的定義,可得結(jié)論.

6.（2020福建邵武中學(xué)開(kāi)學(xué)考試,4）已知a>0且a#l,函數(shù),在R上單調(diào)遞

增，那么實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）

A.（1,+8）B.（0,1）C.（1,2）D.（1,2]

答案D??"（才）=嚴(yán)：三夕/,（a>0,且a#l）在R上單調(diào)遞增，，。即

a>

\^9，解得l<aW2.故選D.

la32a-2,

7.（2020吉林南關(guān)模擬,7）2019年是新中國(guó)成立七十周年,新中國(guó)成立以來(lái),我國(guó)文化事業(yè)得到

了充分發(fā)展,尤其是黨的十八大以來(lái),文化事業(yè)發(fā)展更加迅速,下圖是從2013年到2018年六年間

我國(guó)公共圖書館業(yè)機(jī)構(gòu)個(gè)數(shù)與對(duì)應(yīng)年份編號(hào)的散點(diǎn)圖（為便于計(jì)算,將2013年編號(hào)為1,2014年

編號(hào)為2,…,2018年編號(hào)為6,把每年的公共圖書館業(yè)機(jī)構(gòu)個(gè)數(shù)作為因變量,把年份編號(hào)從1到6

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作為自變量進(jìn)行回歸分析)，得到回歸直線片13.743/3095.7,其相關(guān)指數(shù)"=0.9817,給出下列

結(jié)論，其中正確的個(gè)數(shù)是()

①公共圖書館業(yè)機(jī)構(gòu)個(gè)數(shù)與年份的正相關(guān)性較強(qiáng)；

②公共圖書館業(yè)機(jī)構(gòu)個(gè)數(shù)平均每年增加13.743;

③可預(yù)測(cè)2019年公共圖書館業(yè)機(jī)構(gòu)個(gè)數(shù)為3192.

A.0B.1C.2D.3

答案D由散點(diǎn)圖中各點(diǎn)散布情況可知公共圖書館業(yè)機(jī)構(gòu)個(gè)數(shù)與年份成正相關(guān)，

又#=0.9817趨近于1,所以相關(guān)性較強(qiáng),所以①正確；

由回歸直線方程為產(chǎn)13.743X+3095.7,知②正確；

由回歸直線方程尸13.743x+3095.7知，

當(dāng)產(chǎn)7時(shí)，尸13.743X7+3095.7=3191.901,

其估計(jì)值為3191.901仁3192,所以③正確.

綜上所述，正確的命題個(gè)數(shù)為3.

故選D.

思路分析由散點(diǎn)圖中各點(diǎn)分布情況和〃的值判斷①;由回歸直線方程判斷②;由回歸直線方程

計(jì)算x=7時(shí)y的值從而判斷③.

8.(2018天津耀華中學(xué)二模,5)已知雙曲線土91(a>0,b>0)的左頂點(diǎn)與拋物線/=2px(p>0)的焦

點(diǎn)的距離為4,且雙曲線的一條漸近線與拋物線的準(zhǔn)線的交點(diǎn)坐標(biāo)為(-2,-1),則雙曲線的焦距為

()

A.V3B.2V3C.V5D.2V5

答案D根據(jù)題意，點(diǎn)(-2,-1)在拋物線的準(zhǔn)線上，：拋物線〃=2px的準(zhǔn)線方程為產(chǎn)J,...pM,

拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(2,0),

又?.?雙曲線的左頂點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)的距離為4,

雙曲線的左頂點(diǎn)的坐標(biāo)為(-2,0),即a=2,

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:點(diǎn)(-2,-1)在雙曲線的漸近線上，，漸近線的斜率心4.?.慶1,Ub2+#={5,

.?.雙曲線的焦距為2c=2G

二、選一選:本題共4小題,每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.

全部選對(duì)的得5分,部分選對(duì)的得2分,有選錯(cuò)的得0分.

9.2020年春節(jié)前后，一場(chǎng)突如其來(lái)的疫情在全國(guó)蔓延.疫情就是命令,防控就是責(zé)任.在的堅(jiān)強(qiáng)領(lǐng)

導(dǎo)和統(tǒng)一指導(dǎo)下,全國(guó)人民眾志成城、團(tuán)結(jié)一心,掀起了一場(chǎng)堅(jiān)決打贏疫情防控阻擊戰(zhàn)的人民戰(zhàn)

爭(zhēng).下面的圖展示了2月14日至29日全國(guó)疫情變化情況.根據(jù)該折線圖判斷,下列結(jié)論正確的是

()

A.16天中每日新增確診病例數(shù)量呈下降趨勢(shì)且19日的降幅

B.16天中每日新增確診病例的中位數(shù)小于新增疑似病例的中位數(shù)

C.16天中新增確診、新增疑似、新增病例的極差均大于2000

D.19日至29日每日新增病例數(shù)量均大于新增確診與新增疑似病例之和

答案BC由題圖可知，16天中新增確診病例數(shù)量整體呈下降趨勢(shì),但具體到每有增有減，故A

錯(cuò)誤；因?yàn)槊咳招略龃_診病例的數(shù)量大部分小于新增疑似病例的數(shù)量，所以16天中每日新增確

診病例的中位數(shù)小于新增疑似病例的中位數(shù)，故B正確；易知16天中新增確診、新增疑似、新增

病例的極差均大于2000,故C正確;20日的新增病例數(shù)量小于新增確診與新增疑似病例之和,故

D錯(cuò)誤，故選BC.

10.已知戶是雙曲線Cy=1上任一點(diǎn),A,8是雙曲線上關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，設(shè)直線PA,PB

3m

的斜率分別為4,A2aAW0),若;左I+412￡恒成立,且實(shí)數(shù)t的值為則下列說(shuō)確的是

()

A.雙曲線的方程為今/=1

B.雙曲線的離心率為2

C.函數(shù)尸10gli(尸1)(a>0,aWl)的圖象恒過(guò)C的一個(gè)焦點(diǎn)

D.直線2尸3片0與C有兩個(gè)交點(diǎn)

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答案AC設(shè)A(xy)，3(-x“-乂)，P(x,y)K#y),則兩式相減得

lt3m3m

交9K,即

3m

竽？?記『,...田+閡=晝卜|詈卜修揩氏附器又t

的值為挈.?.歸1,故雙曲線的方程為『y=1,故A正確；?.?葉6,左1,..?2,.?.號(hào)，故B錯(cuò)誤；易

知雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)為⑵0),函數(shù)尸log.(『l)(a〉0,a#l)的圖象恒過(guò)點(diǎn)⑵0),故C正確;雙曲

線的一條漸近線為片爭(zhēng),直線2尸3尸。的斜率為:令當(dāng)且該直線過(guò)原點(diǎn)，.?.直線2尸3尸。與雙曲

線沒(méi)有交點(diǎn),故D錯(cuò)誤,故選AC.

11.如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD~A、BCD,中,尸，材分別為棱CD,第的中點(diǎn)，0為面對(duì)角線48上

任一點(diǎn),則下列說(shuō)確的是()

A.平面力/徹內(nèi)存在直線與4〃平行

B.平面加涉截正方體ABCD-AACA所得截面面積為以

C.直線4P和佻所成角可能為60°

D.直線和偌所成角可能為30°

答案BC易知直線4〃〃平面平面46Wn平面";佐直線4尸與直線4〃不平行，故A

錯(cuò)誤;平面仍/截正方體所得截面為四邊形仍叫且四邊形APMB｛為等腰梯形,S四邊形APMB總鋁+

q+券)=|故B正確；當(dāng)°與4重合時(shí)，兩直線的夾角最小，當(dāng)°與5重合時(shí)，兩

直線的夾角，,cos0e［邛，闿，故C正確，D錯(cuò)誤.故選BC.

12.關(guān)于函數(shù)/'(x)=e*+asinx,xe(-加，+8),下列說(shuō)確的是()

A.當(dāng)a=l時(shí)，f(x)在(0,A0))處的切線方程為2『產(chǎn)1=0

B.當(dāng)a=l時(shí)，f(x)存在極小值點(diǎn)％且T<f(%)〈0

C.對(duì)任意a>0,f(x)在,+8)上均存在零點(diǎn)

D.存在a<0,f(x)在(-n,+8)上有且只有一個(gè)零點(diǎn)

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答案ABD當(dāng)a=l時(shí)，F(xiàn)(x)=e'+sinx,(-冗，+co),/(0)=1,切點(diǎn)為

(0,1),f'(x)=ex+cosx,：.f(0)=2,/.切線方程為廣1=2(.0),即2r4=0,故A正確;a=l

時(shí)，f'(x)=e"+cosx,f〃(x)=e”-sinA>0(x>-冗)恒成立，.??/*'(x)單調(diào)遞

增,6(一號(hào))二或與+cos(-號(hào))<0,r(-^)=e-T>0,故F(x)存在極小值點(diǎn)礴且xf(-羊，一3

貝！J/"(%)=0,即〃。+cosx°二0,Hxju/o+sinxo二sin%-cos4=v2sin(x0-5)e(-1,0),故B正

x

確；F(x)=e'+asinx,(-n,+°°),令f(x)=0,則e+asinx=0i當(dāng)產(chǎn)k尺,k>T且時(shí)，顯然沒(méi)有

實(shí)根，故,k>~l且Z,ap--令力(x)二一上一,；?力'(x)-炭‘'"f"I令力'(x)=0,得

smxysmxsirrx

■￥=/%“，%ez,.,"(x)在(-n,上單調(diào)遞減，在(-《+2%",或(2%”,5+

以〃)(AGN)上單調(diào)遞增，在(5+2%〃，n+2k斗"+2A〃，寧+2〃*)(%CN)上單調(diào)遞

減，；.A(x)的極小值為+24〃)=伍-子吻號(hào)("CN)"(x)的極大酗

11仁+2k口)=-◎潟琮=w-M潟,：.aG(0,V^eT)時(shí)，尸a與尸力(x)的圖象沒(méi)有交點(diǎn)，即

f(x)在(-n,+8)上沒(méi)有零點(diǎn),故C錯(cuò)誤;存在水0,使得f(x)在,+8)上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，

此時(shí)序-◎爵,故D正確，故選ABD.

三、填空題:本題共4小題,每小題5分，共20分.

湖北黃岡元月調(diào)研，若關(guān)于x的不等式在xE)上恒成立，則實(shí)數(shù)

13.(201915)A+x-—a>5(a,+8a

的最小值為.

答案1

解析關(guān)于x的不等式x+—^5在)上恒成立，即在上恒成

x-axGx(-aa,+8jra+—>5-axW(a,+°°)

立，由x>a可得尸a>0,則x-a^—^2\(x-a)?-^-=4,當(dāng)且僅當(dāng)x-折2,即尸a+2時(shí)，上式取得最

yx-a\x-a

小值4,則5-aW4,可得a>l,則a的最小值為1.

14.

(2020甘肅蘭州4月診斷考試，15)大自然是非常奇妙的，比如蜜蜂建造的蜂房.蜂房的結(jié)構(gòu)如圖

所示，開(kāi)口為正六邊形ABCDEF,側(cè)棱AA',BB',CC',DD',EE',所'相互平行且與平面ABCDEF垂直,

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蜂房底部由三個(gè)全等的菱形構(gòu)成.瑞士數(shù)學(xué)家克尼格利用微積分的方法證明了蜂房的這種結(jié)構(gòu)

是在相同容積下所用材料最省的，因此，有人說(shuō)蜜蜂比人類更明白如何用數(shù)學(xué)方法設(shè)計(jì)自己的家

園.英國(guó)數(shù)學(xué)家麥克勞林通過(guò)計(jì)算得到28'16〃.已知一個(gè)蜂房

中，BB'=DD'=5gAB=2在,tan54°44'08"=戲,則此蜂房的表面積是.

答案216。

解析本題主要考查多面體表面積的計(jì)算，考查的核心素養(yǎng)為邏輯推理、直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算.

連接BD,B'D",則BDB'D',因?yàn)榈酌鍭8CDEF是邊長(zhǎng)為2傷的正六邊形,所以

劭=2X2d&os30°=6丑所以B'D'=6^2.連接OC\因?yàn)樗倪呅稳纭瓹'〃'為菱形，Z

5'C'〃'=109°28'16",tanf-tan54°44'08〃磔二2所以0C'4二6,所以

2~^)C'72

B'C'=1(36)2+箏=36,所以CC'二BBTB'C'2-BG=5將、(3叱-(福)2=4m所以

*，坐當(dāng)醫(yī)亞=270,所以此蜂房的表面積96X27V^3X：X6X6仔216V2

思路分析由正六邊形的性質(zhì)求出BD,由菱形的性質(zhì)求出OC,由此求出B'C\CC\從而求出梯

形仍'CZ的面積,進(jìn)而求得此蜂房的表面積.

15.(2020山東濰坊三模)已知雙曲線(a>0,力0)的漸近線與圓F:(^2)2+/=3相切，且雙

曲線C的一個(gè)焦點(diǎn)與圓尸的圓心重合,則雙曲線C的方程為.

答案戶,1

解析由雙曲線的漸近線與圓F-.(A-2)V=3相切可得也V3,

(M+b2c

又雙曲線C的一個(gè)焦點(diǎn)與圓月的圓心重合，

所以c=2,故b=y/3,

又葬心氏所以a=l,

所以雙曲線的方程為

16.(2020五省創(chuàng)優(yōu)名校第二次聯(lián)考，16)在數(shù)列QJ中，a止.且--告(〃》2,不

45nan+](n-Uann[n~l)

N*),則-^-+，+…+，=________.

aioa〃a84一

第7頁(yè)/總14頁(yè)

答案3750

解析本題考查了累加法及裂項(xiàng)相消法求通項(xiàng)及求和的方法,考查了等差數(shù)列的證明及求和公

式,考查了運(yùn)算能力及推理論證能力.

因?yàn)橐釺?n(n-l)4(%7^7)，

(n-l)a?

所以長(zhǎng)寧-宗昭-1),

￡方一奇4《一少

(n-l)an(n-2)a?-i(n-1)(n-2)"(n-/n-2)'

將以上等式累加可得7—5-2=4(U-/),

(n-1)ana?\n-l/

即為=~^5,3).因?yàn)楫?dāng)二￡彭二符合上式,所以a廣二7

n+3qDn+3

則所以卜，是以4為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，

故‘+'+…+J3+14+…+87=**嘰3750.

aioa〃2842

思路分析—^=-^77=4(--由此可用累加法及裂項(xiàng)相消法求得二4廠--/),

nan+i(n-l)ann(n-U\n"-〃(n-l)an七\(yùn)n-J/

可得4』進(jìn)而求得」,利用等差數(shù)列求和公式求得結(jié)果.

n+3an

四、解答題:共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.

17.(10分)(2020黑龍江哈師大附中9月月考,20)已知的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為

a,b,c,asi0177=6sinJ.

(1)求5;

⑵若△力必為銳角三角形,且片1,求△力比、面積的取值范圍.

解析(1)由asin￥=bsin/及正弦定理可得sin/co*j=sisin4'?.sin/WO,

?*.co^=si=2si-^o—=>sij=^(0<i9<冗),

第8頁(yè)/總14頁(yè)

(2)解法一：由-得Tsin仁一。，

smAsmCsin7C\3/

?」包百J、_31,y[3

??邑c吟町。+in?嬴?+丁，

(0<C<^~,,

由為銳角三角形可得2M4=gc*noj4心,

0<Z±-C<-62tanC

32

所以△板面枳的取值范圍為停，).

解法二：由余弦定理得b=Ja?-a+1,

'a2+1>b2,

由題意得“/+/)/,=g〈水2.

、/〃)/

則彳誓aw傳笠

即△板面積的取值范圍為俘,日).

18.(12分)(2019北京潞河中學(xué)10月月考文,17)已知等差數(shù)列｛&｝的前〃項(xiàng)和為S,等比數(shù)列同

滿足罰=6=1,耳=&+2,&9T.

(D求數(shù)列｛a｝,｛瓦｝的通項(xiàng)公式；

(2)如果數(shù)列｛4｝為遞增數(shù)列,求數(shù)列｛4｝的前n項(xiàng)和T?.

解析⑴設(shè)等差數(shù)列仿“｝的公差為a等比數(shù)列的)的公比為q,則由題意得已,呼：/；2

(.5+10d=q1-1,

即9d-4小5=0,解得0fcl或0fc-票舍).

所以<?=±2.

所以a“=〃,"=2"‘或”=(-2)”'.

(2)因?yàn)閿?shù)列｛8｝為遞增數(shù)列，

所以b=2-1,

所以。=1X2°+2X2'+3X22+-+/?X2,H,

2。=1X2'+2X2?+3X2斗…+(h1)X2叫〃X2",

相減得-7；=2°+21+22+-+2,H-Z7X2"=2T-nX2",

所以T=l+(n-l)2".

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19.（12分）（2020北京二十七中期中，18）購(gòu)是通過(guò)自助結(jié)算方式購(gòu)物的一種形式.某大型超市為

調(diào)查顧客使用購(gòu)的情況,隨機(jī)抽取了100人,統(tǒng)計(jì)結(jié)果整理如下：

顧客年20以[20,3[30,4[40,5[50,6

[60,70]

齡下0)0)0)0)

使用人

31217642

數(shù)

未使用

00314363

人數(shù)

（1）現(xiàn)隨機(jī)抽取1名顧客,試估計(jì)該顧客年齡在［30,50）且未使用購(gòu)的概率；

（2）從被抽取的年齡在［50,70］且使用購(gòu)的顧客中，隨機(jī)抽取3人進(jìn)一步了解情況,用才表示這3

人中年齡在［50,60）的人數(shù)，求隨機(jī)變量才的分布列及數(shù)學(xué)期望；

（3）為鼓勵(lì)顧客使用購(gòu)，該超市擬對(duì)使用購(gòu)的顧客贈(zèng)送1個(gè)環(huán)保購(gòu)物袋.若某日該超市預(yù)計(jì)有

5000人購(gòu)物,試估計(jì)該超市當(dāng)天至少應(yīng)準(zhǔn)備多少個(gè)環(huán)保購(gòu)物袋.

解析本題考查古典概型概率、隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望、隨機(jī)抽樣,考查學(xué)生分析處理數(shù)

據(jù)的能力,體現(xiàn)數(shù)據(jù)分析的核心素養(yǎng).

（1）在隨機(jī)抽取的100名顧客中，年齡在［30,50）且未使用購(gòu)的顧客共有3+14=17（人），所以隨機(jī)

抽取1名顧客，估計(jì)該顧客年齡在［30,50）且未使用購(gòu)的概率為一.

（2）乃所有的可能取值為1,2,3,

PGM）等（七2）等

所以才的分布列為

X123

131

P

~5~55

所以X的數(shù)學(xué)期望阱

（3）在隨機(jī)抽取的100名顧客中，使用購(gòu)的共有3+12+17+6+4+2=44（人）,

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所以估計(jì)該超市當(dāng)天至少應(yīng)準(zhǔn)備環(huán)保購(gòu)物袋的個(gè)數(shù)為女X5000=2200.

思路分析(D利用古典概型概率公式求解即可；

(2)求出X的所有可能取值,求出概率,得到分布列,然后求解期望即可；

(3)在隨機(jī)抽取的100名顧客中，使用購(gòu)的共有3+12+17+6+4+2=44人,然后求解即可.

20.(12分)(2020北京朝陽(yáng)期中，19)如圖，在四棱錐F48徵中，側(cè)面處〃是等邊三角形,且平面

川以L平面ABCD,E為PD的中點(diǎn),AD〃BC,CDYAD,BC=CD=2,AD=A.

(1)求證：〃平面PAB-,

(2)求二面角肥力小。的余弦值；

⑶直線49上是否存在點(diǎn)Q,使得/W〃平面力四?若存在,求出繳值;若不存在，說(shuō)明理由.

解析(1)如圖，取4的中點(diǎn)￡連接防分：

因?yàn)椤隇槿绲闹悬c(diǎn)"介4,

所以EF//AD,叫必=2.

又因?yàn)锽C//AD,BC=2,

所以EF〃B&E六BC,

所以四邊形￡7訛1為平行四邊形，

所以CE//BF.

又因?yàn)闊熎矫鍼AB,班'U平面PAB,

所以2〃平面PAB.

(2)取的中點(diǎn)。，連接OP,OB.

因?yàn)闉榈冗吶切?所以POLAD.

又因?yàn)槠矫姹亍?平面ABCD,平面必〃n平面ABCD=AD,

所以20_L平面ABCD.

因?yàn)镺D//BC,OD=BC=2,

所以四邊形83。為平行四邊形.

第11頁(yè)/總14頁(yè)

因?yàn)镃DLAD,所以O(shè)BLOD.

如圖建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz,

則4(0,-2,0),5(2,0,0),<7(2,2,0),￡(0,1,V3),2(0,0,2V3).

所以靜=(2,4,0)，宓(0,3,V3).

設(shè)平面力位的法向量為nI(x,y,z),

則g?皆即產(chǎn)+"”

U7?AE=O,13y+^z=0.

令1-2,則〃產(chǎn)(-2,

顯然，平面45的一個(gè)法向量為例=(0,0,1),

所以cos</??n,一」".'"W；當(dāng)

由圖可知，二面角比40。為銳角，

所以二面角股4小。的余弦值為4.

(3)直線45上存在點(diǎn)Q使得內(nèi)〃平面ACE.理由如下：

設(shè)網(wǎng)=入血.因?yàn)榉á?,0),再=(0,-2,-2V3),

所以癱4法(24,2九0),就⑸+正(2九24-2,-2V3).

因?yàn)?空〃平面加芯所以質(zhì)?巧=0,即(2九24-2,-2Q)?(-2,1,-45)=0,解得4=2.

所以直線48上存在點(diǎn)Q使得尸0〃平面ACE,此時(shí)等2.

AD

21.(12分)(2020北直門中學(xué)期中，19)已知橢圓(a>b>0)的離心率為當(dāng)焦距為2位.

(1)求橢圓七的方程；

⑵若C。分別是橢圓匯上的左，右頂點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)"滿足機(jī)UCD,連接CM,交橢圓萬(wàn)于點(diǎn)已證明:而揚(yáng)

為定值(。為坐標(biāo)原點(diǎn)).

解析本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,圓錐曲線的定值問(wèn)題,主要通過(guò)直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題考

查學(xué)生運(yùn)用化歸轉(zhuǎn)化的思想方法解決問(wèn)題的能力，體現(xiàn)數(shù)學(xué)運(yùn)算與邏輯推理的核心素養(yǎng).

(1)由橢圓E的焦距為20，

得2c=273,所以c=y[2f

第12頁(yè)/總14頁(yè)

因?yàn)锳U?,所以a=y/2c=2

a2t

因?yàn)轲B(yǎng)4+c：所以6=2.

所以橢圓的方程為

(2)證明：因?yàn)橹本€◎/不在x軸上,故可設(shè)1Mx=my~2,

(x2y2_

由7’萬(wàn)"，得(在2)戶4礦0,

\x=my-2

.4m2n^-4/2#-44m\

即Hn七。，刃?

在x=mk2中，令尸2,得yV即1彳2Q.

m\mJ

.?.而.京軍+0=4.

nf+2nr+2

.?.而?國(guó)為定值4.

思路分析(D根據(jù)題意,分析可得橢圓中c的值，桶圓的離心率公式可得a的值,計(jì)算可得b的

值,即可得橢圓方程.

(2)根據(jù)題意，設(shè)兒,:尸叱2,聯(lián)立直線與橢圓的方程，由根與系數(shù)的關(guān)系分析,用血表示尸的坐標(biāo),

直線的方程分析可得M的坐標(biāo),進(jìn)而可以用/〃表示麗?OP,化簡(jiǎn)可得答案.

22.(12分)(2020天津,20,16分)已知函數(shù)f(x)="+"lnx("CR),f(x)為f[x)的導(dǎo)函數(shù).

(1)當(dāng)心6時(shí),

(i)求曲線y=f{x)在點(diǎn)(1,A1))處的切線方程;

(ii)求函數(shù)g^=