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文檔簡介
函數(shù)的概念教學設計
趙胤
——通過豐富的實例,進一步體會函數(shù)是描述變量之間的依賴關系的重要數(shù)學模型;用集合與對
應的思想理解函數(shù)的概念:理解函數(shù)的三要素及函數(shù)符號的深刻含義;會求一些簡單
函數(shù)的定義域及值域。
能力目標——培養(yǎng)學生觀察、類比、推理的能力;培養(yǎng)學生分析、判斷、抽象、歸納概括的邏輯
思維能力;培養(yǎng)學生聯(lián)系、對應、轉(zhuǎn)化的辯證思想;強化"形"與"數(shù)"結合并相
互轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想。
情感目標——滲透數(shù)學思想和文化,激發(fā)學生觀察、分析、探求的興趣和熱情;強化學生參與意
識,培養(yǎng)學生嚴謹?shù)膶W習態(tài)度,獲得積極的情感體驗:體會在探究過程中由特殊到
一般、從具體到抽象、運動變化、相互聯(lián)系、相互制約、相互轉(zhuǎn)化的辯證唯物主義
觀點;感受數(shù)學的簡潔美、知識目標對稱美、數(shù)與形的和諧統(tǒng)一美;樹立“數(shù)學
源于實踐,又效勞于實踐”的數(shù)學應用意識。
>教學重點:函數(shù)的概念,函數(shù)的三要素.
>教學難點:函數(shù)概念及符號),=r(x)的理解.
>教學方法:誘思教學法
>教學用具:多媒體
>教學過程:
【教學過程】
設計設計意圖師生活動
環(huán)節(jié)
以實際問題為背景,以學教師提出問題1:
、生熟悉的情境入手激活學生我們在學習過函數(shù)的概念,它是如何定義的呢?在
創(chuàng)設
的原有知識,形成學生的“再已經(jīng)學過哪些函數(shù)?1在學生答復的根底上出示投
問題
創(chuàng)造"欲望,讓學生在熟悉的影)
情境
環(huán)境中發(fā)現(xiàn)新知識,使新知識我們已經(jīng)學習了一些具體的函數(shù),那么為什么還要
引出和原知識形成聯(lián)系,同時也表學習函數(shù)呢?先請同學們思考下面的兩個問題:
課題達了數(shù)學的應用價值。通過問問題2:由上述定義你能判斷"y=l”是否表示一個
2
O題2這兩個用已有概念不太函數(shù)?函數(shù)y=x與函數(shù)y=匚表示同一個函數(shù)
容易答復的問題,引發(fā)學生的X
嗎?
認知沖突,有著承上啟下的作
學生思考、討論后,教師點撥:僅用上述函數(shù)概念
用。既是對己學的函數(shù)概念的
很難答復這些問題,我們需要從新的角度來認識函
進一步深入,又是為下一步用
數(shù)概念。這就是今天我們要學習的課題:函數(shù)的概
集合語言來刻畫函數(shù)的本質(zhì)念(板書)
做好伏筆。
以實際問題為載體,以信師:(實例1)演示動畫,用《幾何畫板》動態(tài)地顯
二、
息技術的作圖功能為輔助。在示炮彈高度h關于炮彈發(fā)射時間t的函數(shù)。啟發(fā)學
借助
三個實例的教學中,重點在于生觀察、思考、討論,嘗試用集合與對應的語言描
信息
引導學生體會函數(shù)概念中的述變量之間的依賴關系:在的變化范圍內(nèi),任給
技術t
對應關系。通過實例1.體會一個t,按照給定的解析式,都有唯一的一個高度h
討論用解析式刻畫變量之間的對與之相對應。
歸納應關系,關注t和h的范圍;生:用計算器計算,然后用集合與對應的語言描述
O通過實例2體會用圖象刻畫變量之間的依賴關系。
變量之間的對應關系,關注t師:(實例2)引導學生看圖,并啟發(fā):在t的變化
和S的范圍;通過實例3體范圍內(nèi),任給一個t,按照給定的圖象,都有唯一的
會用表格刻畫變量之間的對一個臭氧空洞面積S與之相對應。
應關系。生:動手測量,然后用集合與對應的語言描述變量
為了更好地使學生嘗試之間的依賴關系。
用集合與對應的語言進行描師生:(實例3)共同讀表,然后用集合與對應的語
述,可以利用信息技術設置教言描述變量之間的依賴關系。
學情境。通過學生的觀察、思問題3:分析、歸納以上三個實例,它們有什么共同
考、討論來歸納結論,表達了特點?
學生自主探究的學習方式。讓生:分組討論三個實例的共同特點,然后歸納出函
他們通過實踐來進一步體驗數(shù)定義,并在全班交流。
到在集合對應觀下的函數(shù)內(nèi)師生:由學生概括,教師補充,引導學生歸納出三
涵,也為學生應用信息技術解個實例中變量之間的關系均可描述為:
決數(shù)學問題提供了一種新的對于數(shù)集A中的每一個x,按照某種對應關系f,在
途徑和方法。數(shù)集B中都有唯一確定的y與它對應,記作f:A-B
從特殊到一般,揭示數(shù)學問題4:函數(shù)能否看做是兩個集合之間的一種對應
三、通常的發(fā)現(xiàn)過程,給學生“數(shù)呢?如果能,怎樣給函數(shù)重新下一個定義呢?(在
從特
學創(chuàng)造”的體驗。這種引出概學生答復的根底上教師歸納總結〕
殊到
念的方式自然而又易于學生設、是非空的數(shù)集,如果按照某種確定的
一般AB
接受和形成概念。對應關系f,使對于集合A中的任意一個數(shù)X,在數(shù)
引出注重雙語,標準數(shù)學概念集B中都有唯一確定的f(x)和它對應,那么就稱f:A
函數(shù)的理解。在涉及的每一個數(shù)學fB為從集合A到集合B的一個函數(shù)(function).
概念概念其后注明英語,有利于教記作y=f(x).x《A.自變量x的取值范圍A叫做函
O師實施雙語教學,也有利于教數(shù)的定義域(domain);與x的值相對應的y值叫做
師和學生閱讀外文數(shù)學材料,函數(shù)值,函數(shù)值的集合叫做函數(shù)的值域(range).
這也是表達新課標實驗教材在函數(shù)概念得出后,教師強調(diào)指出“y=f(x)"僅
的創(chuàng)新之處。僅是數(shù)學符號。為了更好地理解函數(shù)符號y=f(x)的
函數(shù)y=f(x)是學生學習含義,教師提出下一個問題:
的難點,這是一個抽象的數(shù)學問題5:y=f(x)一定就是函數(shù)的解析式嗎?
符號。教學時首先要強調(diào)符號師生:函數(shù)的解析式、圖象、表格都是表示函數(shù)的
“y=f(x)”為'y是x的函數(shù)”方法。
這句話的數(shù)學表示,它僅僅是
補充練習:以下圖象中不能作為函數(shù)y=/(x)的圖
數(shù)學符號,而不是表示“y等
于f與X的乘積"。在有些問象的是()
題中,對應關系f可用一個解
析式表示,但在不少問題中,
對應關系f不便用或不可能
用解析式表示,而用其他方式
(如圖象、列表)來表示。所
以教師應向?qū)W生明確指出,
y=f(x)不一定就是解析式,函出函數(shù)的要點:
數(shù)的表示方式除了解析式外,1.函數(shù)是一種特殊的對應一一非空數(shù)集到非空數(shù)集
還有其它表示方法,如實例2的對應;
的圖象法,實例3的列表法。2.函數(shù)的核心是對應法則,通常用記號f表示函數(shù)
的對應法則,在不同的函數(shù)中,f的具體含義不一樣。
函數(shù)記號y=f(x)說明,對于定義域A的任意一個x
在“對應法則f的作用下,即在B中可得唯一的
y.當x在定義域中取一個確定的a,對應的函數(shù)值即
為f(a).集合B中并非所有的元素在定義域A中都有
元素和它對應;值域CqB;
3.函數(shù)符號y=f(x)的說后:
(1)“y=f(x)"即為"y是x的函數(shù)"的符號表示;
(2)y=f(x)不一定能而解析式表示;
⑶f(x)與f(a)是不同的,通常,f(a)表示函數(shù)f(x)
當x=a時的函數(shù);
(4)在同時研究兩個或多個函數(shù)時,常用不同符號
表示不同的函數(shù),除用符號f(x)外,還常用g(x)、
F(x)、6(x)等符號來表示。
4.定義域是函數(shù)的重要組成局部,如f(x)=x(xWR)
與g(x)=x(x2O)是不同的兩個函數(shù)。
設置問題這個情境,目
6問題6:集合A(A=R)到集合B(B=R)的對應:
四、
的是用函數(shù)的定義去解釋學f:AfB,使得集合B中的元素丁=(470)與
借助
過的一次函數(shù)、反比例函數(shù)、
熟悉集合A中的元素x對應,如何表示這個函數(shù)?定義
二次函數(shù),使得對函數(shù)的描述
函數(shù)域和值域各是什么?函數(shù))(女H0)呢?函數(shù)
平臺性定義上升到集合與對應語x
言刻畫的定義。同時利用信息y-ax2+hx+c=O(a70)呢?
加深
技術工具畫出函數(shù)的圖象,是教師演示動畫,用《幾何畫板》顯示這三種函數(shù)的
對函
讓學生進一步體會“數(shù)”與動態(tài)圖象,啟發(fā)學生觀察、分析,并請同學們思考
數(shù)概
“形”結合在理解函數(shù)中的之后填寫下表:
念的
作用,更好地幫助理解上述函
理解
數(shù)的三個要素,從而加強學生
對函數(shù)概念的理解,進一步挖
掘函數(shù)概念中集合與函數(shù)的函數(shù)一次反比例二次函數(shù)
聯(lián)系。明確定義域、值域和對函數(shù)函數(shù)a>04Vo
應關系是決定函數(shù)的三要素,對應
這是一個整體,以此更好地培關系
養(yǎng)學生深層次思考問題的習定義
慣。域
值域
問題7:函數(shù)的三要素是什么?
教師引導學生歸納總結:函數(shù)的三要素是定義域、
值域及對應法則。在函數(shù)的三要素中,當其中的兩
要素已確定時,則第三個要素也就隨之確定了。如
當函數(shù)的定義域,對應法則已確定,則函數(shù)的值域
也就確定了。
問題8利用學生思維的問題8:比擬函數(shù)的近代定義與傳統(tǒng)定義的異同點,
五、空白處設置問題,能引起學生你對函數(shù)有什么新的認識?
再創(chuàng)
探究的欲望,從而自然引出以學生思考、討論,教師點撥:
情境
形求數(shù)的思想。接著,通過“引函數(shù)近代定義與傳統(tǒng)定義在實質(zhì)上是一致的,兩個
f
引導導",給學生解決后續(xù)問題的定義中的定義域與值域的意義完全相同。兩個定義
探究方法,即觀察圖象的方法。中的對應法則實際上也一樣,只不過表達的出發(fā)點
函數(shù)問題9引導學生對問題2不同,傳統(tǒng)定義是從運動變化的觀點出發(fā),近代定
概念進行反思和總結,并將之一般義的對應法則是從集合與對應的觀點出發(fā)。
的新
化,利用數(shù)學語言來表達,培問題9:學生在前面學習的根底上,反思對問題2
認識
養(yǎng)學生反思問題、總結歸納的的解答,重新思考問題2,談談自己的認識。
習慣和藹于運用數(shù)學語言抽教師啟發(fā)、引導學生畫圖,以形求數(shù)。
象所發(fā)現(xiàn)的結論的能力。片片>■
師生:y=l(xeR)是函數(shù);
X
y=兀與y=——不是同一個函數(shù)。
x
問題10以學生已解決的
問題10:如何判斷兩個函數(shù)是否相同?
六、問題出發(fā)創(chuàng)設情境,引起學生
師生引導學生對問題2進行抽象概括并歸納總結:
的學習興趣,再次引發(fā)學生在
釋疑當兩個函數(shù)的定義域、對應關系完全一致時,
構建自身根底上的“再創(chuàng)
我們就稱這兩個函數(shù)相等。
造",并通過獨立思考后的討
深入問題11:研讀課本,表達區(qū)間的概念。請同學們在
論,培養(yǎng)學生分析解決問題、
研究閱讀后填寫下表:
用數(shù)學語言交流溝通的能力。
設置問題11這個情境,定義名稱符號數(shù)軸表示
[ab]
是因為“區(qū)間概念”這段內(nèi)容{.r|?<x</?}閉區(qū)間yab
并不難理解,所以可以先讓學{x\a<x<b}開區(qū)間(a,b)
半開半
生自己閱讀,然后進行不等{.r|a<(ab)
閉區(qū)間9%°h
式、區(qū)間與數(shù)軸表示的互相轉(zhuǎn)
{x\a<x<b]
化,以此熟悉區(qū)間的概念。問
題11此情境的設置是為學生
提供了自主探究的平臺,從閱
讀學習中發(fā)現(xiàn)問題、分析問
題、解決問題,既符合了學生
的心理特點,又注重了學生的教師指導學生自學,解決學生提出的問題,并指出
思維過程。說明:
(1)區(qū)間是集合;
(2)區(qū)間的左端點必小于右端點;
(3)無窮大是一個符號,不是一個數(shù);
(4)以"-8"或"+8”為區(qū)間的一端時,這一端
必須是小括號。
例題是為了使學生更好例1.函數(shù)/?(%)=Jx+3+」一
七、地理解函數(shù)定義而設置的,既x+2
舉例
考慮了數(shù)學思維的嚴謹性,也⑴求函數(shù)/(X)的定義域;
應用
表達了數(shù)學知識的應用性。(2)求/(_3),/(()的值;
深化通過例1,使學生學會求
(3)當。>0時,求/(a),/(a-1)的值。
目標簡單函數(shù)的定義域,以此更好
讓學生思考,并提問個別學生。
O地突出重點。例1說明當對應
法則確定后,對于定義域內(nèi)的師問:怎樣求函數(shù)的定義域?
一個數(shù),只要將它代入解析追問:/(x)與/(a)有何區(qū)別與聯(lián)系?
式,就可求出它所對應的函數(shù)
點撥:/(a)表示當自變量x=。時函數(shù)/(x)的值,
值,進一步體會函數(shù)記號的含
義。是一個常量,而/(X)是自變量X的函數(shù),它是一個
變量,/(a)是/(x)的一個特殊值。
例2說明判定兩個函數(shù)
是否相同,不僅要看對應關系例2.以下函數(shù)中哪個與函數(shù)y=x相等?
是否一樣,還要看定義域是否(I)y=(Vx)2(2)y=y[x^
相同。通過判斷函數(shù)的相等使__2
學生認識到函數(shù)的整體性,進(3)y-(4)y=—
X
一步加深學生對函數(shù)概念的
師問:判斷函數(shù)相等的依據(jù)是什么?
理解。
變式:假設改(2)為了=護呢?
例3的設置補充,其目的
思考:你能舉出一些函數(shù)相等的具體例子嗎?
既是第22頁練習3與習題3
的伏筆,也是為了讓學生體會
例3.函數(shù)f(x)=2x(xeZ?)
到從特殊到一般的思想方法,
畫出函數(shù)的圖象;
同時也后面研究函數(shù)的性質(zhì)(1)/(X)
(奇函數(shù))作準備。變式訓練(2)求/(a),/(—a)J(a)+/(—a)的值;
的設計以一個問題為背景,一(3)你從(2)中發(fā)現(xiàn)了什么結論?
(4)求函數(shù)/(x)的值域。
題多用,一題多變,由淺入深,
教師引導學生解決此題的關鍵點,并進行變式:
表達梯度,使不同程度的學生
都有開展。通過一組精心設計變式1:/(x)=2x(xeR)
的問題鏈來引導和激發(fā)學生①當時,求函數(shù)的值域;
的參與意識、創(chuàng)新意識,培養(yǎng)②當xe{—2,—1,0,1,2}時,求函數(shù)的值域。
學生探究問題的能力,從而提變式2:f(x)=2x(xeR)
升學生的思維品質(zhì)。借助三個①當函數(shù)值域為[2,4]時,求函數(shù)定義域;
變式層層深入,是理論到實踐②當函數(shù)值域為{4,8,-2}時,求函數(shù)定義域。
的升華,使概念深化、強化、
變式3:(1)y(x)=2x(xe/?)
類化!f的作用與含義印入心
求/(a+1),/(2x+l)的值。
底,得到再次認同,初步掌握
2
與應用能力也就自然形成了。(2)=?+1(aeR)
求函數(shù)f(x).
八、利用課堂練習穩(wěn)固所學課堂練習:
練習
交流的知識內(nèi)容、數(shù)學思想和方課本第22頁練習1.2.3.
反應法,以求到達教學目標。本環(huán)以學生答復、板演的形式進行,充分發(fā)揮師與
穩(wěn)固節(jié)以個別指導為主,表達面對生、生與生的互動,以教師、學生相互交流來穩(wěn)固
全體學生的課改理念。本節(jié)課的學習。
關注學生學習的主動性,以同桌之間一人小結一人傾聽的方式,以四人
培養(yǎng)學生的合作意識,培養(yǎng)學為組進行小組討論,對本節(jié)課所學的內(nèi)容進行自主
生表達交流數(shù)學的能力。自主小結,教師及時進行歸納總結:
小結的形式將課堂還給學生,1.函數(shù)的近代定義與傳統(tǒng)定義的異同點;
教師既是對一節(jié)課的簡單回憶與2.集合與函數(shù)的聯(lián)系、區(qū)別;
評價梳理,也是對所學內(nèi)容的再次3.函數(shù)的三要素;
O穩(wěn)固。4.數(shù)形結合的思想。
作業(yè)分為三種形式,表達1.閱讀作業(yè):通讀教材,復習穩(wěn)固,并思考表示函
十、
作業(yè)的穩(wěn)固性和開展性原則。數(shù)有哪些方法?從例3(2)中你能發(fā)現(xiàn)更一般性的結
課后
閱讀作業(yè)中的問題思考是后論嗎?
作業(yè)
續(xù)課堂的鋪墊,而彈性作業(yè)不2.書面作業(yè):課本第28頁習題1.2.3.4.5.
作統(tǒng)一要求,供學有余力的學3.彈性作業(yè):比擬函數(shù)的近代定義與傳統(tǒng)定義的異
生課后研究,它也是新課程標同點,你對函數(shù)有什么新的認識?請同學們舉出幾
準里研究性學習的一局部。個具體函數(shù)例子,用傳統(tǒng)定義不好解釋,而用近代
定義容易理解。
教學流程:
定義域?qū)P系
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