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文檔簡介

函數(shù)的概念教學設計

趙胤

——通過豐富的實例,進一步體會函數(shù)是描述變量之間的依賴關系的重要數(shù)學模型;用集合與對

應的思想理解函數(shù)的概念:理解函數(shù)的三要素及函數(shù)符號的深刻含義;會求一些簡單

函數(shù)的定義域及值域。

能力目標——培養(yǎng)學生觀察、類比、推理的能力;培養(yǎng)學生分析、判斷、抽象、歸納概括的邏輯

思維能力;培養(yǎng)學生聯(lián)系、對應、轉(zhuǎn)化的辯證思想;強化"形"與"數(shù)"結合并相

互轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想。

情感目標——滲透數(shù)學思想和文化,激發(fā)學生觀察、分析、探求的興趣和熱情;強化學生參與意

識,培養(yǎng)學生嚴謹?shù)膶W習態(tài)度,獲得積極的情感體驗:體會在探究過程中由特殊到

一般、從具體到抽象、運動變化、相互聯(lián)系、相互制約、相互轉(zhuǎn)化的辯證唯物主義

觀點;感受數(shù)學的簡潔美、知識目標對稱美、數(shù)與形的和諧統(tǒng)一美;樹立“數(shù)學

源于實踐,又效勞于實踐”的數(shù)學應用意識。

>教學重點:函數(shù)的概念,函數(shù)的三要素.

>教學難點:函數(shù)概念及符號),=r(x)的理解.

>教學方法:誘思教學法

>教學用具:多媒體

>教學過程:

【教學過程】

設計設計意圖師生活動

環(huán)節(jié)

以實際問題為背景,以學教師提出問題1:

、生熟悉的情境入手激活學生我們在學習過函數(shù)的概念,它是如何定義的呢?在

創(chuàng)設

的原有知識,形成學生的“再已經(jīng)學過哪些函數(shù)?1在學生答復的根底上出示投

問題

創(chuàng)造"欲望,讓學生在熟悉的影)

情境

環(huán)境中發(fā)現(xiàn)新知識,使新知識我們已經(jīng)學習了一些具體的函數(shù),那么為什么還要

引出和原知識形成聯(lián)系,同時也表學習函數(shù)呢?先請同學們思考下面的兩個問題:

課題達了數(shù)學的應用價值。通過問問題2:由上述定義你能判斷"y=l”是否表示一個

2

O題2這兩個用已有概念不太函數(shù)?函數(shù)y=x與函數(shù)y=匚表示同一個函數(shù)

容易答復的問題,引發(fā)學生的X

嗎?

認知沖突,有著承上啟下的作

學生思考、討論后,教師點撥:僅用上述函數(shù)概念

用。既是對己學的函數(shù)概念的

很難答復這些問題,我們需要從新的角度來認識函

進一步深入,又是為下一步用

數(shù)概念。這就是今天我們要學習的課題:函數(shù)的概

集合語言來刻畫函數(shù)的本質(zhì)念(板書)

做好伏筆。

以實際問題為載體,以信師:(實例1)演示動畫,用《幾何畫板》動態(tài)地顯

二、

息技術的作圖功能為輔助。在示炮彈高度h關于炮彈發(fā)射時間t的函數(shù)。啟發(fā)學

借助

三個實例的教學中,重點在于生觀察、思考、討論,嘗試用集合與對應的語言描

信息

引導學生體會函數(shù)概念中的述變量之間的依賴關系:在的變化范圍內(nèi),任給

技術t

對應關系。通過實例1.體會一個t,按照給定的解析式,都有唯一的一個高度h

討論用解析式刻畫變量之間的對與之相對應。

歸納應關系,關注t和h的范圍;生:用計算器計算,然后用集合與對應的語言描述

O通過實例2體會用圖象刻畫變量之間的依賴關系。

變量之間的對應關系,關注t師:(實例2)引導學生看圖,并啟發(fā):在t的變化

和S的范圍;通過實例3體范圍內(nèi),任給一個t,按照給定的圖象,都有唯一的

會用表格刻畫變量之間的對一個臭氧空洞面積S與之相對應。

應關系。生:動手測量,然后用集合與對應的語言描述變量

為了更好地使學生嘗試之間的依賴關系。

用集合與對應的語言進行描師生:(實例3)共同讀表,然后用集合與對應的語

述,可以利用信息技術設置教言描述變量之間的依賴關系。

學情境。通過學生的觀察、思問題3:分析、歸納以上三個實例,它們有什么共同

考、討論來歸納結論,表達了特點?

學生自主探究的學習方式。讓生:分組討論三個實例的共同特點,然后歸納出函

他們通過實踐來進一步體驗數(shù)定義,并在全班交流。

到在集合對應觀下的函數(shù)內(nèi)師生:由學生概括,教師補充,引導學生歸納出三

涵,也為學生應用信息技術解個實例中變量之間的關系均可描述為:

決數(shù)學問題提供了一種新的對于數(shù)集A中的每一個x,按照某種對應關系f,在

途徑和方法。數(shù)集B中都有唯一確定的y與它對應,記作f:A-B

從特殊到一般,揭示數(shù)學問題4:函數(shù)能否看做是兩個集合之間的一種對應

三、通常的發(fā)現(xiàn)過程,給學生“數(shù)呢?如果能,怎樣給函數(shù)重新下一個定義呢?(在

從特

學創(chuàng)造”的體驗。這種引出概學生答復的根底上教師歸納總結〕

殊到

念的方式自然而又易于學生設、是非空的數(shù)集,如果按照某種確定的

一般AB

接受和形成概念。對應關系f,使對于集合A中的任意一個數(shù)X,在數(shù)

引出注重雙語,標準數(shù)學概念集B中都有唯一確定的f(x)和它對應,那么就稱f:A

函數(shù)的理解。在涉及的每一個數(shù)學fB為從集合A到集合B的一個函數(shù)(function).

概念概念其后注明英語,有利于教記作y=f(x).x《A.自變量x的取值范圍A叫做函

O師實施雙語教學,也有利于教數(shù)的定義域(domain);與x的值相對應的y值叫做

師和學生閱讀外文數(shù)學材料,函數(shù)值,函數(shù)值的集合叫做函數(shù)的值域(range).

這也是表達新課標實驗教材在函數(shù)概念得出后,教師強調(diào)指出“y=f(x)"僅

的創(chuàng)新之處。僅是數(shù)學符號。為了更好地理解函數(shù)符號y=f(x)的

函數(shù)y=f(x)是學生學習含義,教師提出下一個問題:

的難點,這是一個抽象的數(shù)學問題5:y=f(x)一定就是函數(shù)的解析式嗎?

符號。教學時首先要強調(diào)符號師生:函數(shù)的解析式、圖象、表格都是表示函數(shù)的

“y=f(x)”為'y是x的函數(shù)”方法。

這句話的數(shù)學表示,它僅僅是

補充練習:以下圖象中不能作為函數(shù)y=/(x)的圖

數(shù)學符號,而不是表示“y等

于f與X的乘積"。在有些問象的是()

題中,對應關系f可用一個解

析式表示,但在不少問題中,

對應關系f不便用或不可能

用解析式表示,而用其他方式

(如圖象、列表)來表示。所

以教師應向?qū)W生明確指出,

y=f(x)不一定就是解析式,函出函數(shù)的要點:

數(shù)的表示方式除了解析式外,1.函數(shù)是一種特殊的對應一一非空數(shù)集到非空數(shù)集

還有其它表示方法,如實例2的對應;

的圖象法,實例3的列表法。2.函數(shù)的核心是對應法則,通常用記號f表示函數(shù)

的對應法則,在不同的函數(shù)中,f的具體含義不一樣。

函數(shù)記號y=f(x)說明,對于定義域A的任意一個x

在“對應法則f的作用下,即在B中可得唯一的

y.當x在定義域中取一個確定的a,對應的函數(shù)值即

為f(a).集合B中并非所有的元素在定義域A中都有

元素和它對應;值域CqB;

3.函數(shù)符號y=f(x)的說后:

(1)“y=f(x)"即為"y是x的函數(shù)"的符號表示;

(2)y=f(x)不一定能而解析式表示;

⑶f(x)與f(a)是不同的,通常,f(a)表示函數(shù)f(x)

當x=a時的函數(shù);

(4)在同時研究兩個或多個函數(shù)時,常用不同符號

表示不同的函數(shù),除用符號f(x)外,還常用g(x)、

F(x)、6(x)等符號來表示。

4.定義域是函數(shù)的重要組成局部,如f(x)=x(xWR)

與g(x)=x(x2O)是不同的兩個函數(shù)。

設置問題這個情境,目

6問題6:集合A(A=R)到集合B(B=R)的對應:

四、

的是用函數(shù)的定義去解釋學f:AfB,使得集合B中的元素丁=(470)與

借助

過的一次函數(shù)、反比例函數(shù)、

熟悉集合A中的元素x對應,如何表示這個函數(shù)?定義

二次函數(shù),使得對函數(shù)的描述

函數(shù)域和值域各是什么?函數(shù))(女H0)呢?函數(shù)

平臺性定義上升到集合與對應語x

言刻畫的定義。同時利用信息y-ax2+hx+c=O(a70)呢?

加深

技術工具畫出函數(shù)的圖象,是教師演示動畫,用《幾何畫板》顯示這三種函數(shù)的

對函

讓學生進一步體會“數(shù)”與動態(tài)圖象,啟發(fā)學生觀察、分析,并請同學們思考

數(shù)概

“形”結合在理解函數(shù)中的之后填寫下表:

念的

作用,更好地幫助理解上述函

理解

數(shù)的三個要素,從而加強學生

對函數(shù)概念的理解,進一步挖

掘函數(shù)概念中集合與函數(shù)的函數(shù)一次反比例二次函數(shù)

聯(lián)系。明確定義域、值域和對函數(shù)函數(shù)a>04Vo

應關系是決定函數(shù)的三要素,對應

這是一個整體,以此更好地培關系

養(yǎng)學生深層次思考問題的習定義

慣。域

值域

問題7:函數(shù)的三要素是什么?

教師引導學生歸納總結:函數(shù)的三要素是定義域、

值域及對應法則。在函數(shù)的三要素中,當其中的兩

要素已確定時,則第三個要素也就隨之確定了。如

當函數(shù)的定義域,對應法則已確定,則函數(shù)的值域

也就確定了。

問題8利用學生思維的問題8:比擬函數(shù)的近代定義與傳統(tǒng)定義的異同點,

五、空白處設置問題,能引起學生你對函數(shù)有什么新的認識?

再創(chuàng)

探究的欲望,從而自然引出以學生思考、討論,教師點撥:

情境

形求數(shù)的思想。接著,通過“引函數(shù)近代定義與傳統(tǒng)定義在實質(zhì)上是一致的,兩個

f

引導導",給學生解決后續(xù)問題的定義中的定義域與值域的意義完全相同。兩個定義

探究方法,即觀察圖象的方法。中的對應法則實際上也一樣,只不過表達的出發(fā)點

函數(shù)問題9引導學生對問題2不同,傳統(tǒng)定義是從運動變化的觀點出發(fā),近代定

概念進行反思和總結,并將之一般義的對應法則是從集合與對應的觀點出發(fā)。

的新

化,利用數(shù)學語言來表達,培問題9:學生在前面學習的根底上,反思對問題2

認識

養(yǎng)學生反思問題、總結歸納的的解答,重新思考問題2,談談自己的認識。

習慣和藹于運用數(shù)學語言抽教師啟發(fā)、引導學生畫圖,以形求數(shù)。

象所發(fā)現(xiàn)的結論的能力。片片>■

師生:y=l(xeR)是函數(shù);

X

y=兀與y=——不是同一個函數(shù)。

x

問題10以學生已解決的

問題10:如何判斷兩個函數(shù)是否相同?

六、問題出發(fā)創(chuàng)設情境,引起學生

師生引導學生對問題2進行抽象概括并歸納總結:

的學習興趣,再次引發(fā)學生在

釋疑當兩個函數(shù)的定義域、對應關系完全一致時,

構建自身根底上的“再創(chuàng)

我們就稱這兩個函數(shù)相等。

造",并通過獨立思考后的討

深入問題11:研讀課本,表達區(qū)間的概念。請同學們在

論,培養(yǎng)學生分析解決問題、

研究閱讀后填寫下表:

用數(shù)學語言交流溝通的能力。

設置問題11這個情境,定義名稱符號數(shù)軸表示

[ab]

是因為“區(qū)間概念”這段內(nèi)容{.r|?<x</?}閉區(qū)間yab

并不難理解,所以可以先讓學{x\a<x<b}開區(qū)間(a,b)

半開半

生自己閱讀,然后進行不等{.r|a<(ab)

閉區(qū)間9%°h

式、區(qū)間與數(shù)軸表示的互相轉(zhuǎn)

{x\a<x<b]

化,以此熟悉區(qū)間的概念。問

題11此情境的設置是為學生

提供了自主探究的平臺,從閱

讀學習中發(fā)現(xiàn)問題、分析問

題、解決問題,既符合了學生

的心理特點,又注重了學生的教師指導學生自學,解決學生提出的問題,并指出

思維過程。說明:

(1)區(qū)間是集合;

(2)區(qū)間的左端點必小于右端點;

(3)無窮大是一個符號,不是一個數(shù);

(4)以"-8"或"+8”為區(qū)間的一端時,這一端

必須是小括號。

例題是為了使學生更好例1.函數(shù)/?(%)=Jx+3+」一

七、地理解函數(shù)定義而設置的,既x+2

舉例

考慮了數(shù)學思維的嚴謹性,也⑴求函數(shù)/(X)的定義域;

應用

表達了數(shù)學知識的應用性。(2)求/(_3),/(()的值;

深化通過例1,使學生學會求

(3)當。>0時,求/(a),/(a-1)的值。

目標簡單函數(shù)的定義域,以此更好

讓學生思考,并提問個別學生。

O地突出重點。例1說明當對應

法則確定后,對于定義域內(nèi)的師問:怎樣求函數(shù)的定義域?

一個數(shù),只要將它代入解析追問:/(x)與/(a)有何區(qū)別與聯(lián)系?

式,就可求出它所對應的函數(shù)

點撥:/(a)表示當自變量x=。時函數(shù)/(x)的值,

值,進一步體會函數(shù)記號的含

義。是一個常量,而/(X)是自變量X的函數(shù),它是一個

變量,/(a)是/(x)的一個特殊值。

例2說明判定兩個函數(shù)

是否相同,不僅要看對應關系例2.以下函數(shù)中哪個與函數(shù)y=x相等?

是否一樣,還要看定義域是否(I)y=(Vx)2(2)y=y[x^

相同。通過判斷函數(shù)的相等使__2

學生認識到函數(shù)的整體性,進(3)y-(4)y=—

X

一步加深學生對函數(shù)概念的

師問:判斷函數(shù)相等的依據(jù)是什么?

理解。

變式:假設改(2)為了=護呢?

例3的設置補充,其目的

思考:你能舉出一些函數(shù)相等的具體例子嗎?

既是第22頁練習3與習題3

的伏筆,也是為了讓學生體會

例3.函數(shù)f(x)=2x(xeZ?)

到從特殊到一般的思想方法,

畫出函數(shù)的圖象;

同時也后面研究函數(shù)的性質(zhì)(1)/(X)

(奇函數(shù))作準備。變式訓練(2)求/(a),/(—a)J(a)+/(—a)的值;

的設計以一個問題為背景,一(3)你從(2)中發(fā)現(xiàn)了什么結論?

(4)求函數(shù)/(x)的值域。

題多用,一題多變,由淺入深,

教師引導學生解決此題的關鍵點,并進行變式:

表達梯度,使不同程度的學生

都有開展。通過一組精心設計變式1:/(x)=2x(xeR)

的問題鏈來引導和激發(fā)學生①當時,求函數(shù)的值域;

的參與意識、創(chuàng)新意識,培養(yǎng)②當xe{—2,—1,0,1,2}時,求函數(shù)的值域。

學生探究問題的能力,從而提變式2:f(x)=2x(xeR)

升學生的思維品質(zhì)。借助三個①當函數(shù)值域為[2,4]時,求函數(shù)定義域;

變式層層深入,是理論到實踐②當函數(shù)值域為{4,8,-2}時,求函數(shù)定義域。

的升華,使概念深化、強化、

變式3:(1)y(x)=2x(xe/?)

類化!f的作用與含義印入心

求/(a+1),/(2x+l)的值。

底,得到再次認同,初步掌握

2

與應用能力也就自然形成了。(2)=?+1(aeR)

求函數(shù)f(x).

八、利用課堂練習穩(wěn)固所學課堂練習:

練習

交流的知識內(nèi)容、數(shù)學思想和方課本第22頁練習1.2.3.

反應法,以求到達教學目標。本環(huán)以學生答復、板演的形式進行,充分發(fā)揮師與

穩(wěn)固節(jié)以個別指導為主,表達面對生、生與生的互動,以教師、學生相互交流來穩(wěn)固

全體學生的課改理念。本節(jié)課的學習。

關注學生學習的主動性,以同桌之間一人小結一人傾聽的方式,以四人

培養(yǎng)學生的合作意識,培養(yǎng)學為組進行小組討論,對本節(jié)課所學的內(nèi)容進行自主

生表達交流數(shù)學的能力。自主小結,教師及時進行歸納總結:

小結的形式將課堂還給學生,1.函數(shù)的近代定義與傳統(tǒng)定義的異同點;

教師既是對一節(jié)課的簡單回憶與2.集合與函數(shù)的聯(lián)系、區(qū)別;

評價梳理,也是對所學內(nèi)容的再次3.函數(shù)的三要素;

O穩(wěn)固。4.數(shù)形結合的思想。

作業(yè)分為三種形式,表達1.閱讀作業(yè):通讀教材,復習穩(wěn)固,并思考表示函

十、

作業(yè)的穩(wěn)固性和開展性原則。數(shù)有哪些方法?從例3(2)中你能發(fā)現(xiàn)更一般性的結

課后

閱讀作業(yè)中的問題思考是后論嗎?

作業(yè)

續(xù)課堂的鋪墊,而彈性作業(yè)不2.書面作業(yè):課本第28頁習題1.2.3.4.5.

作統(tǒng)一要求,供學有余力的學3.彈性作業(yè):比擬函數(shù)的近代定義與傳統(tǒng)定義的異

生課后研究,它也是新課程標同點,你對函數(shù)有什么新的認識?請同學們舉出幾

準里研究性學習的一局部。個具體函數(shù)例子,用傳統(tǒng)定義不好解釋,而用近代

定義容易理解。

教學流程:

定義域?qū)P系

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