數(shù)學選擇性必修第一冊11

1.4兩條直線的平行與垂直

最新課標能根據(jù)斜率判定兩條直線平行或垂直.

力山川田"1Hmi出川川川乃川川川川川小川川川川“mH"?戰(zhàn)團囪因?|課|前|闌習］“川口川川川川川川川“川“川"川“川川小川川川川川川川h

［教材要點］

要點一兩條直線平行

1.對于兩條不重合的直線/i，h，其斜率分別為左1，k2,有。/1〃以

2.若直線/1和/2可能重合時，我們得到任=左2?；?1與，2重合.

3.若直線/1和/2的斜率都不存在，且不重合時，得到.

狀元隨筆h〃b=kl=k2成立的前提條件是：兩條直線的斜率都存在；h與12不重合.

要點二兩條直線垂直

1.對于兩條不重合的直線/i：y=%ix+6i和，2：y=^2x+Z?2，有/i_l_/2=.

2.若兩條直線中的一條直線沒有斜率,另一條直線的斜率為時，它們互相垂直.

狀元隨筆li±l2?ki-k2=-l成立的前提條件是：兩條直線的斜率都存在；kiWO且

k2#0.

［基礎自測］

1.思考辨析(正確的畫“J”，錯誤的畫“X”)

(1)若直線/1與/2傾斜角相等，貝)

(2)若直線/l_L/2，則如t2=—1.()

(3)若直線的斜率不存在，則這條直線一定平行于y軸.()

(4)若兩條直線的斜率不相等，則兩直線不平行.()

2.已知A(2,0),B(3,3),直線/〃AB,則直線/的斜率%等于()

A.-3B.3

11

C.--D.-

33

3.已知直線/1的斜率e=2,直線/2的斜率比=—5則/1與/2()

A.平行B.垂直

C.重合D.非以上情況

4./i過點A(m,1),8(—3,4),L過點C(0,2),0(1,1),且11II上，則機=

勿川川川川川川川川川川川川川川川“川川川川川川川川川川I癡畫陶展?I課堂解I透I懶他—

題型一兩條直線平行的判定及應用

例1⑴侈選題］下列直線/1與直線/2平行的有()

A./i經(jīng)過點4(2,1)，8(-3,5),，2經(jīng)過點C(3,—3),￡)(8,一7)

B./i的斜率為2,L經(jīng)過點A(l，1),BQ,2)

C./i的傾斜角為30。，L經(jīng)過點M(l，V3),N(—2,-2V3)

D./i經(jīng)過點E(—3,2),網(wǎng)一3,10),L經(jīng)過點尸(5,-2),Q(5,5)

⑵使過點A(7"+l,0),8(—5，咐的直線與過點c(—4,3),0(0,5)的直線平行，則機

(3)過點(一1,3)且平行于直線x—2y+3=0的直線方程為,

方法歸附

(1)判斷兩直線是否平行，應首先看兩直線的斜率是否存在，即先看兩點的橫坐標是否相

等.課本中的結論只有在斜率都存在的情況下方可使用，兩點的橫坐標相等是特殊情況，應

特殊判斷.(2)判斷斜率是否相等實際是看傾斜角是否相等，歸根結底是充分利用兩直線平行

的條件：若同位角相等，則兩直線平行.

(3)在兩直線斜率都存在且相等的情況下，應注意兩直線是否重合.

跟蹤訓練1(1)［多選題］下列各組直線平行的有()

A.y=—3x+2與龍+3y—1=0

B.>=尤+2與尤—y—2=0

C.4x—2y+3=0與x+2y—1=0

D.|+|=1-W3x+2y-2=0

(2)已知兩條不重合的直線/i：ax+2y—1=0和氏x+(a+l)y+|=0,a^R,若h〃h，

則a=.

(3)與直線3x—2y=0平行，且過點(4,—3)的直線方程為.

題型二兩條直線垂直的判定及應用

例2(1)判斷下列各題中Zi與L是否垂直.

①/i經(jīng)過點A(—1,-2),B(l,2)；b經(jīng)過點M(—2,-1),N(2,1);

②Zi的斜率為一10;L經(jīng)過點A(10，2),8(20,3)；

③/i經(jīng)過點A(3,4),B(3,10)；?2經(jīng)過點點(-10,40),NQQ,40).

(2)已知直線/i經(jīng)過點A(3,a),B(a—2,-3),直線b經(jīng)過點C(2,3),0(-1,a-2),

如果則。的值為.

(3)過點(1,2)且與直線x+2y+2=0垂直的直線方程為.

方法歸依?

利用斜率公式來判定兩直線垂直的方法

1.一看：就是看所給兩點的橫坐標是否相等，若相等，則直線的斜率不存在，只需看另

一條直線的兩點的縱坐標是否相等，若相等，則垂直，若不相等，則進行第二步.

2.二代：就是將點的坐標代入斜率公式.

3.三■求：計算斜率的值，進行判斷.尤其是點的坐標中含有參數(shù)時，應用斜率公式要對

參數(shù)進行討論.

跟蹤訓練2(1)直線/1的斜率為履=蘭，直線/2的斜率為七=三三，若與/2互相垂

a—12a—3

直，則實數(shù)。的值為()

A.—1B.1或一!

1

C.±1D.--

2

(2)過點A(—3,2)且與直線3尤一5y+1=0垂直的直線方程為.

題型三兩條直線平行與垂直的綜合應用

例3已知A(—4,3),8(2,5),C(6,3),0(—3,0)四點，若順次連接A,B,C,。四

點，試判定圖形ABC。的形狀.

畫出圖形，通過求四條邊所在直線的斜率，分析它們之間的關系判斷圖形形狀.

方法歸腦

利用兩條直線平行或垂直來判定圖形形狀的步驟

而］一|根據(jù)描出的點，猜測圖形的形狀

求斜率一根據(jù)給定點的坐標求直線的斜率

I結論|一|由斜率之間的關系判斷蔽

跟蹤訓練3已知40,3),B(~l,0),C(3,0),求。點的坐標，使四邊形ABC。為直

角梯形(A,B,C,。按逆時針方向排列).

易錯辨析忽視直線斜率不存在的情況致錯

例4已知直線/i經(jīng)過點A(3,a),B(a—2,3),直線已經(jīng)過點C(2,3),尸(一1,a-2),

若/l_L/2，則。的值為.

解析：當直線/i的斜率存在時，

則由知后色=—1

即上|.呼=一1,解得。=0

當直線的斜率不存在時，

則。一2=3,得a=5,

此時此=0,故

綜上。的值為?；?.

答案：?；?

【易錯警示】

易錯原因糾錯心得

已知點的坐標中有參數(shù)的，首先判斷直線的

本題容易由左1?左2=—1得〃=0而出錯，誤認

斜率是否存在，本題中直線/1的斜率就要分

為直線/1的斜率存在.

存在與不存在兩種情況解答.

［課堂十分鐘］

1.［多選題］直線/1與/2為兩條不重合的直線，則下列命題正確的是()

A.若/1〃勿則斜率加="

B.若斜率所=外,則/1〃/2

C.若傾斜角。1=。2，則/1〃/2

D.若/1〃方則傾斜角ai=a2

2.已知直線/i的傾斜角為60。，直線辦經(jīng)過點A(l,V3),8(—2,-2V3),則直線/1,

/2的位置關系是()

A.平行或重合B.平行

C.垂直D.重合

3.已知直線/過點(2,0),且與直線y=—2x+l平行，則直線/的方程為()

A.4B.y2A-4

C.y=—2x+4D.y=—2x~4

4.已知A(5,2),B(-l,4),則AB的垂直平分線方程為.

5.已知平行四邊形A3。的三個頂點的坐標分別為A(0,1),B(l,0),C(4,3),則頂

點D的坐標為.

1.4兩條直線的平行與垂直

新知初探?課前預習

要點一

1.ki=k2

2.h//l2

3.h//l2

要點二

1.kik?=一1

2.0

［基礎自測］

1.(1)X⑵義(3)X(4)7

2.解析:M8=衿=3,-JI//AB,，k=3.故選B.

3—2

答案：B

3.解析:V^i-fc=2X(-|)=-l,.故選B.

答案：B

4.解析：?.?甩=言=--1,11//12,

曷|=,=_1，,機=0?

答案：0

題型探究?課堂解透

4-7+34

例1解析：(1)A中，Z：AB=——kcD

-3—Z8-35

**?kAB—kcD，**?l\//h.

B中，k2=—=l^k\=2

2—1

l\不平行h.

c』7,onoV3JV3+2V3/7T

C中，fci=tan30°=y,fa—1+2=y3.

：.k/k2,：.h不平行h.

D中，/i的斜率不存在，

/2的斜率也不存在，???/l〃/2.

故選AD.

⑵由題意直線CD的斜率存在，則與其平行的直線AB的斜率也存在?近=缶=

一，就。由于AB〃CO,所以kAB=%D,即得根=-2.經(jīng)驗證根=-

—6—m0—(—4)2—6—m2

2時直線AB的斜率存在，所以爪=一2.

(3)設直線方程是x—2y+C=0,因為直線過點(一1,3),所以-1—6+C=0,解得C=7,

故所求直線方程是x—2y+7=0.

答案：(1)AD(2)-2(3)x-2y+7=0

跟蹤訓練1解析：(1)分別求出各組直線的斜率可得BD正確.故選BD.

(2)由題意：Q(〃+1)—2X1=0,***6Z=1或。=—2,

當a—1時，則Zi：x-\-2y—1=0,

，2：x+2y+^—0,1\//h

當。=一2時，則人一2x+2y—l=0,

h-x—y+-09

???兩直線重合(舍去).

故4=1.

(3)設直線方程是3x—2y+t=0,

則3X4—2X(—3)+，=0

，%=-18.

故所求直線方程是3x—2y—18=0.

答案：(1)BD(2)1(3)3x—2y—18=0

例2解析：⑴①女尸壬=2,B指H，

所后2=1,?M與，2不垂直.

②由=-10,%2=W^=a，k\ki=-\,

zu—1U1U

Z11Z2.

③由A,8的橫坐標相等得

/i的傾斜角為90。，則/iJ_x軸.

e=裁羽=°，則S軸，

山2.

(2)設直線/],，2的斜率分別為k2,

?.,直線已經(jīng)過點c(2,3),D(-l,a~2),且2W-1,

，/2的斜率存在.

當％2=0時，a—2=3,則。=5,此時后不存在，符合題意.

當％2/0時，即aW5,此時ZiWO,

由342=—1,得:「I：一],解得。=-6.

a—2—3—1—2

綜上可知，a的值為5或一6.

(3)所求的直線方程為2x~y+t=0.

則2義1-2+/=0

.'.r=0.

故所求直線方程為：2x-y=0.

答案：(1)見解析(2)5或-6(3)2x-y=0

跟蹤訓練2解析：(1)由題意，得％%2=T1XR=-1,解得a=一；或。=1(舍去).

⑵設所求直線方程為：5x+3y+f=0,

則5X(-3)+3X2+z=0,

；"=9,

故所求的直線方程為：5x+3y+9=0.

答案：⑴D⑵5x+3y+9=0

例3解析：由題意知A,B,C,。四點在坐標平面內(nèi)的位置如圖所示，

由斜率公式可付(0=二,kcD=——=-,kAD=,(八=—3,fec=—

所以％AB=%c?,由圖可知AB與CD不重合，

所以AB//CD由kAD豐kBc,

所以A。與BC不平行.

又因為^AB-feD=|x(-3)=-1,

所以

故四邊形ABC。為直角梯形.

跟蹤訓練3解析：

左AB?左BC=0W—1,

即AB與BC不垂直，

故AB,BC都不可作為直角梯形的直角腰.

若是直角梯形的直角腰，

則AD_LAB,：

AD±CD.'kAD=—x,kCD=—x-3,

由于AO_LAB,；.T.3=—1.①

X

又AB〃CD士3.②

(X—_1_8

解①②兩式可得]-5；此時4。與BC不平行.

Iy-

若DC為直角梯形的直角腰，

貝i]DC_LBC,且AD〃3c.

?；kBc=O,

...OC的斜率不存在.

故尤=3,XAD//BC,貝I]y=3.

故D點坐標為(3,3).

綜上可知，使四邊形ABCD為直角梯形的點D的坐標可以為(3,3)或(