高中數(shù)學(xué)復(fù)數(shù)復(fù)習(xí)(知識(shí)點(diǎn)、例題、習(xí)題附解析)

高中數(shù)學(xué)復(fù)數(shù)專題復(fù)習(xí)佚口識(shí)點(diǎn)、例題、習(xí)題附解析）

運(yùn)算常用結(jié)論

一、復(fù)數(shù)的概念

1.定義

形如z=a+歷（a,6eR）的數(shù)叫做復(fù)數(shù).復(fù)數(shù)常用字母z表示，其中a與6分別叫做復(fù)

數(shù)z的實(shí)部與虛部，i叫做虛數(shù)單位，規(guī)定i2=-l.全體復(fù)數(shù)所成的集合叫做復(fù)數(shù)集，用C

表示.

注意：復(fù)數(shù)不能比較大小，只有相等和不相等，當(dāng)對(duì)應(yīng)的實(shí)部和虛部相同時(shí)，我們說復(fù)

數(shù)相等.

例如：3+2i=3+2iw2+3i.

復(fù)數(shù)2+3i的實(shí)部是______,虛部是_______；復(fù)數(shù)-2-i的實(shí)部是______,虛部是

例1

解析：注意i前面的數(shù)字才是虛部，包含正負(fù)號(hào).

答案：23-2-1

已知2x-l+i=y-(3-y)i,求x與y.

解析：兩個(gè)復(fù)數(shù)相等的充要條件是實(shí)部與虛部分別對(duì)應(yīng)相等.

由題意，得產(chǎn)一了，解得卜=5.

例2

11=一（3-》["4

答案：x=—=4

2

2.i的周期性

i'=ii2--li，=—ii,=l,以此類推，可得：

i4n+l=ii4B+2=-li4n+3--ii4,,-l(neZ)

i4n+l+i4n+2+i4,,+3+*=0(〃eZ)

例如：產(chǎn)87=[3=7,j2O2O=i4=1(指數(shù)除以巴只保留余數(shù)，如果整除，即為/).

3.復(fù)數(shù)的分類

對(duì)于復(fù)數(shù)a+例，當(dāng)6=0時(shí)，它是實(shí)數(shù)；當(dāng)6Ho

時(shí)，它是虛數(shù)；當(dāng)a=0且Z?w0時(shí)，叫做純虛數(shù).

'實(shí)數(shù)S=o）

z=a+b\<\一般虛數(shù)（AWOMWO）

[純虛數(shù)彷H0,a=0）

例如：2（實(shí)數(shù)），3i（純虛數(shù)），2+3i（一般虛數(shù)）.

設(shè)meR,z=(2+i>2-3(1+i)/M-2(1-i).

(1)若z為實(shí)數(shù)，求皿的值；(2)若z為純虛數(shù)，求〃?的值.

解析：化簡得z=(2相2-3m-2)+(m2-3m+2)i

例3(1)由題意得濟(jì)一3機(jī)+2=0,解得機(jī)=1或機(jī)=2.

(2)由題意得[2"一一3初一2=°,解得加=」.

〃廠―3m+2工02

答案：(1)m=1或>n=2,(2)m=--

2

4.復(fù)數(shù)的幾何意義

?y（虛軸）

在平面直角坐標(biāo)系中，復(fù)數(shù)z=a+/可用點(diǎn)Z(a,。)表示，

b-------?Z:a+bi

這個(gè)建立了直角坐標(biāo)系來表示復(fù)數(shù)的平面叫做復(fù)平面，x軸叫?

?

?

?

做實(shí)軸，y軸叫做虛軸.實(shí)軸上的點(diǎn)表示實(shí)數(shù)，除原點(diǎn)外，虛軸?

?

?

上的點(diǎn)表示純虛數(shù).---------------!--------?

oax（實(shí)軸）

復(fù)數(shù)z=a+Z?i(a,Z?eR)<_二""->復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z(a,。)

復(fù)平面內(nèi)，連接0Z,向量無由點(diǎn)Z唯一確定，因此，復(fù)[y(虛軸)

數(shù)與復(fù)平面內(nèi)的向量也是一一對(duì)應(yīng)的.b\/Z：a+bi

復(fù)數(shù)z=a+歷(a,方eR)<>平面向量成/

例如：復(fù)數(shù)2+3i在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)和向量的坐標(biāo)為一或a―x一軸)

(2,3).

實(shí)部為-2,虛部為1的復(fù)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于復(fù)平面的()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

例4

解析：由復(fù)數(shù)和點(diǎn)的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，可知點(diǎn)的坐標(biāo)為(-2,1),位于第二象限.

答案：B

5.復(fù)數(shù)的模

向量應(yīng)的模(長度)叫做復(fù)數(shù)2=。+歷的模，記作|z|,|z|=|a+&i|=>Ja2+b2.

例如：12+3i|=j22+32=岳?

|z|的幾何意義：復(fù)數(shù)z的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離.

|Z1-Z2|的集合意義：Z,,Z2對(duì)應(yīng)的兩點(diǎn)之間的距離.

性質(zhì)：|z,z2|=|Z|l|z21,I—1=7^7

22?Z2I

已知復(fù)數(shù)Iz|=1,求復(fù)數(shù)3+4i+z的模的最大值及最小值.

解析：復(fù)數(shù)3+4i+z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的軌跡是以(3,4)為圓心，1為半徑的

例5圓，則復(fù)數(shù)模的最大值和最小值即為從圓上到原點(diǎn)距離的最大和最小值，故最大

值為，3?+4?+1=6,最小值為43?+4?-1=4.

答案：6,4

練習(xí)題:

己知：z=(/n+l)+(m-l)i,mGR,求z為(1)實(shí)數(shù)；(2)虛數(shù)；(3)純虛數(shù)

時(shí)，求"7的值.

解析：(1)當(dāng)相一1=0,相=1時(shí)，為實(shí)數(shù)；

1

(2)當(dāng)m—lw(),相wl時(shí)，為虛數(shù)；

(3)當(dāng)m+1=0且加一1工0,即機(jī)=一1時(shí)，為純虛數(shù).

答案：(1)m=1(2)m^\(3)m=—\

已知W+9__2i=6+(y-x)i,求實(shí)數(shù)x,y的值.

解析：復(fù)數(shù)相等，則對(duì)應(yīng)的實(shí)部和虛部相等，即[廠+廠=6,解得]"二1一(

-2=y-x[y=-V2-l

2

fx=l+>/2

,)=亞-1'

答案：x=l-x/2,"-夜-1或x=l+"y=y[2-\

方程/+伏+2i)x+2+氏i=0有實(shí)根,求此根根及實(shí)數(shù)上的值.

解析：因?yàn)橛袑?shí)根如所以方程化簡為⑺2+也7+2)+(2m+%)i=0,所以

3nr+A???+2=0&刀組m=>j2m=-y/2

《，解得〈/-或《r-9

〔2加+左=0[k=-2y/2[k=2y]2

答案：m=5/2,k=—2&或m=->/2,k=2及

已知x是實(shí)數(shù)，y是虛數(shù)，且滿足(2%一1)+(3-y)i=y-i,求x和y的值.

解析：由y是純虛數(shù)，可設(shè)y=Z?i,原式變?yōu)?2x-l)+(3-y)i=8i-i,整理得

(2x—l+b)+3i=(/?—l)i,所以〔2*-1+6=0,解得]”=-5.

4

匕T=3,4

i[b=4

答案：x=--,y=4i

2

2

已知復(fù)數(shù)Z[=T〃z+l+(24+3m)i,z2=2m+(m+ni)\,問m為何值時(shí)，

>z2.

2nr+=0

5

解析：兩個(gè)復(fù)數(shù)可以比較大小，說明兩個(gè)數(shù)都是實(shí)數(shù)，則應(yīng)滿足,m2+/w=0,

-4m+1>2m

解得m=0.

答案：0

m2—2+(m2-l)i是純虛數(shù),則m=_______.

m2+zw-2=0f-

6解析：由復(fù)數(shù)為純虛數(shù)的條件可得，c，解得"2=—2.

加一1H0

答案：-2

若z=4+3i,則一=()

|z|

4343

A.1B.-1C.iD.----i

75555

解析：z—43i,|z|—J4+3—5,則——i.

|z|555

答案：D

二、復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算

1.加法

?i殳Z]=a+Z>i,z2-c+di,則z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i

例如：(2+4i)+(-5+i)=(2-5)+(4+l)i=-3+5i.

2.減法

設(shè)Z1=a+6i,z2-c+di,則z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i.

例如：(2+4i)-(-5+i)=(2+5)+(4-l)i=7+3i.

滿足條件lz+1-i|=|4-3i|的復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡是()

A.一條直線B.兩條直線C.一個(gè)圓D.一個(gè)橢圓

解析：|z+l-i|表示復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Z到點(diǎn)(-1,1)的距離，|4-3i|表

例1

示模，等于5,故滿足|z+l-i|=5的復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)點(diǎn)的軌跡是以(-1,1)為圓心，

5為半徑的圓.

答案：C

在復(fù)平面內(nèi)，。是原點(diǎn)，OA,OC,通對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為—2+i,3+2i,l+5i,

那么比對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為()

例2A.4+7iB.l+3iC.4-4iD.-l+6i

解析：BC=OC-(OA+AB),對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為3+2i-(—2+i+l+5i)=4—4i.

答案：C

3.乘法

"i殳Z1=a+hi,z,=c+di,則z,z,=ac+hci+adi+bdv=(ac-bd)+{ad+hc)i.

例如：(2+4i)-(-5+i)=-10+2i-20i+4i2=-14-18i.

設(shè)復(fù)數(shù)z?在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)關(guān)于虛軸對(duì)稱，Z1=2+i,則Z]Z2=()

A.-5B.5C.-4+iD.-4-i

例3解析：Z1對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(2,1),則z2對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(-2,1),即Z2=—2+i,則

Z,=(2+i)(-2+i)=i2-4=-5.

答案：A

例4已知復(fù)數(shù)z=(5+2i)。則z的實(shí)部為_______.

解析:z=(5+2i)2=25+20i+4i2=21+20i,實(shí)部為21.

答案：21

4.除法

共朝復(fù)數(shù)：當(dāng)兩個(gè)復(fù)數(shù)實(shí)部相等，虛部互為相反數(shù)時(shí)，這兩個(gè)復(fù)數(shù)叫做互為共機(jī)復(fù)數(shù),

通常記復(fù)數(shù)z=a+也的共貌復(fù)數(shù)為5=a—?dú)v.

性質(zhì)：|z|=|21==\/a2+b2

例如：2+3i的共機(jī)復(fù)數(shù)為2—3i.

若a—i與2+bi互為共輾復(fù)數(shù)，則(o+bi)2=()

A.5-4iB.5+4iC.3-4iD.3+4i

例5

解析：由題意知，a=2b=l,貝ij(“+/?i)2=(2+i)2=3+4i.

答案：D

若z+5=2,(z-z)i=2,貝(jz=()

A.1+iB.T—iC.-1+iD.1-i

例6解析：z=a+hi,則5=。一人i,z+z=2a=2,.\a=l；

(z-z)i=2bi2=-2b=2.*./?=-1；/.z=l—i.

答案：D

a+bi(a+bi)(c-Ji)(ac+bd)+(be-ad)\

設(shè)Z1=。+hi,z=c+di,則

2c+d\(c+di)(c-di)c2+d2

例如：(2+4i)+(—5+i)=-2+4i(2+4i)(-5-i)-6-22i_-3-lli

-5+i(-5+i)(-5-i)"26—-—13-

復(fù)數(shù)z滿足(3+4i)z=25,則2=()

A.-3+4iB.-3-4iC.3+4iD.3-4i

例7解析：由題意知z=^=25(3-旬=25(3-旬=3_-

3+4i(3+4i)(3—4i)9+16

答案：D

滿足5=i的復(fù)數(shù)z=()

例8

z

、11.?11.11.11.

A.—1—iB.----1C.---1—1D.-----i

22222222

解析：由出=i變形為z+i=zi,

z

可得Z='=i(T—i)=匕1=，.匕.

-1+i(-l+i)(-l-i)222

答案：B

結(jié)論：復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算可把i看作是普通字母帶入運(yùn)算，如遇i?則變?yōu)?1；除法運(yùn)算時(shí)

分子分母同乘以分母的共相復(fù)數(shù)，基本思路就是把分母的復(fù)數(shù)變?yōu)閷?shí)數(shù).

5.復(fù)數(shù)運(yùn)算常用結(jié)論：

(1±i)2=±2i-=-i匕^=i-_-=-i

i1-i1+i

記°=_,+4li,則口2=_J__Y!i則有：

2222

療=5|co1=1ar|=11+。+蘇=0

駕=()

(l-i)2

A.1+iB.1-iC.-1+iD.-1-i

解析：方法一：孚￡■=(士)2(l+i)=i2(l+i)=-l-i.

例9

(l-l)21-1

(1-i)2(1-i)2-2i

答案：D

設(shè)復(fù)數(shù)則1+/=()

22

11

A.~coB.co9C.---D.——

例10CDCO~

解析：1+。='+走i,由常用結(jié)論可迅速排除AB,C帶入運(yùn)算可知符合題意.

22

答案：C

練習(xí)題:

1設(shè)復(fù)數(shù)4和Z2在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，且4=3-2i,則Z|Z2=

解析：由題意知，z,=-3+2i,所以Z|Z2=(3-2i)(—3+2i)=—5+12i.

答案：-5+12i

已知復(fù)數(shù)聚在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在直線x-2y+m=0上，則機(jī)=—.

解析：z=±W=±也=在%=1-23對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為（1,-2）,帶入直線方

2

程，得加=—5.

答案：-5

F”的共輒復(fù)數(shù)為_______.

3解析：￥7=[3=一，共輾復(fù)數(shù)為i.

答案：i

復(fù)數(shù)z滿足(3-4i)z=|4+3i|,則z的虛部為_______.

解析：|4+3升=，42+32=5,所以z=-^-=5(3+4i)=1+：i,虛部為2.

43-4i25555

4

答案：-

5

若復(fù)數(shù)幺是純虛數(shù)，則/.

2+i

匕心(")(2-