冪函數(shù)（原卷版）

3．3冪函數(shù)【考點梳理】考點一：冪函數(shù)的概念一般地，函數(shù)y＝xα叫做冪函數(shù)，其中x是自變量，α是常數(shù)．考點二：五個冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)1．在同一平面直角坐標系內(nèi)函數(shù)(1)y＝x；(2)y＝；(3)y＝x2；(4)y＝x－1；(5)y＝x3的圖象如圖．2．五個冪函數(shù)的性質(zhì)y＝xy＝x2y＝x3y＝x－1定義域RRR[0，＋∞){x|x≠0}值域R[0，＋∞)R[0，＋∞){y|y≠0}奇偶性奇偶奇非奇非偶奇單調(diào)性增在[0，＋∞)上增，在(－∞，0]上減增增在(0，＋∞)上減，在(－∞，0)上減考點三：一般冪函數(shù)的圖象特征1．所有的冪函數(shù)在(0，＋∞)上都有定義，并且圖象都過點(1,1)．2．當α>0時，冪函數(shù)的圖象通過原點，并且在區(qū)間[0，＋∞)上是增函數(shù)．特別地，當α>1時，冪函數(shù)的圖象下凸；當0<α<1時，冪函數(shù)的圖象上凸．3．當α<0時，冪函數(shù)的圖象在區(qū)間(0，＋∞)上是減函數(shù)．4．冪指數(shù)互為倒數(shù)的冪函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象關(guān)于直線y＝x對稱．5．在第一象限，作直線x＝a(a>1)，它同各冪函數(shù)圖象相交，按交點從下到上的順序，冪指數(shù)按從小到大的順序排列．【題型歸納】題型一：冪函數(shù)的定義1．（2023·全國·高一）在函數(shù)，，，中，冪函數(shù)的個數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．32．（2023·全國·高一專題練習）下列函數(shù)既是冪函數(shù)又是奇函數(shù)的是（

）A． B． C． D．3．（2023·全國·高一專題練習）現(xiàn)有下列函數(shù)：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦，其中冪函數(shù)的個數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4題型二：冪函數(shù)的定義域和值域參數(shù)問題4．（2023秋·全國·高一專題練習）若函數(shù)為冪函數(shù)，且在區(qū)間上單調(diào)遞減，則（

）A． B．3 C．或3 D．2或5．（2023秋·重慶·高一校聯(lián)考期末）已知冪函數(shù)的圖象過點，則下列說法中正確的是（

）A．的定義域為 B．的值域為C．為奇函數(shù) D．為減函數(shù)6．（2022秋·江蘇·高一淮陰中學?？计谥校┮阎獌绾瘮?shù)，，若有下列四個判斷：①定義域是；②值域是；③該函數(shù)是偶函數(shù)；④在單調(diào)遞增，其中恰有三個正確，不正確的是（

）A．① B．② C．③ D．④題型三：冪函數(shù)的定點和圖像問題7．（2022·全國·高一專題練習）下列命題中正確的是（

）A．當時，函數(shù)的圖像是一條直線；B．冪函數(shù)的圖像都經(jīng)過和點；C．冪函數(shù)的定義域為；D．冪函數(shù)的圖像不可能出現(xiàn)在第四象限．8．（2023·全國·高一專題練習）右圖的曲線是冪函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象，已知n分別取，，2四個值，相應的曲線對應的n依次為（

）A．，，1，2 B．2，1，，C．，，2， D．2，，，9．（2023·全國·高一課堂例題）冪函數(shù)，，，在第一象限內(nèi)的圖象依次是如圖中的曲線（

）A．，，， B．，，，C．，，， D．，，，題型四：冪函數(shù)的單調(diào)性問題（比較大小、解不等式、參數(shù)）10．（2023秋·全國·高一專題練習）若冪函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，解析式的冪的指數(shù)為整數(shù),在上單調(diào)遞減，則（

）A． B．或 C． D．或11．（2023·全國·高一專題練習）冪函數(shù)在上單調(diào)遞增，若，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．12．（2022秋·重慶·高一校聯(lián)考期末）已知函數(shù)，若，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．題型五：冪函數(shù)的綜合性問題13．（2023春·河北石家莊·高一?？计谥校┮阎獌绾瘮?shù)(1)求的解析式；(2)若圖像不經(jīng)過坐標原點，直接寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(3)若圖像經(jīng)過坐標原點，解不等式.14．（2022秋·廣東東莞·高一校考期中）已知冪函數(shù)在上單調(diào)遞減.(1)求的解析式；(2)若在上恒成立，求實數(shù)的取值范圍.15．（2022秋·廣東東莞·高一校聯(lián)考期中）已知冪函數(shù)為偶函數(shù).(1)求的解析式；(2)若函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，當時，，求函數(shù)的解析式.【雙基達標】一、單選題16．（2023·全國·高一專題練習）冪函數(shù)（是常數(shù)）的圖象一定經(jīng)過點（

）A． B． C． D．17．（2023春·甘肅白銀·高一統(tǒng)考開學考試）若冪函數(shù)在上單調(diào)遞增，則（

）A．3或3 B．3 C．4 D．4或418．（2023·全國·高一專題練習）已知冪函數(shù)的圖象過點，則函數(shù)在區(qū)間上的最小值為（

）A．3 B．4 C．5 D．619．（2023·全國·高一專題練習）記，則（

）A． B．C． D．20．（2022秋·湖北鄂州·高一校聯(lián)考期中）已知函數(shù)，且，均有，則（

）A． B．8 C．4 D．21．（2023春·浙江杭州·高一校考期中）已知函數(shù)，若對于任意的，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．22．（2023秋·高一課時練習）比較下列各組數(shù)中兩個數(shù)的大小.(1)與；(2)與.23．（2023秋·全國·高一）已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點，對于偶函數(shù)，當時，．(1)求函數(shù)的解析式；(2)求當時，函數(shù)的解析式；24．（2023·全國·高一專題練習）已知冪函數(shù)在定義域上不單調(diào)．(1)試問：函數(shù)是否具有奇偶性？請說明理由；(2)若，求實數(shù)a的取值范圍．【高分突破】一、單選題25．（2023·高一）給出冪函數(shù)：①；②；③；④；⑤，其中滿足條件，的函數(shù)的個數(shù)是（）A．1個 B．2個C．3個 D．4個26．（2023秋·高一課時練習）已知若，則下列各式中正確的是（

）A． B．C． D．27．（2022秋·廣東深圳·高一深圳市羅湖高級中學校考期中）已知冪函數(shù)，對任意的且，滿足，若，，，則的值（

）A．恒大于0 B．恒小于0C．等于0 D．無法判斷28．（2022秋·山西陽泉·高一陽泉市第十一中學校校考期末）圖中為三個冪函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象，則解析式中指數(shù)a的值依次可以是（

）A． B． C． D．29．（2023春·江西宜春·高一江西省宜豐中學?？茧A段練習）如圖所示是函數(shù)（均為正整數(shù)且互質(zhì)）的圖象，則（

）A．是奇數(shù)且B．是偶數(shù)，是奇數(shù)，且C．是偶數(shù)，是奇數(shù)，且D．是奇數(shù)，且二、多選題30．（2023秋·全國·高一專題練習）已知冪函數(shù)，則（

）A．B．的定義域為C．D．將函數(shù)的圖像向左平移個單位長度得到函數(shù)的圖像31．（2023·全國·高一專題練習）已知冪函數(shù)（m，，m，n互質(zhì)），下列關(guān)于的結(jié)論正確的是（

）A．m，n是奇數(shù)時，冪函數(shù)是奇函數(shù)B．m是偶數(shù)，n是奇數(shù)時，冪函數(shù)是偶函數(shù)C．m是奇數(shù)，n是偶數(shù)時，冪函數(shù)是偶函數(shù)D．時，冪函數(shù)在上是減函數(shù)32．（2023·全國·高一專題練習）已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點，則下列說法正確的是（

）A．函數(shù)為增函數(shù)B．函數(shù)為偶函數(shù)C．當時，D．當時，33．（2022秋·福建福州·高一?？计谥校┫铝姓f法正確的是（

）A．若冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點，則解析式為B．若函數(shù)，則在區(qū)間上單調(diào)遞減C．冪函數(shù)始終經(jīng)過點和D．若冪函數(shù)圖像關(guān)于軸對稱，則34．（2022秋·廣東茂名·高一統(tǒng)考期末）下列說法正確的是（

）A．若冪函數(shù)過點，則B．函數(shù)表示冪函數(shù)C．若表示遞增的冪函數(shù)，則D．冪函數(shù)的圖像都過點，35．（2023·全國·高一專題練習）若函數(shù)，且，則（

）A． B．C． D．三、填空題36．（2023·全國·高一專題練習）若是冪函數(shù)，則＝.37．（2023秋·高一課時練習）已知，則使函數(shù)的值域為R，且為奇函數(shù)的所有α的值為.38．（2023·全國·高一專題練習）已知是冪函數(shù)，且滿足：①；②在上單調(diào)遞增，請寫出符合上述條件的一個函數(shù).39．（2023秋·上海徐匯·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)的表達式為，若且，則的取值范圍是．四、解答題40．（2023·全國·高一專題練習）已知冪函數(shù)在上單調(diào)遞增．(1)求m的值及函數(shù)的解析式；(2)若函數(shù)在上的最大值為3，求實數(shù)a的值．41．（2022秋·陜西西安·高一?？计谥校┮阎獌绾瘮?shù)的圖象經(jīng)過點.(1)求的解析式:并判斷它的奇偶性（不證明）；(2)若，求a的取值范圍.42．（2022秋·云南曲靖·高一校考階段練習）已知是冪函數(shù)，且在上單調(diào)遞增．(1)求的值；(2)若函數(shù)，證明：的值是定值．43．（2023秋