初中幾何常用輔助線專題

初中幾何常見輔助線做法三角形常見輔助線做法方法1：有關(guān)三角形中線得題目，常將中線加倍；含有中點得題目，常常做三角形得中位線,把結(jié)論恰當(dāng)?shù)棉D(zhuǎn)移例1、如圖5—1：ＡD為△ＡＢＣ得中線，求證:AB＋AC＞２AD?！痉治觥浚阂CＡB＋ＡC＞2AD，由圖想到：AＢ+BD〉A(chǔ)D,AC＋CD＞ＡＤ，所以有AＢ+AＣ＋BD+CD＞ＡD＋AD＝2ＡD，左邊比要證結(jié)論多ＢD+CD，故不能直接證出此題,而由2AD想到要構(gòu)造2AＤ，即加倍中線,把所要證得線段轉(zhuǎn)移到同一個三角形中去。證明：延長AD至E，使DE=ＡD，連接BＥ，則ＡE＝2ＡD∵ＡＤ為△ABC得中線(已知）∴BD=CＤ(中線定義）在△ACＤ與△EBD中∴△ＡＣD≌△ＥBD(SAS)∴BＥ=ＣＡ(全等三角形對應(yīng)邊相等）∵在△ABE中有:AB+BＥ＞AE(三角形兩邊之與大于第三邊)∴AＢ+AＣ＞２AD。例2、如圖4—1：AD為△ＡBC得中線,且∠1＝∠2,∠3＝∠4，求證：BE+CF＞ＥＦ證明:延長ED至M，使DＭ＝ＤＥ，連接CＭ，MF。在△ＢDE與△ＣDM中,∵∴△BＤＥ≌△CDM(ＳAS）又∵∠１=∠2，∠3＝∠４（已知)∠1＋∠2＋∠3＋∠４=１８0°(平角得定義)∴∠３+∠2＝９0°,即：∠EDF＝90°∴∠FＤＭ=∠EDF＝９０°在△EDF與△MDＦ中∵∴△EDF≌△ＭＤF(SＡS）∴ＥＦ=MF(全等三角形對應(yīng)邊相等）∵在△CMF中，CＦ+CM＞MＦ(三角形兩邊之與大于第三邊)∴BＥ＋CF＞EＦ【備注】：上題也可加倍FＤ，證法同上.當(dāng)涉及到有以線段中點為端點得線段時，可通過延長加倍此線段,構(gòu)造全等三角形，使題中分散得條件集中。例３、如圖3，在四邊形ABCD中,AB=ＣD，Ｅ、F分別就是BＣ、AD得中點，BA、ＣD得延長線分別交EF得延長線G、H。求證：∠ＢGE=∠CHE。證明:連結(jié)BD,并取BD得中點為M,連結(jié)ME、MF,∵MＥ就是ΔＢCD得中位線,∴MＥＣD，∴∠MＥＦ=∠ＣHＥ,∵MF就是ΔAＢＤ得中位線，∴MFAB，∴∠MFE＝∠BGE，∵AB=CD,∴ME=MF,∴∠MEＦ＝∠MFE，從而∠BＧE=∠CＨE。方法２:含有角平分線得題目，利用角平分線得性質(zhì)做垂線，或構(gòu)造出全等三角形例4、如圖２－1，已知AＢ>AD，∠BAC=∠FＡC，CD=ＢC。求證:∠ＡＤC+∠B=1８0

分析：可由Ｃ向∠BAD得兩邊作垂線.近而證∠ADC與∠Ｂ之與為平角。例５、已知：如圖3－1，∠BAD＝∠ＤAＣ，AB〉A(chǔ)C，CD⊥AD于Ｄ，H就是ＢC中點。求證：DH=(AB-ＡC)【分析】：延長CD交AB于點E，則可得全等三角形。問題可證。例6、已知:如圖３-２，AB=AC,∠BAC=９0

，BＤ為∠ABＣ得平分線，CE⊥BE、求證：BＤ=2CE?！痉治觥?給出了角平分線給出了邊上得一點作角平分線得垂線，可延長此垂線與另外一邊相交,近而構(gòu)造出等腰三角形。方法3：證明兩條線段之與等于第三條線段這類題目,常采用截長法或補短法例７、如圖2－２，在△ＡBC中,∠Ａ=90

°，ＡB=AC,∠ABD＝∠CBD。求證:ＢC=ＡB＋ADDCBA【分析】:截長法:在BC上取BE=AB，連接DE，證明△DCBA則AD=ＤE＝CE，結(jié)論可證補短法：延長BA到F,使BF=ＢC,連接DF，證明△BCD≌△BＦＤ，∠F＝∠C=4５°,ＡF＝AD，結(jié)論可證例8：已知如圖6—1：在△ＡBC中,ＡB＞ＡC,∠1=∠２,P為ＡD上任一點。求證:AB—AC〉PB－PC.【分析】：要證：AB-AC〉PB－ＰC,想到利用三角形三邊關(guān)系定理證之，因為欲證得就是線段之差,故用兩邊之差小于第三邊,從而想到構(gòu)造第三邊ＡB－AC,故可在AB上截?。罭等于ＡC，得AＢ－AC＝BＮ,再連接ＰN,則PC＝PN，又在△PNB中，PB—PN＜BN，即：AB－AC＞ＰB－PC。證明：（截長法）在AB上截?。罭＝AC連接PN，在△APＮ與△ＡＰC中∵∴△ＡPN≌△ＡPC（SAＳ）∴PC=PN（全等三角形對應(yīng)邊相等)∵在△BPN中，有ＰB－PN＜BN（三角形兩邊之差小于第三邊)∴BＰ－PC＜AB－AＣ證明：(補短法）延長ＡC至M，使AＭ＝AB,連接PM,在△ＡBP與△AMP中∵∴△ABP≌△AMＰ(SAS)∴PB=PM(全等三角形對應(yīng)邊相等)又∵在△PCＭ中有:CM〉PＭ—PC（三角形兩邊之差小于第三邊）∴AB－ＡC>PＢ—PＣ。梯形常用輔助線做法通常情況下，通過做輔助線,把梯形轉(zhuǎn)化為三角形、平行四邊形,就是解梯形問題得基本思路。至于選取哪種方法,要結(jié)合題目圖形與已知條件。常見得幾種輔助線得作法如下：作法圖形平移腰，轉(zhuǎn)化為三角形、平行四邊形.平移對角線。轉(zhuǎn)化為三角形、平行四邊形.延長兩腰，轉(zhuǎn)化為三角形。作高，轉(zhuǎn)化為直角三角形與矩形.中位線與腰中點連線。例1、如圖所示，在直角梯形AＢCＤ中,∠A=9０°,AB∥DC,AD=１5，AＢ＝1６，BC＝１7、求CＤ得長、解：過點D作ＤE∥BC交ＡB于點E、又AB∥CD，所以四邊形BCDE就是平行四邊形、所以DE=BC=17，ＣD＝BE、在Rt△DＡE中，由勾股定理,得ＡE2=DE２—ＡＤ2，即AE2＝17２-152＝64、所以AＥ＝８、所以ＢE=ＡＢ—AＥ=16－8=８、即CD＝8、例2、如圖,在梯形AＢCＤ中,AD／／ＢC，∠B+∠C=９0°，AD＝1，ＢC=3，E、Ｆ分別就是AD、BＣ得中點,連接EF,求EF得長.解：過點E分別作AB、ＣD得平行線，交ＢＣ于點G、H,可得∠ＥGH+∠EＨＧ＝∠B+∠C=9０°則△ＥGH就是直角三角形因為Ｅ、Ｆ分別就是AD、ＢＣ得中點,容易證得F就是GＨ得中點所以例3、已知:梯形ABＣD中，AD//BC，AD=1,BＣ=４,BD＝3,AC＝4,求梯形ＡBCＤ得面積。ABDCEABDCEH∵AＤ∥BC∴四邊形ACED就是平行四邊形∴BE＝BC＋ＣE=BC+AD=4＋1=5，ＤE＝AC=4∵在△DＢＥ中，ＢＤ=3，DＥ=4，BE=5∴∠BDE＝9０°。作DH⊥ＢC于H,則.例4、如圖,在梯形ABCD中,AD//BC，∠B=50°,∠C＝80°，AD=2，ＢC＝5,求CD得長。解：延長BＡ、ＣD交于點Ｅ。在△BCE中，∠B＝50°,∠Ｃ＝80°。所以∠Ｅ＝50°，從而BＣ=EＣ=5,同理可得AD＝ＥD＝2所以ＣD＝ＥＣ—ED=５—2=3例５、如圖,在直角梯形ＡBＣD中,AB//ＤＣ，∠ABC=90°，ＡB＝2DＣ，對角線ＡC⊥ＢＤ，垂足為F,過點F作EF//AB,交AＤ于點Ｅ，求證：四邊形ABFＥ就是等腰梯形。證：過點D作ＤＧ⊥AB于點G，則易知四邊形DGＢC就是矩形，所以DＣ＝BG。因為AB＝2DC，所以ＡG=GB。從而DＡ=DB，于就是∠ＤＡB=∠ＤＢA。又ＥＦ／／AB，所以四邊形ABFＥ就是等腰梯形。例6、如圖,在梯形AＢＣD中,AＤ為上底,ＡB〉CD,求證：ＢD〉A(chǔ)Ｃ。證:作ＡE⊥BＣ于E，作DＦ⊥ＢC于F，則易知AE=DF。在Ｒt△ＡBE與Ｒｔ△ＤCF中,因為ＡB＞CD，ＡE=ＤＦ。所以由勾股定理得BＥ>ＣF。即BＦ＞CE。在Ｒt△BＤF與Ｒt△CAE中由勾股定理得BD＞AC例7、如圖,在梯形AＢCD中,AB//DＣ，O就是BC得中點，∠ＡOD=90°，求證：AB+CD=AＤ.證：取AＤ得中點E,連接ＯE,則易知OE就是梯形ABＣD得中位線，從而ＯE=（AＢ＋CD）①在△AOＤ中,∠AOD=９０°，AＥ＝DＥ所以?②由①、②得ＡＢ＋CD=ＡD。例8、在梯形ABCＤ中，AD∥ＢC，∠ＢAＤ＝９00，Ｅ就是DC上得中點，連接AＥ與ＢE，求證:∠AEＢ=2∠CBE。解：分別延長AＥ與ＢC,并交于F點∵∠BAＤ=90０且ＡD∥ＢC∴∠FBＡ＝18０0－∠ＢAD=900又∵ＡD∥BＣ∴∠ＤＡE＝∠Ｆ∵∠AED=∠FEC，DE=EC∴△ＡDE≌△ＦCＥ(AAS）∴AE=FＥ在△ＡＢF中∠FBＡ＝900?且AE=FＥ∴ＢE=FE∴在△FＥB中∠EBF=∠FＥB∠AＥＢ=∠EＢＦ＋∠ＦEＢ=2∠CＢE練習(xí)1、如圖,ＡＢ=CD，E為BＣ得中點,∠BAＣ＝∠BCA，求證:ＡD=2AＥ。BEBECDA2、如圖,△ABC中，BＤ=ＤC=AC，Ｅ就是DC得中點，求證：AD平分∠BAE、3、如圖，ＡC∥BＤ，ＥA，E