2024年上海市田家炳中學(xué)特色課程班中考第四次模擬數(shù)學(xué)試題（解析版）

2023-2024學(xué)年度上海市田家炳特色課程班中考第四次模擬測(cè)試卷一．選擇題（共24分）1.單項(xiàng)式的系數(shù)和次數(shù)分別是（）A.和2 B.和3 C.2和2 D.2和3【答案】B【解析】【分析】本題考查了單項(xiàng)式的知識(shí)，單項(xiàng)式中的數(shù)字因數(shù)叫做單項(xiàng)式的系數(shù)，一個(gè)單項(xiàng)式中所有字母的指數(shù)的和叫做單項(xiàng)式的次數(shù)．根據(jù)單項(xiàng)式系數(shù)和次數(shù)的概念求解．解：?jiǎn)雾?xiàng)式的系數(shù)和次數(shù)分別是和3．2.我國(guó)神舟十三號(hào)載人飛船和航天員乘組于2022年4月16日返回地球，結(jié)束了183天的在軌飛行時(shí)間．從2003年神舟五號(hào)載人飛船上天以來(lái)，我國(guó)已有13位航天員出征太空，繞地球飛行共約2.32億公里．將數(shù)據(jù)232000000用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A.0.232×109 B.2.32×109 C.2.32×108 D.23.2×108【答案】C【解析】【分析】用科學(xué)記數(shù)法表示較大的數(shù)時(shí)，一般形式為，其中1≤<10，n為整數(shù)，且n比原來(lái)的整數(shù)位數(shù)少1，據(jù)此判斷即可．解：232000000＝2.32×108．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了用科學(xué)記數(shù)法表示較大的數(shù)，一般形式為，其中1≤|a|<10，確定a與n的值是解題的關(guān)鍵．3.關(guān)于的一元二次方程無(wú)實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)一元二次方程判別式與根情況的關(guān)系，列代數(shù)式求解即可．解：一元二次方程無(wú)實(shí)數(shù)根，則判別式解得，故選：D．【點(diǎn)睛】此題考查了一元二次方程判別式與根情況的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是掌握相關(guān)基礎(chǔ)知識(shí)，一元二次方程的判別式，當(dāng)時(shí)有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，當(dāng)時(shí)，無(wú)實(shí)數(shù)根．4.如圖，已知點(diǎn)A、B、C、D都在上，，下列說法錯(cuò)誤的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】考查了圓周角定理、垂徑定理、圓心角、弧、弦的關(guān)系，解題關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．根據(jù)題意和垂徑定理，可以得到，，，然后即可判斷各個(gè)小題中的結(jié)論是否正確，從而可以解答本題．解：∵，∴，，故A正確；，∴，,∴，故B正確；,∴，故C錯(cuò)誤；∵，∴，故D正確；故選：C．5.下列命題中真命題是（）A.相等的圓心角所對(duì)的弦相等B.正多邊形都是中心對(duì)稱圖形C.如果兩個(gè)圖形全等，那么他們一定能通過平移后互相重合D.如果一個(gè)四邊形繞對(duì)角線的交點(diǎn)旋轉(zhuǎn)90°后，所得圖形與原來(lái)的圖形重合，那么這個(gè)四邊形是正方形【答案】D【解析】【分析】本題考查了命題：判斷事物的語(yǔ)句叫命題；正確的命題叫真命題，錯(cuò)誤的命題叫假命題．依次進(jìn)行判斷即可得到答案．解：A．在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弦相等，故選項(xiàng)A是假命題；B．把一個(gè)圖形繞著某一個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來(lái)的圖形重合，那么這個(gè)圖形叫做中心對(duì)稱圖形，正方形，正六邊形等是中心對(duì)稱圖形，但正三角形，正五邊形不是中心對(duì)稱圖形，故選項(xiàng)B是假命題；C．如果兩個(gè)圖形全等，那么他們一定能通過翻折、平移和旋轉(zhuǎn)后互相重合，故選項(xiàng)C是假命題；D．如果一個(gè)四邊形繞對(duì)角線的交點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后，所得圖形與原來(lái)的圖形重合，那么這個(gè)四邊形是正方形，故選項(xiàng)D是真命題．故選：D．6.在中，，．如果以頂點(diǎn)為圓心，為半徑作，那么與邊所在直線的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)是（）A.3個(gè) B.2個(gè) C.1個(gè) D.0個(gè)．【答案】B【解析】【分析】本題考查了平行四邊形的面積，直線與圓的位置關(guān)系d、r法則，熟練掌握法則是解題的關(guān)鍵．根據(jù)面積公式計(jì)算點(diǎn)C到的距離d，比較d與半徑的大小判斷即可．解：如圖，∵在平行四邊形中，，，設(shè)點(diǎn)C到的距離為d，∴點(diǎn)C到的距離，∴直線與圓C相交，即有2個(gè)交點(diǎn)，故選：B．二．填空題（共48分）7.因式分解a4-a2=_______．【答案】【解析】試題分析：分解因式，考點(diǎn)：分解因式點(diǎn)評(píng)：本題屬于對(duì)分解因式的基本知識(shí)的考查和運(yùn)用8.化簡(jiǎn)的結(jié)果是______．【答案】1【解析】【分析】原式變形后，利用同分母分式的減法法則計(jì)算即可得到結(jié)果．解：．故答案為：1．【點(diǎn)睛】此題考查了分式的加減法，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．9.將拋物線向左平移1個(gè)單位后，得到的拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是______．【答案】【解析】【分析】本題考查了拋物線的平移，頂點(diǎn)坐標(biāo)．由題意知，平移后的拋物線解析式為，然后求頂點(diǎn)坐標(biāo)即可．解：由題意知，平移后的拋物線解析式為，∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為，故答案為：．10.函數(shù)的定義域是【答案】＞【解析】【分析】定義域是指該函數(shù)的自變量的取值范圍，根據(jù)二次根號(hào)下被開方數(shù)≥0；分式中分母不為0；即可解答.定義域是指該函數(shù)的自變量的取值范圍，二次根號(hào)下被開方數(shù)≥0；分式中分母不為0；∴∴故答案為11.已知關(guān)于x的方程的解是正數(shù)，那么m的取值范圍為______．【答案】且【解析】【分析】根據(jù)解分式方程的步驟，可得分式方程的解，再根據(jù)分式方程的解是正數(shù)，可得不等式，解不等式，可得答案，并注意分母不為零．解：由原方程去分母，得，去括號(hào)，得，解得，關(guān)于x的方程的解是正數(shù)，，解得，又，，，，故m的取值范圍為且，故答案為：且．【點(diǎn)睛】本題主要考查了解分式方程、分式方程的解、一元一次不等式等知識(shí)，能根據(jù)已知和方程的解得出m的范圍是解此題的關(guān)鍵．12.已知中，，，則_____．【答案】2【解析】【分析】過點(diǎn)A作交于點(diǎn)D，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，得到，進(jìn)而得到，再利用勾股定理求得，然后解直角三角形即可求解．解：過點(diǎn)A作交于點(diǎn)D，，，，，在中，，，∵，∴，故答案為：2．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，等角對(duì)等邊，勾股定理，解直角三角形，熟練掌握勾股定理是解題關(guān)鍵．13.正二十邊形中心角的正弦值為________【答案】##0.5【解析】【分析】本題考查正十二邊形性質(zhì)，特殊角的三角函數(shù)值等知識(shí)，先由正十二邊形的性質(zhì)得到正二十邊形中心角，再由特殊角的三角函數(shù)值求解即可得到答案，熟記正多邊形的性質(zhì)及特殊角的三角函數(shù)值是解決問題的關(guān)鍵．解：正二十邊形中心角為，正二十邊形中心角的正弦值為，故答案為：．14.如圖，正六邊形螺帽的邊長(zhǎng)是，那么這個(gè)扳手的開口的值是______．【答案】【解析】【分析】本題考查解直角三角形，等腰三角形的性質(zhì)，含角的直角三角形的性質(zhì)．由螺帽是正六邊形，可得是含角的直角三角形，再根據(jù)即可求出和．解：如圖，連接,則，過點(diǎn)作于螺帽是正六邊形，,．故答案為：．15.如圖，梯形中，，，平分，如果，，，那么是_______（用向量、表示）．【答案】【解析】【分析】本題主要考查了角平分線的定義，平行線的性質(zhì)，向量的運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握這些知識(shí)．根據(jù)角平分線的定義，平行線的性質(zhì)，推出，結(jié)合，可得，最后根據(jù)，即可求解．解：設(shè)，平分，，，，，，，，，，故答案為：．16.如圖，在中，，，．點(diǎn)在邊上，，以點(diǎn)為圓心，為半徑作．點(diǎn)在邊上，以點(diǎn)為圓心，為半徑作．如果和外切，那么長(zhǎng)為________．【答案】##【解析】【分析】本題考查的是圓和圓的位置關(guān)系、解直角三角形的知識(shí)，作于點(diǎn)H，連接，先求出，設(shè)，在中，根據(jù)勾股定理列方程即可解決．解：作于點(diǎn)H，連接，，，，在中，，，，設(shè)，和外切，半徑為2，，在中，，，解得：，故答案為：．17.如圖，在中，上的中線相交于點(diǎn)F，如果，那么的值為______．【答案】【解析】【分析】此題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)、平行線分線段成比例定理等知識(shí)，先證明，再證明，則，證明，則，設(shè)，則，得到（負(fù)值舍去），進(jìn)一步得到，則，即可得到答案．解：過點(diǎn)E作于點(diǎn)H，∴，∵上的中線相交于點(diǎn)F，∴，∴∴，∵∴∴∵，，∴∴∴設(shè)，則，∴，∴（負(fù)值舍去），∴∴，∴∴故答案為：18.如圖，在扇形中，，，點(diǎn)在半徑上，將沿著翻折，點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)恰好落在弧上，再將弧沿著翻折至?。c(diǎn)是點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)），那么的長(zhǎng)為________．【答案】##【解析】【分析】本題考查翻折性質(zhì)，圓的基本性質(zhì)，等邊三角形判定與性質(zhì)、勾股定理的應(yīng)用，連接，由翻折得，證出是等邊三角形，設(shè)，在中，根據(jù)勾股定理列方程并解出進(jìn)而求出結(jié)論．解：連接，由翻折得：，，，是等邊三角形，，，設(shè)，則，中，，，解得：（舍去），，故答案為：．三．解答題（共78分）19.計(jì)算：．【答案】【解析】【分析】本題主要考查的是實(shí)數(shù)的運(yùn)算，根據(jù)二次根式的化簡(jiǎn)，分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算，絕對(duì)值的性質(zhì)即可求解．解：20.解方程組：．【答案】或【解析】【分析】由①可得，，代入將③代入②得，求出，，然后代入求解即可．由①可得，將③代入②得，整理得，或解得，將代入③得，；將代入③得，．∴方程組的解為或．【點(diǎn)睛】本題考查了二元二次方程組解法，解題關(guān)鍵是通過因式分解將二元一次方程組轉(zhuǎn)化為兩個(gè)二元一次方程組解答．21.根據(jù)以下素材，完成探索任務(wù)．探究斜坡上兩車之間距離素材1圖①是某高架入口的橫斷面示意圖．高架路面用表示，地面用表示，斜坡用表示．已知，高架路面離地面的距離為25米，斜坡長(zhǎng)為65米．素材2如圖②，矩形為一輛大巴車的側(cè)面示意圖，長(zhǎng)為10米，長(zhǎng)為米．如圖③，該大巴車遇堵車后停在素材1中的斜坡上，矩形的頂點(diǎn)與點(diǎn)重合，點(diǎn)與指示路牌底端點(diǎn)之間的距離為米，且．小張駕駛一輛小轎車跟隨大巴車行駛，小張的眼睛到斜坡的距離為1米．問題解決任務(wù)一如圖①，求斜坡的坡比．任務(wù)二如圖③，當(dāng)小張正好可以看到整個(gè)指示路牌（即、、在同一條直線上）時(shí)，試求小張距大巴車尾的距離．【答案】任務(wù)一：斜坡的坡比；任務(wù)二：米【解析】【分析】本題考查的是解直角三角形坡度坡角問題及相似三角形判定與性質(zhì)，矩形判定與性質(zhì)，任務(wù)一：根據(jù)勾股定理求出第三邊進(jìn)而求出坡度；任務(wù)二：作交延長(zhǎng)線于點(diǎn)O，作于點(diǎn)Q，交于點(diǎn)R，通過解直角三角形結(jié)合矩形判定與性質(zhì)求出相關(guān)線段長(zhǎng)度，再證明，根據(jù)性質(zhì)求出結(jié)論即可．解：任務(wù)一：如圖①，由題意得：在中，為25米，斜坡長(zhǎng)為65米，（米），斜坡的坡比；任務(wù)二：如圖③，作交延長(zhǎng)線于點(diǎn)O，作于點(diǎn)Q，交于點(diǎn)R，則四邊形為矩形，四邊形為矩形，米，米，，為米，，解得：米，米，米，米，，，，，，解得：，經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的解，米．22.一個(gè)凸四邊形的四條邊及兩條對(duì)角線共6條線段中，如果只有兩種大小不同的長(zhǎng)度，那么稱這個(gè)四邊形為“精致四邊形”．如正方形的四條邊都相等，兩條對(duì)角線相等，且邊長(zhǎng)與對(duì)角線長(zhǎng)度不等，所以正方形是一個(gè)“精致四邊形”．（1）如圖所示的四邊形是一個(gè)“精致四邊形”，其中，．試寫出該“精致四邊形”的兩條性質(zhì)（，除外）；（2）如果一個(gè)菱形（除正方形外）是“精致四邊形”，試畫出它的大致圖形，并求出該“精致四邊形”的6條線段中較長(zhǎng)線段與較短線段長(zhǎng)度的比值；（3）如果一個(gè)梯形是“精致四邊形”，試畫出它的大致圖形，指出兩種長(zhǎng)度的線段各是哪幾條，并求出它的各內(nèi)角度數(shù)．【答案】（1）①，平分；②四邊形是軸對(duì)稱圖形，直線所在的直線是它的對(duì)稱軸；③，，（2）畫圖形見解析，該“精致四邊形”的6條線段中較長(zhǎng)線段與較短線段長(zhǎng)度的比值為（3）畫圖形見解析，兩種長(zhǎng)度的線段各是，它的各內(nèi)角度數(shù)【解析】【分析】本題考查了新定義，菱形的性質(zhì)，梯形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確理解題目所給“精致四邊形”的定義，正確畫出圖形，以及熟練掌握相關(guān)性質(zhì)定理．（1）根據(jù)題意易得是的垂直平分線，，是等邊三角形，即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)題意畫出圖形，則在菱形中，且，根據(jù)菱形的性質(zhì)得出，，，進(jìn)而得出，則；（3）根據(jù)題意畫出圖形，推出，，再根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，求出，即可解答．【小問1】解：∵，，∴是的垂直平分線，則，平分；∵，，，∴，∴，∴四邊形是軸對(duì)稱圖形，直線所在的直線是它的對(duì)稱軸；∵，∴是等邊三角形，則，∵，∴，∵，∴，∴，綜上：該“精致四邊形”的性質(zhì)有：①，平分；②四邊形是軸對(duì)稱圖形，直線所在直線是它的對(duì)稱軸；③，，．【小問2】解：畫圖∵在菱形中，且，∴，，，∴，∴．【小問3】解：畫圖，如圖：，，∵，∴，∵，∴，∵，，，∴，∴，則，∵，∴，∵，∴，則，解得：，∴，．23.如圖，中，，延長(zhǎng)至點(diǎn)，使得，過點(diǎn)、分別作，，與相交于點(diǎn)，連接．（1）求證：；（2）連接交于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)．如果，求證：．【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析【解析】【分析】本題考查平行四邊形的判定與性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，勾股定理等，解題的關(guān)鍵是掌握平行四邊形和矩形的判定方法．（1）先證四邊形是平行四邊形，得出從而證出四邊形是矩形，即可證明結(jié)論；（2）設(shè)，算出，證明，求出，進(jìn)而證出結(jié)論；【小問1】證明：，，四邊形是平行四邊形，，，，又，點(diǎn)D在的延長(zhǎng)線上，，四邊形是平行四邊形，又，四邊形是矩形，；【小問2】解：如圖，四邊形是平行四邊形，，設(shè)，，，，，，，，，，，在中，，，，在中，，，．24.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線與x軸相交于、B兩點(diǎn)，且與y軸交于點(diǎn)．（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）如果點(diǎn)D是x正半軸上一點(diǎn)，，且四邊形是菱形，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)D和點(diǎn)Q的坐標(biāo)（不需要說明理由）；（3）由平面內(nèi)不在同一直線上的一些線段首尾順次連接所組成的封閉圖形叫做多邊形，對(duì)于平面內(nèi)的一個(gè)多邊形，畫出它的任意一邊所在的直線，如果其余各邊都在這條直線的一側(cè)，那么這個(gè)多邊形叫做“凸多邊形”：否則叫做“凹多邊形”．如果點(diǎn)E是拋物線對(duì)稱軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，縱坐標(biāo)為t，且四邊形是凹四邊形（線段與線段不相交），求t的取值范圍．【答案】（1）（2），（3）【解析】【分析】（1）待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式即可；（2）先求出點(diǎn)坐標(biāo)，勾股定理逆定理求出，根據(jù)，得到為的中點(diǎn)，再根據(jù)菱形的性質(zhì)，求出點(diǎn)坐標(biāo)即可；（3）求出直線的解析式，分別求出兩條直線與對(duì)稱軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合凹四邊形的定義，討論求解即可．【小問1】解：把，代入，得：，解得：，∴；小問2】∵，當(dāng)時(shí)，解得：，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∵，∵，∴，連接，則：，∴，∴，，∵，∴，∴，∴為的中點(diǎn)，∴，∵是菱形，∴，把點(diǎn)先向右平移個(gè)單位，再向上平移個(gè)單位得到點(diǎn)，∴把點(diǎn)先向右平移個(gè)單位，再向上平移個(gè)單位得到點(diǎn)，∴；【小問3】∵，∴對(duì)稱軸為直線，∴對(duì)稱軸與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為，∵，，，∴設(shè)直線的解析式為，把代入，得：，∴，當(dāng)時(shí)，，∴直線與對(duì)稱軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為，同法可得：直線的解析式為：，直線與對(duì)稱軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為，∵點(diǎn)E是拋物線對(duì)稱軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，縱坐標(biāo)為t，且四邊形是凹四邊形，∴當(dāng)點(diǎn)