期末檢測卷-2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修第二冊

期末檢測卷-2023-2024學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期人教A版（2019）必修第二冊一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．如圖是一個正方體的平面展開圖，則在正方體中與的位置關(guān)系是（

）A．相交 B．平行 C．異面 D．垂直2．（

）A． B．C． D．3．下列說法正確的是（

）A．一個人打靶，打了10發(fā)子彈，有7發(fā)子彈中靶，因此這個人中靶的概率是B．一個同學(xué)做擲硬幣試驗，擲了6次，一定有3次正面向上C．某地發(fā)行彩票，其回報率為47%，有人花了100元錢買彩票，一定會有47元的回報D．大量試驗后，可以用頻率近似估計概率4．已知向量，，則向量在向量上的投影數(shù)量是（

）A． B． C． D．5．如果表示平面內(nèi)所有向量的一個基底，那么下列四組向量，不能作為一個基底的是（

）A．， B．，C．， D．，6．在中，，，，則角的值為（

）A． B．或 C． D．7．如圖，在中，是上的兩個三等分點，，則的值為（

）A．50 B．80 C．86 D．1108．已知圓錐的頂點為，母線長為2，軸截面為，若為底面圓周上異于的一點，且二面角的大小為，則的面積為（

）A．2 B．3 C． D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9．下列說法中正確的是（

）A．若與都是單位向量，則B．零向量的長度為零，方向是任意的C．若與是平行向量，則D．若或，則10．已知直線，，和平面，，則下列命題不正確的是（

）A．若，，則B．若，，則C．若，，，，則D．若，，，，則11．供電部門對某社區(qū)100位居民6月份人均用電情況進行統(tǒng)計后，按人均用電量分為，，，，五組，整理得到如圖所示的頻率分布直方圖，則有關(guān)這100位居民，下列說法正確的是（

）A．6月份人均用電量人數(shù)最多的一組有40人B．6月份人均用電量在內(nèi)的有30人C．6月份人均用電量不低于20度的有50人D．在這100位居民中用比例分配的分層隨機抽樣方法抽取10位居民協(xié)助收費，抽到的居民用電量在一組的人數(shù)為3三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．已知，且與互相獨立，則.13．已知向量滿足，，，則．14．鎮(zhèn)江西津渡的云臺閣，是一座宋元風(fēng)格的仿古建筑，始建于2010年，目前已成為鎮(zhèn)江市的地標(biāo)建筑之一.如圖，在云臺閣旁水平地面上共線的三點A，B，C處測得其頂點P的仰角分別為30°，60°，45°，且米，則云臺閣的高度為米.

四、解答題：本題共5小題，第15小題13分，第16、17小題15分，第18、19小題17分，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．已知向量，．(1)若，且，求向量在向量上的投影向量的坐標(biāo)；(2)若向量，且，求向量，夾角的余弦值．16．已知的內(nèi)角為A，B，C所對應(yīng)的邊分別為a，b，c，且．(1)求角C的大?。?2)若，求的面積．17．某市為了創(chuàng)建文明城市，共建美好家園，隨機選取了100名市民，就該城市創(chuàng)建的推行情況進行問卷調(diào)查，并將這100人的問卷根據(jù)其滿意度評分值（百分制）按照，，…，分成5組，制成如圖所示頻率分布直方圖.(1)求圖中x的值；(2)求這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)、平均數(shù)；(3)已知滿意度評分值在內(nèi)的男生數(shù)與女生數(shù)的比為3：2，若在滿意度評分值為的人中按照性別采用分層抽樣的方法抽取5人，并分別依次進行座談，求前2人均為男生的概率.18．如圖，已知三棱柱中，與交于點為邊上一點，為中點，且平面.求證：

(1)；(2)平面平面.19．三角形的布洛卡點是法國數(shù)學(xué)家克洛爾于1816年首次發(fā)現(xiàn)．當(dāng)內(nèi)一點滿足條件時，則稱點為的布洛卡點，角為布洛卡角．如圖，在中，角，，所對邊長分別為，，，記的面積為，點為的布洛卡點，其布洛卡角為(1)若．求證：①；②為等邊三角形．(2)若，求證：．參考答案：1．B【分析】將正方體的平面展開圖，還原為正方體，即可得答案.【詳解】由題意可將展開圖還原為如圖的正方體，故.故選：B2．D【分析】借助復(fù)數(shù)的運算法則計算即可得.【詳解】.故選：D.3．D【分析】利用概率的定義和估計方法逐個選項分析求解即可.【詳解】對于A，可得中靶的結(jié)果是頻率，不是概率；故錯誤，對于B，C，太過絕對，故錯誤，對于D，符合概率的估算方法，故正確．故選：D.4．C【分析】代入投影數(shù)量公式，即可求解.【詳解】向量在向量上的投影數(shù)量是．故選：C5．C【分析】根據(jù)平面基底的定義確定每個選項是否平行是否可以作為基底判斷各個選項即可.【詳解】根據(jù)平面基底的定義知，向量，為不共線非零向量，即不存在實數(shù)，使得，對于A中，向量和，假設(shè)存在實數(shù)，使得，顯然無解，可以作為一個基底；對于B中，向量和，假設(shè)存在實數(shù)，使得，可得無解，所以和可以作為基底；對于C中，向量和，假設(shè)存在實數(shù)，使得，可得，解得，所以和不可以作為基底；對于D中，向量和，假設(shè)存在實數(shù)，使得，可得無解，所以和可以作為基底．故選:C．6．C【分析】根據(jù)題意利用正弦定理分析求解.【詳解】由正弦定理，可得，且，可知角的值為.故選：C.7．B【分析】根據(jù)題意利用平向量基本定理將用表示出來，然后利用數(shù)量積的運算律求解即可.【詳解】因為在中，是上的兩個三等分點，，所以，，所以.故選：B8．A【分析】記為的中點，即可求出、，取的中點，連接，從而得到二面角的平面角為，即可求出、，再由勾股定理求出，即可得解.【詳解】如圖所示，記為的中點，則垂直于底面，所以，又，所以，取的中點，連接，顯然有，即二面角的平面角為，即，又，，，則，的面積為.故選：A.9．BD【分析】根據(jù)單位向量、零向量、相等向量和共線向量的定義判斷.【詳解】單位向量與的方向不一定相同，故A錯；零向量的長度為零，方向任意，故B正確；若，的模長不一定相等，故C錯；若或，則的方向相同或相反，所以，故D正確.故選：BD.10．ACD【分析】根據(jù)線面平行、面面垂直、線面垂直的判定判斷A、B、C三個選項，D選項中的不滿足面面平行的條件，故兩平面相交或平行.【詳解】A選項，根據(jù)線面平行的判定，若，，，則，故A錯誤；B選項，根據(jù)面面垂直的判定，若，，則，故B正確；C選項，根據(jù)線面垂直的判定，若，，，，，則，故C錯誤；D選項，若，，，，則平面與相交或平行，故D錯誤；故答案為：ACD.11．ACD【分析】根據(jù)題意，由頻率分布直方圖，對選項逐一計算，即可得到結(jié)果.【詳解】A：根據(jù)頻率分布直方圖知，6月份人均用電量人數(shù)最多的一組是，有（人），故A正確；B：6月份人均用電量在內(nèi)的人數(shù)為，故B錯誤；C：6月份人均用電量不低于20度的頻率是，有（人），故C正確；D：用電量在內(nèi)的有（人），所以在這位居民中用比例分配的分層隨機抽樣方法抽取10位居民協(xié)助收費，抽到的居民用電量在一組的人數(shù)為，故D正確．故選：ACD12．/【分析】根據(jù)題意，結(jié)合，結(jié)合相互獨立事件概率乘法公式，即可求解.【詳解】因為，且與相互獨立，由.故答案為：.13．/【分析】由平方結(jié)合數(shù)量積的定義即可求出．【詳解】因為，，，所以，所以，因為，所以．故答案為：．14．【分析】設(shè)，利用三角函數(shù)分別表示,然后分別中利用余弦定理表示,因為,所以,求出h即可【詳解】設(shè)在中，，.在中，,,在中，,.在中，由余弦定理得：，在中，由余弦定理得：,因為,所以，即，.故答案為：15．(1)；(2).【分析】（1）利用向量線性運算的坐標(biāo)表示，結(jié)合向量垂直的坐標(biāo)表示求出，再求出投影向量的坐標(biāo).（2）利用向量線性運算的坐標(biāo)表示，結(jié)合向量共線的坐標(biāo)表示求出，再求出向量夾角的余弦.【詳解】（1）由，，得，，由，得，即，則，所以向量在向量上的投影向量為，其坐標(biāo)為．（2）依題意，，由，得，解得，則，，，，所以.16．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)正弦定理和三角恒等變換的化簡計算即可求解；（2）由和余弦定理結(jié)合三角形的面積公式計算即可求解.【詳解】（1），由正弦定理得，即，得，即，又，所以，即，又，所以；（2）由，得，由余弦定理得，得，所以，當(dāng)時，，所以為直角三角形，，又，，所以，所以；當(dāng)時，所以.由余弦定理得，又，所以，由，解得，所以，故.17．(1)；(2)中位數(shù)，平均數(shù)77(3).【分析】（1）根據(jù)所有矩形面積之和為1求得；（2）根據(jù)頻率分布直方圖中中位數(shù)、平均數(shù)的計算方法求解；（3）抽中男生3人，女生2人，按古典概型求解.【詳解】（1）依題意，得，解得；（2）因為，，所以中位數(shù)在間，設(shè)為，則，解得.平均數(shù).（3）依題意，因為滿意度評分值在的男生數(shù)與女生數(shù)的比為3：2，按照分層抽樣的方法在其中隨機抽取5人，則抽中男生3人，女生2人，依次分別記為，，，，，對這5人依次進行座談，前2人的基本事件有：，，，，，，，，，，共10件，設(shè)“前2人均為男生”為事件，其包含的基本事件有：，，，共3個，所以.18．(1)證明見解析.(2)證明見解析.【分析】（1）由線面平行的性質(zhì)即可證明；（2）由（1）得為的中點，再證明，最后根據(jù)面面平行的判斷定理即可證明.【詳解】（1）由題意，因為平面，且平面又因為平面平面，所以由線面平行的性質(zhì)得.（2）由（1）可知，又因為點為的中點，所以為的中位線，所以為的中點，即，因為為的中點，即，又因為,所以，所以四邊形為平行四邊形，所以,又因為平面,平面，所以平面，又平面，，平面,平面，所以平面平面.19．(1)①證明見解析，②證明見解析(2)證明見解析【分析】①先根據(jù)表示出三角形得面積，再在中，由余弦定理相加，再化簡整理，即可得證；②先利用作差法證明，并求出取等號的條件，再結(jié)合即可得證；（2）根據(jù)（1）得出與的等量關(guān)系，再利用余弦定理和三角形的面積公式，化簡整理即可得證.【詳解】