新教材同步系列2024春高中數(shù)學(xué)第七章隨機(jī)變量及其分布7.3離散型隨機(jī)變量的數(shù)字特征7.3.1離散型隨機(jī)變量的均值課后提能訓(xùn)練新人教A版選擇性必修第三冊(cè)

第七章7.3A級(jí)——基礎(chǔ)過關(guān)練1．(多選)下列說法正確的有()A．隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)是個(gè)常量B．隨機(jī)變量的均值反映樣本的平均水平C．若隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)＝2，則E(2X)＝4D．隨機(jī)變量X的均值E(X)＝eq\f(1,n)(x1＋x2＋…＋xn)【答案】AC【解析】隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望E(X)是隨機(jī)變量X本身固有的一個(gè)數(shù)字特征，A正確；隨機(jī)變量的均值反映隨機(jī)變量取值的平均水平，B錯(cuò)誤；由均值的性質(zhì)可知C正確；E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn，D錯(cuò)誤．2．設(shè)隨機(jī)變量X的分布列如下表所示，且E(X)＝1.6，則a－b等于()X0123P0.1ab0.1A．0.2 B．0.1C．－0.2 D．－0.4【答案】C【解析】由0.1＋a＋b＋0.1＝1，得a＋b＝0.8.又由E(X)＝0×0.1＋1×a＋2×b＋3×0.1＝1.6，得a＋2b＝1.3，解得a＝0.3，b＝0.5，則a－b＝－0.2.3．某射擊運(yùn)動(dòng)員在競(jìng)賽中每次擊中10環(huán)得1分，擊不中10環(huán)得0分．已知他擊中10環(huán)的概率為0.8，則射擊一次得分X的期望是()A．0.2 B．0.8C．1 D．0【答案】B【解析】因?yàn)镻(X＝1)＝0.8，P(X＝0)＝0.2，所以E(X)＝1×0.8＋0×0.2＝0.8.4．離散型隨機(jī)變量X的可能取值為1，2，3，4，P(X＝k)＝ak＋b(k＝1，2，3，4)，E(X)＝3，則a＋b等于()A．10 B．5C．eq\f(1,5) D．eq\f(1,10)【答案】D【解析】易知E(X)＝1×(a＋b)＋2×(2a＋b)＋3×(3a＋b)＋4×(4a＋b)＝3，即30a＋10b＝3①.又(a＋b)＋(2a＋b)＋(3a＋b)＋(4a＋b)＝1，即10a＋4b＝1②.由①②得a＝eq\f(1,10)，b＝0.所以a＋b＝eq\f(1,10).5．(2024年河池期末)甲、乙兩臺(tái)自動(dòng)車床生產(chǎn)同種標(biāo)準(zhǔn)件，ξ表示甲車床生產(chǎn)1000件產(chǎn)品中的次品數(shù)，η表示乙車床生產(chǎn)1000件產(chǎn)品中的次品數(shù)，經(jīng)一段時(shí)間考察，ξ，η的分布列分別如下：ξ0123P0.70.10.10.1η0123P0.50.30.20據(jù)此判定()A．甲比乙質(zhì)量好 B．乙比甲質(zhì)量好C．甲與乙質(zhì)量相同 D．無法判定誰的質(zhì)量好【答案】A【解析】E(ξ)＝0×0.7＋1×0.1＋2×0.1＋3×0.1＝0.6，E(η)＝0×0.5＋1×0.3＋2×0.2＋3×0＝0.7.因?yàn)镋(η)>E(ξ)，所以甲比乙質(zhì)量好．6．已知隨機(jī)變量X的分布列如下：X123P0.20.5m若隨機(jī)變量η＝3X－1，則E(η)()A．等于4.2 B．等于18.9C．等于5.3 D．隨m變更而變更【答案】C【解析】由0.2＋0.5＋m＝1，解得m＝0.3，所以E(X)＝1×0.2＋2×0.5＋3×0.3＝2.1.又因?yàn)棣牵?X－1，所以E(η)＝3E(X)－1＝3×2.1－1＝5.3.故選C．7．(2024年杭州模擬)已知eq\f(1,4)<p<1，隨機(jī)變量X的分布列如下：X012Pp－p21－pp2給出下列命題：①P(X＝2)的值最大；②P(X＝0)<P(X＝1)；③E(X)隨著p的增大而減?。虎蹺(X)隨著p的增大而增大．其中正確的是()A．①② B．①③C．②③ D．②④【答案】D【解析】當(dāng)p＝eq\f(1,2)時(shí)，P(X＝2)＝eq\f(1,4)，P(X＝1)＝1－eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)>eq\f(1,4)，①錯(cuò)誤；因?yàn)閑q\f(1,4)<p<1，所以p－p2＝p(1－p)<1－p，即P(X＝0)<P(X＝1)，②正確；E(X)＝1－p＋2p2＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(p－\f(1,4)))eq\s\up12(2)＋eq\f(7,8)，因?yàn)閑q\f(1,4)<p<1，所以E(X)隨著p的增大而增大，③錯(cuò)誤，④正確．8．已知某一隨機(jī)變量X的分布列如下：X3b8P0.20.5a且E(X)＝6，則a＝________，b＝________．【答案】0.36【解析】由0.2＋0.5＋a＝1，解得a＝0.3.由E(X)＝3×0.2＋b×0.5＋8×a＝6，解得b＝6.9．陳老師從課本上抄錄一個(gè)隨機(jī)變量ξ的概率分布列如下：t123P(ξ＝t)？?。空?qǐng)小明同學(xué)計(jì)算ξ的數(shù)學(xué)期望，盡管“！”處完全無法看清，且兩個(gè)“？”處字跡模糊，但能確定這兩個(gè)“？”處的數(shù)值相同．據(jù)此，小明給出了正確答案E(ξ)＝________．【答案】2【解析】設(shè)“？”處為x，“！”處為y，則由分布列的性質(zhì)，得2x＋y＝1，所以期望E(ξ)＝1×P(ξ＝1)＋2×P(ξ＝2)＋3×P(ξ＝3)＝4x＋2y＝2(2x＋y)＝2.10．某小組共10人，利用假期參與義工活動(dòng)．已知參與義工活動(dòng)次數(shù)為1，2，3的人數(shù)分別為3，3，4.現(xiàn)從這10人中隨機(jī)選出2人作為該組代表參與座談會(huì)．(1)設(shè)A為事務(wù)“選出的2人參與義工活動(dòng)次數(shù)之和為4”，求事務(wù)A發(fā)生的概率；(2)設(shè)X為選出的2人參與義工活動(dòng)次數(shù)之差的確定值，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．解：(1)由已知，有P(A)＝eq\f(Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,4)＋Ceq\o\al(2,3),Ceq\o\al(2,10))＝eq\f(1,3).所以事務(wù)A發(fā)生的概率為eq\f(1,3).(2)隨機(jī)變量X的全部可能取值為0，1，2.P(X＝0)＝eq\f(Ceq\o\al(2,3)＋Ceq\o\al(2,3)＋Ceq\o\al(2,4),Ceq\o\al(2,10))＝eq\f(4,15)，P(X＝1)＝eq\f(Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,3)＋Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,4),Ceq\o\al(2,10))＝eq\f(7,15)，P(X＝2)＝eq\f(Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,4),Ceq\o\al(2,10))＝eq\f(4,15).所以隨機(jī)變量X的分布列為X012Peq\f(4,15)eq\f(7,15)eq\f(4,15)隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)＝0×eq\f(4,15)＋1×eq\f(7,15)＋2×eq\f(4,15)＝1.B級(jí)——實(shí)力提升練11．(2024年株洲期中)某聽眾參與廣播臺(tái)猜商品名稱節(jié)目，能否猜對(duì)每件商品的名稱相互獨(dú)立，該聽眾猜對(duì)三件商品A，B，C的名稱的概率及猜對(duì)時(shí)獲得的獎(jiǎng)金如下：商品ABC猜對(duì)的概率0.80.50.3獲得的獎(jiǎng)金/元100200300規(guī)則如下：只有猜對(duì)當(dāng)前商品名稱才有資格猜下一件商品．下列答題依次中，獲得的獎(jiǎng)金的均值最大的是()A．CAB B．CBAC．ABC D．BAC【答案】C【解析】依據(jù)CAB的依次獲得的獎(jiǎng)金的均值為300×0.3×0.2＋400×0.3×0.8×0.5＋600×0.3×0.8×0.5＝138(元)；依據(jù)CBA的依次獲得的獎(jiǎng)金的均值為300×0.3×0.5＋500×0.3×0.5×0.2＋600×0.3×0.5×0.8＝132(元)；依據(jù)ABC的依次獲得的獎(jiǎng)金的均值為100×0.8×0.5＋300×0.8×0.5×0.7＋600×0.8×0.5×0.3＝196(元)；依據(jù)BAC的依次獲得的獎(jiǎng)金的均值為200×0.5×0.2＋300×0.8×0.5×0.7＋600×0.8×0.5×0.3＝176(元).綜上，依據(jù)ABC的依次獲得的獎(jiǎng)金的均值最大．12．(多選)(2024年煙臺(tái)模擬)某學(xué)校共有6個(gè)學(xué)生餐廳，甲、乙、丙、丁四位同學(xué)每人隨機(jī)地選擇一家餐廳就餐(選擇每個(gè)餐廳的概率相同)，則()A．四人去四個(gè)不同餐廳就餐的概率為eq\f(5,18)B．四人去同一餐廳就餐的概率為eq\f(1,1296)C．四人中恰有兩人去第一餐廳就餐的概率為eq\f(25,216)D．四人中去第一餐廳就餐的人數(shù)的均值為eq\f(2,3)【答案】ACD【解析】四人去餐廳就餐的狀況共有64種，其中四人去四個(gè)不同餐廳就餐的狀況有Aeq\o\al(4,6)種，則四人去四個(gè)不同餐廳就餐的概率為eq\f(Aeq\o\al(4,6),64)＝eq\f(5,18)，故A正確；同理，四人去同一餐廳就餐的概率為eq\f(6,64)＝eq\f(1,216)，故B錯(cuò)誤；四人中恰有兩人去第一餐廳就餐的概率為eq\f(Ceq\o\al(2,4)×52,64)＝eq\f(25,216)，故C正確；設(shè)四人中去第一餐廳就餐的人數(shù)為ξ，則ξ＝0，1，2，3，4，則P(ξ＝0)＝eq\f(54,64)，P(ξ＝1)＝eq\f(Ceq\o\al(1,4)×53,64)，P(ξ＝2)＝eq\f(Ceq\o\al(2,4)×52,64)，P(ξ＝3)＝eq\f(Ceq\o\al(3,4)×5,64)，P(ξ＝4)＝eq\f(1,64)，故四人中去第一餐廳就餐的人數(shù)的分布列為ξ01234Peq\f(54,64)eq\f(Ceq\o\al(1,4)53,64)eq\f(Ceq\o\al(2,4)52,64)eq\f(Ceq\o\al(3,4)×5,64)eq\f(1,64)四人中去第一餐廳就餐的人數(shù)的均值E(ξ)＝0×eq\f(54,64)＋1×eq\f(Ceq\o\al(1,4)×53,64)＋2×eq\f(Ceq\o\al(2,4)×52,64)＋3×eq\f(Ceq\o\al(3,4)×5,64)＋4×eq\f(1,64)＝eq\f(2,3)，故D正確．13．節(jié)日期間，某種鮮花的進(jìn)價(jià)是每束2.5元，售價(jià)是每束5元，節(jié)后對(duì)沒有賣出的鮮花以每束1.6元處理．依據(jù)前5年節(jié)日期間對(duì)這種鮮花需求量X(束)的統(tǒng)計(jì)(如下表)，若進(jìn)這種鮮花500束在今年節(jié)日期間銷售，則利潤的均值是________元．X200300400500P0.200.350.300.15【答案】706【解析】節(jié)日期間這種鮮花需求量的均值為E(X)＝200×0.20＋300×0.35＋400×0.30＋500×0.15＝340(束).設(shè)利潤為Y，則Y＝5X＋1.6×(500－X)－500×2.5＝3.4X－450，所以E(Y)＝3.4E(X)－450＝3.4×340－450＝706(元).14．某專業(yè)資格考試包含甲、乙、丙3個(gè)科目，假設(shè)小張甲科目合格的概率為eq\f(3,4)，乙、丙科目合格的概率均為eq\f(2,3)，且3個(gè)科目是否合格相互獨(dú)立．設(shè)小張3科中合格的科目數(shù)為X，則P(X＝2)＝________，E(X)＝________.【答案】eq\f(4,9)eq\f(25,12)【解析】P(X＝2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,4)))×eq\f(2,3)×eq\f(2,3)＋eq\f(3,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))×eq\f(2,3)＋eq\f(3,4)×eq\f(2,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))＝eq\f(4,9)；P(X＝0)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,4)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))＝eq\f(1,36)，P(X＝1)＝eq\f(3,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,4)))×eq\f(2,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,4)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))×eq\f(2,3)＝eq\f(7,36)，P(X＝3)＝eq\f(3,4)×eq\f(2,3)×eq\f(2,3)＝eq\f(1,3)，所以E(X)＝0×eq\f(1,36)＋1×eq\f(7,36)＋2×eq\f(4,9)＋3×eq\f(1,3)＝eq\f(25,12).15．某班體育課組織籃球投籃考核，考核分為定點(diǎn)投籃與三步上籃兩個(gè)項(xiàng)目．每個(gè)學(xué)生在每個(gè)項(xiàng)目投籃5次，以規(guī)范動(dòng)作投中3次為考核合格，定點(diǎn)投籃考核合格得4分，否則得0分；三