湖北術州市2024-2025學年高二數(shù)學上學期11月期中試題含解析

Page20高二數(shù)學試卷考生留意：1．本試卷分選擇題和非選擇題兩部分.滿分150分，考試時間120分鐘.2．答題前，考生務必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內(nèi)項目填寫清晰.3．考生作答時，請將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑；非選擇題請用直徑0.5毫米黑色．墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效.4．本卷命題范圍：人教A版必修其次冊第十章，選擇性必修第一冊第一章～其次章.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知點在直線上，則直線的傾斜角的大小為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用傾斜角和斜率之間的關系計算即可求得傾斜角的大小為.【詳解】直線的斜率為，設直線的傾斜角為，則，因為，所以.故選：C.2.若，，則（）A.22 B. C. D.29【答案】C【解析】【分析】利用向量數(shù)量積的坐標公式即可求值.詳解】由，，得，，所以．故選：C．3.若圓的半徑為2，則實數(shù)的值為（）A.-9 B.-8 C.9 D.8【答案】D【解析】【分析】由圓的一般方程配方得出其標準方程，由半徑為2得出答案.【詳解】由，得，所以，解得.故選：D.4.如圖所示，在平行六面體中，為與交點，為的中點，若，，，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】依據(jù)空間向量線性運算法則計算可得.【詳解】因為為與的交點，所以，故.故選：B5.已知正方形的一組對邊所在的直線方程分別為和，另一組對邊所在的直線方程分別為和，則（）A.4 B. C.2 D.【答案】A【解析】【分析】依據(jù)平行線間距離公式求解即可.【詳解】直線與直線之間的距離，直線與直線之間的距離，又由正方形可知，即，解得.故選：A.6.已知圓經(jīng)過點，且圓心在直線上，若為圓上的動點，則線段為坐標原點）長度的最大值為（）A. B. C.10 D.【答案】A【解析】【分析】求出圓心和半徑，依據(jù)即可得答案.【詳解】解：線段中點的坐標為，所以線段的中垂線的斜率為，所以線段的中垂線的方程為，又圓心在直線上，由，解得，所以圓心為．所以.故選：A．7.已知木盒中有圍棋棋子15枚（形態(tài)大小完全相同，其中黑色10枚，白色5枚），小明有放回地從盒中取兩次，每次取出1枚棋子，則這兩枚棋子恰好不同色的概率是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】依據(jù)相互獨立事務與互斥事務的概率公式計算可得.【詳解】從盒中隨機取出1枚棋子，“是黑棋子”記為事務，“是白棋子”記為事務，則，，兩枚棋子恰好不同色包含：第一次取出黑棋子，其次次取出白棋子；第一次取出白棋子，其次次取出黑棋子，這兩個事務是互斥事務．第一次取出黑棋子，其次次取出白棋子相互獨立，概率為；第一次取出白棋子，其次次取出黑棋子也相互獨立，概率為．所以這兩枚棋子恰好不同色的概率是．故選：A．8.已知圓和點，，若點在圓上，且，則實數(shù)的取值范目是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用兩點距離公式結合圓的位置關系計算即可.【詳解】設，由，得，即點在圓上，易知其圓心為，半徑．又圓的圓心為，半徑，而點圓上，故圓與圓有公共點，所以，解之得，即的取值范圍是．故選：C．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.已知是空間中三個向量，則下列說法錯誤的是（）A.對于空間中的隨意一個向量，總存在實數(shù)，使得B.若是空間的一個基底，則也是空間的一個基底C.若，，則D.若所在直線兩兩共面，則共面【答案】ACD【解析】【分析】依據(jù)空間向量基本定理分別推斷.【詳解】由空間向量基本定理.可知只有當不共面時.才能作為基底，才能得到，故A錯誤：若是空間的一個基底，則不共面.也不共面，所以也是空間的一個基底，故B正確；若，，則不愿定平行，故C錯誤；若所在直線兩兩共面，則不愿定共面，故D錯誤.故選：ACD.10.從1，2，3，…9中任取兩個數(shù)，其中：①恰有一個偶數(shù)和兩個都是奇數(shù)；②至少有一個偶數(shù)和兩個都是偶數(shù)；③至少有一個奇數(shù)和兩個都是偶數(shù)；④至少有一個奇數(shù)和至少有一個偶數(shù)．在上述事務中，是互斥事務的是（）A.① B.② C.③ D.④【答案】AC【解析】【分析】依據(jù)題意，由互斥事務的定義，對選項逐一推斷，即可得到結果.【詳解】依據(jù)題意，從1，2，3，…，9中任取兩數(shù)，其中可能的狀況有“兩個奇數(shù)”“兩個偶數(shù)”“一個奇數(shù)與一個偶數(shù)”三種狀況．依次分析所給的4個事務可得，①恰有一個偶數(shù)和兩個都是奇數(shù),不能同時發(fā)生，是互斥事務；②至少有一個偶數(shù)包括“兩個偶數(shù)”與“一個奇數(shù)與一個偶數(shù)”兩種狀況，與兩個都是偶數(shù)不是互斥事務；③至少有一個奇數(shù)包括“兩個奇數(shù)”與“一個奇數(shù)與一個偶數(shù)”兩種狀況，和“兩個都是偶數(shù)”不能同時發(fā)生，是互斥事務；④至少有一個奇數(shù)包括“兩個奇數(shù)”與“一個奇數(shù)與一個偶數(shù)”兩種狀況，至少有一個偶數(shù)包括“兩個偶數(shù)”與“一個奇數(shù)與一個偶數(shù)”兩種狀況，不是互斥事務．故選:AC．11.已知直線過點，若與，軸的正半軸圍成的三角形的面積為，則的值可以是（）A. B. C. D.【答案】CD【解析】【分析】利用直線的截距式，結合基本不等式可得解.【詳解】由題意知直線在，軸上的截距存在且大于，可設的方程為（，），由直線過點，得，所以，當且僅當，即，時，等號成立，即，所以，故選：CD.12.如圖，在正四棱錐中，，，分別是，的中點，則下列說法正確的是（）A. B.直線和所成角的余弦值是C.點到直線的距離是 D.點到平面的距離是2【答案】ABC【解析】【分析】連接，利用中位線、正四棱錐的性質(zhì)推斷A；過作，交延長線于，若為中點，連接，先證為平行四邊形，由異面直線定義確定直線和所成角的平面角，再求其余弦值推斷B；中求各邊長，余弦定理求，進而求點到直線的距離推斷C；證面，等體積法有求點面距離推斷D.【詳解】A：連接，分別為，的中點，即為中位線，則，由為正四棱錐，故為正方形，則，所以，對；B：過作，交延長線于，若為中點，連接，又，即，則為平行四邊形，故，，而且，故且，即為平行四邊形，所以且，故直線和所成角，即為或其補角，及正四棱錐的性質(zhì)知：側面為等邊三角形，底面為正方形，且棱長均為，所以，，，故直線和所成角的余弦值是，對；C：中，又，則，所以，則，所以，故，所以點到直線的距離是，對；D：由上分析知：，若為底面中心，則為中點，，連接，交為，則，則，又，，面，所以面，即面，易知：，令到平面的距離為，則，由，則中上的高為，故，由，，則，所以，錯.故選：ABC三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.在用隨機數(shù)（整數(shù)）模擬“有5個男生和5個女生，從中抽選4人，求選出2個男生2個女生的概率”時，可讓計算機產(chǎn)生的隨機整數(shù)，并且代表男生，用代表女生．因為是選出4個，所以每4個隨機數(shù)作為一組．通過模擬試驗產(chǎn)生了20組隨機數(shù)：68303215705664317840452378342604534609526837981657344725657859249768605191386754由此估計“選出2個男生2個女生”的概率為______．【答案】##【解析】【分析】依據(jù)題意，由古典概型的概率計算公式，代入計算，即可得到結果.【詳解】在20組數(shù)中，6830，7840，7834，5346，0952，5734，4725，5924，6051，9138滿意要求，共10個，由此估計“選出2個男生2個女生”的概率為．故答案為：14.已知直線：，：，當時，的值為__________.【答案】

【解析】【分析】依據(jù)兩條直線的平行關系求a的值，再把a的值代入直線方程驗證平行關系，進而得出a.【詳解】因為，所以，解得或.當時，：，：，此時與重合，不符合題意；當時，：，：，此時，符合題意.綜上，的值為.故答案為：.15.自動駕駛汽車又稱無人駕駛汽車，依靠人工智能、視覺計算、雷達、監(jiān)控裝置和全球定位系統(tǒng)協(xié)同合作，讓電腦可以在沒有任何人類主動的操作下，自動平安地操作機動車輛.某自動駕駛訊車在車前點處安裝了一個雷達，此雷達的探測范圍是扇形區(qū)域.如圖所示，在平面直角坐標系中，，直線，的方程分別是，，現(xiàn)有一個圓形物體的圓心為，半徑為，圓與，分別相切于點，，則______【答案】##【解析】【分析】應用直線和圓相切求參，再結合圖形特征求面積即可.【詳解】連接，，由題意可設，又圓與相切，則，解得，由題意可得，，在中，，所以，同理，，又，所以，即.故答案為：.16.在棱長為4的正方體中，點，分別為棱，的中點，，分別為線段，上的動點（不包括端點），且，則線段的長度的最小值為__________.【答案】【解析】【分析】建系，設，，依據(jù)可得，進而利用兩點間距離公式結合二次函數(shù)分析求解.【詳解】以為坐標原點，，，所在的直線分別為軸、軸、軸，建立空間直角坐標系，如圖所示.因為點，分別為棱，的中點，所以，，設，，其中，，則，.因為，則，解得，又因為，，則，可得，所以，此時，即線段的長度的最小值為.故答案為：.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知的三個頂點分別為，，.（1）求邊上的高所在直線的方程；（2）求邊上的中線所在直線的方程.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先求得直線的斜率，利用點斜式求得邊上的高所在直線的方程.（2）先求得點坐標，再依據(jù)兩點式求得邊上的中線所在直線的方程.【小問1詳解】，所以直線的斜率為，所以直線的方程為【小問2詳解】線段的中點，所以直線所在直線方程為.18.第19屆亞運會于2024年9月23日至10月8日在杭州舉辦，為做好本次亞運會的服務工作，從某高校選拔志愿者，現(xiàn)對該校踴躍報名的100名學生進行綜合素養(yǎng)考核，依據(jù)學生考核成果分為四個等級，最終的考核狀況如下表：等級人數(shù)10404010（1）將頻率視為概率，從報名的100名學生中隨機抽取1名，求其成果等級為或的概率；（2）已知等級視為成果合格，從成果合格的學生中，依據(jù)考核狀況利用比例支配的分層隨機抽樣法抽取5名學生，再從這5名學生中選取2人進行座談會，求這2人中有等級的概率．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）依據(jù)等可能事務概率計算公式求解即可；（2）取的5名學生中成果為等級的人數(shù)分別為1，4，從這5名學生中選取2人，列舉出全部結果，依據(jù)古典概型概率計算公式計算即可.【小問1詳解】由題知，隨意抽取1人，抽到學生成果等級為或的概率為．【小問2詳解】由題知，抽取的5名學生中成果為等級的人數(shù)分別為1，4，記這5人分別為，從中抽取2人的樣本空間為，共10個樣本點，其中有等級的樣本點有，共4個，所以這2人中有等級的概率為．19.已知半徑為4的圓與直線相切，圓心在軸的負半軸上.（1）求圓的方程；（2）已知直線與圓相交于兩點，且的面積為8，求直線的方程.【答案】（1）（2）或.【解析】【分析】（1）依據(jù)直線與圓相切,依據(jù)點到直線距離公式求出圓心,再應用圓的標準方程即可;（2）依據(jù)幾何法求弦長,再結合面積公式計算即可.【小問1詳解】由已知可設圓心，則，解得或（舍），所以圓的方程為.【小問2詳解】設圓心到直線的距離為，則，即，解得，又，所以，解得，所以直線的方程為或.20.如圖，在直三棱柱中，，，D，E，F(xiàn)分別為，，的中點.（1）證明：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）取的中點G，連接，，利用線線平行證明線面平行；（2）建立空間直角坐標系，利用向量法求線面夾角正弦值.【小問1詳解】證明：取的中點，連接，，因為F，G分別為，的中點，所以，，又E為的中點，，，所以，，所以四邊形是平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面.【小問2詳解】解：在直三棱柱中，平面，又平面，平面，所以，，又，故以B為原點，，，所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系如圖所示，則，，，，所以，，，設平面的法向量為，則令得，，所以平面的一個法向量為，設直線與平面所成的角為，則，即直線與平面所成的角的正弦值為.21.一題多解是由多種途徑獲得同一數(shù)學問題的最終結論，一題多解不但達到了解題的目標要求，而且讓學生的思維得以拓展，不受固定思維模式的束縛．學生多角度、多方位地去思索解題的方案，讓解題增加了新奇 性和趣味性，并在解題中解放了解題思維模式，使得枯燥的數(shù)學解題更加豐富而多彩．假設某題共存在4種常規(guī)解法，已知小紅運用解法一、二、三、四答對的概率分別為，且各種方法能否答對互不影響，小紅運用四種解法全部答對的概率為．（1）求的值；（2）求小紅不能正確解答本題的概率；（3）求小紅運用四種解法解題，其中有三種解法答對的概率．【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）依據(jù)給定條件，利用相互獨立事務的概率公式計算得解.（2）利用對立事務及相互獨立事務的概率公式計算得解.（3）利用互斥事務及相互獨立事務的概率公式計算得解.【小問1詳解】記小紅運用解法一、二、三、四答對分別為事務，則，因為各種解法能否答對互不影響，且全部答對的概率為，