2024八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊專題4.3平行四邊形的判定定理重難點(diǎn)題型含解析新版浙教版

Page1專題4.3平行四邊形的判定定理-重難點(diǎn)題型【學(xué)問點(diǎn)1平行四邊形的判定】兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形．兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形．（3）一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形．

（4）兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形．

（5）對角線相互平分的四邊形是平行四邊形．【題型1平行四邊形的判定條件】【例1】（玄武區(qū)期中）如圖，四邊形ABCD的對角線AC，BD交于點(diǎn)O，則不能推斷四邊形ABCD是平行四邊形的是（）A．∠ABC＝∠ADC，AD∥BC B．∠ABD＝∠BDC，∠BAD＝∠DCB C．∠ABD＝∠BDC，OA＝OC D．∠ABC＝∠ADC，AB＝CD【分析】利用所給條件結(jié)合平行四邊形的判定方法進(jìn)行分析即可．【解答】解：A、∵AD∥BC，∴∠ABC+∠BAD＝180°，∵∠ABC＝∠ADC，∴∠ADC+∠BAD＝180°，∴AB∥CD，∴四邊形ABCD是平行四邊形，故此選項(xiàng)不合題意；B、∵∠ABD＝∠BDC，∠BAD＝∠DCB，∴∠ADB＝∠CBD，∴AD∥CB，∵∠ABD＝∠BDC，∴AB∥CD，∴四邊形ABCD是平行四邊形，故此選項(xiàng)不合題意；C、∵∠ABD＝∠BDC，OA＝OC，又∠AOB＝∠COD，∴△AOB≌△COD（AAS），∴DO＝BO，∴四邊形ABCD是平行四邊形，故此選項(xiàng)不合題意；D、∠ABC＝∠ADC，AB＝CD不能推斷四邊形ABCD是平行四邊形，故此選項(xiàng)符合題意；故選：D．【變式1-1】（驛城區(qū)期末）在四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于點(diǎn)O，在下列條件中，①AB∥CD，AD∥BC，②AB＝CD，AD＝BC；③AB∥CD，AD＝BC，④OA＝OC，OB＝OD，⑤AB∥CD，∠BAD＝∠BCD，能夠判定四邊形ABCD是平行四邊形的個(gè)數(shù)有（）A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)【分析】依據(jù)平行四邊形的判定定理分別進(jìn)行分析即可．【解答】解：①AB∥CD，AD∥BC，兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形可判定四邊形ABCD為平行四邊形；②AB＝CD，AD＝BC，兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形可判定四邊形ABCD為平行四邊形；③AB∥CD，AD＝BC，不能判定四邊形ABCD為平行四邊形；④OA＝OC，OB＝OD，對角線相互平分的四邊形是平行四邊形可判定四邊形ABCD為平行四邊形；⑤∵AB∥CD，∴∠BAD+∠ADC＝180°，∵∠BAD＝∠BCD，∴∠ADC+∠BCD＝180°，∴AD∥BC，兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形可判定四邊形ABCD為平行四邊形；故選：C．【變式1-2】（鳳翔縣期末）在四邊形ABCD中，對角線AC，BD相交于點(diǎn)O．給出下列四組條件：①AB∥CD，AD∥BC；②AB＝CD，AD＝BC；③AO＝CO，BO＝DO；④AB∥CD，AD＝BC．其中確定能判定這個(gè)四邊形是平行四邊形的條件有（）A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④【分析】依據(jù)平行四邊形的5個(gè)推斷定理：兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形；兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形；對角線相互平分的四邊形是平行四邊形，即可作出推斷．【解答】解：①依據(jù)平行四邊形的判定定理：兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形，可知①能推斷這個(gè)四邊形是平行四邊形；②依據(jù)平行四邊形的判定定理：兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形，可知②能推斷這個(gè)四邊形是平行四邊形；③依據(jù)平行四邊形的判定定理：兩條對角線相互平分的四邊形是平行四邊形，可知③能推斷這個(gè)四邊形是平行四邊形；④依據(jù)平行四邊形的判定定理：一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，可知④不能推斷這個(gè)四邊形是平行四邊形（例可能是等腰梯形）；故給出下列四組條件中，①②③能推斷這個(gè)四邊形是平行四邊形．故選：A．【變式1-3】（宜興市月考）四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于點(diǎn)O，給出下列四組條件：①AB∥CD，AD∥BC；②AB＝CD，AD＝BC；③AB∥CD，AD＝BC；④AO＝CO，BO＝DO．其中確定能判定這個(gè)四邊形是平行四邊形的條件有（）A．4組 B．3組 C．2組 D．1組【分析】依據(jù)平行四邊形的5個(gè)推斷定理：兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形；兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形；對角線相互平分的四邊形是平行四邊形，即可作出推斷．【解答】解：①AB∥CD，AD∥BC，能判定這個(gè)四邊形是平行四邊形，故此選項(xiàng)正確；②AB＝CD，AD＝BC，能判定這個(gè)四邊形是平行四邊形，故此選項(xiàng)正確；③AB∥CD，AD＝BC，不能判定這個(gè)四邊形是平行四邊形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；④AO＝CO，BO＝DO，能判定這個(gè)四邊形是平行四邊形，故此選項(xiàng)正確；故選：B．【題型2平行四邊形的判定與坐標(biāo)】【例2】（江油市期末）如圖，△OAB的頂點(diǎn)O、A、B的坐標(biāo)分別是（0，0）（3，0），（1，1），下列點(diǎn)M中，O、A、B、M為頂點(diǎn)的四邊形不是平行四邊形的是（）A．（1，﹣1） B．（2，﹣1） C．（﹣2，1） D．（4，1）【分析】分三種狀況，①AB為對角線時(shí)；②OB為對角線時(shí)；③OA為對角線時(shí)；分別求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，即可求解．【解答】解：分三種狀況：①AB為對角線時(shí)，∵BM∥OA，點(diǎn)O、A、B的坐標(biāo)分別是（0，0）（3，0），（1，1），∴M的坐標(biāo)為（3+1，1），即M（4，1）；②OB為對角線時(shí)，∵BM'∥OA，點(diǎn)O、A、B的坐標(biāo)分別是（0，0）（3，0），（1，1），∴M'的坐標(biāo)為（1﹣3，1），即M（﹣2，1）；③OA為對角線時(shí)，點(diǎn)M''與M'關(guān)于原點(diǎn)O對稱，∴M''的坐標(biāo)為（2，﹣1），即M（4，1）；綜上所述，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（4，1）或（﹣2，1）或（2，﹣1），故選：A．【變式2-1】（石獅市期末）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（0，0）、B（2，2）、C（3，0），若以點(diǎn)A、B、C、D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，則點(diǎn)D的坐標(biāo)不行能為（）A．（﹣1，2） B．（5，2） C．（1，﹣2） D．（2，﹣2）【分析】分三種狀況：①BC為對角線時(shí)，②AB為對角線時(shí)，③AC為對角線時(shí)；由平行四邊形的性質(zhì)簡潔得出點(diǎn)D的坐標(biāo)．【解答】解：分三種狀況：①BC為對角線時(shí)，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（5，2）②AB為對角線時(shí)，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（﹣1，2），③AC為對角線時(shí)，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，﹣2），綜上所述，點(diǎn)D的坐標(biāo)可能是（5，2）或（﹣1，2）或（1，﹣2）．故選：D．【變式2-2】（彭州市期末）如圖，Rt△OAB的兩直角邊OA、OB分別在x軸和y軸上，A（﹣2，0），B（0，4），將△OAB繞O點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△OCD，直線AC、BD交于點(diǎn)E．點(diǎn)M為直線BD上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N為x軸上的點(diǎn)，若以A，C，M，N四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，則符合條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)為．【分析】由A、B的坐標(biāo)可求得AO和OB的長，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可求得OC、OD的長，從而可求得∠AEB＝90°，再由勾股定理可求得CD和AB的長，可求得AB＝CD，可證得△ABE≌△DCE，得到OD＝OB，由B、D坐標(biāo)可求得直線BD解析式，當(dāng)M點(diǎn)在x軸上方時(shí)，則有CM∥AN，則可求得M點(diǎn)縱坐標(biāo)，代入直線BD解析式可求得M點(diǎn)坐標(biāo)，當(dāng)M點(diǎn)在x軸下方時(shí)，同理可求得M點(diǎn)縱坐標(biāo)，則可求得M點(diǎn)坐標(biāo)．【解答】解：∵A（﹣2，0），B（0，4），∴OA＝2，OB＝4，∵將△OAB繞O點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得△OCD，∴OC＝OA＝2，OD＝OB＝4，AB＝CD，∴∠ACO＝∠ECB＝∠CBE＝45°，∴∠CEB＝90°，∴∠AEB＝∠CED，且CE＝BE，在Rt△ABE和Rt△DCE中AB=CDBE=CE∴Rt△ABE≌Rt△DCE（HL），∴OD＝OB＝4，∴D（4，0），且B（0，4），∴直線BD解析式為y＝﹣x+4，當(dāng)M點(diǎn)在x軸上方時(shí)，則有CM∥AN，即CM∥x軸，∴M點(diǎn)到x軸的距離等于C點(diǎn)到x軸的距離，∴M點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2，在y＝﹣x+4中，令y＝2可得x＝2，∴M（2，2）；當(dāng)M點(diǎn)在x軸下方時(shí)，同理可得M點(diǎn)的縱坐標(biāo)為﹣2，在y＝﹣x+4中，令y＝﹣2可求得x＝6，∴M點(diǎn)的坐標(biāo)為（6，﹣2）；綜上可知M點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，2）或（6，﹣2），故答案為：（2，2）或（6，﹣2）．【變式2-3】（開封期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，0），點(diǎn)C在y的正半軸上，且OB＝2OC，在直角坐標(biāo)平面內(nèi)確定點(diǎn)D，使得以點(diǎn)D、A、B、C為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，請寫出點(diǎn)D的坐標(biāo)為（3，2）（﹣3，2）（5，﹣2）．【分析】須要分類探討：以AB為邊的平行四邊形和以AB為對角線的平行四邊形．【解答】解：如圖，①當(dāng)BC為對角線時(shí)，易求M1（3，2）；②當(dāng)AC為對角線時(shí)，CM∥AB，且CM＝AB．所以M2（﹣3，2）；③當(dāng)AB為對角線時(shí)，AC∥BM，且AC＝BM．則|My|＝OC＝2，|Mx|＝OB+OA＝5，所以M3（5，﹣2）．綜上所述，符合條件的點(diǎn)D的坐標(biāo)是M1（3，2），M2（﹣3，2），M3（5，﹣2）．故答案為：（3，2）（﹣3，2）（5，﹣2）．【題型3平行四邊形的判定與動(dòng)點(diǎn)】【例3】（陽谷縣期末）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，且AD＜BC，BC＝6cm，動(dòng)點(diǎn)P，Q分別從點(diǎn)D，B同時(shí)動(dòng)身，點(diǎn)P以1cm/s的速度向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q以2cm/s的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，幾秒后四邊形CDPQ是平行四邊形（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】由運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，則AP＝t，QC＝2t，而四邊形CDPQ是平行四邊形，所以DP＝CQ，則得方程t＝6﹣2t求解．【解答】解：設(shè)t秒后，四邊形CDPQ為平行四邊形，則DP＝tcm，QC＝（6﹣2t）cm，∵AD∥BC所以DP∥CQ，依據(jù)一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，知：DP＝CQ即可，即：t＝6﹣2t，∴t＝2，當(dāng)t＝2時(shí)，DP＝CQ＝2（cm），綜上所述，2秒后四邊形CDPQ是平行四邊形，故選：B．【變式3-1】（芝罘區(qū)期末）如圖，四邊形ABCD中，AD∥BC，AD＝8cm，BC＝12cm，M是BC上一點(diǎn)，且BM＝9cm，點(diǎn)E從點(diǎn)A動(dòng)身以1cm/s的速度向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)F從點(diǎn)C動(dòng)身，以3cm/s的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)，另一點(diǎn)也隨之停止，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s），則當(dāng)以A、M、E、F為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，t的值是（）A．34 B．3 C．3或32 D．3【分析】分兩種情形由平行四邊形的判定列出方程即可解決問題．【解答】解：①當(dāng)點(diǎn)F在線段BM上，AE＝FM時(shí)，以A、M、E、F為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，則有t＝9+3t﹣12，解得t=3②當(dāng)F在線段CM上，AE＝FM時(shí)，以A、M、E、F為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，則有t＝12﹣9﹣3t，解得t=3綜上所述，t=34或32時(shí)，以A、M、E故選：D．【變式3-2】（撫州期末）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（4，0），點(diǎn)B（﹣3，2），點(diǎn)C（0，2），點(diǎn)P從點(diǎn)B動(dòng)身，以2個(gè)單位每秒的速度沿射線BC運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)A動(dòng)身，起先以1個(gè)單位每秒的速度向原點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)，到達(dá)原點(diǎn)后立即以原來3倍的速度沿射線OA運(yùn)動(dòng)，若P，Q兩點(diǎn)同時(shí)動(dòng)身，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，則當(dāng)t＝1或3或13時(shí)，以點(diǎn)A，Q，C，P為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形．【分析】利用A、B、C的坐標(biāo)可得到OA＝4，BC＝3，BC∥x軸，依據(jù)平行四邊形的判定，當(dāng)PC＝AQ時(shí)，以點(diǎn)A，Q，C，P為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，探討：若0＜t＜32時(shí)，3﹣2t＝t；若32＜t＜4時(shí)，2t﹣3＝t；若4＜t＜163時(shí)，2t﹣3＝4﹣3（t﹣4）；若t＞163時(shí)，2【解答】解：∵A（4，0），B（﹣3，2），C（0，2），∴OA＝4，BC＝3，BC∥x軸，∵PC∥AQ，∴當(dāng)PC＝AQ時(shí)，以點(diǎn)A，Q，C，P為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，若0＜t＜32時(shí)，BP＝2t，PC＝3﹣2t，AQ＝t，此時(shí)3﹣2t＝t，解得若32＜t＜4時(shí)，BP＝2t，PC＝2t﹣3，AQ＝t，此時(shí)2t﹣3＝t，解得若4＜t＜163時(shí)，BP＝2t，PC＝2t﹣3，OQ＝3（t﹣4），AQ＝4﹣3（t﹣4），此時(shí)2t﹣3＝4﹣3（t﹣4），解得t若t＞163時(shí)，BP＝2t，PC＝2t﹣3，OQ＝3（t﹣4），AQ＝3（t﹣4）﹣4，此時(shí)2t﹣3＝3（t﹣4）﹣4，解得綜上所述，當(dāng)t為1或3或13秒時(shí)，以點(diǎn)A，Q，C，P為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形．故答案為1或3或13．【變式3-3】（惠來縣期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝20cm，BD⊥AC于點(diǎn)D，且BD＝16cm．點(diǎn)M從點(diǎn)A動(dòng)身，沿AC方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為4cm/s；同時(shí)點(diǎn)P由B點(diǎn)動(dòng)身，沿BA方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為1cm/s，過點(diǎn)P的直線PQ∥AC，交BC于點(diǎn)Q，連接PM，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s）（0＜t＜5），解答下列問題：（1）線段AD＝12cm；（2）求證：PB＝PQ；（3）當(dāng)t為何值時(shí)，以P、Q、D、M為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？【分析】（1）由勾股定理求出AD即可；（2）由等腰三角形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)得出∠PBQ＝∠PQB，再由等腰三角形的判定定理即可得出結(jié)論；（3）分兩種狀況：①當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)D的上方時(shí)，PQ＝BP＝tcm，AM＝4tcm，AD＝12cm，得出MD＝AD﹣AM＝（12﹣4t）cm，由PQ∥MD，當(dāng)PQ＝MD時(shí)，四邊形PQDM是平行四邊形，得出方程，解方程即可；②當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)D的下方時(shí)，PQ＝BP＝tcm，AM＝4tcm，AD＝12cm，得出MD＝AM﹣AD＝（4t﹣12）cm，由PQ∥MD，當(dāng)PQ＝MD時(shí)，四邊形PQDM是平行四邊形，得出方程，解方程即可．【解答】（1）解：在Rt△ABD中，由勾股定理得：AD=AB2故答案為：12；（2）證明：如圖1所示：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，即∠PBQ＝∠C，∵PQ∥AC，∴∠PQB＝∠C，∴∠PBQ＝∠PQB，∴PB＝PQ；（3）解：分兩種狀況：①當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)D的上方時(shí)，如圖2所示：由題意得：PQ＝BP＝tcm，AM＝4tcm，AD＝12cm，∴MD＝AD﹣AM＝（12﹣4t）cm，∵PQ∥AC，∴PQ∥MD，∴當(dāng)PQ＝MD時(shí)，四邊形PQDM是平行四邊形，即當(dāng)t＝（12﹣4t）cm時(shí)，四邊形PQDM是平行四邊形，解得：t=125（②當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)D的下方時(shí)，如圖3所示：依據(jù)題意得：PQ＝BP＝tcm，AM＝4tcm，AD＝12cm，∴MD＝AM﹣AD＝（4t﹣12）cm，∵PQ∥AC，∴PQ∥MD，∴當(dāng)PQ＝MD時(shí)，四邊形PQDM是平行四邊形，即當(dāng)t＝（4t﹣12）cm時(shí)，四邊形PQDM是平行四邊形，解得：t＝4（s）；綜上所述，當(dāng)t=125s或t＝4s時(shí)，以P、Q、D、【題型4平行四邊形的判定與證明】【例4】（鄆城縣模擬）如圖，F(xiàn)、C是線段AD上的兩點(diǎn)，AB∥DE，BC∥EF，AF＝DC，連結(jié)AE、BD，求證：四邊形ABDE是平行四邊形．【分析】由“ASA”可證△ABC≌△DEF，可得AB＝DE，由平行四邊形的判定可得結(jié)論．【解答】證明：∵AF＝DC，∴AF+FC＝DC+FC，∴AC＝DF，∵AB∥DE，∴∠BAC＝∠EDF，∵BC∥EF，∴∠ACB＝∠EFD，在△ABC和△DEF中，∠ACB=∠EFDAC=DF∴△ABC≌△DEF（ASA），∴AB＝DE，又∵AB∥DE，∴四邊形ABDE是平行四邊形．【變式4-1】（西安期末）如圖，在△AFC中，∠FAC＝45°，F(xiàn)E⊥AC于點(diǎn)E，在EF上取一點(diǎn)B，連接AB、BC，使得AB＝FC，過點(diǎn)A作AD⊥AF，且AD＝BC，連接CD，求證：四邊形ABCD是平行四邊形．【分析】證Rt△AEB≌Rt△FEC（HL），得BE＝CE，則∠CBE＝∠BCE＝45°，再證出∠BCE＝∠CAD，得BC∥AD，即可證出四邊形ABCD是平行四邊形；【解答】證明：∵FE⊥AC，∴∠FEA＝∠FEC＝90°，∵∠FAC＝45°，∴△AEF是等腰直角三角形，∴AE＝EF，∠AFE＝∠FAE＝45°，在Rt△AEB和Rt△FEC中，AB=FCAE=FE∴Rt△AEB≌Rt△FEC（HL），∴BE＝CE，∴∠CBE＝∠BCE＝45°，∵AD⊥AF，∴∠FAD＝90°，∴∠CAD＝90°﹣45°＝45°，∴∠BCE＝∠CAD，∴BC∥AD，又∵BC＝AD，∴四邊形ABCD是平行四邊形．【變式4-2】如圖，四邊形ABCD的對角線AC、BD相交于點(diǎn)O，過點(diǎn)O畫直線EF分別交AD、BC于點(diǎn)E、F，已知OE＝OF，且AO+AE＝CO+CF，求證：四邊形ABCD為平行四邊形．【分析】如圖，延長OA到M，使得AM＝AE，延長OC到N，使得CN＝CF．首先證明△EOM≌△FON（SAS），再證明△AEM≌△CFN（ASA），想方法提出AD＝BC，AD∥BC即可．【解答】解：如圖，延長OA到M，使得AM＝AE，延長OC到N，使得CN＝CF．∵AO+AE＝CO+CF，∴OA+OM＝OC+CN，∴OM＝ON，∵OE＝OF，∠EOM＝∠FON，∴△EOM≌△FON（SAS），∴∠M＝∠N，EM＝FN，∵AE＝AM，CN＝CF，∴∠M＝∠AEM＝∠N＝∠CFN，∴△AEM≌△CFN（ASA），∴AE＝CF，∵AO+AE＝CO+CF，∴OA＝OC，∵OE＝OF，∴△EOA≌△FOC（SSS），∴∠EAO＝∠FCO，∴AD∥CB，∵∠AOD＝COB，OA＝OC，∴△AOD≌△COB（ASA），∴AD＝CB，∴四邊形ABCD是平行四邊形．【變式4-3】（長寧區(qū)期末）已知：如圖，△ABC和△ADE都是等邊三角形，點(diǎn)D在BC邊上，EF∥BC交AC于點(diǎn)F，聯(lián)結(jié)BE．求證：四邊形BEFC為平行四邊形．【分析】證△ABE≌△ACD（SAS），得∠EBA＝∠DCA＝60°，再證∠EBC+∠BCA＝180°，則BE∥CF，然后由EF∥BC，即可得出結(jié)論．【解答】證明：∵△ABC和△ADE都是等邊三角形，∴AE＝AD，AB＝AC，∠BCA＝∠EAD＝∠BAC＝∠ABC＝60°，∴∠EAD﹣∠BAD＝∠BAC﹣∠BAD，即∠EAB＝∠DAC，在△ABE和△ACD中，AB=AC∠BAE=∠CAD∴△ABE≌△ACD（SAS），∴∠EBA＝∠DCA＝60°，∴∠EBC＝∠EBA+∠ABC＝120°，∴∠EBC+∠BCA＝180°，∴BE∥CF，又∵EF∥BC，∴四邊形BEFC為平行四邊形．【題型5二次證明平行四邊形】【例5】如圖，在平行四邊形ABCD中，AE＝CF，M、N分別為ED、FB的中點(diǎn)，試說明四邊形ENFM為平行四邊形．【分析】ME＝FN，理由為：由四邊形ABCD為平行四邊形得到對邊平行且相等，再由AE＝CF，得到BE＝DF，一組對邊平行且相等的四邊形為平行四邊形得到四邊形AECF與四邊形BEDF都為平行四邊形，利用平行四邊形的對邊平行得到四邊形MEFN為平行四邊形．【解答】證明：∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AB＝CD，AD＝BC，且AB∥CD，AD∥BC，∵AE＝CF，∴EB＝DF，∴四邊形AECF和四邊形BEDF都為平行四邊形，∴FM∥NE，F(xiàn)N∥ME，∴四邊形ENFM為平行四邊形．【變式5-1】如圖，O為四邊形ABCD的對角線BD的中點(diǎn)，過點(diǎn)O作一條直線分別與AB、CD交于點(diǎn)M、N，點(diǎn)E、F在直線MN上，且OE＝OF，AE∥CF，AE＝CF．求證：四邊形ABCD是平行四邊形．【分析】首先連接BE、DF、ED、BF，依據(jù)BO＝DO，EO＝FO可得四邊形EBFD是平行四邊形，進(jìn)而得到EB∥DF，EB＝DF，DE＝EF，DE∥BF，再證明△AEB≌△CFD可得AB＝CD，再證明△AED≌△CFB可得AD＝BC，然后依據(jù)兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形得到結(jié)論．【解答】證明：連接BE、DF、ED、BF，∵BO＝DO，EO＝FO，∴四邊形EBFD是平行四邊形，∴EB∥DF，EB＝DF，DE＝EF，DE∥BF，∴∠2＝∠1，∵AE∥CF，∴∠AEF＝∠CFE，∴∠AEF+∠1＝∠CFE+∠2，即∠AEB＝∠CFD，在△AEB和△CFD中，AE=CF∠AEB=∠CFD∴△AEB≌△CFD（SAS），∴AB＝CD，∵ED∥BF，∴∠DEF＝∠BFE，∴∠AEF﹣∠DEF＝∠CFE﹣∠BFE，即∠3＝∠4，在△AED和△CFB中，AE=CF∠3=∠4∴△AED≌△CFB（SAS），∴AD＝BC，∴四邊形ABCD是平行四邊形．【變式5-2】如圖，E、F是△ABC的邊AB、BC邊的中點(diǎn)，在AC上取G、H兩點(diǎn)，使AG＝GH＝HC，連接EG、FH并延長交于點(diǎn)D求證：四邊形ABCD是平行四邊形．【分析】連接BD交AC于O，連接BG，BH，首先證得四邊形BHDG是平行四邊形得到AO＝OC，然后利用對角線相互平分的四邊形是平行四邊形判定即可．【解答】證明：連接BD交AC于O，連接BG，BH，∵E是AB中點(diǎn)，AG＝GH，∴EG是△ABH的一條中位線，∴EG∥BH，即GD∥BH，同理可證BG∥DH，∴四邊形BHDG是平行四邊形．∴BO＝OD，GO＝OH，又∵AG＝HC，∴AG+GO＝HC+OH，即AO＝OC，又∵BO＝OD，∴四邊形ABCD是平行四邊形【變式5-3】如圖，E、F是四邊形ABCD的對角線BD上兩點(diǎn)，DF＝BE，AE∥CF，AE＝CF．求證：四邊形ABCD是平行四邊形．【分析】依據(jù)已知條件可以判定四邊形AECF是平行四邊形，則其對角線相互平分：OA＝OB，OE＝OF；結(jié)合已知條件DF＝BE，則OB＝OD．所以由“對角線相互平分是四邊形是平行四邊形”證得結(jié)論．【解答】證明：如圖，連接AF、EC，連接AC交BD于點(diǎn)O．∵AE∥CF，AE＝CF，∴四邊形AECF是平行四邊形，∴OA＝OB，OE＝OF．又∵DF＝BE，∴DF+OF＝BE+OE，即OD＝OB，∴四邊形ABCD是平行四邊形．【題型6平行四邊形的判定與性質(zhì)綜合】【例6】（西湖區(qū)校級(jí)月考）如圖，已知△ABC為等邊三角形，動(dòng)點(diǎn)P在△ABC內(nèi)，以PB，PC為邊向外作等邊三角形△PBD，△PCE．（1）若PB＝8，PC＝6，BC＝10，①求證：四邊形PEAD是平行四邊形；②求出四邊形PEAD的面積；（2）隨著點(diǎn)P在△ABC所在平面上運(yùn)動(dòng)時(shí)，當(dāng)△PBC滿足什么條件時(shí)，平行四邊形PEAD確定存在？（干脆寫出答案）【分析】（1）①證明△DBA≌△PBC（SAS），得出AD＝CP，則AD＝EP，同理△BCP≌△ACE（SAS），得出BP＝AE，則DP＝AE，即可得出結(jié)論；②證明△BPC是直角三角形，得出∠BPC＝90°，過點(diǎn)P作PH⊥AD于點(diǎn)H，由直角三角形的性質(zhì)得出PH=12DP=12（2）當(dāng)點(diǎn)P在△△ABC內(nèi)部時(shí)，由（1）①得四邊形PEAD是平行四邊形；當(dāng)點(diǎn)P在△△ABC外部，且∠BPC≠60°時(shí)，同（1）①得：△DBA≌△PBC（SAS），△BCP≌△ACE（SAS），得出AD＝CP，BP＝AE，得出AD＝EP，DP＝AE，得出四邊形PEAD是平行四邊形；當(dāng)點(diǎn)P在△△ABC外部，且∠BPC＝60°時(shí)，證出點(diǎn)P、D、E三點(diǎn)共線，P、E、A、D不能構(gòu)成四邊形；當(dāng)點(diǎn)P在直線BC下方時(shí)，四邊形PEAD不是平行四邊形；即可得出答案．【解答】（1）①證明：∵△ABC、△PBD、△PCE都是等邊三角形，∴AB＝AC＝BC，BD＝BP＝DP，CP＝CE＝EP，∠ABC＝∠DBP＝60°，∠ACB＝∠ECP＝60°，∴∠BCP＝∠ACE，∠DBA＝∠PBC，在△DBA和△PBC中，BD=BP∠DBA=∠PBC∴△DBA≌△PBC（SAS），∴AD＝CP，∴AD＝EP，同理：△BCP≌△ACE（SAS）∴BP＝AE，∴DP＝AE，∴四邊形PEAD是平行四邊形；②解：∵PB＝8，PC＝6，BC＝10，∴BC2＝PB2+PC2，∴△BPC是直角三角形，∴∠BPC＝90°，∵△PBD、△PCE都是等邊三角形，∴∠BPD＝∠CPE＝60°，∴∠DPE＝360°﹣∠BPD﹣∠CPE﹣∠BPC＝360°﹣60°﹣60°﹣90°＝150°，過點(diǎn)P作PH⊥AD于點(diǎn)H，如圖1所示：∵四邊形PEAD是平行四邊形，∴AD∥PE，∴∠HPE＝∠PHD＝90°，∴∠DPH＝60°，∴PH=12DP=∴四邊形PEAD的面積＝PH?AD＝PH?PC＝4×6＝24；（2）解：當(dāng)△PBC滿足點(diǎn)P在直線BC的上方，且∠BPC≠60°時(shí)，平行四邊形PEAD確定存在；理由如下：當(dāng)點(diǎn)P在△ABC內(nèi)部時(shí)，由（1）①得：四邊形PEAD是平行四邊形；當(dāng)點(diǎn)P在△ABC外部，且∠BPC≠60°時(shí)，如圖2所示：同（1）①得：△DBA≌△PBC（SAS），△BCP≌△ACE（SAS），∴AD＝CP，BP＝AE，∴AD＝EP，DP＝AE，∴四邊形PEAD是平行四邊形；當(dāng)點(diǎn)P在△ABC外部，且∠BPC＝60°時(shí)，如圖3所示：∵△PBD、△PCE都是等邊三角形，∴∠BPD＝∠CPE＝60°，∵∠BPC＝60°，∴∠BPD+∠BPC+∠CPE＝180°，∴點(diǎn)P、D、E三點(diǎn)共線，∴P、E、A、D不能構(gòu)成四邊形；當(dāng)點(diǎn)P在直線BC下方時(shí)，如圖4所示：很明顯，四邊形PEAD不是平行四邊形；綜上所述，當(dāng)△PBC滿足點(diǎn)P在直線BC的上方，且∠BPC≠60°時(shí)，即點(diǎn)P不在三角形ABC的外接圓上時(shí)，平行四邊形PEAD確定存在．【變式6-1】（南崗區(qū)校級(jí)月考）如圖，在△AFC中，∠FAC＝45°，F(xiàn)E⊥AC于點(diǎn)E，在EF上取一點(diǎn)B，連接AB、BC，使得AB＝FC，過點(diǎn)A作AD⊥AF，且AD＝BC，連接CD．（1）如圖1，求證：四邊形ABCD是平行四邊形；（2）如圖2，若AB平分∠FAC，延長FE交CD于點(diǎn)H，請干脆寫出與∠ABE相等的角．【分析】（1）證Rt△AEB≌Rt△FEC（HL），得BE＝CE，則∠CBE＝∠BCE＝45°，證出∠BCE＝∠CAD，得BC∥AD，即可證出四邊形ABCD是平行四邊形；（2）由平行四邊形的性質(zhì)證出∠CHB＝∠ABE，∠BAE＝∠DCA，證△ABC≌△ABF（AAS），得BC＝BF，AC＝AF，由等腰三角形的性質(zhì)得∠BCF＝∠BFC，∠FCA＝∠CFA＝45°+∠CFE，進(jìn)而得出∠BCH＝∠BAD＝∠FCA＝∠CFA＝∠ABE．【解答】（1）證明：∵FE⊥AC，∴∠FEA＝∠FEC＝90°，∵∠FAC＝45°，∴△AEF是等腰直角三角形，∴AE＝EF，∠AFE＝∠FAE＝45°，在Rt△AEB和Rt△FEC中，AB=FCAE=FE∴Rt△AEB≌Rt△FEC（HL），∴BE＝CE，∴∠CBE＝∠BCE＝45°，∵AD⊥AF，∴∠FAD＝90°，∴∠CAD＝90°﹣45°＝45°，∴∠BCE＝∠CAD，∴BC∥AD，又∵BC＝AD，∴四邊形ABCD是平行四邊形；（2）解：與∠ABE相等的角有：∠CHB、∠BCH、∠BAD、∠FCA、∠CFA；理由如下：由（1）得：Rt△AEB≌Rt△FEC，四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠BAE＝∠CFE，∠BCH＝∠BAD，AB∥CD，∴∠CHB＝∠ABE，∠BAE＝∠DCA，∵AB平分∠FAC，∴∠BAC＝∠BAF，在△ABC和△ABF中，∠BAC=∠BAF∠ACB=∠AFB=45°∴△ABC≌△ABF（AAS），∴BC＝BF，AC＝AF，∴∠BCF＝∠BFC，∠FCA＝∠CFA＝45°+∠CFE，∵∠ABE＝∠AFE+∠BAF，∴∠CHB＝∠BCH＝∠BAD＝∠FCA＝∠CFA＝∠ABE．【變式6-2】（安國市期末）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，四邊形ABCD是平行四邊形，A（﹣3，0），B（3，0），C（0，4），連接OD，點(diǎn)E是線段OD的中點(diǎn)．（1）求點(diǎn)E和點(diǎn)D的坐標(biāo)；（2）平面內(nèi)是否存在一點(diǎn)N，使以C、D、E、N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請求出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【分析】（1）由A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)，可以得到AB＝6，因?yàn)樗倪呅蜛BCD為平行四邊形，所以CD∥AB，且CD＝AB＝6，由此干脆得到D點(diǎn)坐標(biāo)，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式，得到E點(diǎn)坐標(biāo)；（2）N為動(dòng)點(diǎn)，故須要分三類探討，即CE，DE，CD均可以為對角線構(gòu)造平行四邊形，畫出草圖，依據(jù)坐標(biāo)與平移的關(guān)系，