2024年中考數(shù)學二次函數(shù)壓軸題專題05三角形面積最值問題(學生版+解析)

專題05三角形面積最值問題一、知識導航求三角形的面積是幾何題中常見問題之一，可用的方法也比較多，比如面積公式、割補、等積變形、三角函數(shù)甚至海倫公式，本文介紹的方法是在二次函數(shù)問題中常用的一種求面積的方法——鉛垂法．【問題描述】在平面直角坐標系中，已知、、，求△ABC的面積．【分析】顯然對于這樣一個位置的三角形，面積公式并不太好用，割補倒是可以一試，比如這樣：構(gòu)造矩形ADEF，用矩形面積減去三個三角形面積即可得△ABC面積．這是在“補”，同樣可以采用“割”：此處AE+AF即為A、B兩點之間的水平距離．由題意得：AE+BF=6．下求CD：根據(jù)A、B兩點坐標求得直線AB解析式為：由點C坐標（4,7）可得D點橫坐標為4，將4代入直線AB解析式得D點縱坐標為2，故D點坐標為（4,2），CD=5,．【方法總結(jié)】作以下定義：A、B兩點之間的水平距離稱為“水平寬”；過點C作x軸的垂線與AB交點為D，線段CD即為AB邊的“鉛垂高”．如圖可得：【解題步驟】（1）求A、B兩點水平距離，即水平寬；（2）過點C作x軸垂線與AB交于點D，可得點D橫坐標同點C；（3）求直線AB解析式并代入點D橫坐標，得點D縱坐標；（4）根據(jù)C、D坐標求得鉛垂高；（5）利用公式求得三角形面積．【思考】如果第3個點的位置不像上圖一般在兩定點之間，如何求面積？鉛垂法其實就是在割補，重點不在三個點位置，而是取兩個點作水平寬之后，能求出其對應(yīng)的鉛垂高！因此，動點若不在兩定點之間，方法類似：【鉛垂法大全】（1）取AB作水平寬，過點C作鉛垂高CD．（2）取AC作水平寬，過點B作BD⊥x軸交直線AC于點D，BD即對應(yīng)的鉛垂高，（3）取BC作水平寬，過點A作鉛垂高AD．甚至，還可以橫豎互換，在豎直方向作水平寬，在水平方向作鉛垂高．（4）取BC作水平寬，過點A作鉛垂高AD．（5）取AC作水平寬，過點B作鉛垂高BD．（6）取AB作水平寬，過點C作鉛垂高CD．二、典例精析例一、如圖，已知拋物線經(jīng)過，兩點，與軸的另一個交點為．（1）求該拋物線的表達式；（2）點為該拋物線上一動點（與點、不重合），設(shè)點的橫坐標為m．當點在直線的下方運動時，求的面積的最大值．【分析】（1），（2）取BC兩點之間的水平距離為水平寬，過點P作PQ⊥x軸交直線BC于點Q，則PQ即為鉛垂高．根據(jù)B、C兩點坐標得B、C水平距離為4，根據(jù)B、C兩點坐標得直線BC解析式：y=x+1，設(shè)P點坐標為（m，m2+6m+5），則點Q（m，m+1），得PQ=-m2-5m-4，考慮到水平寬是定值，故鉛垂高最大面積就最大．當時，△BCP面積最大，最大值為．【小結(jié)】選兩個定點作水平寬，設(shè)另外一個動點坐標來表示鉛垂高．例二、在平面直角坐標系中，將二次函數(shù)的圖像向右平移1個單位，再向下平移2個單位，得到如圖所示的拋物線，該拋物線與軸交于點、（點在點的左側(cè)），，經(jīng)過點的一次函數(shù)的圖像與軸正半軸交于點，且與拋物線的另一個交點為，的面積為5．（1）求拋物線和一次函數(shù)的解析式；（2）拋物線上的動點在一次函數(shù)的圖像下方，求面積的最大值，并求出此時點的坐標．【分析】（1）拋物線解析式：；一次函數(shù)解析式：．（2）顯然，當△ACE面積最大時，點E并不在AC之間．已知A（-1,0）、，設(shè)點E坐標為，過點E作EF⊥x軸交直線AD于F點，F(xiàn)點橫坐標為m，代入一次函數(shù)解析式得可得考慮到水平寬是定值，故鉛垂高最大面積最大．既然都是固定的算法，那就可以總結(jié)一點小小的結(jié)論了，對坐標系中已知三點、、，按鉛垂法思路，可得：如果能記住也不要直接用，可以當做是檢驗的方法咯．【總結(jié)】鉛垂法是求三角形面積的一種常用方法，尤其適用于二次函數(shù)大題中的三角形面積最值問題，弄明白方法原理，熟練方法步驟，加以練習，面積最值問題輕輕松松．三、中考真題演練1．（2023·遼寧阜新·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，二次函數(shù)的圖象與軸交于點和點，與y軸交于點C．

(1)求這個二次函數(shù)的表達式．(2)如圖1，二次函數(shù)圖象的對稱軸與直線交于點D，若點M是直線上方拋物線上的一個動點，求面積的最大值．2．（2023·湖南婁底·中考真題）如圖，拋物線過點、點，交y軸于點C．

(1)求b，c的值．(2)點是拋物線上的動點①當取何值時，的面積最大？并求出面積的最大值；3．（2023·黑龍江牡丹江·中考真題）如圖，拋物線與x軸交于點，，與y軸交于點C．

(1)求拋物線對應(yīng)的函數(shù)解析式，并直接寫出頂點P的坐標；(2)求的面積．注：拋物線的對稱軸是直線，頂點坐標是．4．（2023·山東青島·中考真題）如圖，在菱形中，對角線相交于點O，，．動點P從點A出發(fā)，沿方向勻速運動，速度為；同時，動點Q從點A出發(fā)，沿方向勻速運動，速度為．以為鄰邊的平行四邊形的邊與交于點E．設(shè)運動時間為，解答下列問題：

(1)當點M在上時，求t的值；(2)連接．設(shè)的面積為，求S與t的函數(shù)關(guān)系式和S的最大值；5．（2023·湖南張家界·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，已知二次函數(shù)的圖象與x軸交于點和點兩點，與y軸交于點．點D為線段上的一動點．

(1)求二次函數(shù)的表達式；(3)如圖2，過動點D作交拋物線第一象限部分于點P，連接，記與的面積和為S，當S取得最大值時，求點P的坐標，并求出此時S的最大值．8．（2023·湖南·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線經(jīng)過點和點，且與直線交于兩點（點在點的右側(cè)），點為直線上的一動點，設(shè)點的橫坐標為．

(1)求拋物線的解析式．(2)過點作軸的垂線，與拋物線交于點．若，求面積的最大值．9.（2023·湖南懷化·中考真題）如圖一所示，在平面直角坐標系中，拋物線與軸交于兩點，與軸交于點．

(1)求拋物線的函數(shù)表達式及頂點坐標；(2)點為第三象限內(nèi)拋物線上一點，作直線，連接、，求面積的最大值及此時點的坐標；10．（2023·四川達州·中考真題）如圖，拋物線過點．

(1)求拋物線的解析式；(2)設(shè)點是直線上方拋物線上一點，求出的最大面積及此時點的坐標；專題05三角形面積最值問題一、知識導航求三角形的面積是幾何題中常見問題之一，可用的方法也比較多，比如面積公式、割補、等積變形、三角函數(shù)甚至海倫公式，本文介紹的方法是在二次函數(shù)問題中常用的一種求面積的方法——鉛垂法．【問題描述】在平面直角坐標系中，已知、、，求△ABC的面積．【分析】顯然對于這樣一個位置的三角形，面積公式并不太好用，割補倒是可以一試，比如這樣：構(gòu)造矩形ADEF，用矩形面積減去三個三角形面積即可得△ABC面積．這是在“補”，同樣可以采用“割”：此處AE+AF即為A、B兩點之間的水平距離．由題意得：AE+BF=6．下求CD：根據(jù)A、B兩點坐標求得直線AB解析式為：由點C坐標（4,7）可得D點橫坐標為4，將4代入直線AB解析式得D點縱坐標為2，故D點坐標為（4,2），CD=5,．【方法總結(jié)】作以下定義：A、B兩點之間的水平距離稱為“水平寬”；過點C作x軸的垂線與AB交點為D，線段CD即為AB邊的“鉛垂高”．如圖可得：【解題步驟】（1）求A、B兩點水平距離，即水平寬；（2）過點C作x軸垂線與AB交于點D，可得點D橫坐標同點C；（3）求直線AB解析式并代入點D橫坐標，得點D縱坐標；（4）根據(jù)C、D坐標求得鉛垂高；（5）利用公式求得三角形面積．【思考】如果第3個點的位置不像上圖一般在兩定點之間，如何求面積？鉛垂法其實就是在割補，重點不在三個點位置，而是取兩個點作水平寬之后，能求出其對應(yīng)的鉛垂高！因此，動點若不在兩定點之間，方法類似：【鉛垂法大全】（1）取AB作水平寬，過點C作鉛垂高CD．（2）取AC作水平寬，過點B作BD⊥x軸交直線AC于點D，BD即對應(yīng)的鉛垂高，（3）取BC作水平寬，過點A作鉛垂高AD．甚至，還可以橫豎互換，在豎直方向作水平寬，在水平方向作鉛垂高．（4）取BC作水平寬，過點A作鉛垂高AD．（5）取AC作水平寬，過點B作鉛垂高BD．（6）取AB作水平寬，過點C作鉛垂高CD．二、典例精析例一、如圖，已知拋物線經(jīng)過，兩點，與軸的另一個交點為．（1）求該拋物線的表達式；（2）點為該拋物線上一動點（與點、不重合），設(shè)點的橫坐標為m．當點在直線的下方運動時，求的面積的最大值．【分析】（1），（2）取BC兩點之間的水平距離為水平寬，過點P作PQ⊥x軸交直線BC于點Q，則PQ即為鉛垂高．根據(jù)B、C兩點坐標得B、C水平距離為4，根據(jù)B、C兩點坐標得直線BC解析式：y=x+1，設(shè)P點坐標為（m，m2+6m+5），則點Q（m，m+1），得PQ=-m2-5m-4，考慮到水平寬是定值，故鉛垂高最大面積就最大．當時，△BCP面積最大，最大值為．【小結(jié)】選兩個定點作水平寬，設(shè)另外一個動點坐標來表示鉛垂高．例二、在平面直角坐標系中，將二次函數(shù)的圖像向右平移1個單位，再向下平移2個單位，得到如圖所示的拋物線，該拋物線與軸交于點、（點在點的左側(cè)），，經(jīng)過點的一次函數(shù)的圖像與軸正半軸交于點，且與拋物線的另一個交點為，的面積為5．（1）求拋物線和一次函數(shù)的解析式；（2）拋物線上的動點在一次函數(shù)的圖像下方，求面積的最大值，并求出此時點的坐標．【分析】（1）拋物線解析式：；一次函數(shù)解析式：．（2）顯然，當△ACE面積最大時，點E并不在AC之間．已知A（-1,0）、，設(shè)點E坐標為，過點E作EF⊥x軸交直線AD于F點，F(xiàn)點橫坐標為m，代入一次函數(shù)解析式得可得考慮到水平寬是定值，故鉛垂高最大面積最大．既然都是固定的算法，那就可以總結(jié)一點小小的結(jié)論了，對坐標系中已知三點、、，按鉛垂法思路，可得：如果能記住也不要直接用，可以當做是檢驗的方法咯．【總結(jié)】鉛垂法是求三角形面積的一種常用方法，尤其適用于二次函數(shù)大題中的三角形面積最值問題，弄明白方法原理，熟練方法步驟，加以練習，面積最值問題輕輕松松．三、中考真題演練1．（2023·遼寧阜新·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，二次函數(shù)的圖象與軸交于點和點，與y軸交于點C．

(1)求這個二次函數(shù)的表達式．(2)如圖1，二次函數(shù)圖象的對稱軸與直線交于點D，若點M是直線上方拋物線上的一個動點，求面積的最大值．【詳解】（1）解：由題意得，；（2）解：如圖1，作于，作于，交于，，，，，拋物線的對稱軸是直線：，，，，，故只需的邊上的高最大時，的面積最大，設(shè)過點與平行的直線的解析式為：，當直線與拋物線相切時，的面積最大，由得，，由△得，得，，，，，，，，；2．（2023·湖南婁底·中考真題）如圖，拋物線過點、點，交y軸于點C．

(1)求b，c的值．(2)點是拋物線上的動點①當取何值時，的面積最大？并求出面積的最大值；【詳解】（1）解：將、代入拋物線中，可得：，解得：，即：，；（2）①由（1）可知：，當時，，即，設(shè)的解析式為：，將，代入中，可得，解得：，∴的解析式為：，過點P作軸，交于點E，交軸于點，

∵，則，∴點E的橫坐標也為，則縱坐標為，∴，的面積，∵，∴當時，的面積有最大值，最大值為；3．（2023·黑龍江牡丹江·中考真題）如圖，拋物線與x軸交于點，，與y軸交于點C．

(1)求拋物線對應(yīng)的函數(shù)解析式，并直接寫出頂點P的坐標；(2)求的面積．注：拋物線的對稱軸是直線，頂點坐標是．【答案】(1)拋物線對應(yīng)的解析式，(2)【分析】（1）利用待定系數(shù)法求出拋物線的表達式，再根據(jù)解析式求點P的坐標即可；（2）求出點和拋物線頂點，，利用即可得到答案．【詳解】（1）拋物線經(jīng)過點，，，解這個方程組，得．拋物線對應(yīng)的解析式．點是拋物線的頂點坐標，，即：，，．（2）如圖，連接OP．

，，，，，，．，．【點睛】此題考查待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)等知識，掌握數(shù)形結(jié)合的思想和割補法求三角形面積是解題的關(guān)鍵．4．（2023·山東青島·中考真題）如圖，在菱形中，對角線相交于點O，，．動點P從點A出發(fā)，沿方向勻速運動，速度為；同時，動點Q從點A出發(fā)，沿方向勻速運動，速度為．以為鄰邊的平行四邊形的邊與交于點E．設(shè)運動時間為，解答下列問題：

(1)當點M在上時，求t的值；(2)連接．設(shè)的面積為，求S與t的函數(shù)關(guān)系式和S的最大值；【分析】（1）證明，則，即可求解；（2）由即可求解；【詳解】（1）∵平行四邊形，∴，，，由題意得∶，，如下圖，點在上時，

∵，，，∴，∴，則即解得：（2）如上圖，∵，∴，∵四邊形是菱形，則，∴，∴為等腰三角形，則過點作于點，則即解得∶，則，設(shè)中邊上的高為，則即：，故有最大值，當時，的最大值為；5．（2023·湖南張家界·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，已知二次函數(shù)的圖象與x軸交于點和點兩點，與y軸交于點．點D為線段上的一動點．

(1)求二次函數(shù)的表達式；(3)如圖2，過動點D作交拋物線第一象限部分于點P，連接，記與的面積和為S，當S取得最大值時，求點P的坐標，并求出此時S的最大值．【分析】（1）根據(jù)題意設(shè)拋物線的表達式為，將代入求解即可；（3）由待定系數(shù)法確定直線的表達式為，直線的表達式為，設(shè)，然后結(jié)合圖形及面積之間的關(guān)系求解即可．【詳解】（1）解：由題意可知，設(shè)拋物線的表達式為，將代入上式得：，所以拋物線的表達式為；（3）由已知點，，，設(shè)直線的表達式為，將，代入中，，解得，∴直線的表達式為，同理可得：直線的表達式為，∵，∴設(shè)直線表達式為，由（1）設(shè)，代入直線的表達式得：，∴直線的表達式為：，由，得，∴，∵P，D都在第一象限，∴，∴當時，此時P點為.．【點睛】題目主要考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，包括待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，周寬最短問題及面積問題，理解題意，熟練掌握運用二次函數(shù)的綜合性質(zhì)是解題關(guān)鍵．6．（2023·山東聊城·中考真題）如圖①，拋物線與x軸交于點，，與y軸交于點C，連接AC，BC.點P是x軸上任意一點．(1)求拋物線的表達式；(3)如圖②，當點從點A出發(fā)沿x軸向點B運動時（點P與點A，B不重合），自點P分別作，交AC于點E，作，垂足為點D．當m為何值時，面積最大，并求出最大值．【答案】(1)(2)點Q坐標，或或；(3)時，有最大值，最大值為．【分析】（1）將，代入，待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式；（3）如圖，過點D作，過點E作，垂足為G，F(xiàn)，可證，；運用待定系數(shù)法求直線解析式，直線解析式；設(shè)點，，則，，，，運用解直角三角形，中，，，中，，可得，，；中，，可得，，，，于是，從而確定時，最大值為．【詳解】（1）將，代入，得，解得∴拋物線解析式為：（3）如圖，過點D作，過點E作，垂足為G，F(xiàn)，∵，∴∴∵∴，同理可得設(shè)直線的解析式為：則，解得∴直線：同理由點，，可求得直線：設(shè)點，，則，，，中，，∴，中，∴，解得，∴∵∴；中，∴，解得，∴∵∴∴，即．∵∴時，，有最大值，最大值為．【點睛】本題考查待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，平行四邊形的性質(zhì)，一元二次方程求解，解直角三角形，結(jié)合動點運動情況，分類討論是解題的關(guān)鍵．7．（2023·湖北荊州·中考真題）已知：關(guān)于的函數(shù)．

(1)若函數(shù)的圖象與坐標軸有兩個公共點，且，則的值是___________；(2)如圖，若函數(shù)的圖象為拋物線，與軸有兩個公共點，，并與動直線交于點，連接，，，，其中交軸于點，交于點．設(shè)的面積為，的面積為．①當點為拋物線頂點時，求的面積；②探究直線在運動過程中，是否存在最大值？若存在，求出這個最大值；若不存在，說明理由．【答案】(1)0或2或(2)①6，②存在，【分析】（1）根據(jù)函數(shù)與坐標軸交點情況，分情況討論函數(shù)為一次函數(shù)和二次函數(shù)的時候，按照圖像的性質(zhì)以及與坐標軸交點的情況即可求出值．（2）①根據(jù)和的坐標點即可求出拋物線的解析式，即可求出頂點坐標，從而求出寬度，再利用和的坐標點即可求出的直線解析式，結(jié)合即可求出點坐標，從而求出寬度，最后利用面積法即可求出的面積．②觀察圖形，用值表示出點坐標，再根據(jù)平行線分線段成比例求出寬度，利用割補法表示出和，將二者相減轉(zhuǎn)化成關(guān)于的二次函數(shù)的頂點式，利用取值范圍即可求出的最小值．【詳解】（1）解：函數(shù)的圖象與坐標軸有兩個公共點，，，，當函數(shù)為一次函數(shù)時，，．當函數(shù)為二次函數(shù)時，，若函數(shù)的圖象與坐標軸有兩個公共點，即與軸，軸分別只有一個交點時，，．當函數(shù)為二次函數(shù)時，函數(shù)的圖象與坐標軸有兩個公共點，即其中一點經(jīng)過原點，，，．綜上所述，或0．故答案為：0或2或．（2）解：①如圖所示，設(shè)直線與交于點，直線與交于點．

依題意得：，解得：拋物線的解析式為：．點為拋物線頂點時，，，，，由，得直線的解析式為，在直線上，且在直線上，則的橫坐標等于的橫坐標，，，，，．故答案為：6．②存在最大值，理由如下：如圖，設(shè)直線交軸于．由①得：，，，，，，，，，，即，，，，，，，當時，有最大值，最大值為．故答案為：．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及到函數(shù)與坐標軸交點問題，二次函數(shù)與面積問題，平行線分線段成比例，解題的關(guān)鍵在于分情況討論函數(shù)與坐標軸交點問題，以及二次函數(shù)最值問題．8．（2023·湖南·中考真題）如圖，在平面直角