高中數(shù)學(xué)必修二第八章第六節(jié)《空間直線、平面的垂直》解答題提高訓(xùn)練 (十九)

必修二第八章第六節(jié)《空間直線'平面的垂直》解答題提高訓(xùn)練(19)

1.如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，P4，底面4BCO,P力=BC=CD=BD=2,AB=AD=—,

3

AC與交于點。，點M在線段PA上，且PM=3MA.

(I)證明：0M〃面PBC;

(II)求二面角B-MO-C的余弦值.

2.如圖，在五面體A8COEF中，四邊形ABCD是邊長為4的正方形，EF//BC,EF=2,CE=DE,

CE1DE,平面CDEJL平面ABCD.

(1)求證：0岳1平面后尸8(7；

(2)求三棱錐B-ADF的體積.

3.如圖，在三棱錐4-BCD中，ABLAD,BC1BD,平面AB。_L平面BCD,點E、F(E與4、D

不重合)分別在棱A。，B。上,且EF14D.

求證：(1)EF〃平面ABC；

(2)ADLAC.

4.如圖，直三棱柱ABC-4當(dāng)6的底邊長和側(cè)棱長都為2,點。在棱SB】上運動(不包括端點).

(1)若。為8名的中點，證明：CD

(2)設(shè)面力G。與面ABC所成的二面角大小為0(。為銳角)，求cos。的取值范圍.

5.如圖所示，三棱柱的側(cè)面力BB14是圓柱的軸截面，C是圓柱底面圓周上不與A、

B重合的一個點.

(1)若圓柱的軸截面是正方形，當(dāng)點C是弧AB的中點時，求異面直線&C與AB的所成角的大小

(結(jié)果用反三角函數(shù)值表示)；

(2)當(dāng)點C是弧4B的中點時，求四棱錐4-8CGB1與圓柱的體積比.

6.如圖，四邊形48CO是邊長為2的正方形，AP=PD,將三角形沿AO折起使平面PAD，平

面ABCD.

(1)若M為PC上一點，且滿足8MlpD,求證：PDA.AM；

(2)若二面角B-PC-D的余弦值為-卑，求AP的長.

7.如圖，在直角△力BC中，直角邊4c=2,乙4=603M為AB的中點，。為8c的中點，將三角

形AAMC沿著折起，使(①為A翻折后所在的點)，連接MQ.

(1)求證：MQ1&B；

(2)求直線MB與面&MC所成角的正弦值.

8.在三棱錐4-BCD中，已知CB=CD=痘，BD=2,。為8。的中點，AO1平面BCD,AO=2,

￡為AC中點.

(1)求直線A8與。E所成角的余弦值;

(2)若點尸在8c上，滿足BF=*BC,設(shè)二面角F-OE-C的大小為。，求sin。的值.

9.已知在四棱錐P-4BCD中，P4_L平面ABCD,四邊形ABCD為矩形，PA=AB=2,AD=3五,

E為棱BC上一點,且BE=2EC.

(1)求證：平面P4E平面PQE；

(2)在線段AB上是否存在點尸，使得直線PF與平面PED所成的角為30。？若存在，求出翳的值;

rD

若不存在，說明理由.

10.如圖，△力BC內(nèi)接于半圓O,AB是半圓。的直徑，四邊形3CDE為平行四邊形，BE_L平面ABC.

(1)證明：AD1DE

(2)若AC=CD=2,BC=2V3.求平面A3。與平面ACE所成銳二面角的正弦值.

11.如圖，在四棱錐P-ABC。中，底面ABCQ是直角梯形，AB//CD,AD1CD,CD=2AB,PB1

平面ABC。，E,F分別為PC和C￡＞的中點.

(1)證明：平面BE/7/平面PAO；

(2)若PB=CO=24。，求二面角4-PO-C的余弦值.

12.如圖，在四棱錐P-ABC。中，底面A8CQ為平行四邊形，平面P401平面45CZ),PA=PD,

E,尸分別為AD,P8的中點.

(1)求證：PE1BC；

(2)求證：EF〃平面PCD

13.如圖所示，正四棱錐P—ABC。中，。為底面正方形的中心，側(cè)棱PA與底面A3C0所成的角的

正切值娉

(1)求側(cè)面PAD與底面ABCD所成的二面角的大??；

(2)若E是PB的中點，求異面直線與AE所成角的正切值;

14.如圖，在多面體A8CDE尸中，ADE尸為矩形，ABC。為等腰梯形，BC//AD,BC=2,AD=4,

S.AB1BD,平面ADEF1平面ABCD,M,N分別為EF,CD的中點.

(I)求證：MN//平面ACF；

(II)若直線FC與平面AOE尸所成的角的正弦值為澤求多面體ABCDEF的體積.

15.如圖，在多面體ABCDEF中，AOEF為矩形，A8CD為等腰梯形，BC//AD,BC=2,AD=4,

S.AB1BD,平面ADEF1平面ABCD,M,N分別為EF,CD的中點.

(I)求證：MN〃平面ACF；

(11)若。5=2,求多面體A8CCEF的體積.

16.在四棱錐P—HBCD中，APAB為直角三角，乙4PB=90。且P4=C。，四邊形ABC。為

直角梯形，ABHCDR^DAB^M，E為A8的中點，尸為PE的四等分點且EF=?EP,M為

AC中點且MFJ.PE.

(1)證明：力。_1_平面A8P；

(2)設(shè)二面角A-PC-E的大小為a,求a的取值范圍.

17.如圖，F(xiàn)AABC,/.ABC=90°,EC//FA,FA=3,EC=1,

AB=2,AC=4,B。J.4c交AC于點D

(1)證明：DE1FB-,

(2)求直線OE與平面BE尸所成角的正弦值.

18.已知四棱錐E-ABCD中，四邊形A8CC為等腰梯形，AB//DC,AD=DC=2,AB=4,△40E

為等邊三角形，且平面ADEJ_平面A8CD

(1)求證：AE1BD；

(2)是否存在一點F,滿足前=4前(0<4W1),且使平面AOF與平面BCE所成的銳二面角

的余弦值為畫.若存在，求出;I的值，否則請說明理由.

13

19.如圖，邊長為2的正方形A8CD所在的平面與半圓弧fb所在平面垂直，例是fb上異于C,。的

(1)證明：平面AMDJ_平面BMC；

(2)當(dāng)三棱錐M-ABC體積最大時，求面AMB與面MCD所成二面角的正弦值.

20.如圖，點C是以AB為直徑的圓上的動點(異于A,B),己知AB=2,AE=小，四邊形BECC

為矩形，平面ABC1平面BCDE.設(shè)平面E4O與平面48c的交線為，.

D

(1)證明：，_1_平面4。。；

(2)當(dāng)三棱錐4-BCE的體積最大時，求平面ACE與平面ABC所成的銳二面角的余弦值.

【答案與解析】

1.答案：解：（1）由已知可得A48C三△40C,

.?.4C_LBC且。為BQ的中點，

由BC=CD=BD=2,AB=AD=―,得04=—,0C=V3.

33

.**-A-O=-1=-A-M-,

AC4AP

所以。M〃PC,

又。MC平面PBC,PCu平面PBC,

所以0M〃面PBC;

（2）以直線。8為x軸，直線。C為），軸，過點。作平面ABC。的垂線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系

如圖所示，

則8(1,0,0),C(0,V3,0),0),M(0,-y,i).

.?.麗=(-2,0,0),MD=(-l,Y,-j)-CD=(-l,-V3,0).

(m-RD=-2x=0,

設(shè)平面M3。的法向量沆=Qj,z),則］——,V3i

m-MD=-x+—y--z=O

3Z2t

?y=遮,得記=(0,但2)

(n-CD=-a—y/3b=0,

設(shè)平面MCI)的法向量元=(a,。，c),則——>V3i

n-MD=—aH—b—c=0.

32

令人=遮，得元=(-3,8,8).

一、mn19V133

???cos<m,n>=,—=-7=——7==-----,

|m|-|n|V7X2V1914

???二面角B-MD-C為銳二面角，二二面角8-MD-C的余弦值為叵

14

解析：本題考查線面平行和二面角，中檔題，

(1)根據(jù)線面平行判定定理即可；

(2)分別求兩個平面的法向量，利用平面的法向量求二面角即可，

2.答案：解：(1)證明：因為平面CDE,平面ABC￡>,

平面CCEn平面ABC。=CD且BC1.CD,

所以BC1平面CDE,又因為DEu平面CDE,所以BCJ.DE,

因為CE1DE,BCnCE=C,BCu平面EFBC,CEu平面EFBC,

所以。E1平面EFBC,

(2)因為EF〃BC,BCu平面4BCQEFC平面ABC。，

所以E"/平面ABC。，

所以尸點到平面ABCD的距離等于E點到平面ABCD的距離,

所以VB-ADF=^F-ABD—^E-ABD'

取CO中點0,連結(jié)EO,

因為「EDE.CE±平面CDE_L平面4BCD,

所以EO1平曲1BCD,

即棱錐E-ABD的高為EO=2,

又知SMBD=-X4X4=8,

所以=~xShABDxEO=-x8x2=—.

解析：本題考查線面垂直的證明，考查三棱錐的體積的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位

置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題.

(1)通過平面與平面垂直的性質(zhì)定理得到BC_L平面CDE,進(jìn)一步可得BCIDE,再根據(jù)直線與平面

垂直的判定定理可得CE，平面EFBC；

(2)利用等體積法轉(zhuǎn)化為求三棱錐E-4BD的體積可得解.

3.答案：證明：(1)因為4BJ.4。，EFX.AD,且A、B、E、尸四點共面，

所以4B〃EF,

又因為EF<4平面ABC,ABu平面ABC,

所以由線面平行判定定理可知：EF〃平面ABC；

(2)因為平面ABD平面8CQ,平面4BDn平面BCD=BD,BCu平面BCD,

所以BC1平面ABO,又40u平面ABD,

所以BCJ.AD,

又因為AD148,且ABCBC=B,AB,BCu平面ABC,

所以40J?平面ABC,又ACu平面A8C,所以4D14C.

解析：本題考查線面平行及線線垂直的判定，考查空間想象能力，涉及線面平行判定定理，線面垂

直的性質(zhì)及判定定理，注意解題方法的積累，屬于中檔題.

⑴利用/B〃EF及線面平行判定定理可得結(jié)論：

(2)利用面面垂直的性質(zhì)定理可知BC_L平面ABD,則BC1AD,結(jié)合線面垂直的判定定理可知4。J■平

面A8C,從而可得結(jié)論.

4.答案：解：(1)取BC的中點M,連接AM,CXM.

因為△ABC為正三角形，則4M1BC,

由已知BCCBB]=B,BC,8當(dāng)u平面BBiQC,

則4M_L平面BBiGC,

又CDu平面B&GC,

所以AM1CD.①

因為8。=CM=1,BC=CCr=2,則Rt△DBC三RtAMCCr,

所以=從而4CC1與“GM互余，所以CiUC'D②,

結(jié)合①②知，又AMCGM=M,AM,GMu平面4MG，

所以CD_L平面4MQ,

又gu平面力MG，所以C。14cl.

(2)分別延長CB,G。相交于E,連結(jié)AE,則二面角C-4E-B的平面角為仇

作BF_LAE,垂足為凡連結(jié)。凡則DFJ.AE,所以4BFD=8.

設(shè)BE=Q＞。)，由余弦定理可得=由等面積可得.=卷,

由相似三角形性質(zhì)可得B0=靠.

在*RntADBF中，Atan8A=B^D=而2.V-x+-2x-+4=-2JiL-2X.2JCi-2-

因為x+&221工=4,當(dāng)且僅當(dāng)％=2時等號成立，

X7X

2

則1＜tan。＜君,

所以8S”后白(今號

解析：本題考查直線、平面垂直的判斷與性質(zhì)，考查二面角及其平面角，余弦定理的應(yīng)用，屬于中

檔題.

(1)取8c的中點M,證明AM1CD,CMLCD,然后證明CD■1平面AMC1即可.

(2)分別延長CB,GD相交于E,連結(jié)4E,則二面角D—4E-B的平面角為。，適當(dāng)選取一個自變量

x,建立。的三角函數(shù)與x的函數(shù)關(guān)系，然后求值域即可.

5.答案：解：(1)如圖，取BC的中點。，連接OO,AD,則0?！?iC,

???乙40。(或其補角)為異面直線41c與AB1的所成角,

設(shè)正方形的邊長為2,則△力0D中，。。=24母=在，4。=近，40=叵

2122

「35「

2+5-2V3

:.cosZ.AOD=-------=—

2xax坐

V5

???Z-AOD=arccos—;

6

(2)設(shè)圓柱的底面半徑為r,母線長度為h,

當(dāng)點。是弧AB的中點時，AC=BC=V2r?

匕1-BCC181=I-(V2r)?(V2r)-h=|r2/i,U圓柱=兀/八,

K41-BCC1B1：L圓柱=2：37r.

解析：本小題主要考查直線與直線的位置關(guān)系，以及幾何體的體積等基礎(chǔ)知識，考查空間想象能力、

運算求解能力、推理論證能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題.

(1)取8c的中點C,連接OD,AD,貝|JOD〃&C,乙4。。(或其補角)為異面直線41c與4叢的所成角，

利用余弦定理，可求異面直線4c與2a的所成角的大?。?/p>

(2)設(shè)圓柱的底面半徑為r,母線長度為〃，當(dāng)點C是弧弧AB的中點時，求出三棱柱力的

體積，求出三棱錐&-4BC的體積為，從而求出四棱錐&-BCCiBi的體積，再求出圓柱的體積，

即可求出四棱錐4-BCCiBi與圓柱的體積比.

6.答案：解：(1)證明：因為平面PA。_L平面ABCD,平面P40C平面4BC。=4。，

ABu平面ABC。，AB1AD,所以AB_L平面PAQ,

又PDu平面PAD,所以P。1AB,

又P01BM,ABCtBM=B,所以PD_L平面ABM,

AMu平面ABM,所以PD14M；

(2)取4。中點。，以。為坐標(biāo)原點，分別以瓦?，而，聲方向為x,y,z軸正方向，建立如圖所示的

空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)OP=a,則有C(-l,2,0),￡>(-1,0,0),P(0,0,a),

可得方=(2,0,0),CD=(0,-2,0)，CP=(l,-2,a)>

設(shè)記=Oi，yi，Zi)為平面PBC的一個法向量，

則有怔受=°,即片__n.令y1=a,則沆=(0二,2),

I話?CP=0舊-2yl+%=°八

設(shè)記=(久2，為，22)為平面PC。的一個法向量，

則有出?包=0,即匚2y2”令X2=a,則元=(見0,-1),

tn-CP=0U2-2y2+az2=0

因為黑=?，可得叵,

|7n||n|5V?2+4Va2+l5

解得a=1,所以AP=sm=A/2.

解析：本題主要考查面面垂直的性質(zhì)，空間中直線與直線垂直的判定，以及利用空間向量求二面角

的余弦值，屬于中檔題.

(1)由面面垂直可得PO14B,結(jié)合可證明P。_L平面ABM,進(jìn)而可得POJ.AM.

⑵以雨，松，前方向為x,y,z軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)OP=a,求出平面PBC和平面

PC。的法向量，根據(jù)二面角的余弦值為-卑建立等式求出a的值，即可求出AP的長.

7.答案：(1)證明：取&8的中點為N,連接MN,NQ,因為4MlMB,

所以48=2魚，BC=2V3.力母=2,所以4CJ.4B,

又NQ曹AC所以A1B_LQN,

又A&MB為等腰三角形，所以4B1NM,

MNCQN=N,MN,QNu面MNQ,

所以_1_面知代。，

MQu面MNQ,

所以MQ14$.

(2)解:MQ1BALMQ1BC,BCnBAr=B,BC,BA1u面&CB,

所以QM_1面&。8,

取OB所在直線為x軸，。例所在直線為y軸，過。點作面HCB的垂線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)

系，

則B(b,0,0),C(-V3,0>0),M(0,l,0),4式-當(dāng)0,平),

設(shè)面4MC一個法向量為有=(x,y,x),CM=(V3,1.0),

西=(季0,孚)，得取z=-l,x=&，y=-巫,

n—(V2,—V6,-1),

又麗=(V3,-l,0),

sin。=|cos(n,MB)|=等=當(dāng)，

直線MB與面4MC所成角的正弦值為冬

解析：本題主要考查線面垂直的判定，利用空間向量求線面的夾角，屬于中檔題.

(1)根據(jù)題意取為B的中點為N,連接MN,NQ得到1QN和1NM,進(jìn)而得到，面MNQ

即可；

(2)取OB所在直線為x軸，QM所在直線為y軸，過。點作面MCB的垂線為z軸，建立空間直角坐

標(biāo)系，得到B(遮,0,0),

C(-V3,0,0),M(0,l,0),做-9,0,乎)進(jìn)而得到面&MC一個法向量為元=(企,一痣一1)和前=

(V5,-1,0)即可.

8.答案：解：（1）如圖，連接OC,rCB=CD,。為8。的中點，COJLBD.

以O(shè)為坐標(biāo)原點，分別以08,OC,0A所在直線為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系.

???BD=2,AOB=0D=1,則0C=VBC2-0B2=4=2.

B(l,0,0),/I(0,0,2),C(0,2,0),0(-1,0,0),

???E是AC的中點，???￡((),1,1),

.?.同=(1,0,-2),DE=(1,1,1).

設(shè)直線48與。E所成角為a,

則c°sa=萼獸=

\ABi\DE\V一1+4-V、1+1+1="15

即直線AB與。E所成角的余弦值為普；

(2)???BF=\BC,ABF=ifiC,

設(shè)F(x,y,z),則z)=p0),???F?*,0).

.-.DE=(1,1,1)-DF=DC=(1,2,0).

設(shè)平面QEF的一個法向量為沅=(%i，yi，Zi).

m-DE=/+y1+Z[=0

由m-DF=缶+%=0取與=-2,得沆=（一2,7,—5）；

設(shè)平面OEC的一個法向量為元=（x,y,z）-

=222

由：S：：：Co°……皿

.?沆/?=|4+7-5|=巫

**\COSU\一|m||n|-V4+49+25-V4+1+1.13

sin"V-cos2。==醇

解析：本題考查利用空間向量求空間角，考查運算求解能力，是中檔題.

(1)由題意畫出圖形，連接。C,由已知可得C01BD,以。為坐標(biāo)原點，分別以0C,04所在

直線為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出所用點的坐標(biāo)，得到而=(1,0,—2)，屁=(1,1,1)，

設(shè)直線AB與。E所成角為a,由兩向量所成角的余弦值，可得直線AB與QE所成角的余弦值；

(2)由BF=；BC,得前=；配，設(shè)F(x,y,z),由向量等式求得F?*,0),進(jìn)一步求出平面。EF的

一個法向量與平面OEC的一個法向量，由兩法向量所成角的余弦值求得cos。，再由同角三角函數(shù)基

本關(guān)系式求解sin。.

9.答案：解：(1)由題意可知：BE=2V2,CE=V2.AE=y/AB2+BE2=V4T8=2V3.

DE-A/4+2-V6，

易得AE24-DE2=18=AD2,所以AE1DE.

因為241平面ABCD,DEu平面ABCD,所以241DE.

因為P4n4E=4PA.4Eu平面PAE.

所以O(shè)E，平面P4E.

因為CEu平面PDE,所以平面PAE_L平面PDE.

(2)由(1)知，PA,AB,AO兩兩垂直，

以4為坐標(biāo)原點，射線AB,AD,AP分別為x,y,z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系,

則E(2,2/,0),D(0,3V2,0).P(0,0,2),

設(shè)F(a,0,0)(0<a<2).ED=(-2,72,0).PD=(0,372,-2).

設(shè)平面PED的法向量記=(x,y,z),

則布?麗=。且記?麗=0,即一2x+或y=0且3近y—2z=0,

令y=&,得x=l,z=3,所以而=(1,e,3).

PF=(a,0,-2).cos(記，兩>=?￡+“

因為°<a<2,所以點匕:位<0,

所以直線尸尸與平面PEO所成角的正弦為石磊方.

根據(jù)已知，而■荷=%整理得。2+6a-12=0,解得a=仞一3(舍去負(fù)值),

因為04舊一3c同-3=2，

故在線段A8上存在點F,使得直線尸產(chǎn)與平面PEO所成的角為30。.

4F=VH-3，F(xiàn)B=2-AF=5-V21,竺=

FB5-\[212

解析：本題考查了面面垂直的判定、直線與平面所成角和利用空間向量求線面的夾角，是中檔題.

(1)由勾股定理得AE1DE.因為PAJ■平面ABC￡>,得PA，DE.可得DEJ■平面PAE,由面面垂直的判

定即可得證.

(2)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)F(a,0,0)(0<a<2),即兩=(見0,—2)，再得出平面尸切的法向量，

由空間向量求解可得結(jié)果.

10.答案：(1)證明：因為四邊形BCOE為平行四邊形，所以BE〃CD,BC//DE,

因為BE1平面A8C,所以CD1平面4BC,BCu平面ABC,所以CDJ.BC,

因為A8是半圓。的直徑，所以4clBC,ACQCD=C,

AC,CDc^FffiACD,所以8cl平面AC。，

因為BC〃DE,所以CEL平面AC。，

因為ADu平面ACD,所以4D1DE,

(2)解：以C為原點，刀，而，擊的方向分別為x,y,z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)

系C—xyz,

E

則4(2。0),8(0,2遮,0),C(0,0,0),D(0,0,2),E(0,2,叫,2),

從而荏=(一2,0，遮)，AD=(-2,0,2),CA=(2,0,0),CE=(0,273,2)，

設(shè)平面A3。的法向量為沅=(%i，ypzi),

則(布?荏=-2%1+2V3yx=0,

Im?AD=-2x1+2zi=0,

令％i=y/3，得沆=(V3,l,b),

設(shè)平面ACE的法向量為詁=(x2,y2fz2)f

則行0=2氏=0,

[n-CE=2V5y2+^z2=0，

令=1，得五=(0』，一百)，

,—?->、mn0+1-3y/7

cos<m,n>=-z——；=--p----,

|m|-|n|2777

???平面ABD與平面ACE所成銳二面角的正弦值Ji一(一?y=手,

故平面ABD與平面ACE所成銳二面角的正弦值為史.

7

解析：本題考查線線垂直的證明，考查二面角的正弦值的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注

意空間思維能力的培養(yǎng).

(1)推導(dǎo)出CD1BC,AC1BC,從而BC1平面ACD,又BC〃DE,進(jìn)而DE1平面ACD,由此得到

AD1DE.

(2)以C為原點，石?，方，方的方向分別為x,y,z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系C-xyz,

利用向量法能求出平面ABO與平面ACE所成二面角的余弦值，然后即可得平面ABD與平面ACE所

成銳二面角的正弦值.

11.答案：解：(1)證明：因為E,尸分別為PC和CD的中點，

所以EF〃PD,

又EF不在平面PAD內(nèi)，PDu平面PAD,

故EF〃平面PAD,

因為CD=24B,所以AB=DF,

Y.AB//DF,AD1CD,

所以四邊形AQF8是矩形，

所以B/7/40,

因為BF不在平面PAD內(nèi)，ADu平面PAD,

故8尸〃平面PAD,

因為EFu平面BEF,BFu平面8EF,EFCBF=F,

所以平面BEF〃平面PAD；

(2)因為PB_L平面ABCD,ABu平面ABCD,BFu平面A8C￡>,

所以PB1AB,PB1BF,

由(1)知AB1BF,即AB,PB,8尸兩兩垂直，

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系8-xyz,

設(shè)CO=2AB=2,則PB=CD=2AD=2,

所以4(0,0,1),P(0,2,0),Z)(l,0,1),C(l,0,-1),

所以百<=(0,-2,1)，麗=(1,一2,1)，PC=(1,-2,-1)>

設(shè)平面APD的一個法向量為沅=(x,y,z),

所以產(chǎn)更=0,即「2y+j=0

kn-PD=0{x-2y+z=0

令z=2,得x=0,y=1,所以記=(0,1,2),

設(shè)平面CPD的法向量為丘=(a力，c),

所那三=。，即『一

<n-PD=0(Q-2b+c=°

令a=2,得匕=1,c=0,所以有=(2/，0),

所以cos<m,n>=q

|二m|-二|n|=V/5XV55

結(jié)合圖形可得二面角4-PO-C的平面角為鈍角，

故二面角4—PD-C的余弦值為一

解析：本題考查了面面平行的判定，運用空間向量求二面角的方法，考查了空間想象能力和運算求

解能力，屬于中檔題.

⑴根據(jù)已知條件證明EF〃平面PAD,BF〃平面PAD,然后結(jié)合面面平行的判定證明即可；

(2)建立空間直角坐標(biāo)系，求出相應(yīng)點的坐標(biāo)，運用向量法求二面角的余弦值即可.

12.答案：證：(1)；PA=P。，且E為的中點，

???PE1AD.

???平面24。1平面ABCD,平面R4Dn平面4BC。=AD,且PEu平面PAD,

PE，平面ABCD,

???BCu平面ABCD,PE1BCt

(2)如圖，取PC中點G,連接尸G,GD.

vF,G分別為PB和PC的中點，

FG//BC,且FG=^BC,

???四邊形A8CO為平行四邊形，且E為A。的中點，

■■ED//BC.DE=^BC,

ED//FG,S.ED=FG,

???四邊形EFG。為平行四邊形，

EF//GD.

又EFC平面PCD,GDu平面PCD,

EF〃平面PCD.

解析：本題考查線面平行的判定、面面垂直、線面垂直的性質(zhì)，考查推理能力，屬中檔題.

(1)利用面面垂直的性質(zhì)可證PE，平面ABCD,BCu平面ABCD,即可證明PE1BC；

(2)取PC中點G,可證四邊形EFGD為平行四邊形，即可證得EF〃平面PCD.

13.答案：解：(1)連接AC、8。交于點0,連接P0,則P。，面ABCC,

?1?"2。就是PA與底面ABCD所成的角，tan"A。=漁，

2

設(shè)AB=1,則P。=AO-tan^PAO=^x—=—,

222

設(shè)F為4。中點，連尸0、PF,

易知。FlAD,PFLAD,所以NPFO就是側(cè)面PA。與底面ABC。所成二面角的平面角,

:.乙PFO=60°,即側(cè)面PA。與底面ABCD所成二面角的大小為60。；

(2)連接EO,由于。為8。中點，E為PB中點，所以，E0裳PD，

??.N4E0就是異面直線PD與AE所成的角.

在Rt△P。。中，PD=ylOD2+PO2=EO=―，

24

由4018。，4。1PO可知/。，面P3O,所以，AO1F0,

V2

在RtZkAOE中，tan^AE。=胎=,=竿，

~4~

即異面直線PD與AE所成角的正切值為出.

5

解析：本題主要考查了異面直線所成角及二面角的平面角的求解，考查了空間想象能力與計算能力,

屬于中檔題.

(1)連接AC、8。交于點。，連接P。，則NPF0就是側(cè)面PA。與底面A8CO所成二面角的平面角，

在Rt△POF中可求NPF。即可；

(2)容易證明E04/。，可得Z4E。就是異面直線PQ與AE所成的角，在RtA/lOE中求解

14.答案：解：(I)如圖，取A。的中點0.連接OM,ON.

在矩形AOE尸中，：。，"分別為線段A￡),EF的中點，

???0M//AF.

又0MC平面ACF,AFu平面ACF,

0M〃平面ACF.

在△ACD中，丫。，N分別為線段A。，co的中點，

VON//AC.

又ONC平面ACF,ACu平面ACF,

ON〃平面ACF.

又OMCON=0,OM,ON平面MOM

.??平面MON〃平面ACF.

又MNu平面MON,

MN〃平面ACE

(n)如圖,取BC的中點r.連接。T.

???四邊形ABC。是等腰梯形，。為A。的中點，

0rl40.

???平面4DEF1平面ABC。，平面4DEFn平面力BCD=AD,。7u平面ABC。，

OT1平面ADEF.

以。為坐標(biāo)原點，分別以討，0D，麗方向為x軸，)，軸，z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角

坐標(biāo)系Oxyz.

XT

連接。B.在△力BD中，???ABd.BD,AD=4,

???OB=-AD=2.

2

■:BC=2,

???BT=1.

在RMOBT中，。7="

設(shè)AF=h.

則C(百,1,0)，F(xiàn)(0,—2,h),FC=(73,3,-ft).

取平面4OEE的一個法向量為五=(1,0,0).

??.sin<FC,n>=1百=3.解得h=2.

V3+9+/124

連接BE.

^ABCDEF=^B-ADEF+^B-CDE=^B-ADEF+^E-BDC

11

=QSADEF,OT+-S^BCD?DE

=ix2x4xV3+-xix2xV3x2=".

3323

解析：本題主要考查線面平行的判定定理，利用空間向量求多面體體積，屬于較難題.

⑴取4。的中點0.連接OM,ON.證明。M〃平面4CF.ON〃平面ZCF.得到平面MON〃平面力CF.由

面面平行的性質(zhì)定理即可完成證明；

（2）以。為坐標(biāo)原點，分別以赤，OD,而方向為x軸，），軸，z軸的正方向，建立如圖所示的空間

直角坐標(biāo)系Oxyz.求出平面AQEF的法向量，由直線FC與平面AOEF所成的角的正弦值為更，求出

4

AF,再由匕8CDEF=^B-ADEF+，B-CDE=^B-ADEF+%-BDC即可求解.

15.答案：解：（I）如圖，取AO的中點0.連接OM,ON.

在矩形4DEF中，rO,用分別為線段AO,EF的中點，

???OM//AF.

又?！癈平面ACF,AFu平面ACF,

OM〃平面ACF.

在△ACD中，丫。，N分別為線段A。，CD的中點，

???ONUAC.

又ON仁平面ACF,ACu平面ACF,

ON〃平面ACF.

又。MCION=0,OM,ONu平面MON,

.??平面MON〃平面ACF.

又MNu平面MON,AMN〃平面ACF.

（口）如圖，過點C作CH14。于H.

???平面ADEFJ"平面ABC。，平面4DEFn平面力BCD=4D,CHu平面ABC。,

CHJL平面ADEF.

同理DE1平面ABCD.

連接。8,0c.在△ABO中，vABLBD,AD=4,

OB=-AD=2.

2

同理OC=2.

???BC=2,.?.等邊△OBC的高為即?！?遍.

連接BE.

???^ABCDEF=^B-ADEF+^B-CDE=^B-ADEF+^E-BCD

=*的七尸C'〃+：S&B「D,DE

?*v

=-x2x4xV3+-x-x2xV3x2

332

=io

3

解析：本題主要考查線面平行的判定定理、面面平行的判定定理、面面垂直的性質(zhì)定理、考查多面

體體積的計算，屬中檔題.

（I）取4。的中點0.連接OM,ON,則由OM〃4F可得OM〃平面ACF,再證得ON〃平面ACF,

根據(jù)面面平行的判定定理，可得平面MON〃平面ACF,從而可得MN〃平面ACF.

（口）過點C作CH14D于H,由面面垂直的性質(zhì)定理，可得DE_L平面ABCQ,

^ABCDEF~^B-ADEF+^B-CDE=^B-ADEF+^E-BCD,從而可得最后結(jié)果.

16.答案：證明：（1）取尸E中點N,連接DN,AN,

在直角梯形ABC。中，CD[/AB,E為AB中點，

所以四邊形AECZ）為矩形，所以M為QE中點，所以例尸為ADEN中位線,

又MF1PE,所以O(shè)N1PE,

又在直角△4BP中，AP=^AB,所以A4EP為等邊三角形，所以4N1PE

又DNCAN=N,所以PEJJNSAND

所以PE1AD,又因為2。1AB且ABCtPE=E所以4D1平面ABP.

(2)如圖，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz,

不妨設(shè)4B=2P4=2,AD=h>0,則4(0,0,0),pg*,o),E(0,l,0),C(0,l,h),

所以定=(_%/),而=律《,0)，F(xiàn)P=(f,-1,O),

設(shè)平面EPC的一個法向量為訪=(Xi，yi，zj,

￡1

九O

正T2+-+4=

12

則

o則

-以

=1-=O

當(dāng)

前T

-o1OV3

-=

22

所以沆=(1,遮,0),

同理可得平面PAC的一個法向量元=(1,-返，的

由圖可知，二面角a為銳二面角,

沆標(biāo)I_口二3]__1⑺1

所以cosa=同問一回.而耳一后’2,

所以aG

解析：本題考查了立體幾何的綜合應(yīng)用，涉及了線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理的應(yīng)用、利用向量

法求解二面角的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是建立合適的空間直角坐標(biāo)系，得到所需的向量，將問題轉(zhuǎn)化為

空間向量之間的關(guān)系進(jìn)行研究，屬于中檔題.

(1)取PE的中點N,連結(jié)DMAN,利用平面幾何知識證明得到4N1PE,DN1PE,然后再利用

線面垂直的判定定理進(jìn)行證明即可；

(2)建立合適的空間直角坐標(biāo)系，求出所需各點的坐標(biāo)，然后求出兩個平面的法向量，利用二面角的

計算公式表示出cosa,利用cosa的取值范圍求解a的范圍即可.

17.答案：(1)證明(法一)：在△ABC中，^ABC=90°,AB=2,AC=4,BC=2y[3

因為BDJ.AC交AC于點。，

所以4。=1,CD=3.

因為尸4"L平面ABC,EC//FA,EC=1,FA=3,

所以△FAD三△￡>(?￡1,

所以乙FDA=4DEC,

所以4F。4+乙EDC=4DEC+乙EDC=90°,

所以4FDE=90°,

所以尸。1DE；

因為凡4_L平面ABC,BDu平面ABC,

所以凡41BD,

又因為BD14C,ACCtFA=A,AC,F4U二面角FACE.

所以BD_L平面FACE,

因為OEu平面FACE,

所以8。JLDE.

又因為BDnFD=D,

所以DE1平面FBD,

又FBu平面FBD,

所以DE1FB.

證明(法二)：如圖，。為原點，分別以QB,DCx,y軸，建立空間直角坐標(biāo)系,

在44BC中，^ABC=90°,AB=2,AC=4,BC=2百；

因為BDJ.AC交AC于點。，

所以AD=1,CD=3,

所以D(0,0,0),4(0,—1,0),C(0,3,0),F(0,—1,3),E(0,3,l),8(75,0,0);

則屁=(0,3,1),BF=(-V3,-l,3);

所以而?麗=0，所以DE1BF.

(2)解：由⑴可知近=(-V3,3,1),SF=(-V3,-1,3),DE=(0,3,1),

設(shè)平面BEF的法向量為元=(x,y,z),

所以匡元=0,

99元=0

wnf-V3^+3y+z=0

即｛L，

(—V3x—y+3z=0

令％=8，則y=|,x=\，

所以五=（遍

設(shè)直線DE與平面8Eb所成角為

|前可_|3x|+.l_\/3

則sin。=g.』+&)；+(軟=T-

解析：(1)證法一：利用空間中的垂直關(guān)系，證明DE1平面尸80,得出QE1FB.

證法二：建立空間直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)表示向量，利用數(shù)量積為0證明DELFB.

(2)利用空間向量求出直線QE與平面BEF所成角的正弦值.

本題考查了空間中的垂直關(guān)系應(yīng)用問題，也考查了空間角的計算問題，也考查了推理與計算能力,

是中檔題.

18.答案：(1)取AB,A。的中點G,H,連接。G、EH,

■■BG=1AB=CD,BG//CD,

二四邊形8C￡>G是平行四邊形，DG=BC=AG=AD=2,

.?.△ADG為等邊三角形，DG=^AB,

???△4BD是直角三角形，

AD1BD.

???平面ADE1平面ABCD,BDu平面ABCD,AD=平面ADEn平面ABCD,

BDJ■平面ADE,

vAEu平面ADE,

???AE1BD-,

(2)尸為EB中點即可滿足條件.

取A。的中點”，連接EH,則EH=百，BD=2>/3，如圖建立空間直角坐標(biāo)系。一xyz,

則。(0,0,0),4(2,0,0),8(0,2低0),C(-1,73,0),E(l,0,遮),

則方=(2,0,0),CB=(l,V3,0).~EB=(-1,2V3,-V3),

EF=XEB=(-2,2V3A,-V3A)，

DF=(1-A,2V3A,V3-V3A)，

設(shè)平面A力尸的法向量為布=Qi，yi，Zi),平面BCE的法向量為元=。2/2*2).

-m=。行((1-A)x+2V3Ay+(V3-V3A)z=0

xx1,取鉆=(0,4-1,24),

-m=0=0

得h2+V3y2=0,

y取元=(一百,1,3).

{-x2+2V3y2-V3Z2=0'

|A-1+6A|V65

于是|COS＜沆,元＞翳-后赤帝

1=13

解得；1=;或;1=一式舍去)

所以存在4=J使得平面尸與平面BCE所成的銳二面角的余弦值為叵.

213

解析：本題考查線面垂直的判定與性質(zhì)和二面角，屬于中檔題；

(1)取AB,40的中點G,H,連接。G、EH,先證8。_L平面AOE,由4Eu平面AZJE,可得4E1B