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文檔簡介
必修二第八章第六節(jié)《空間直線'平面的垂直》解答題提高訓(xùn)練(19)
1.如圖所示,在四棱錐P-ABCD中,P4,底面4BCO,P力=BC=CD=BD=2,AB=AD=—,
3
AC與交于點。,點M在線段PA上,且PM=3MA.
(I)證明:0M〃面PBC;
(II)求二面角B-MO-C的余弦值.
2.如圖,在五面體A8COEF中,四邊形ABCD是邊長為4的正方形,EF//BC,EF=2,CE=DE,
CE1DE,平面CDEJL平面ABCD.
(1)求證:0岳1平面后尸8(7;
(2)求三棱錐B-ADF的體積.
3.如圖,在三棱錐4-BCD中,ABLAD,BC1BD,平面AB。_L平面BCD,點E、F(E與4、D
不重合)分別在棱A。,B。上,且EF14D.
求證:(1)EF〃平面ABC;
(2)ADLAC.
4.如圖,直三棱柱ABC-4當(dāng)6的底邊長和側(cè)棱長都為2,點。在棱SB】上運動(不包括端點).
(1)若。為8名的中點,證明:CD
(2)設(shè)面力G。與面ABC所成的二面角大小為0(。為銳角),求cos。的取值范圍.
5.如圖所示,三棱柱的側(cè)面力BB14是圓柱的軸截面,C是圓柱底面圓周上不與A、
B重合的一個點.
(1)若圓柱的軸截面是正方形,當(dāng)點C是弧AB的中點時,求異面直線&C與AB的所成角的大小
(結(jié)果用反三角函數(shù)值表示);
(2)當(dāng)點C是弧4B的中點時,求四棱錐4-8CGB1與圓柱的體積比.
6.如圖,四邊形48CO是邊長為2的正方形,AP=PD,將三角形沿AO折起使平面PAD,平
面ABCD.
(1)若M為PC上一點,且滿足8MlpD,求證:PDA.AM;
(2)若二面角B-PC-D的余弦值為-卑,求AP的長.
7.如圖,在直角△力BC中,直角邊4c=2,乙4=603M為AB的中點,。為8c的中點,將三角
形AAMC沿著折起,使(①為A翻折后所在的點),連接MQ.
(1)求證:MQ1&B;
(2)求直線MB與面&MC所成角的正弦值.
8.在三棱錐4-BCD中,已知CB=CD=痘,BD=2,。為8。的中點,AO1平面BCD,AO=2,
£為AC中點.
(1)求直線A8與。E所成角的余弦值;
(2)若點尸在8c上,滿足BF=*BC,設(shè)二面角F-OE-C的大小為。,求sin。的值.
9.已知在四棱錐P-4BCD中,P4_L平面ABCD,四邊形ABCD為矩形,PA=AB=2,AD=3五,
E為棱BC上一點,且BE=2EC.
(1)求證:平面P4E平面PQE;
(2)在線段AB上是否存在點尸,使得直線PF與平面PED所成的角為30。?若存在,求出翳的值;
rD
若不存在,說明理由.
10.如圖,△力BC內(nèi)接于半圓O,AB是半圓。的直徑,四邊形3CDE為平行四邊形,BE_L平面ABC.
(1)證明:AD1DE
(2)若AC=CD=2,BC=2V3.求平面A3。與平面ACE所成銳二面角的正弦值.
11.如圖,在四棱錐P-ABC。中,底面ABCQ是直角梯形,AB//CD,AD1CD,CD=2AB,PB1
平面ABC。,E,F分別為PC和C£>的中點.
(1)證明:平面BE/7/平面PAO;
(2)若PB=CO=24。,求二面角4-PO-C的余弦值.
12.如圖,在四棱錐P-ABC。中,底面A8CQ為平行四邊形,平面P401平面45CZ),PA=PD,
E,尸分別為AD,P8的中點.
(1)求證:PE1BC;
(2)求證:EF〃平面PCD
13.如圖所示,正四棱錐P—ABC。中,。為底面正方形的中心,側(cè)棱PA與底面A3C0所成的角的
正切值娉
(1)求側(cè)面PAD與底面ABCD所成的二面角的大??;
(2)若E是PB的中點,求異面直線與AE所成角的正切值;
14.如圖,在多面體A8CDE尸中,ADE尸為矩形,ABC。為等腰梯形,BC//AD,BC=2,AD=4,
S.AB1BD,平面ADEF1平面ABCD,M,N分別為EF,CD的中點.
(I)求證:MN//平面ACF;
(II)若直線FC與平面AOE尸所成的角的正弦值為澤求多面體ABCDEF的體積.
15.如圖,在多面體ABCDEF中,AOEF為矩形,A8CD為等腰梯形,BC//AD,BC=2,AD=4,
S.AB1BD,平面ADEF1平面ABCD,M,N分別為EF,CD的中點.
(I)求證:MN〃平面ACF;
(11)若。5=2,求多面體A8CCEF的體積.
16.在四棱錐P—HBCD中,APAB為直角三角,乙4PB=90。且P4=C。,四邊形ABC。為
直角梯形,ABHCDR^DAB^M,E為A8的中點,尸為PE的四等分點且EF=?EP,M為
AC中點且MFJ.PE.
(1)證明:力。_1_平面A8P;
(2)設(shè)二面角A-PC-E的大小為a,求a的取值范圍.
17.如圖,F(xiàn)AABC,/.ABC=90°,EC//FA,FA=3,EC=1,
AB=2,AC=4,B。J.4c交AC于點D
(1)證明:DE1FB-,
(2)求直線OE與平面BE尸所成角的正弦值.
18.已知四棱錐E-ABCD中,四邊形A8CC為等腰梯形,AB//DC,AD=DC=2,AB=4,△40E
為等邊三角形,且平面ADEJ_平面A8CD
(1)求證:AE1BD;
(2)是否存在一點F,滿足前=4前(0<4W1),且使平面AOF與平面BCE所成的銳二面角
的余弦值為畫.若存在,求出;I的值,否則請說明理由.
13
19.如圖,邊長為2的正方形A8CD所在的平面與半圓弧fb所在平面垂直,例是fb上異于C,。的
(1)證明:平面AMDJ_平面BMC;
(2)當(dāng)三棱錐M-ABC體積最大時,求面AMB與面MCD所成二面角的正弦值.
20.如圖,點C是以AB為直徑的圓上的動點(異于A,B),己知AB=2,AE=小,四邊形BECC
為矩形,平面ABC1平面BCDE.設(shè)平面E4O與平面48c的交線為,.
D
(1)證明:,_1_平面4。。;
(2)當(dāng)三棱錐4-BCE的體積最大時,求平面ACE與平面ABC所成的銳二面角的余弦值.
【答案與解析】
1.答案:解:(1)由已知可得A48C三△40C,
.?.4C_LBC且。為BQ的中點,
由BC=CD=BD=2,AB=AD=―,得04=—,0C=V3.
33
.**-A-O=-1=-A-M-,
AC4AP
所以。M〃PC,
又。MC平面PBC,PCu平面PBC,
所以0M〃面PBC;
(2)以直線。8為x軸,直線。C為),軸,過點。作平面ABC。的垂線為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系
如圖所示,
則8(1,0,0),C(0,V3,0),0),M(0,-y,i).
.?.麗=(-2,0,0),MD=(-l,Y,-j)-CD=(-l,-V3,0).
(m-RD=-2x=0,
設(shè)平面M3。的法向量沆=Qj,z),則]——,V3i
m-MD=-x+—y--z=O
3Z2t
?y=遮,得記=(0,但2)
(n-CD=-a—y/3b=0,
設(shè)平面MCI)的法向量元=(a,。,c),則——>V3i
n-MD=—aH—b—c=0.
32
令人=遮,得元=(-3,8,8).
一、mn19V133
???cos<m,n>=,—=-7=——7==-----,
|m|-|n|V7X2V1914
???二面角B-MD-C為銳二面角,二二面角8-MD-C的余弦值為叵
14
解析:本題考查線面平行和二面角,中檔題,
(1)根據(jù)線面平行判定定理即可;
(2)分別求兩個平面的法向量,利用平面的法向量求二面角即可,
2.答案:解:(1)證明:因為平面CDE,平面ABC£>,
平面CCEn平面ABC。=CD且BC1.CD,
所以BC1平面CDE,又因為DEu平面CDE,所以BCJ.DE,
因為CE1DE,BCnCE=C,BCu平面EFBC,CEu平面EFBC,
所以。E1平面EFBC,
(2)因為EF〃BC,BCu平面4BCQEFC平面ABC。,
所以E"/平面ABC。,
所以尸點到平面ABCD的距離等于E點到平面ABCD的距離,
所以VB-ADF=^F-ABD—^E-ABD'
取CO中點0,連結(jié)EO,
因為「EDE.CE±平面CDE_L平面4BCD,
所以EO1平曲1BCD,
即棱錐E-ABD的高為EO=2,
又知SMBD=-X4X4=8,
所以=~xShABDxEO=-x8x2=—.
解析:本題考查線面垂直的證明,考查三棱錐的體積的求法,考查空間中線線、線面、面面間的位
置關(guān)系等基礎(chǔ)知識,考查運算求解能力,考查數(shù)形結(jié)合思想,是中檔題.
(1)通過平面與平面垂直的性質(zhì)定理得到BC_L平面CDE,進(jìn)一步可得BCIDE,再根據(jù)直線與平面
垂直的判定定理可得CE,平面EFBC;
(2)利用等體積法轉(zhuǎn)化為求三棱錐E-4BD的體積可得解.
3.答案:證明:(1)因為4BJ.4。,EFX.AD,且A、B、E、尸四點共面,
所以4B〃EF,
又因為EF<4平面ABC,ABu平面ABC,
所以由線面平行判定定理可知:EF〃平面ABC;
(2)因為平面ABD平面8CQ,平面4BDn平面BCD=BD,BCu平面BCD,
所以BC1平面ABO,又40u平面ABD,
所以BCJ.AD,
又因為AD148,且ABCBC=B,AB,BCu平面ABC,
所以40J?平面ABC,又ACu平面A8C,所以4D14C.
解析:本題考查線面平行及線線垂直的判定,考查空間想象能力,涉及線面平行判定定理,線面垂
直的性質(zhì)及判定定理,注意解題方法的積累,屬于中檔題.
⑴利用/B〃EF及線面平行判定定理可得結(jié)論:
(2)利用面面垂直的性質(zhì)定理可知BC_L平面ABD,則BC1AD,結(jié)合線面垂直的判定定理可知4。J■平
面A8C,從而可得結(jié)論.
4.答案:解:(1)取BC的中點M,連接AM,CXM.
因為△ABC為正三角形,則4M1BC,
由已知BCCBB]=B,BC,8當(dāng)u平面BBiQC,
則4M_L平面BBiGC,
又CDu平面B&GC,
所以AM1CD.①
因為8。=CM=1,BC=CCr=2,則Rt△DBC三RtAMCCr,
所以=從而4CC1與“GM互余,所以CiUC'D②,
結(jié)合①②知,又AMCGM=M,AM,GMu平面4MG,
所以CD_L平面4MQ,
又gu平面力MG,所以C。14cl.
(2)分別延長CB,G。相交于E,連結(jié)AE,則二面角C-4E-B的平面角為仇
作BF_LAE,垂足為凡連結(jié)。凡則DFJ.AE,所以4BFD=8.
設(shè)BE=Q>。),由余弦定理可得=由等面積可得.=卷,
由相似三角形性質(zhì)可得B0=靠.
在*RntADBF中,Atan8A=B^D=而2.V-x+-2x-+4=-2JiL-2X.2JCi-2-
因為x+&221工=4,當(dāng)且僅當(dāng)%=2時等號成立,
X7X
2
則1<tan。<君,
所以8S”后白(今號
解析:本題考查直線、平面垂直的判斷與性質(zhì),考查二面角及其平面角,余弦定理的應(yīng)用,屬于中
檔題.
(1)取8c的中點M,證明AM1CD,CMLCD,然后證明CD■1平面AMC1即可.
(2)分別延長CB,GD相交于E,連結(jié)4E,則二面角D—4E-B的平面角為。,適當(dāng)選取一個自變量
x,建立。的三角函數(shù)與x的函數(shù)關(guān)系,然后求值域即可.
5.答案:解:(1)如圖,取BC的中點。,連接OO,AD,則0?!?iC,
???乙40。(或其補角)為異面直線41c與AB1的所成角,
設(shè)正方形的邊長為2,則△力0D中,。。=24母=在,4。=近,40=叵
2122
「35「
2+5-2V3
:.cosZ.AOD=-------=—
2xax坐
V5
???Z-AOD=arccos—;
6
(2)設(shè)圓柱的底面半徑為r,母線長度為h,
當(dāng)點。是弧AB的中點時,AC=BC=V2r?
匕1-BCC181=I-(V2r)?(V2r)-h=|r2/i,U圓柱=兀/八,
K41-BCC1B1:L圓柱=2:37r.
解析:本小題主要考查直線與直線的位置關(guān)系,以及幾何體的體積等基礎(chǔ)知識,考查空間想象能力、
運算求解能力、推理論證能力,考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想,屬于中檔題.
(1)取8c的中點C,連接OD,AD,貝|JOD〃&C,乙4。。(或其補角)為異面直線41c與4叢的所成角,
利用余弦定理,可求異面直線4c與2a的所成角的大?。?/p>
(2)設(shè)圓柱的底面半徑為r,母線長度為〃,當(dāng)點C是弧弧AB的中點時,求出三棱柱力的
體積,求出三棱錐&-4BC的體積為,從而求出四棱錐&-BCCiBi的體積,再求出圓柱的體積,
即可求出四棱錐4-BCCiBi與圓柱的體積比.
6.答案:解:(1)證明:因為平面PA。_L平面ABCD,平面P40C平面4BC。=4。,
ABu平面ABC。,AB1AD,所以AB_L平面PAQ,
又PDu平面PAD,所以P。1AB,
又P01BM,ABCtBM=B,所以PD_L平面ABM,
AMu平面ABM,所以PD14M;
(2)取4。中點。,以。為坐標(biāo)原點,分別以瓦?,而,聲方向為x,y,z軸正方向,建立如圖所示的
空間直角坐標(biāo)系,
設(shè)OP=a,則有C(-l,2,0),£>(-1,0,0),P(0,0,a),
可得方=(2,0,0),CD=(0,-2,0),CP=(l,-2,a)>
設(shè)記=Oi,yi,Zi)為平面PBC的一個法向量,
則有怔受=°,即片__n.令y1=a,則沆=(0二,2),
I話?CP=0舊-2yl+%=°八
設(shè)記=(久2,為,22)為平面PC。的一個法向量,
則有出?包=0,即匚2y2”令X2=a,則元=(見0,-1),
tn-CP=0U2-2y2+az2=0
因為黑=?,可得叵,
|7n||n|5V?2+4Va2+l5
解得a=1,所以AP=sm=A/2.
解析:本題主要考查面面垂直的性質(zhì),空間中直線與直線垂直的判定,以及利用空間向量求二面角
的余弦值,屬于中檔題.
(1)由面面垂直可得PO14B,結(jié)合可證明P。_L平面ABM,進(jìn)而可得POJ.AM.
⑵以雨,松,前方向為x,y,z軸正方向,建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)OP=a,求出平面PBC和平面
PC。的法向量,根據(jù)二面角的余弦值為-卑建立等式求出a的值,即可求出AP的長.
7.答案:(1)證明:取&8的中點為N,連接MN,NQ,因為4MlMB,
所以48=2魚,BC=2V3.力母=2,所以4CJ.4B,
又NQ曹AC所以A1B_LQN,
又A&MB為等腰三角形,所以4B1NM,
MNCQN=N,MN,QNu面MNQ,
所以_1_面知代。,
MQu面MNQ,
所以MQ14$.
(2)解:MQ1BALMQ1BC,BCnBAr=B,BC,BA1u面&CB,
所以QM_1面&。8,
取OB所在直線為x軸,。例所在直線為y軸,過。點作面HCB的垂線為z軸,建立空間直角坐標(biāo)
系,
則B(b,0,0),C(-V3,0>0),M(0,l,0),4式-當(dāng)0,平),
設(shè)面4MC一個法向量為有=(x,y,x),CM=(V3,1.0),
西=(季0,孚),得取z=-l,x=&,y=-巫,
n—(V2,—V6,-1),
又麗=(V3,-l,0),
sin。=|cos(n,MB)|=等=當(dāng),
直線MB與面4MC所成角的正弦值為冬
解析:本題主要考查線面垂直的判定,利用空間向量求線面的夾角,屬于中檔題.
(1)根據(jù)題意取為B的中點為N,連接MN,NQ得到1QN和1NM,進(jìn)而得到,面MNQ
即可;
(2)取OB所在直線為x軸,QM所在直線為y軸,過。點作面MCB的垂線為z軸,建立空間直角坐
標(biāo)系,得到B(遮,0,0),
C(-V3,0,0),M(0,l,0),做-9,0,乎)進(jìn)而得到面&MC一個法向量為元=(企,一痣一1)和前=
(V5,-1,0)即可.
8.答案:解:(1)如圖,連接OC,rCB=CD,。為8。的中點,COJLBD.
以O(shè)為坐標(biāo)原點,分別以08,OC,0A所在直線為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系.
???BD=2,AOB=0D=1,則0C=VBC2-0B2=4=2.
B(l,0,0),/I(0,0,2),C(0,2,0),0(-1,0,0),
???E是AC的中點,???£((),1,1),
.?.同=(1,0,-2),DE=(1,1,1).
設(shè)直線48與。E所成角為a,
則c°sa=萼獸=
\ABi\DE\V一1+4-V、1+1+1="15
即直線AB與。E所成角的余弦值為普;
(2)???BF=\BC,ABF=ifiC,
設(shè)F(x,y,z),則z)=p0),???F?*,0).
.-.DE=(1,1,1)-DF=DC=(1,2,0).
設(shè)平面QEF的一個法向量為沅=(%i,yi,Zi).
m-DE=/+y1+Z[=0
由m-DF=缶+%=0取與=-2,得沆=(一2,7,—5);
設(shè)平面OEC的一個法向量為元=(x,y,z)-
=222
由:S:::Co°……皿
.?沆/?=|4+7-5|=巫
**\COSU\一|m||n|-V4+49+25-V4+1+1.13
sin"V-cos2。==醇
解析:本題考查利用空間向量求空間角,考查運算求解能力,是中檔題.
(1)由題意畫出圖形,連接。C,由已知可得C01BD,以。為坐標(biāo)原點,分別以0C,04所在
直線為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,求出所用點的坐標(biāo),得到而=(1,0,—2),屁=(1,1,1),
設(shè)直線AB與。E所成角為a,由兩向量所成角的余弦值,可得直線AB與QE所成角的余弦值;
(2)由BF=;BC,得前=;配,設(shè)F(x,y,z),由向量等式求得F?*,0),進(jìn)一步求出平面。EF的
一個法向量與平面OEC的一個法向量,由兩法向量所成角的余弦值求得cos。,再由同角三角函數(shù)基
本關(guān)系式求解sin。.
9.答案:解:(1)由題意可知:BE=2V2,CE=V2.AE=y/AB2+BE2=V4T8=2V3.
DE-A/4+2-V6,
易得AE24-DE2=18=AD2,所以AE1DE.
因為241平面ABCD,DEu平面ABCD,所以241DE.
因為P4n4E=4PA.4Eu平面PAE.
所以O(shè)E,平面P4E.
因為CEu平面PDE,所以平面PAE_L平面PDE.
(2)由(1)知,PA,AB,AO兩兩垂直,
以4為坐標(biāo)原點,射線AB,AD,AP分別為x,y,z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系,
則E(2,2/,0),D(0,3V2,0).P(0,0,2),
設(shè)F(a,0,0)(0<a<2).ED=(-2,72,0).PD=(0,372,-2).
設(shè)平面PED的法向量記=(x,y,z),
則布?麗=。且記?麗=0,即一2x+或y=0且3近y—2z=0,
令y=&,得x=l,z=3,所以而=(1,e,3).
PF=(a,0,-2).cos(記,兩>=?£+“
因為°<a<2,所以點匕:位<0,
所以直線尸尸與平面PEO所成角的正弦為石磊方.
根據(jù)已知,而■荷=%整理得。2+6a-12=0,解得a=仞一3(舍去負(fù)值),
因為04舊一3c同-3=2,
故在線段A8上存在點F,使得直線尸產(chǎn)與平面PEO所成的角為30。.
4F=VH-3,F(xiàn)B=2-AF=5-V21,竺=
FB5-\[212
解析:本題考查了面面垂直的判定、直線與平面所成角和利用空間向量求線面的夾角,是中檔題.
(1)由勾股定理得AE1DE.因為PAJ■平面ABC£>,得PA,DE.可得DEJ■平面PAE,由面面垂直的判
定即可得證.
(2)建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)F(a,0,0)(0<a<2),即兩=(見0,—2),再得出平面尸切的法向量,
由空間向量求解可得結(jié)果.
10.答案:(1)證明:因為四邊形BCOE為平行四邊形,所以BE〃CD,BC//DE,
因為BE1平面A8C,所以CD1平面4BC,BCu平面ABC,所以CDJ.BC,
因為A8是半圓。的直徑,所以4clBC,ACQCD=C,
AC,CDc^FffiACD,所以8cl平面AC。,
因為BC〃DE,所以CEL平面AC。,
因為ADu平面ACD,所以4D1DE,
(2)解:以C為原點,刀,而,擊的方向分別為x,y,z軸的正方向,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)
系C—xyz,
E
則4(2。0),8(0,2遮,0),C(0,0,0),D(0,0,2),E(0,2,叫,2),
從而荏=(一2,0,遮),AD=(-2,0,2),CA=(2,0,0),CE=(0,273,2),
設(shè)平面A3。的法向量為沅=(%i,ypzi),
則(布?荏=-2%1+2V3yx=0,
Im?AD=-2x1+2zi=0,
令%i=y/3,得沆=(V3,l,b),
設(shè)平面ACE的法向量為詁=(x2,y2fz2)f
則行0=2氏=0,
[n-CE=2V5y2+^z2=0,
令=1,得五=(0』,一百),
,—?->、mn0+1-3y/7
cos<m,n>=-z——;=--p----,
|m|-|n|2777
???平面ABD與平面ACE所成銳二面角的正弦值Ji一(一?y=手,
故平面ABD與平面ACE所成銳二面角的正弦值為史.
7
解析:本題考查線線垂直的證明,考查二面角的正弦值的求法,是中檔題,解題時要認(rèn)真審題,注
意空間思維能力的培養(yǎng).
(1)推導(dǎo)出CD1BC,AC1BC,從而BC1平面ACD,又BC〃DE,進(jìn)而DE1平面ACD,由此得到
AD1DE.
(2)以C為原點,石?,方,方的方向分別為x,y,z軸的正方向,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系C-xyz,
利用向量法能求出平面ABO與平面ACE所成二面角的余弦值,然后即可得平面ABD與平面ACE所
成銳二面角的正弦值.
11.答案:解:(1)證明:因為E,尸分別為PC和CD的中點,
所以EF〃PD,
又EF不在平面PAD內(nèi),PDu平面PAD,
故EF〃平面PAD,
因為CD=24B,所以AB=DF,
Y.AB//DF,AD1CD,
所以四邊形AQF8是矩形,
所以B/7/40,
因為BF不在平面PAD內(nèi),ADu平面PAD,
故8尸〃平面PAD,
因為EFu平面BEF,BFu平面8EF,EFCBF=F,
所以平面BEF〃平面PAD;
(2)因為PB_L平面ABCD,ABu平面ABCD,BFu平面A8C£>,
所以PB1AB,PB1BF,
由(1)知AB1BF,即AB,PB,8尸兩兩垂直,
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系8-xyz,
設(shè)CO=2AB=2,則PB=CD=2AD=2,
所以4(0,0,1),P(0,2,0),Z)(l,0,1),C(l,0,-1),
所以百<=(0,-2,1),麗=(1,一2,1),PC=(1,-2,-1)>
設(shè)平面APD的一個法向量為沅=(x,y,z),
所以產(chǎn)更=0,即「2y+j=0
kn-PD=0{x-2y+z=0
令z=2,得x=0,y=1,所以記=(0,1,2),
設(shè)平面CPD的法向量為丘=(a力,c),
所那三=。,即『一
<n-PD=0(Q-2b+c=°
令a=2,得匕=1,c=0,所以有=(2/,0),
所以cos<m,n>=q
|二m|-二|n|=V/5XV55
結(jié)合圖形可得二面角4-PO-C的平面角為鈍角,
故二面角4—PD-C的余弦值為一
解析:本題考查了面面平行的判定,運用空間向量求二面角的方法,考查了空間想象能力和運算求
解能力,屬于中檔題.
⑴根據(jù)已知條件證明EF〃平面PAD,BF〃平面PAD,然后結(jié)合面面平行的判定證明即可;
(2)建立空間直角坐標(biāo)系,求出相應(yīng)點的坐標(biāo),運用向量法求二面角的余弦值即可.
12.答案:證:(1);PA=P。,且E為的中點,
???PE1AD.
???平面24。1平面ABCD,平面R4Dn平面4BC。=AD,且PEu平面PAD,
PE,平面ABCD,
???BCu平面ABCD,PE1BCt
(2)如圖,取PC中點G,連接尸G,GD.
vF,G分別為PB和PC的中點,
FG//BC,且FG=^BC,
???四邊形A8CO為平行四邊形,且E為A。的中點,
■■ED//BC.DE=^BC,
ED//FG,S.ED=FG,
???四邊形EFG。為平行四邊形,
EF//GD.
又EFC平面PCD,GDu平面PCD,
EF〃平面PCD.
解析:本題考查線面平行的判定、面面垂直、線面垂直的性質(zhì),考查推理能力,屬中檔題.
(1)利用面面垂直的性質(zhì)可證PE,平面ABCD,BCu平面ABCD,即可證明PE1BC;
(2)取PC中點G,可證四邊形EFGD為平行四邊形,即可證得EF〃平面PCD.
13.答案:解:(1)連接AC、8。交于點0,連接P0,則P。,面ABCC,
?1?"2。就是PA與底面ABCD所成的角,tan"A。=漁,
2
設(shè)AB=1,則P。=AO-tan^PAO=^x—=—,
222
設(shè)F為4。中點,連尸0、PF,
易知。FlAD,PFLAD,所以NPFO就是側(cè)面PA。與底面ABC。所成二面角的平面角,
:.乙PFO=60°,即側(cè)面PA。與底面ABCD所成二面角的大小為60。;
(2)連接EO,由于。為8。中點,E為PB中點,所以,E0裳PD,
??.N4E0就是異面直線PD與AE所成的角.
在Rt△P。。中,PD=ylOD2+PO2=EO=―,
24
由4018。,4。1PO可知/。,面P3O,所以,AO1F0,
V2
在RtZkAOE中,tan^AE。=胎=,=竿,
~4~
即異面直線PD與AE所成角的正切值為出.
5
解析:本題主要考查了異面直線所成角及二面角的平面角的求解,考查了空間想象能力與計算能力,
屬于中檔題.
(1)連接AC、8。交于點。,連接P。,則NPF0就是側(cè)面PA。與底面A8CO所成二面角的平面角,
在Rt△POF中可求NPF。即可;
(2)容易證明E04/。,可得Z4E。就是異面直線PQ與AE所成的角,在RtA/lOE中求解
14.答案:解:(I)如圖,取A。的中點0.連接OM,ON.
在矩形AOE尸中,:。,"分別為線段A£),EF的中點,
???0M//AF.
又0MC平面ACF,AFu平面ACF,
0M〃平面ACF.
在△ACD中,丫。,N分別為線段A。,co的中點,
VON//AC.
又ONC平面ACF,ACu平面ACF,
ON〃平面ACF.
又OMCON=0,OM,ON平面MOM
.??平面MON〃平面ACF.
又MNu平面MON,
MN〃平面ACE
(n)如圖,取BC的中點r.連接。T.
???四邊形ABC。是等腰梯形,。為A。的中點,
0rl40.
???平面4DEF1平面ABC。,平面4DEFn平面力BCD=AD,。7u平面ABC。,
OT1平面ADEF.
以。為坐標(biāo)原點,分別以討,0D,麗方向為x軸,),軸,z軸的正方向,建立如圖所示的空間直角
坐標(biāo)系Oxyz.
XT
連接。B.在△力BD中,???ABd.BD,AD=4,
???OB=-AD=2.
2
■:BC=2,
???BT=1.
在RMOBT中,。7="
設(shè)AF=h.
則C(百,1,0),F(xiàn)(0,—2,h),FC=(73,3,-ft).
取平面4OEE的一個法向量為五=(1,0,0).
??.sin<FC,n>=1百=3.解得h=2.
V3+9+/124
連接BE.
^ABCDEF=^B-ADEF+^B-CDE=^B-ADEF+^E-BDC
11
=QSADEF,OT+-S^BCD?DE
=ix2x4xV3+-xix2xV3x2=".
3323
解析:本題主要考查線面平行的判定定理,利用空間向量求多面體體積,屬于較難題.
⑴取4。的中點0.連接OM,ON.證明。M〃平面4CF.ON〃平面ZCF.得到平面MON〃平面力CF.由
面面平行的性質(zhì)定理即可完成證明;
(2)以。為坐標(biāo)原點,分別以赤,OD,而方向為x軸,),軸,z軸的正方向,建立如圖所示的空間
直角坐標(biāo)系Oxyz.求出平面AQEF的法向量,由直線FC與平面AOEF所成的角的正弦值為更,求出
4
AF,再由匕8CDEF=^B-ADEF+,B-CDE=^B-ADEF+%-BDC即可求解.
15.答案:解:(I)如圖,取AO的中點0.連接OM,ON.
在矩形4DEF中,rO,用分別為線段AO,EF的中點,
???OM//AF.
又?!癈平面ACF,AFu平面ACF,
OM〃平面ACF.
在△ACD中,丫。,N分別為線段A。,CD的中點,
???ONUAC.
又ON仁平面ACF,ACu平面ACF,
ON〃平面ACF.
又。MCION=0,OM,ONu平面MON,
.??平面MON〃平面ACF.
又MNu平面MON,AMN〃平面ACF.
(口)如圖,過點C作CH14。于H.
???平面ADEFJ"平面ABC。,平面4DEFn平面力BCD=4D,CHu平面ABC。,
CHJL平面ADEF.
同理DE1平面ABCD.
連接。8,0c.在△ABO中,vABLBD,AD=4,
OB=-AD=2.
2
同理OC=2.
???BC=2,.?.等邊△OBC的高為即?!?遍.
連接BE.
???^ABCDEF=^B-ADEF+^B-CDE=^B-ADEF+^E-BCD
=*的七尸C'〃+:S&B「D,DE
?*v
=-x2x4xV3+-x-x2xV3x2
332
=io
3
解析:本題主要考查線面平行的判定定理、面面平行的判定定理、面面垂直的性質(zhì)定理、考查多面
體體積的計算,屬中檔題.
(I)取4。的中點0.連接OM,ON,則由OM〃4F可得OM〃平面ACF,再證得ON〃平面ACF,
根據(jù)面面平行的判定定理,可得平面MON〃平面ACF,從而可得MN〃平面ACF.
(口)過點C作CH14D于H,由面面垂直的性質(zhì)定理,可得DE_L平面ABCQ,
^ABCDEF~^B-ADEF+^B-CDE=^B-ADEF+^E-BCD,從而可得最后結(jié)果.
16.答案:證明:(1)取尸E中點N,連接DN,AN,
在直角梯形ABC。中,CD[/AB,E為AB中點,
所以四邊形AECZ)為矩形,所以M為QE中點,所以例尸為ADEN中位線,
又MF1PE,所以O(shè)N1PE,
又在直角△4BP中,AP=^AB,所以A4EP為等邊三角形,所以4N1PE
又DNCAN=N,所以PEJJNSAND
所以PE1AD,又因為2。1AB且ABCtPE=E所以4D1平面ABP.
(2)如圖,建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz,
不妨設(shè)4B=2P4=2,AD=h>0,則4(0,0,0),pg*,o),E(0,l,0),C(0,l,h),
所以定=(_%/),而=律《,0),F(xiàn)P=(f,-1,O),
設(shè)平面EPC的一個法向量為訪=(Xi,yi,zj,
£1
九O
正T2+-+4=
12
則
o則
-以
=1-=O
當(dāng)
前T
-o1OV3
-=
22
所以沆=(1,遮,0),
同理可得平面PAC的一個法向量元=(1,-返,的
由圖可知,二面角a為銳二面角,
沆標(biāo)I_口二3]__1⑺1
所以cosa=同問一回.而耳一后’2,
所以aG
解析:本題考查了立體幾何的綜合應(yīng)用,涉及了線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理的應(yīng)用、利用向量
法求解二面角的應(yīng)用,解題的關(guān)鍵是建立合適的空間直角坐標(biāo)系,得到所需的向量,將問題轉(zhuǎn)化為
空間向量之間的關(guān)系進(jìn)行研究,屬于中檔題.
(1)取PE的中點N,連結(jié)DMAN,利用平面幾何知識證明得到4N1PE,DN1PE,然后再利用
線面垂直的判定定理進(jìn)行證明即可;
(2)建立合適的空間直角坐標(biāo)系,求出所需各點的坐標(biāo),然后求出兩個平面的法向量,利用二面角的
計算公式表示出cosa,利用cosa的取值范圍求解a的范圍即可.
17.答案:(1)證明(法一):在△ABC中,^ABC=90°,AB=2,AC=4,BC=2y[3
因為BDJ.AC交AC于點。,
所以4。=1,CD=3.
因為尸4"L平面ABC,EC//FA,EC=1,FA=3,
所以△FAD三△£>(?£1,
所以乙FDA=4DEC,
所以4F。4+乙EDC=4DEC+乙EDC=90°,
所以4FDE=90°,
所以尸。1DE;
因為凡4_L平面ABC,BDu平面ABC,
所以凡41BD,
又因為BD14C,ACCtFA=A,AC,F4U二面角FACE.
所以BD_L平面FACE,
因為OEu平面FACE,
所以8。JLDE.
又因為BDnFD=D,
所以DE1平面FBD,
又FBu平面FBD,
所以DE1FB.
證明(法二):如圖,。為原點,分別以QB,DCx,y軸,建立空間直角坐標(biāo)系,
在44BC中,^ABC=90°,AB=2,AC=4,BC=2百;
因為BDJ.AC交AC于點。,
所以AD=1,CD=3,
所以D(0,0,0),4(0,—1,0),C(0,3,0),F(0,—1,3),E(0,3,l),8(75,0,0);
則屁=(0,3,1),BF=(-V3,-l,3);
所以而?麗=0,所以DE1BF.
(2)解:由⑴可知近=(-V3,3,1),SF=(-V3,-1,3),DE=(0,3,1),
設(shè)平面BEF的法向量為元=(x,y,z),
所以匡元=0,
99元=0
wnf-V3^+3y+z=0
即{L,
(—V3x—y+3z=0
令%=8,則y=|,x=\,
所以五=(遍
設(shè)直線DE與平面8Eb所成角為
|前可_|3x|+.l_\/3
則sin。=g.』+&);+(軟=T-
解析:(1)證法一:利用空間中的垂直關(guān)系,證明DE1平面尸80,得出QE1FB.
證法二:建立空間直角坐標(biāo)系,利用坐標(biāo)表示向量,利用數(shù)量積為0證明DELFB.
(2)利用空間向量求出直線QE與平面BEF所成角的正弦值.
本題考查了空間中的垂直關(guān)系應(yīng)用問題,也考查了空間角的計算問題,也考查了推理與計算能力,
是中檔題.
18.答案:(1)取AB,A。的中點G,H,連接。G、EH,
■■BG=1AB=CD,BG//CD,
二四邊形8C£>G是平行四邊形,DG=BC=AG=AD=2,
.?.△ADG為等邊三角形,DG=^AB,
???△4BD是直角三角形,
AD1BD.
???平面ADE1平面ABCD,BDu平面ABCD,AD=平面ADEn平面ABCD,
BDJ■平面ADE,
vAEu平面ADE,
???AE1BD-,
(2)尸為EB中點即可滿足條件.
取A。的中點”,連接EH,則EH=百,BD=2>/3,如圖建立空間直角坐標(biāo)系。一xyz,
則。(0,0,0),4(2,0,0),8(0,2低0),C(-1,73,0),E(l,0,遮),
則方=(2,0,0),CB=(l,V3,0).~EB=(-1,2V3,-V3),
EF=XEB=(-2,2V3A,-V3A),
DF=(1-A,2V3A,V3-V3A),
設(shè)平面A力尸的法向量為布=Qi,yi,Zi),平面BCE的法向量為元=。2/2*2).
-m=。行((1-A)x+2V3Ay+(V3-V3A)z=0
xx1,取鉆=(0,4-1,24),
-m=0=0
得h2+V3y2=0,
y取元=(一百,1,3).
{-x2+2V3y2-V3Z2=0'
|A-1+6A|V65
于是|COS<沆,元>翳-后赤帝
1=13
解得;1=;或;1=一式舍去)
所以存在4=J使得平面尸與平面BCE所成的銳二面角的余弦值為叵.
213
解析:本題考查線面垂直的判定與性質(zhì)和二面角,屬于中檔題;
(1)取AB,40的中點G,H,連接。G、EH,先證8。_L平面AOE,由4Eu平面AZJE,可得4E1B
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