六年級(jí)奧數(shù)第27講-同余法解題（教）

學(xué)科教師輔導(dǎo)講義

學(xué)員編號(hào)：年級(jí)六年級(jí)課時(shí)數(shù)：3

學(xué)員姓名：輔導(dǎo)科目奧數(shù)學(xué)科教師：

授課主題第27講一一同余法解題

授課類型T同步課堂P實(shí)戰(zhàn)演練S歸納總結(jié)

余數(shù)問(wèn)題主要包括了帶余除法的定義，三大余數(shù)定理(加法余數(shù)定理，乘法余數(shù)定理，

教學(xué)目標(biāo)

和同余定理)，及中國(guó)剩余定理和有關(guān)棄九法原理的應(yīng)用。

授課日期及時(shí)段

T(Textbook-Based)El1]/1果早

知識(shí)梳理，

一、帶余除法的定義及性質(zhì)

一般地，如果a是整數(shù)，b是整數(shù)(bWO)，若有a+b=q...r,也就是a=bXq+r,

0Wr<b；我們稱上面的除法算式為一個(gè)帶余除法算式。這里：

(1)當(dāng)r=0時(shí)：我們稱a可以被b整除，q稱為a除以b的商或完全商

(2)當(dāng)rwO時(shí)：我們稱a不可以被b整除，q稱為a除以b的商或不完全商

二、三大余數(shù)定理：

1.余數(shù)的加法定理

a與b的和除以c的余數(shù)，等于a,b分別除以c的余數(shù)之和，或這個(gè)和除以c的余數(shù)。

當(dāng)余數(shù)的和比除數(shù)大時(shí)，所求的余數(shù)等于余數(shù)之和再除以c的余數(shù)。

2.余數(shù)的乘法定理

a與b的乘積除以c的余數(shù)，等于a,b分別除以c的余數(shù)的積，或者這個(gè)積除以c所得的余數(shù)。

3.同余定理

若兩個(gè)整數(shù)a、b被自然數(shù)m除有相同的余數(shù)，那么稱a、b對(duì)于模m同余，用式子表示為：a三b(modm),

左邊的式子叫做同余式。

同余式讀作：a同余于b,模m。由同余的性質(zhì)，我們可以得到一個(gè)非常重要的推論:

若兩個(gè)數(shù)a,b除以同一個(gè)數(shù)m得到的余數(shù)相同，則a,b的差一定能被m整除

用式子表示為：如果有a三b(modm),那么一定有a—b=mk,k是整數(shù)，即m|(a—b)

三、中國(guó)剩余定理

1.中國(guó)古代趣題

韓信點(diǎn)兵又稱為中國(guó)剩余定理，相傳漢高祖劉邦問(wèn)大將軍韓信統(tǒng)御兵士多少，韓信答說(shuō)，每3人一列余1

人、5人一列余2人、7人一列余4人、13人一列余6人……。劉邦茫然而不知其數(shù)。

我們先考慮下列的問(wèn)題：假設(shè)兵不滿一萬(wàn)，每5人一列、9人一列、13人一列、17人一列都剩3人，則

兵有多少？

首先我們先求5、9、13、17之最小公倍數(shù)9945(注：因?yàn)?、9、13、17為兩兩互質(zhì)的整數(shù)，故其最小

公倍數(shù)為這些數(shù)的積)，然后再加3,得9948(人)。

2.核心思想和方法

對(duì)于這一類問(wèn)題，我們有一套看似繁瑣但是一旦掌握便可一通百通的方法，下面我們就以《孫子算經(jīng)》中

的問(wèn)題為例，分析此方法：

今有物，不知其數(shù)，三三數(shù)之，剩二，五五數(shù)之，剩三，七七數(shù)之，剩二，問(wèn)物幾何？

題目中我們可以知道，一個(gè)自然數(shù)分別除以3,5,7后，得到三個(gè)余數(shù)分別為2,3,2.那么我們首先構(gòu)

造一個(gè)數(shù)字，使得這個(gè)數(shù)字除以3余1,并且還是5和7的公倍數(shù)。

先由5x7=35,即5和7的最小公倍數(shù)出發(fā)，先看35除以3余2,不符合要求，那么就繼續(xù)看5和7的

“下一個(gè)”倍數(shù)35x2=70是否可以，很顯然70除以3余1

類似的，我們?cè)贅?gòu)造一個(gè)除以5余1,同時(shí)又是3和7的公倍數(shù)的數(shù)字，顯然21可以符合要求。

最后再構(gòu)造除以7余1,同時(shí)又是3,5公倍數(shù)的數(shù)字，45符合要求，那么所求的自然數(shù)可以這樣計(jì)算：

2x70+3x21+2x45+-3,5,7]=233--3,5,7],其中k是從1開(kāi)始的自然數(shù)。

也就是說(shuō)滿足上述關(guān)系的數(shù)有無(wú)窮多，如果根據(jù)實(shí)際情況對(duì)數(shù)的范圍加以限制，那么我們就能找到所求的

數(shù)。

例如對(duì)上面的問(wèn)題加上限制條件“滿足上面條件最小的自然數(shù)”，

那么我們可以計(jì)算2x70+3x21+2x45-2x[3,5,7]=23得到所求

如果加上限制條件“滿足上面條件最小的三位自然數(shù)”，

我們只要對(duì)最小的23加上[3,5,7]即可，即23+105=128。

典例分析

考點(diǎn)一：帶余除法的定義和性質(zhì)

例1、兩數(shù)相除，商4余8,被除數(shù)、除數(shù)、商數(shù)、余數(shù)四數(shù)之和等于415,則被除數(shù)是.

【解析】因?yàn)楸怀龜?shù)減去8后是除數(shù)的4倍，所以根據(jù)和倍問(wèn)題可知，除數(shù)為(415-4-8-8)-(4+1)=79,

所以，被除數(shù)為79x4+8=324。

例2、用一個(gè)自然數(shù)去除另一個(gè)自然數(shù)，商為40,余數(shù)是16.被除數(shù)、除數(shù)、商、余數(shù)的和是933,求這2個(gè)

自然數(shù)各是多少？

【解析】本題為帶余除法定義式的基本題型。根據(jù)題意設(shè)兩個(gè)自然數(shù)分別為x,y,可以得到

x=40y+16x=856

，解方程組得，即這兩個(gè)自然數(shù)分別是856,21.

x+y+40+16=933y=21

例3、一個(gè)兩位數(shù)除以13的商是6,除以11所得的余數(shù)是6,求這個(gè)兩位數(shù).

【解析】因?yàn)橐粋€(gè)兩位數(shù)除以13的商是6,所以這個(gè)兩位數(shù)一定大于13x6=78,并且小于13x(6+l)=91；

又因?yàn)檫@個(gè)兩位數(shù)除以11余6,而78除以11余1,這個(gè)兩位數(shù)為78+5=83.

考點(diǎn)二：三大余數(shù)定理的應(yīng)用

例1、一個(gè)三位數(shù)除以17和19都有余數(shù)，并且除以17后所得的商與余數(shù)的和等于它除以19后所得到的商與

余數(shù)的和.那么這樣的三位數(shù)中最大數(shù)是多少，最小數(shù)是多少？

【解析】設(shè)這個(gè)三位數(shù)為s,它除以17和19的商分別為a和。，余數(shù)分別為球和〃,貝!]s=17a+m=19b+〃.

根據(jù)題意可知a+7”=b+〃，所以s-(a+〃z)=s-(6+〃)，即16a=18b,得8a=96.所以a是9的倍數(shù)，b是

81

8的倍數(shù).止匕時(shí)，由。+根=人+〃知〃一〃i=a—b=a——a=-a.

99

由于s為三位數(shù)，最小為100,最大為999,所以100<17。+加工999,而1〈根416,

所以17a+lK17a+zn?999,100<17tz+m<17tz+16,得至lj5W〃K58,而〃是9的倍數(shù)，所以〃最小為9,最

大為54.

當(dāng)。=54時(shí)，〃一加=!4=6,而”418,所以加412,故止匕時(shí)s最大為17x54+12=930；

9

當(dāng)a=9時(shí)，n-m=-a=l,由于加21,所以此時(shí)s最小為17x9+1=154.

9

所以這樣的三位數(shù)中最大的是930,最小的是154.

例2、(3產(chǎn)+303)被13除所得的余數(shù)是多少？

【解析】31被13除所得的余數(shù)為5,當(dāng)n取1,2,3,時(shí)5"被13除所得余數(shù)分別是5,12,8,1,5,12,

8,1以4為周期循環(huán)出現(xiàn)，所以53。被13除的余數(shù)與父被13除的余數(shù)相同，余12,貝1]3儼除以13的余數(shù)

為12；

30被13除所得的余數(shù)是4,當(dāng)n取1,2,3,時(shí)，4"被13除所得的余數(shù)分別是4,3,12,9,10,1,4,

3,12,9,10,以6為周期循環(huán)出現(xiàn)，所以早被13除所得的余數(shù)等于4被13除所得的余數(shù)，即4,故30及

除以13的余數(shù)為4；

所以（3產(chǎn)+3（）31）被13除所得的余數(shù)是12+4-13=3.

例3、777…77除以41的余數(shù)是多少？

1996個(gè)7

【解析】找規(guī)律：7+41=口37,77+41=口~36,777+41=口339,7777+41=口…28,

77777+41=□…0,...，所以77777是41的倍數(shù)，而1996+5=3991,所以777…77可以分成399段77777

1996個(gè)7

和1個(gè)7組成，那么它除以41的余數(shù)為7.

例4、求所有的質(zhì)數(shù)P,使得4P?+1與6/+1也是質(zhì)數(shù).

【解析】如果p=5,貝U4〃2+I=IOI,602+1=151都是質(zhì)數(shù)，所以5符合題意.如果P不等于5,那么P除

以5的余數(shù)為1、2、3或者4,加除以5的余數(shù)即等于F、2?、3?或者42除以5的余數(shù)，即1、4、9或者16

除以5的余數(shù)，只有1和4兩種情況.如果/除以5的余數(shù)為1,那么4P?+1除以5的余數(shù)等于4xl+l=5除

以5的余數(shù)，為0,即此時(shí)4/+1被5整除，而402+1大于5,所以此時(shí)4P2+1不是質(zhì)數(shù)；如果p2除以5的

余數(shù)為4,同理可知6P2+1不是質(zhì)數(shù)，所以P不等于5,4"+1與6P2+1至少有一個(gè)不是質(zhì)數(shù)，所以只有p=5

滿足條件.

例5、甲、乙、丙三數(shù)分別為603,939,393.某數(shù)A除甲數(shù)所得余數(shù)是A除乙數(shù)所得余數(shù)的2倍，A除乙數(shù)

所得余數(shù)是A除丙數(shù)所得余數(shù)的2倍.求A等于多少？

【解析】根據(jù)題意，這三個(gè)數(shù)除以A都有余數(shù)，則可以用帶余除法的形式將它們表示出來(lái)：

6O3+A=K]rx504-9=495393+A=44

由于4=2馬，弓=2弓，要消去余數(shù)小陽(yáng)4,我們只能先把余數(shù)處理成相同的，再兩數(shù)相減.

這樣我們先把第二個(gè)式子乘以2,使得被除數(shù)和余數(shù)都擴(kuò)大2倍，同理，第三個(gè)式子乘以4.

于是我們可以得到下面的式子：

603+A=Mr｛（939x2）+4=232rl（393x4）+A=2（44

這樣余數(shù)就處理成相同的.最后兩兩相減消去余數(shù)，意味著能被A整除.

939x2-603=1275,393x4-603=969,(1275,969)=51=3x17.

51的約數(shù)有1、3、17、51,其中1、3顯然不滿足，檢驗(yàn)17和51可知17滿足，所以A等于17.

考點(diǎn)三：余數(shù)綜合應(yīng)用

例1、設(shè)2〃+1是質(zhì)數(shù)，證明：『，2"…，"被2〃+1除所得的余數(shù)各不相同.

【解析】假設(shè)有兩個(gè)數(shù)“、b,(l<b<a<n),它們的平方"，方2被2w+l除余數(shù)相同.那么，由

同余定理得a2-b2=0(mod(2”+1)),即(a-b)(a+b)=0(mod(2/z+1)),由于2〃+1是質(zhì)數(shù)，所以

a+b=0(mod(2w+1))nga-=0(mod(2w+1)),由于a+>,a-b均小于2"+l且大于0,可知，a+Z>與2"+l互

質(zhì)，也與2w+l互質(zhì)，即a+b,a-b者B不能被2〃+1整除，產(chǎn)生矛盾，所以假設(shè)不成立，原題得證.

例2、從1,2,3,……,n中，任取57個(gè)數(shù)，使這57個(gè)數(shù)必有兩個(gè)數(shù)的差為13,則n的最大值為多少？

【解析】被13除的同余序列當(dāng)中，如余1的同余序列，1、14、27、40、53、66……，其中只要取到兩個(gè)相鄰

的，這兩個(gè)數(shù)的差為13；如果沒(méi)有兩個(gè)相鄰的數(shù)，則沒(méi)有兩個(gè)數(shù)的差為13,不同的同余序列當(dāng)中不可能有兩

個(gè)數(shù)的差為13,對(duì)于任意一條長(zhǎng)度為x的序列，都最多能取個(gè)數(shù)，使得取出的數(shù)中沒(méi)有兩個(gè)數(shù)的差為

13,即從第1個(gè)數(shù)起隔1個(gè)取1個(gè).

基于以上，n個(gè)數(shù)分成13個(gè)序列，每條序列的長(zhǎng)度為［2］或+兩個(gè)長(zhǎng)度差為1的序列，要使取出的

［13」113」

數(shù)中沒(méi)有兩個(gè)數(shù)的差為13,能夠被取得的數(shù)的個(gè)數(shù)之差也不會(huì)超過(guò)1,所以為使57個(gè)數(shù)中任意兩個(gè)數(shù)的差都

不等于13,則這57個(gè)數(shù)被分配在13條序列中，在每條序列被分配的數(shù)的個(gè)數(shù)差不會(huì)超過(guò)1,那么13個(gè)序列

有8個(gè)序列分配了4個(gè)數(shù)，5個(gè)序列分配了5個(gè)數(shù)，則這13個(gè)序列中8個(gè)長(zhǎng)度為8,5個(gè)長(zhǎng)度為9,那么當(dāng)n

最小為8x8+9x5=109時(shí)，可以取出57個(gè)數(shù)，其中任兩個(gè)數(shù)的差不為13,所以要使任取57個(gè)數(shù)必有兩個(gè)數(shù)

的差為13,那么n的最大值為108.

例3、已知n是正整數(shù)，規(guī)定〃!=lx2xxn,令》i=l!xl+2!x2+3!x3++2007!x2007,則整數(shù)m除以2008

的余數(shù)為多少？

【解析】m=l!xl+2!x2+3!x3++2007!x2007=l!x(2-D+2!x(3-l)+3!x(4-1)++2007!x(2008-1)

=2!-1!+3!-2!+4!-3!++2008!-2007!=2008!-l

2008能夠整除2008!,所以2008J1的余數(shù)是2007.

例4、有2個(gè)三位數(shù)相乘的積是一個(gè)五位數(shù)，積的后四位是1031,第一個(gè)數(shù)各個(gè)位的數(shù)字之和是10,第二個(gè)

數(shù)的各個(gè)位數(shù)字之和是8,求兩個(gè)三位數(shù)的和。

【解析】本題條件僅給出了兩個(gè)乘數(shù)的數(shù)字之和，同時(shí)發(fā)現(xiàn)乘積的一部分己經(jīng)給出，即乘積的一部分?jǐn)?shù)字之和

已經(jīng)給出，我們可以采用棄九法原理的倒推來(lái)構(gòu)造出原三位數(shù)。因?yàn)檫@是一個(gè)一定正確的算式，所以一定可以

滿足棄九法的條件，兩個(gè)三位數(shù)除以9的余數(shù)分別為1和8,所以等式一邊除以9的余數(shù)為8,那么口1031除

以9的余數(shù)也必須為8,口只能是3.將31031分解質(zhì)因數(shù)發(fā)現(xiàn)僅有一種情況可以滿足是兩個(gè)三位數(shù)的乘積，

即31031=31x1001=143x217

所以兩個(gè)三位數(shù)是143和217,那么兩個(gè)三位數(shù)的和是360o

例5、設(shè)2OO92009的各位數(shù)字之和為A,A的各位數(shù)字之和為B，B的各位數(shù)字之和為C,C的各位數(shù)字之和

為D,那么。=?

【解析】由于一個(gè)數(shù)除以9的余數(shù)與它的各位數(shù)字之和除以9的余數(shù)相同，所以2009頡9與A、8、C、。除

以9都同余，而2009除以9的余數(shù)為2,則20092°°9除以9的余數(shù)與2加9除以9的余數(shù)相同，而2‘=64除以9

的余數(shù)為1,所以2.9=26*334+5=(26廣4*25除以9的余數(shù)為25除以9的余數(shù)，即為5.

另一方面，由于20092°°9<1000()2期=10“36,所以20092°。9的位數(shù)不超過(guò)8036位，那么它的各位數(shù)字之和不超

過(guò)9x8036=72324,即AW72324；那么A的各位數(shù)字之和8<9x5=45,3的各位數(shù)字之和C<9x2=18,C

小于18且除以9的余數(shù)為5,那么C為5或14,C的各位數(shù)字之和為5,即￡>=5.

考點(diǎn)四：中國(guó)剩余定理

例1、一個(gè)自然數(shù)在1000和1200之間，且被3除余1,被5除余2,被7除余3,求符合條件的數(shù).

【解析】方法1：先列出除以3余1的數(shù)：1,4,7,10,13,16,…；再列出除以5余2的數(shù)：2,7,12,

17,22,27,…；

這兩列數(shù)中，首先出現(xiàn)的公共數(shù)是7.3與5的最小公倍數(shù)是15.兩個(gè)條件合并成一個(gè)就是

7+15x整數(shù)，列出這一串?dāng)?shù)是7,22,37,52,…；再列出除以7余3的數(shù)：

3,10,17,24,31,38,45,52,???；就得出符合題目條件的最小數(shù)是52.事實(shí)上，我們已把題目中三個(gè)條

件合并成一個(gè)：被105除余52.那么這個(gè)數(shù)在1000和1200之間，應(yīng)該是105xl0+52=1102.

方法2：我們先找出被3除余1的數(shù)：1,4,7,10,13,16,19,22,25,28,31,34,37,40,43,46,

49,52,???；被5除余2的數(shù)：2,7,12,17,22,27,32,37,42,47,52,57,???；被7除余3的數(shù)：3,

10,17,24,31,38,45,52,…；

三個(gè)條件都符合的最小的數(shù)是52,其后的是一次加上3、5、7的最小公倍數(shù)，直到加到1000和1200之間.結(jié)

果是105x10+52=1102.

方法3：設(shè)這個(gè)自然數(shù)為a,被3除余1,被5除余2,可以理解為被3除余3x2+1,被5除與5+2,所以滿

足前面兩個(gè)條件的。=15機(jī)+7（根為自然數(shù)），只需15m+7除以7余3,即15m除以7余3,而15+7=21,

只需m除以7余3,m最小為3,所以滿足三個(gè)條件的最小自然數(shù)為3義15+7=52,那么這個(gè)數(shù)在1000和1200

之間,應(yīng)該是105x10+52=1102.

例2、一個(gè)大于10的自然數(shù)，除以5余3,除以7余1,除以9余8,那么滿足條件的自然數(shù)最小為多少？

【解析】根據(jù)總結(jié)，我們發(fā)現(xiàn)三個(gè)數(shù)中前兩個(gè)數(shù)的除數(shù)與余數(shù)的和都是5+3=7+1=8,這樣我們可以把余數(shù)

都處理成8,即一個(gè)數(shù)除以5余3相當(dāng)于除以5余8,除以7余1相當(dāng)于除以7余8,所以可以看成這個(gè)數(shù)除

以5、7、9的余數(shù)都是8,那么它減去8之后是5、7、9的公倍數(shù).而[5,7,9]=315，所以這個(gè)數(shù)最小為315+8=323.

例3、一個(gè)數(shù)除以3余2,除以5余3,除以7余4,問(wèn)滿足條件的最小自然數(shù)為多少？

【解析】法一：根據(jù)總結(jié)，我們發(fā)現(xiàn)前面兩種都不符合，所以可以使用普遍適用的“中國(guó)剩余定理”，步驟如

下：

3、5的公3、7的公5、71公

傳數(shù)倍數(shù)倍數(shù)

152135

304270

4563105

6084⑷

...??????...

分別找出除以7余4的3、5的公倍數(shù)，除以5余3的3、7的公倍數(shù)，除以3余2的5、7的公倍數(shù)，分別是:

60、63、35；

可見(jiàn)60+63+35=158滿足我們的條件，但是要求的是滿足條件的最小的自然數(shù)，158不是最小的，對(duì)此的處

理方法就是減去3、5、7的最小公倍數(shù)的若干倍，使結(jié)果小于最小公倍數(shù).所以答案為：158-105=53.

法二：逐步構(gòu)造符合條件的最小自然數(shù)，

首先求符合后面兩個(gè)條件的最小自然數(shù)，依次用7的倍數(shù)加4,當(dāng)4被加上兩個(gè)7時(shí)得到18,恰好除以5余3,

此時(shí)符合后兩個(gè)條件；

再依次用7和5的最小公倍數(shù)的倍數(shù)加18,當(dāng)18被加上1個(gè)35個(gè)，得到53,檢驗(yàn)符合三個(gè)條件.所以所求

的最小自然數(shù)就是53.

例4、在200至300之間，有三個(gè)連續(xù)的自然數(shù)，其中，最小的能被3整除，中間的能被7整除，最大的能被

13整除，那么這樣的三個(gè)連續(xù)自然數(shù)分別是多少？

【解析】先找出兩個(gè)連續(xù)自然數(shù)，第一個(gè)被3整除，第二個(gè)被7整除.例如，找出6和7,下一個(gè)連續(xù)自然數(shù)

是8.3和7的最小公倍數(shù)是21,考慮8加上21的整數(shù)倍，使加得的數(shù)能被13整除.8+21x12=260,能被

13整除，那么258,259,260這三個(gè)連續(xù)自然數(shù)，依次分別能被3,7,13整除，又恰好在200至300之間.由

于3,7,13的最小公倍數(shù)為273,所以在200至300之間只有258,259,260這三個(gè)數(shù)滿足條件.

例5、一個(gè)數(shù)除以3、5、7、11的余數(shù)分別是2、3、4、5,求符合條件的最小的數(shù).

【解析】法一：將3、5、7、11這4個(gè)數(shù)3個(gè)3個(gè)一起分別計(jì)算公倍數(shù)，如表：

5、7、11公倍數(shù)3、7、11公倍數(shù)3、5、11公倍數(shù)3、5、7公倍教

385231165105

770%2330210

1155693495315

............................

除3余2的最小除5余3的最小除7余4的最小

數(shù)是刀0值是693值是165

3、5、7的公倍數(shù)中被11除余5的數(shù)不太好找，但注意到210除以11余1,所以210x5=1050被11除余5,

由此可知770+693+165+1050=2678是符合條件的一個(gè)值，但不是最小值，還需要減去3、5、7、11的公倍

數(shù)使得它小于它們的最小公倍數(shù).

由于3、5、7、11的最小公倍數(shù)是1155,所以2678-1155x2=368是符合條件的最小值.

法二：對(duì)于這種題目，也可以先求滿足其中3個(gè)余數(shù)條件的，比如先求滿足除以3、5、7的余數(shù)分別是2、3、

4的，既可采用中國(guó)剩余定理，得到70x2+21x3+15x4=263是滿足前3個(gè)余數(shù)條件的，從而其中最小的是

263-105x2=53；由于53除以11的余數(shù)為9,105除以11的余數(shù)為6,可知9+6x3=27除以11的余數(shù)為

5,所以53+105x3=368是滿足條件的最小數(shù).

也可以直接觀察發(fā)現(xiàn)這個(gè)數(shù)乘以2之后除以3、5、7的余數(shù)分別是4、6、8,也就是除以3、5、7的余數(shù)都是

1,所以滿足前三個(gè)條件的數(shù)最小為(3X5X7+1)+2=53,后面的步驟與上面的解法相同.

P(Practice-Oriented)一-一實(shí)戰(zhàn)演練

實(shí)戰(zhàn)演練

>課堂狙擊

1、有一個(gè)整數(shù)，除39,51,147所得的余數(shù)都是3,求這個(gè)數(shù).

【解析】(法1)39-3=36,147-3=144,(36,144)=12,12的約數(shù)是1,2,3,4,6,12,因?yàn)橛鄶?shù)為3要小于除

數(shù)，這個(gè)數(shù)是4,6,12；

(法2)由于所得的余數(shù)相同，得到這個(gè)數(shù)一定能整除這三個(gè)數(shù)中的任意兩數(shù)的差，也就是說(shuō)它是任意兩數(shù)差的

公約數(shù).51-39=12,147-39=108,(12,108)=12,所以這個(gè)數(shù)是4,6,12.

2、求397的最后兩位數(shù).

【解析】即考慮3.除以10。的余數(shù).由于100=4x25,由于33=27除以25余2,所以39除以25余8,

3°除以25余24,那么3"除以25余1；又因?yàn)??除以4余1,則3”除以4余1；即3?。-1能被4和25整除,

而4與25互質(zhì)，所以32°-1能被100整除，即3,°除以100余1,由于1997=20x99+17,所以3四7除以ioo

的余數(shù)即等于3口除以100的余數(shù),而36=729除以100余29,3$=243除以100余43,317=(36)2x35,所以3*

除以100的余數(shù)等于29><29x43除以100的余數(shù)，而29x29x43=36163除以100余63,所以除以100余

63,即3曲的最后兩位數(shù)為63.

3、試求不大于100,且使3"+7”+4能被H整除的所有自然數(shù)n的和.

【解析】通過(guò)逐次計(jì)算，可以求出3"被11除的余數(shù)，依次為：31為3,3?為9,3'為5,3」為4,為1,…，

因而3"被11除的余數(shù)5個(gè)構(gòu)成一個(gè)周期：3,9,5,4,1,3,9,5,4,1,……；類似地，可以求出7"被

11除的余數(shù)10個(gè)構(gòu)成一個(gè)周期：7,5,2,3,10,4,6,9,8,1,……；于是3"+7,+4被11除的余數(shù)也

是10個(gè)構(gòu)成一個(gè)周期：3,7,0,0,4,0,8,7,5,6,……；這就表明，每一個(gè)周期中，只有第3、4、6

個(gè)這三個(gè)數(shù)滿足題意，即”=3,4,6,13,14,16,……,93,94,96時(shí)顰+7"+4能被H整除,所以，所有滿足條件的自

然數(shù)n的和為：3+4+6+13+14+16+...+93+94+96=13+43+...+283=1480.

4、將1至2008這2008個(gè)自然數(shù)，按從小到大的次序依次寫出，得一個(gè)多位1234567891011121320072008,

試求這個(gè)多位數(shù)除以9的余數(shù).

【解析】以19992000這個(gè)八位數(shù)為例，它被9除的余數(shù)等于(1+9+9+9+2+0+0+0)被9除的余數(shù)，但是

由于1999與(1+9+9+9)被9除的余數(shù)相同，2000與(2+0+0+0)被9除的余數(shù)相同，所以19992000就與

(1999+2000)被9除的余數(shù)相同.

由此可得，從1開(kāi)始的自然數(shù)1234567891011121320072008被9除的余數(shù)與前2008個(gè)自然數(shù)之和除以9的

余數(shù)相同.

根據(jù)等差數(shù)列求和公式，這個(gè)和為：(1+2008)x2008=2017036,它被9除的余數(shù)為1.

2

另外還可以利用連續(xù)9個(gè)自然數(shù)之和必能被9整除這個(gè)性質(zhì)，將原多位數(shù)分成123456789,

101112131415161718,...,199920002001200220032004200520062007,2008等數(shù)，可見(jiàn)它被9除的余數(shù)與

2008被9除的余數(shù)相同.

因此，此數(shù)被9除的余數(shù)為1.

5、Ix3x5xx1991的末三位數(shù)是多少？

首先，僅考慮后三位數(shù)字，所求的數(shù)目相當(dāng)于1X3X5Xx991的平方再乘以993x995x997x999的末三位.

而993x995x997x999=993x999x995x997

=(993000-993)x(995000-995x3)=(993000-993)x(995000-2985),

其末三位為7x15=105；然后來(lái)看前者.它是一個(gè)奇數(shù)的平方，設(shè)其為(5人丫(k為奇數(shù))，

由于(5左)2=25太=25+25(/—1),而奇數(shù)的平方除以8余1,所以62一1是8的倍數(shù)，貝U25(太—1)是200的

倍數(shù)，設(shè)25化2—l)=200〃z,貝!](5左y=25+251)=25+200〃？，所以它與105的乘積

（5村x105=（25+200m）x105=21000m+2625,

所以不論m的值是多少，所求的末三位都是625.

6、有一個(gè)數(shù)，除以3余2,除以4余1,問(wèn)這個(gè)數(shù)除以12余幾？

【解析】方法一：除以3余2的數(shù)有：2,5,8,11,14,17,20,23,???；

它們除以12的余數(shù)是：2,5,8,11,2,5,8,11,???；

除以4余1的數(shù)有：1,5,9,13,17,21,25,29,???；

它們除以12的余數(shù)是：1,5,9,1,5,9,???；

一個(gè)數(shù)除以12的余數(shù)是唯一的.上面兩行余數(shù)中，只有5是共同的，因此這個(gè)數(shù)除以12的余數(shù)是5.

方法二：一個(gè)數(shù)，除以3余2,除以4余1,可以理解為除以3余3+2,除以4余4+1,所以這個(gè)數(shù)減去5

后，既能被3整除，又能被4整除，設(shè)這個(gè)數(shù)為則a=l2Hl+5,（m為自然數(shù)）所以這個(gè)數(shù)除以12余5。

＞課后反擊

1、一個(gè)兩位數(shù)除310,余數(shù)是37,求這樣的兩位數(shù)。

【解析】本題為余數(shù)問(wèn)題的基礎(chǔ)題型，需要學(xué)生明白一個(gè)重要知識(shí)點(diǎn)，就是把余數(shù)問(wèn)題一-即“不整除問(wèn)題”

轉(zhuǎn)化為整除問(wèn)題。方法為用被除數(shù)減去余數(shù)，即得到一個(gè)除數(shù)的倍數(shù)；或者是用被除數(shù)加上一個(gè)“除數(shù)與余

數(shù)的差”，也可以得到一個(gè)除數(shù)的倍數(shù)。

本題中310-37=273,說(shuō)明273是所求余數(shù)的倍數(shù)，而273=3X7X13,所求的兩位數(shù)約數(shù)還要滿足比37大，

符合條件的有39,91.

2、求14歲除以7的余數(shù).

【解析】法一：由于143=3（mod7）（143被7除余3）,

所以143'9=389（m°d7）（14389被7除所得余數(shù)與389被7除所得余數(shù)相等）

而36=729,729三l（mod7）（729除以7的余數(shù)為1）,所以3'9三36x36/x36x35=35=5（mod7）.

14個(gè)

故14389除以7的余數(shù)為5.

法二：計(jì)算辭被7除所得的余數(shù)可以用找規(guī)律的方法，規(guī)律如下表：

Q1Q2Q3Q4Q506

mod73264513

于是余數(shù)以6為周期變化.所以389三35三5(mod7).

3、若。為自然數(shù)，證明10|(產(chǎn)5_/9).

【解析】10=2x5,由于片期與4949的奇偶性相同，所以2|(/05-4949).1005_"949="949d6一助，如果。能

被5整除，那么5|"949m56—])；如果。不能被5整除，那么。被5除的余數(shù)為1、2、3或者4,4被5除的余

數(shù)為1、2、3\4"被5除的余數(shù)，即為1、16、81、256被5除的余數(shù)，而這四個(gè)數(shù)除以5均余1,所以

不管“為多少，/被5除的余數(shù)為1,而“56=(/)%即14個(gè)/相乘，所以,除以5均余1,則456T能被

5整除，有5|"949m56—1).所以W(45—產(chǎn)9).由于2與5互質(zhì)，所以噸/期-/9).

4、將自然數(shù)1,2,3,4……依次寫下去，若最終寫到2000,成為12319992000,那么這個(gè)自然數(shù)除以99

余幾？

【解析】由于99=9x11,可以分別求這個(gè)數(shù)除以9和H的余數(shù)，進(jìn)而求出它除以99的余數(shù).實(shí)際上求得這

個(gè)數(shù)除以9和11的余數(shù)均為3,所以這個(gè)數(shù)減去3后是9和H的倍數(shù)，那么也是99的倍數(shù)，所以這個(gè)數(shù)除

以99的余數(shù)為3.

5、一個(gè)大于10的數(shù)，除以3余1,除以5余2,除以11余7,問(wèn)滿足條件的最小自然數(shù)是多少？

【解析】法一:仔細(xì)分析可以發(fā)現(xiàn)3x2+1=5+2=7,所以這個(gè)數(shù)可以看成被3、5、11除余7,由于[3,5,11]=165,

所以這個(gè)數(shù)最小是165+7=172.

法二：事實(shí)上，如果沒(méi)有“大于10”這個(gè)條件，7即可符合條件，所以只需要在7的基礎(chǔ)上加上3、5、11的

最小公倍數(shù)，得到172即為所求的數(shù).

6、對(duì)任意的自然數(shù)n,證明A=2903"-803"-464"+261”能被1897整除.

【解析】1897=7x271,7與271互質(zhì)，因?yàn)?903三5(mod7),803三5(mod7),

464=2(mod7),261=2(mod7),所以，

A=2903"-803"-464"+261"三5"-5"-2"+2"=0(mod7),故A能被7整除.

又因?yàn)?903=193(mod271),803三261(mod271),464三193(mod271)，所以

A=2903"-803"-464"+26F=193"-261"-193"+26F=0(mod271),故A能被271整除.

因?yàn)?與271互質(zhì)，所以A能被1897整除.

直擊賽場(chǎng).

1、(南京市少年數(shù)學(xué)智力冬令營(yíng)試題)22期與2003,的和除以7的余數(shù)是.

【解析】找規(guī)律.用7除2,22,23,24,25,2$,…的余數(shù)分別是2,4,1,2,4,1,2,4,1,…,2的

個(gè)數(shù)是3的倍數(shù)時(shí)，用7除的余數(shù)為1；2的個(gè)數(shù)是3的倍數(shù)多1時(shí)，用7除的余數(shù)為2；2的個(gè)數(shù)是3的倍

數(shù)多2時(shí)，用7除的余數(shù)為4.因?yàn)?2°°3=23/667+2,所以220?除以7余4.又兩個(gè)數(shù)的積除以7的余數(shù)，與兩

個(gè)數(shù)分別除以7所得余數(shù)的積相同.而2003除以7余1,所以20032除以7余1.故22。。3與2003?的和除以7

的余數(shù)是4+1=5.

2、(全國(guó)小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克試題)六張卡片上分別標(biāo)上1193、1258、1842、1866、1912、2494六個(gè)數(shù)，甲取3

張，乙取2張，丙取1張，結(jié)果發(fā)現(xiàn)甲、乙各自手中卡片上的數(shù)之和一個(gè)人是另一個(gè)人的2倍，則丙手中卡

片上的數(shù)是.(第五屆小數(shù)報(bào)數(shù)學(xué)競(jìng)賽初賽)

【解析】根據(jù)“甲、乙二人各自手中卡片上的數(shù)之和一個(gè)人是另一個(gè)人的2倍”可知，甲、乙手中五張卡片

上的數(shù)之和應(yīng)是3的倍數(shù).計(jì)算這六個(gè)數(shù)的總和是

1193+1258+1842+1866+1912+2494=10565,

10565除以3余2；因?yàn)榧?、乙二人手中五張卡片上的?shù)之和是3的倍數(shù)，那么丙手中的卡片上

的數(shù)除以3余2.六個(gè)數(shù)中只有1193除以3余2,故丙手中卡片上的數(shù)為1193.

3、(奧數(shù)網(wǎng)杯)已知a=200820082008,問(wèn)：a除以13所得的余數(shù)是多少？

2008個(gè)2008

【解析】2008除以13余6,10000除以13余3,注意到20082008=2008x10000+2008；

200820082008=20082008x10000+2008；

2008200820082008=200820082008x10000+2008；

根據(jù)這樣的遞推規(guī)律求出余數(shù)的變化規(guī)律：

20082008除以13余6x3+6-13=11,200820082008除以13余11x3+6-39=0,即200820082008是13的

倍數(shù).

而2008除以3余1,所以4=200820082008除以13的余數(shù)與2008除以13的余數(shù)相同，為6.

2008個(gè)2008

4、(“華杯賽"試題)3個(gè)三位數(shù)乘積的算式abcxbcaxcaZ?=234235286(其中。>6>c),在校對(duì)時(shí)，發(fā)現(xiàn)

右邊的積的數(shù)字順序出現(xiàn)錯(cuò)誤，但是知道最后一位6是正確的，問(wèn)原式中的嬴是多少？

【解析】由于234235286三2+3+4+2+3+5+2+8+6m8(mod9),abcxbcaxcab=(a+b+c)3(mod9),

于是(a+6+c)3=8(mod9),從而(用。+方+。三0,1,2,..”8(010(19)代入上式檢驗(yàn))

a+b+c三2,5,8(mod9)…(1),對(duì)a進(jìn)行討論：

如果a=9,那么b+c三2,5,8(mod9)…(2),又cxaxb的個(gè)位數(shù)字是6,所以bxc的個(gè)位數(shù)字為4,bxc可能

為4x1、7x2、8x3、6x4,其中只有(匕?=(4,1),(8,3)符合⑵,經(jīng)檢驗(yàn)只有983x839x398=328245326符

合題意.

如果。=8,那么6+c三3,6,0(mod9)…(3),又為xc的個(gè)位數(shù)字為2或7則bxc可能為2x1、4x3、6x2、

7x6、7x1,其中只有3,c)=(2,l)符合⑶，經(jīng)檢驗(yàn)，定=821不合題意.

如果。=7,那么6+c=4,7,l(mod9)…(4),貝ljbxc可能為4x2、6x3,其中沒(méi)有符合⑷的(b,c).

如果aV6,那么6W5,c<4,xbcax^b<700x