新教材講與練高中數(shù)學(xué)4（A版選擇性必修第一冊）課時作業(yè)23

課時作業(yè)23直線與橢圓的位置關(guān)系

時間：45分鐘

基礎(chǔ)過關(guān)

一、選擇題

已知直線1：x+y—3=0,橢圓苧+產(chǎn)=1,則直線與橢圓的位置關(guān)系是（C）

1.

A.相交B.相切

C.相離D.相切或相交

已知橢圓C，+1=13>力>0）的左、右頂點(diǎn)分別為Ai,A2,且以線段A1A2為直徑的圓與直線法一ay+2"

2.

=0相切，則橢圓。的離心率為（A）

逅

A.B.

3

啦1

C.D.

33

解析：以線段A1A2為直徑的圓的方程為/+產(chǎn)=〃,

該圓與直線bx-ay+2ab=0相切，

.』X0—“X0+2的

‘/2+(_/=d即2b=7足+52,

?片一2?〃一￡一逅達(dá)濤A

a2=3b2,a2=b2+c2,??e-q-3'故選A-

直線1經(jīng)過橢圓的一個頂點(diǎn)和一個焦點(diǎn)，若橢圓中心到1的距離為其短軸長的/則該橢圓的離心率為（B）

3.

11

A.B.

32

23

C.D.

34

解析：方法一：不妨設(shè)直線1過橢圓的上頂點(diǎn)（0,力和左焦點(diǎn)（一c,0）,。>0,c>0,則直線1的方程為bx—cy~\~bc

hp1（^-1

=0,由已知得+小=^=2。，解得。2=3",又62=q2一段所以茄=不即於=去,所以e=1或e=—舍去）.

方法二：不妨設(shè)直線1過橢圓的上頂點(diǎn)（0,3和左焦點(diǎn)（一C,0）,力>0,c>0,則直線1的方程為bx~cy+bc=0,

由已知得赤2=［義20,所以萼="x2b,所以e=：=T，故選B.

4.已知橢圓氏的右焦點(diǎn)為網(wǎng)3,0）,過點(diǎn)尸的直線交E于A,3兩點(diǎn).若A8的中點(diǎn)坐標(biāo)為（1,

—1）,則E的方程為（D

A.

C.

解析：因?yàn)橹本€A5過點(diǎn)尸（3,0）和點(diǎn)（1,-1）,所以直線AB的方程為—3）,代入橢圓1消去y,

3a2

得停+爐,。2%+去2-〃2b2=0,所以A3的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為s—1,即層=2。2,又居二加+廿，所以匕=c=3.

一一2信+〃

?2=18,故選D.

若A3為過橢圓全落1中心的線段，孔為橢圓的焦點(diǎn)，則面積的最大值為（B）

5.

A.6B.12

C.24D.48

解析：如圖，S/sABF]=S^AOFl+S^BOF}=2S4

又?.?OFi=c=3為定值，???點(diǎn)A與（0,4）重合時，OB邊上的高最大，

此時S^AOF1的面積最大為^X4X3=6.

的最大值為12,故選B.

6.已知A,8是橢圓2+/=13>6>0）長軸的兩個端點(diǎn)，M,N是橢圓上關(guān)于x軸對稱的兩點(diǎn)，直線AM,BN

的斜率分別為所，上2（女曲W0），若橢圓的離心率為坐，則由|+|司的最小值為（A）

A.1B.也

C.坐D.小

解析：設(shè)M(%,y),N(x,—y')(—a<x<d),則女尸二^，依=一—，又因?yàn)闄E圓的離心率為半，所以與=，1二屐=

%IaciX乙a

I如+何=$+把》

2^55=?=I-故選A.

7.已知橢圓C：弓+尸=1的右焦點(diǎn)為F,直線1：x=2,點(diǎn)AWL線段AF交橢圓。于點(diǎn)8,若成=3彷，則|油

-A>

2

AC.V2B.

V3D.3

解析：設(shè)點(diǎn)A(2,ri),3(%o,yo).由橢圓C:彳+丁=1知足=2,Z>2=1,.*.c2=l,即c=l.，右焦點(diǎn)F(1,0).由成

1\

-1

_A4]x口XJ2+

=3所得(1,w)=3(xo_1,yo).?,.1=3(沏-1)且〃=3yo.，％o=],yo=]幾將沏，yo代入,+:/=1,寸27I

解得泳=1,\^F\—^/(2—l)2+n2=^/l+l=小，故選A.

8.(多選題)已知直線y=3%+2被橢圓，+￡=13>。>0)截得的弦長為8,則下列直線中被橢圓截得的弦長也為8

的是(ACD)

A.y=3x~2B.y=3x+l

C.y=~3x_2D.y=—3x+2

解析：作出橢圓和有關(guān)直線(圖略)，由于橢圓關(guān)于坐標(biāo)軸、坐標(biāo)原點(diǎn)對稱，而A、C、。中的直線與直線y=3%+

2或關(guān)于原點(diǎn)對稱或關(guān)于坐標(biāo)軸對稱，所以它們被橢圓截得的弦長相等，故應(yīng)選ACD.

二'填空題

9.橢圓卷+^=1的右焦點(diǎn)到直線的距離是坐.

解析：已知橢圓的右焦點(diǎn)為(1,0),它到直線小%—y=0的距離為哈?=坐.

?乂3+12

10.過橢圓1+￡=1的右焦點(diǎn)尸作一條斜率為2的直線與橢圓交于A,3兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則△。43的面

積為*

(y=2x-2,

解析：由*=5,加=4,得《2=1,則右焦點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(1,0),直線A3的方程為y=2(x—1).由

[4%2+5y2=20

得3A2—5x=0,解得％=0或%=/所以|43|=\乂＞1+22=’￥，1—212

又點(diǎn)O到直線AB的距離為d=7]++=忑,因此

11.設(shè)B,B分別是橢圓氏/+金=1(OVY1)的左、右焦點(diǎn)，過點(diǎn)我的直線交橢圓E于A,3兩點(diǎn).若(AFi|

=3|FiB|,ABJ-%軸，則橢圓E的方程為^+$=1.

解析：不妨設(shè)點(diǎn)A在第一象限，如圖，

*：AF2-LX^J,：,A(C,左)(其中/=I一接ovbvi,c>0).

又???|AFi|=3尸周，

..?由AA=3戶由，得—苧，一號)，

代入％2+3=1,得等+梟=1,

2

又(？=1—/,/,^2=-

故橢圓E的方程為x2+1y2=l.

三、解答題

12.已知橢圓C：f+/=l,橢圓C2以G的長軸為短軸，且與G有相同的離心率.

⑴求橢圓。2的方程；

(2)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A,3分別在橢圓C1和C2上，彷=2次，求直線45的方程.

解：(1)由已知可設(shè)橢圓G的方程為?+?=1(“>2),

其離心率為乎，故4=當(dāng)解得”=4,

故橢圓。2的方程為言+^=1.

(2)若將A,3兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別記為(冽，/),(XB,/)，

由怎=2次及(1)知，O,A,3三點(diǎn)共線且點(diǎn)A,3不在y軸上，因此可設(shè)直線A3的方程為y=Ax.

將y=Ax代入到?+:/=1中，得

所以正=

1+4F

將丁=丘代入到得+手=1中，得(4+乃)x2=16,

所以的

又由防=2四,得蠅=4焉，即存下=1+4,，

解得左=±1.故直線AB的方程為I—y=0或％+y=0.

13.已知離心率為乎的橢圓及:+|=1(。>。>0)經(jīng)過點(diǎn)4(1,孚.

⑴求橢圓E的方程；

(2)若不過點(diǎn)A的直線1：y=乎%+相交橢圓后于3,C兩點(diǎn)，求△A6C面積的最大值.

解：(1)因?yàn)椤?尢，所以設(shè)。=近"，c=n,則Z?="，橢圓E的方程為另+%=1.代入點(diǎn)A的坐標(biāo)得。+表=1,

/=1,

所以橢圓E的方程為主+9=1.

⑵設(shè)點(diǎn)3,C的坐標(biāo)分別為(%]，yi),(x2,”)，

啦

y2x+m,得/+2俁2+地鹿+?22)=2,

｛^+2/=2一

即爐+啦煙+??—i=o,%i+%2=一啦機(jī)，xi-X2=m2—l,A=2w2—4(m2—1)>0,w2<2.

\BC\=N(1+詢[(%1+松)2一4%聞=

^|[2zn2—4(w2—1)]=^|(4—2wi2),

點(diǎn)A到直線1的距離d=~^L,

V2

△ABC的面積S=^|BC|-d=

弁|(4-2m2).丹=坐寸加2(2一m2)w

媳加2+2-M短

2,2

當(dāng)且僅當(dāng)m2=2—m2,即m2=1時等號成立.

所以當(dāng)加=±1時，AiABC面積取最大值為乎.

素養(yǎng)升級

14.已知橢圓E：，+/=1(Q>Z>0)的右焦點(diǎn)為F,短軸的一個端點(diǎn)為M,直線1：3%—4y=0交橢圓￡于A,B

4

兩點(diǎn).若|4F|+|5F|=4,點(diǎn)M到直線1的距離不小于左則橢圓E的離心率的取值范圍是(A)

解析：設(shè)左焦點(diǎn)為同，連接尺A,FoB,則四邊形AFBFo為平行四邊形.

4b4c

"：\AF]+\BF\=4,：.|AF|+|AF0|=4,...4=2.設(shè)M(0,b),則亍2予，1W6v2.，離心率e=,=

U-b2

故選A.

15.過點(diǎn)”(一2,0)的直線m與橢圓,十丁=1交于B,尸2兩點(diǎn)，線段P1P2的中點(diǎn)為P,設(shè)直線m的斜率為ki(k^O),

直線O尸的斜率為左2,則所依的值為(D)

B.-2

解析：設(shè)P(%o,yo),Pi(xi,yi),尸2(%2,yi),過點(diǎn)M(—2,0)的直線機(jī)的方程為y—0=M(%+2),代入橢圓的方程化

一86一46

簡得(26+1)砂+8好％+8好一2=0,.??沏+%2=2/+],工點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為2"十],縱坐標(biāo)為M(%o+2)=2/+],即

-11

直線OP的斜率2^-=-2，故選D.

16.已知橢圓。的一個頂點(diǎn)為A(0,-1),焦點(diǎn)在％軸上，若右焦點(diǎn)到直線％—丫+2g=0的距離為3.

(1)求橢圓C的方程；

(2)設(shè)直線1的方程為y=%+m,是否存在實(shí)數(shù)加，使直線1與橢圓。有兩個不同的交點(diǎn)V,N,且14M=|⑷V