高中數(shù)學(xué) 人教A版（2019）選擇性必修第一冊 1

1.4空間向量的應(yīng)用

一、選擇題(共14小題)

1.下面命題中，正確命題的個數(shù)為()

①若元，力分別是平面a,/?的法向量，則元〃式oa〃伙

②若席芯分別是平面a,/?的法向量，則a10=污,芯=0；

③若記是平面a的法向量且與a共面，則元4=0：

④若兩個平面的法向量不垂直，則這兩個平面一定不垂直.

A.1B.2C.3D.4

2.在空間直角坐標(biāo)系。一xyz中，。為坐標(biāo)原點，若點P(l,-2,3)在平面xOz上的投影為點B,則

線段。8的長度為()

A.V5B.V10C.V14D.V13

3.若直線d％的方向向量分別為流=(123),記=(一表一1，一|)，則4與G()

A.垂直B.重合C.平行D.平行或重合

4.已知平面a經(jīng)過點4(一3,5,1),8(2,1,4),且垂直于法向量為乃=(1,—2,3)的另一平面，則平面a

的一個法向量為()

A.(2,1,2)B.(1,2,1)C.(4,1,4)D.(0,2,0)

5.四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，AB=(2,-1,-4),AD=(4,2,0),AP=

(-1,2,-1)，則P4與底面48CD的關(guān)系是()

A.相交B.垂直C.不垂直D.成60°角

6.直線匕，%的方向向量分別為1=(1，-3,—1)，b=(8,2,2),則()

A」1±l2B."http://12

C」i與12相交不平行D」i與12重合

7.己知點P(L2,3),Q(-l,0,1).則P點關(guān)于久軸對稱的點R與點Q的距離為()

A.2V2B.2V3C.2V5D.2歷

8.若平面a,p的法向量分別為u—(1,2,3),5二(-2,—4,一6),則平面a,/?()

A.a〃0B.a

C.a,0相交不垂直D.以上均不正確

9.若兩個向量AB=(1,2,3),AC=(3,2,1),則平面ABC的一個法向量為()

A.(—1,2,—1)B.(1,2,1)

C.(1,2,-1)D.(-1,2,1)

10.若直線2的一個方向向量G=(2,2,-2),平面a的一個法向量為b=(1,1,-1),則()

A.I//aB.I1aC」uaD.A,C都有可能

11.直線1的方向向量五=(1,一3,5),平面a的法向量五=(一1,3,-5),則有()

A.l//aB.I1a

C」與a斜交口」€：0：或，〃戊

12.已知空間直角坐標(biāo)系Oxyz中有一點A（—L—1,2）,點B是xOy平面內(nèi)的直線x+y=l上的動

點，則A,B兩點間的最短距離是（）

A.76B,—C.3D.—

22

13.在平行六面體ABCD-a/iGDi中，向量瓦?，D^C,否瓦-?定是（）

A.有相同起點的向量B.等長向量

C.共面向量D.不共面向量

14.如圖，在正方體ABCO-A/iGDi中，棱長為a,M,N分別為和AC上的點，=

AN=苧,則MN與平面BBiGC的位置關(guān)系是（）

A.相交B.平行C.垂直D.不能確定

二、填空題（共5小題）

15.若直線匕，%的方向向量分別為,=（一1,2,-2）,族=（2,3,2）,則乙，％的位置關(guān)系是

16.設(shè)平面a的一個法向量為％=（1,2,-2）,平面夕的一個法向量為石=（一2,—4,k）,若a〃6，

則k=.

17.已知費=-21+2族一2乙~BC=3a-3b+3c,CD=a-b+c,直線力。與BC的位置關(guān)系

為.

18.如圖為某種禮物降落傘的示意圖，其中有8根繩子和傘面連接，每根繩子和水平面的法向量的

夾角均為30。.己知禮物的質(zhì)量為1kg,每根繩子的拉力大小相同，則降落傘在勻速下落的過程

中每根繩子拉力的大小為.（注：重力加速度g取9.8m/s2,精確到0.01N）

19.如圖，正方體4BCD-&B1GD1的棱長為1,E,F分別是棱BC,上的點，如果1

平面48F,則CE與DF1之和為.

三、解答題(共7小題)

20.已知直線［的一個方向向量日=(2,-4,3),平面a的一個法向量元=(p,q,6),且，與a垂直，

求p,q的值.

21.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形。力BC的邊長為1,E是AB的中點.若F為正方形內(nèi)(含

邊界)的任意一點.求布?標(biāo)的最大值.

22.已知正方體力BCD-4’8‘C‘?！睦忾L為a,試建立合適的空間直角坐標(biāo)系，寫出下列直線的

一個方向向量：

⑴44,，AB,BC；

(2)B'A,B'C,B'D'；

(3)A'C,DB'.

23.己知平面a的一個法向量蘇=(5,1,-2),平面0垂直于平面a,且通過一條坐標(biāo)軸，求平面夕

的一個法向量.

24.已知直線I的一個方向向量日=(4,3,1),平面a的一個法向量記=(m,3,-5),且1〃a,求m

的值.

25.如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABC。是正方形，側(cè)棱P。J.底面ABC。，PD=DC,E是

PC的中點，作EFJ.PB交PB于點F.

(1)證明：P4〃平面EDB；

(2)證明：PB1平面EFD.

26.如圖所示，在四棱錐P-ABC。中，底面力BCD是平行四邊形，AC與BD交于點0,M是PC

的中點，在DM上取一點G,過G和4P作平面交平面BDM于GH,求證：AP//GH.

答案

1.c

2.B

【解析】由題意得點P(l,-2,3)在平面xOz上的投影為B(1,0,3),則IOB|=V12+0+32=同.

3.D

4.B

5.B

【解析】因為而?而=0,AP-AD=0,

所以PA1AB,PA1AD.

又48n4。=4,

所以PA1平面4BCD.

6.A

7.D

【解析】由題意得點P關(guān)于x軸對稱的點坐標(biāo)為(1,-2,-3),故利用空間兩點的距離公式得兩點距離

為2遍.

8.A

9.A

【解析】設(shè)平面4BC的法向量為元=(x,y,z),

ft|||(n-AB=0，m(x+2y+3z=0,

1灑元=0,bx+2y+z=0,

令x=-1,則y=2,z=-1,

即平面ABC的一個法向量為n=(-1,2,-1),

故選A.

10.B

【解析】因為直線I的一個方向向量為a=(2,2,—2),平面a的一個法向量為b=(1,1,—1),所以a=

2b,所以11a,故選B.

11.B

【解析】由d=—元知，n//a,則有2_La.

12.B

【解析】因為點B是xOy平面內(nèi)的直線x+y=1上的動點，

所以可設(shè)點B(m,1-m,0),

由空間兩點之間的距離公式，得IAB|=V(-l-m)2+[-1-(1-m)]2+(2-0)2=72m?一2m+9,

令t=2m2—2m+9=2-J+y,

當(dāng)m=|時，t的最小值為?，

所以當(dāng)m=：時，IAB|的最小值為后=年,

即4,B兩點間的最短距離是等.

13.C

【解析】如圖所示，

因為庠一瓦了=近，

而AC=&G,

所以萬工一用=砧］

即戰(zhàn)=取+不互，

所以用，D^C,對三向量共面.

故選C.

14.B

【解析】因為正方體棱長為a,41M=AN=等,

所以麗=|砧，CN=^CA,

所以

MN=MB+BC+CN

=-A^1B+BC+-CA

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=|（AA+則）+BC+l（CD+DA）＞

=|BiB+gBiG.

又因為CD是平面B［BCC］的法向量，

且麗.麗=gO+1瓦或）?而=0，

所以而_L而，

所以MN〃平面BiBCG.

15.垂直

16.4

【解析】因為a〃氏

所以近〃無，

所以存在實數(shù)2使得后=An；.

1=-2X,

所以2=—4A,

-2=Ak,

解得k=4.

17.重合

【解析】因為存=一|正，

所以四〃近，

又而和配有公共的端點8,

所以4,B,C三點共線；

因為反=3CD=3,

又玩與而有公共的端點C,

所以B,C,。三點共線.

所以A,B,C,D四點共線，

所以直線4。與BC重合.

18.1.41(N)

19.1

【解析】以。為坐標(biāo)原點，分別以54,D&,4。為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)CE=%,DF=y,

則易知4(1,1,0),F(OAl-y)，5(14,1),

所以庭=(x-1,0,1).FB=(1,1,y),

由于BiE1平面4BF,

所以葡?瓦S=(1,1,y)■(x-1,0,1)=0,

則％+y=1.

20.p=4,q=-8.

21.設(shè)。為原點.

4(1,0),C(0,l),OE=(1,0.

設(shè)亦=(x,y)(其中OWxWl,0<y<1),

所以

OE,OF=xH—2y，<14—2x1=—2.

22.(1)(0.0.-1),(0,-1,0),(1,0,0).

(2)(0,1,-1)-(1,0,-1)，(1,1,0).

(3)(1,-1,-1),(-1,-1,1).(答案不唯一)

23.(0,2,1)或(2,0,5)或(1,-5,0).

24.-