高中數(shù)學(xué)概率

第十一章概率

第一節(jié)古典概型

A組

1.某產(chǎn)品分甲、乙、丙三級，其中乙、丙兩級均屬次品，在正常生產(chǎn)情況下，出現(xiàn)乙級品

和丙級品的概率分別是5%和3%,則抽驗(yàn)一只是正品(甲級品)的概率為.

解析：記抽臉的產(chǎn)品是甲級品為事件/,是乙級品為事件8,是丙級品為事件C,這三

個事件彼此互斥，因而抽驗(yàn)產(chǎn)品是正品(甲級品)的概率為P(A)=1-P(5)-P(Q=1-5%-

3%=92%=0.92.答案：0.92

2.某射手在一次射擊中，射中10環(huán)，9環(huán)，8環(huán)的概率分別是0.20,0.30,0.10.則此射手

在一次射擊中不夠8環(huán)的概率為.

解析：射中8環(huán)及以上的概率為0.20+0.30+0.10=0.60,故不夠8環(huán)的概率為1-0.60

=0.40.答案:0.40

3.從甲、乙、丙、丁四人中任選兩名代表，甲被選中的概率為.

解析：從甲、乙、丙、丁四人中任選兩名代表的所有可能為：甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、

311

乙丁、丙丁，滿足題意的有：甲乙、甲丙、甲丁，所以概率為尸=5.答案：5

4.(2010年佛山第二次質(zhì)檢)從一個信箱中任取一封信，記一封信的重量為副單位：克)，如

果「(。<10)=0.3,尸(10W4W30)=0.4,則尸("30)=.

解析：尸?>30)=1-P(<f<10)-P(10W]W30)=1-0.3-0.4=0.3.答案：0.3

5.某種電子元件在某一時刻是否接通的可能性是相同的，有3個這樣的電子元件，則出現(xiàn)

至少有一個接通的概率為.

解析：設(shè)電子元件接通記為1,沒有接通記為0.又設(shè)/表示“3個電子元件至少有一個

接通”，顯然丁表示“3個電子元件都沒有接通”，。表示“3個電子元件的狀態(tài)”,則Q

={(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1).(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1),(1,1,1)(0,0,0)}.Q由8個基本事件組

成，而且這些基本事件的出現(xiàn)是等可能的，T={(o,o,o)},事件下由1個基本事件組成，

—1———17—7

因此P(4)=g,*./(/)+2(4)=1,二尸(4)=1-P(/)=1-g=g.答案：g

6.(2010年南京調(diào)研)某學(xué)校的籃球隊(duì)、羽毛球隊(duì)、乒乓球隊(duì)各有10名隊(duì)員，某些隊(duì)員不止

參加了一支球隊(duì)，具體情況如圖所示，現(xiàn)從中隨機(jī)抽取

貝，求：

(1)該隊(duì)員只屬于一支球隊(duì)的概率；

(2)該隊(duì)員最多屬于兩支球隊(duì)的概率.

解：從圖中可以看出，3個球隊(duì)共有20名隊(duì)員，

(1)記“隨機(jī)抽取一名隊(duì)員，該隊(duì)員只屬于一支球

3+5+43

事件A,則P(A)=—20—=亍故隨機(jī)抽取一名隊(duì)員，該隊(duì)員只

3

屬于一支球隊(duì)的概率為§

(2)記“隨機(jī)抽取一名隊(duì)員，該隊(duì)員最多屬于兩支球隊(duì)”為事件B,則P(B)=1-P(B)

o

故隨機(jī)抽取一名隊(duì)員，該隊(duì)員最多屬于兩支球隊(duì)的概率為京.

B組

1.(2009年高考安徽卷)從長度分別為2、3、4、5的四條線段中任意取出三條，則以這三條

線段為邊可以構(gòu)成三角形的概率是.

解析：從四條線段中任取三條有4種取法：(2,3,4),(2,3,5),(2,4,5),(3,4,5),其中能構(gòu)

3

成三角形的取法有3種：(2,3,4),(2,4,5),(3,4,5),故所求的概率為[

3

答案：4

2.甲射手擊中靶心的概率為/乙射手擊中靶心的概率為:，甲、乙兩人各射擊?次，那么，

甲、乙不全擊中靶心的概率為________.

解析：P=]一卜：=（.答案：!

3.口袋內(nèi)裝有一些大小相同的紅球、白球和黑球，從中摸出1個球，摸出紅球的概率是0.42,

摸出白球的概率是0.28,那么摸出黑球的概率是.

解析：P=1-0.42-0.28=0.30.答案:0.30

4.甲、乙兩人各寫一張賀年卡隨意送給丙、丁兩人中的一人，則甲、乙將賀年卡送給同一

人的概率是.

解析：（甲送給丙,乙送給?。?，（甲送給丁，乙送給丙），（甲、乙都送給丙），（甲、乙都

送給?。┕菜姆N情況，其中甲、乙將賀年卡送給同一人的情況有兩種.

答案：|

5.（2008年高考江蘇卷）若將一顆質(zhì)地均勻的骰子（一種各面上分別標(biāo)有1,2,3,4,5,6個點(diǎn)的正

方體玩具）先后拋擲2次，則出現(xiàn)向上的點(diǎn)數(shù)之和為4的概率是—.

31

解析：基本事件共6X6個，點(diǎn)數(shù)和為4的有（1,3）、（2,2）、（3,1）共3個.故尸=不77==.

OXO

答案：

6.有兩個質(zhì)地均勻、大小相同的正四面體玩具，每個玩具的各面上分別寫有數(shù)字1、2、3、

4,把兩個玩具各拋擲一次，斜向上的面寫有的數(shù)字之和能被5整除的概率為.

解析：由于正四面體各面都完全相同，故每個數(shù)字向上都是等可能的，被5整除的可能

411

為（2,3）,（3,2）,（1,4）,（4,1）共4種，而總共有4X4=16（種），故。=記=]答案：

7.有一個奇數(shù)列1,3,5,7,9,…，現(xiàn)在進(jìn)行如下分組，第一組有1個數(shù)為1,第二組有2個數(shù)

為3、5,第三組有3個數(shù)為7、9、11,…，依此類推，則從第十組中隨機(jī)抽取一個數(shù)恰為

3的倍數(shù)的概率為.

解析：由已知可得前九組共有（1+2+3+…+9）=45（個）奇數(shù)，第十組共有10個奇數(shù)且

依次構(gòu)成公差為2的等差數(shù)列，且第一個奇數(shù)為0=1+2X（46-1）=91,所以，第十組的

奇數(shù)為91,93,95,97,99,101,103,105,107,109這十個數(shù)字，其中恰為3的倍數(shù)的數(shù)有93,99,105

三個，故所求概率為入行3答案：言3

8.先后拋擲兩枚均勻的正方體骰子（它們的六個面分別標(biāo)有點(diǎn)數(shù)1、2、3、4、5、6）,骰子

朝上的面的點(diǎn)數(shù)分別為x、y,則滿足log2U=l的概率為.

解析：由ktg2U=1得y=2x，滿足條件的x、v有3對，而骰子朝上的點(diǎn)數(shù)共有6X6

311

=36,二概率為石=運(yùn).答案：五

9.（2010年江蘇宿遷模擬）將?枚骰子拋擲兩次，若先后出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)分別為b、c則方程x2

+bx+c=0有實(shí)根的概率為.

解析：一枚骰子擲兩次，其基本事件總數(shù)為36,方程有實(shí)根的充要條件為居24c.

b123456

使/24c的基本事

012466

件個數(shù)

由此可見，使方程有實(shí)根的基本事件個數(shù)為1+2+4+6+6=19,于是方程有實(shí)根的概

1919

率為尸=石?答案：36

10.如圖，四邊形ABCD被兩條對角線分成四個小三角形，若每個小

三角形用4種不同顏色中的任一種涂染，求出現(xiàn)相鄰三角4v7\形均不同

色的概率./\

BC

解：若不考慮相鄰三角形不同色的要求，則有44=256(種)涂法，下面求相鄰三角形不

同色的涂法種數(shù)：①若△408與△CO。同色，它們共有4種涂法，對每一種涂法，△80C

與△40。各有3種涂法，所以此時共有4X3X3=36(種)涂法.②若△408與△C。。不同

色，它們共有4X3=12(種)涂法，對每一種涂法△8OC與各有2種涂法，所以此時

36+4821

有4X3X2X2=48(種)涂法.故相鄰三角形均不同色的概率P=二反一=

11.在數(shù)學(xué)考試中，小明的成績在90分及以上的概率是0.18,在80?89分的概率是0.51,

在70?79分的概率是0.15,在60?69分的概率是0.09,計算小明在數(shù)學(xué)考試中取得80分

及以上一成績的概率和小明考試不及格(低于60分)的概率.

解：設(shè)小明的數(shù)學(xué)考試成績在90分及以上，在80~89分，在70~79分，在60~69

分分別為事件8,C,D,E,這4個事件是彼此互斥的.

根據(jù)互斥事件的加法公式，小明的考試成績在80分及以上的概率為P(B+Q=P(B)+

P(Q=0.18+0.51=0.69.

小明考試及格的概率，即成績在60分及以上的概率為P(8+C+。+￡)=P(B)+P(Q+

尸(。)+P(E)=0.18+0.51+0.15+0.09=0.93.

而小明考試不及格與小明考試及格互為對立事件，所以小明考試不及格的概率為1-

P(5+C+￡>+￡)=1-0.93=0.07.

12.盒中有6只燈泡，其中2只次品，4只正品，有放回地從中任取2次，每次只取1只，

試求下列事件的概率：⑴取到的2只都是次品；(2)取到的2只中正品、次品各1只；(3)取

到的2只中至少有1只正品.

解：從6只燈泡中有放回地任取2次，每次只取1只，共有6?=36(種)不同取法.

⑴取到的2只都是次品的情況有22=4(種)，因而所求概率為P==

(2)由于取到的2只中正品、次品各1只有2種可能：第一次取到正品，第二次取到次

品；第一次取到次品，第二次取到正品，所以所求的概率為

4X22X44

P=--------+--------=-

136369-

(3)由于“取到的2只中至少有1只正品”是事件“取到的2只都是次品”的對立事件，

1Q

因而所求的概率為P=\

第二節(jié)概率的應(yīng)用

A組

1.在一個袋子中裝有分別標(biāo)注數(shù)字123,4,5的五個小球，這些小球除標(biāo)注的數(shù)字外完全相

同.現(xiàn)從中隨機(jī)取出2個小球，則取出的小球標(biāo)注的數(shù)字之和為3或6的概率是.

解析：當(dāng)取出的小球標(biāo)注的數(shù)字之和為3時只有｛1,2｝一種取法；當(dāng)取出的小球標(biāo)注的

數(shù)字之和為6時，有｛1,5｝,｛2,4｝兩種取法，所以符合條件的取法種數(shù)為3種，而所有的取

33

法有10種，故所求的概率為而答案：行

2.已知MZ,港=仇1),左1uQA),若H萬|W4,則△/8C是直角三角形的概率為.

解析：M—W4,妙+々16,產(chǎn)<15,k=-3,-2,-1,0,1,2,3.

BC=(2-^,3).若/濟(jì)-必+2無+3=0,則％=T,4=3;T&BCAC=0,則上

qa

=8(舍)；若/8/C=0,則左=-2.故尸=,.答案：亍

3.(2010年南京調(diào)研)甲盒子里裝有分別標(biāo)有數(shù)字1,2,4,7的4張卡片，乙盒子里裝有分別標(biāo)

有數(shù)字1,4的2張卡片.若從兩個盒子中各隨機(jī)地取出1張卡片，則2張卡片上的數(shù)字之和

為奇數(shù)的概率是.

解析：數(shù)字之和為奇數(shù)的有(1,4),(2,1),(4,1),(7,4)共4種情形，而從兩個盒子中各抽

取一張卡片共有8種情況，所以所求概率為;.答案：；

4.(2009年高考江蘇卷)現(xiàn)有5根竹竿,它們的長度(單位：m)分別為2.5,2.6,272.8,2.9,若

從中一次隨機(jī)抽取2根竹竿，則它們的長度恰好相差0.3m的概率為.

解析：在5個長度中一次隨機(jī)抽取2個，則有(2.5,2.6),(2.5,2.7),(2.5,2.8),(2.5,2.9),

(2.6,2.7),(2.6,2.8),(2.6,2.9),(2.7,2.8),(2,7,2.9),(2.8,2.9),共10種情況.滿足長度恰好相

差0.3m的基本事件有(2.5,2.8),(2.6,2.9),共2種情況，所以它們的長度恰好相差0.3m的

211

概率為答案：-

5.(原創(chuàng)題)連擲兩次骰子分別得到點(diǎn)數(shù)加,小向量。=(怙ri),6=(-1,1),若在△48C中,

與a同向，C才與人反向，則/Z8C是鈍角的概率是.

解析：要使乙48c是鈍角，必須滿足/濟(jì)C5<0,即“。=〃-機(jī)>0.連擲兩次骰子所得點(diǎn)

數(shù)加,〃共有36種情形，其中15種滿足條件，故所求概率是，.

6.一個袋子中有紅、白、藍(lán)三種顏色的球共24個，除顏色外其他特征完全相同，已知藍(lán)色

球3個.若從袋子中隨機(jī)取出1個球，取到紅色球的概率是今

(1)求紅色球的個數(shù)；

(2)若將這三種顏色的球分別進(jìn)行編號，并將1號紅色球，1號白色球，2號藍(lán)色球和3

號藍(lán)色球這四個球裝入另一個袋子中，甲乙兩人先后從這個袋子中各取一個球(甲先取，取

出的球不放回)，求甲取出的球的編號比乙大的概率.

Y1

解：⑴設(shè)紅色球有x個，依題意得五=不，解得x=4,.,.紅色球有4個.

(2)記“甲取出的球的編號比乙的大”為事件4所有的基本事件有(紅1,白1),(紅1,

藍(lán)2),(紅1,藍(lán)3),(白1,紅1),(白1,藍(lán)2),(白1,藍(lán)3),(藍(lán)2,紅1),(藍(lán)2,白

1),(藍(lán)2,藍(lán)3),(藍(lán)3,紅1),(藍(lán)3,白1),(藍(lán)3,藍(lán)2),共12個.事件/包含的基

本事件有(藍(lán)2,紅1),(藍(lán)2,白1),(藍(lán)3,紅1),(藍(lán)3,白1),(藍(lán)3,藍(lán)2),共5個,

所以心)=方

B組

1.(2009年高考浙江卷)有20張卡片，每張卡片上分別標(biāo)有兩個連續(xù)的自然數(shù)上k+1,其

中％=0,1,2,…，19.從這20張卡片中任取一張，記事件“該卡片上兩個數(shù)的各位數(shù)字之和(例

如：若取到標(biāo)有9,10的卡片，則卡片上兩個數(shù)的各位數(shù)字之和為9+1+0=10)不小于14”

為A,則P(/)=.

解析：對于大于14的情況通過列舉可得有5種情況：

(7,8)、(8,9)、(16,17).(17,18)、(18,19),而基本事件有20種，因此P(/)=；.

答案：|

2.用黑白兩種顏色的正方形地磚依照下圖的規(guī)律拼成若干圖形，則按此規(guī)律第100個圖形

中有白色地磚塊；現(xiàn)將一粒豆子隨機(jī)撒在第100個圖形中，則豆子落在白色地磚上

的概率是________.

第1個第2個第3個

解析：白色地磚構(gòu)成等差數(shù)列：8,13,18,5〃+3,…

：.a?=5n+3,aiOO=5O3,第100個圖形中有地痔503+100=603,故所求概率尸=器.

答案：503需

3.設(shè)集合/={1,2},5={1,2,3),分別從集合力和8中隨機(jī)取一個數(shù)〃和6,確定平面上

的一個點(diǎn)P(a,b),記“點(diǎn)P(a,b)落在直線》+歹=〃上”為事件C.(2W〃W5,〃6N),若事

件C?的概率最大，則n的所有可能值為.

解析：分別從力和B中各取1個數(shù)，一共有6種等可能的取法，點(diǎn)P(a,b)恰好落在直

線x+y=2上的取法只有1種：(1,1);恰好落在直線x+y=3上的取法有2種：(1,2),(2,1);

恰好落在直線x+y=4上的取法也有2種：(1,3),(2,2);恰好落在直線x+y=5上的取法只

有1種：(2,3),故事件C”的概率分別為卷，("=2,3,4,5),故當(dāng)〃=3或4時概率最大.答

案：3和4

4.先后從分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4的4個大小、形狀完全相同的球中，有放回地隨機(jī)抽取2個

球，則抽到的2個球的標(biāo)號之和不大于5的概率等于.

解析：基本事件共有4X4=16個，其中抽到的2個球的標(biāo)號之和不大于5的情況有：

(1,1).(1,2)、(1,3).(1,4)、(2,1)、(2,2)、(2,3)、(3,1).(3,2)、(4,1),共10種，所以所求概率

為24答案：8

IOdO

5.把?顆骰子投擲兩次，觀察HI現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，并記第一次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為。，第二次出現(xiàn)的點(diǎn)

數(shù)為〃，向量，b),n=(l,—2),則向量帆與向量〃垂直的概率是.

解析：顯然m-n=a-2b=0,所有可能的結(jié)果為(a,6)=(2,1)、(4,2)、(6,3).基本事件

總數(shù)為36,則概率為私答案：,

6.(2010年南京高三調(diào)研)如圖，將一個體積為27cm3的正

塊表面涂上藍(lán)色，然后鋸成體積為1cm3小正方體，從中

塊，則這一塊恰有兩面涂有藍(lán)色的概率是.

解析：據(jù)題意知兩面涂色的小正方體當(dāng)且僅當(dāng)它們是

體的各條棱的中點(diǎn)時滿足條件.正方體共12條棱，所以

色的小正方體有12個，而所有小正方體有27個，所以，

1?44

概率為尸=斫=d答案：Q

Z/yy

7.集合4={2,4,6,8,10},5={1,3,5,7,9},在/中任取一元素a和在8中任取一元素〃，則

所取兩數(shù)m>n的概率是.

解析：基本事件總數(shù)為25個.用=2時，H=1;加=4時，n=1,3;加=6時，n=1,3,5;

m=8時，n=1,3,5,7;m=10時，〃=1,3,5,7,9;共15個.故P==0.6.答案：0.6

8.集合/={(x,y)[y2|x—1|},集合8={(x,y)lyW—x+5}.先后

擲兩顆骰子，設(shè)擲第?顆骰子得點(diǎn)數(shù)記作。，擲第二顆骰子得點(diǎn)

數(shù)記作b,則(a,b)GACB的概率等于.

解析：如圖：滿足(a,b)W(/C8)的(a,6)值共有8個，(1,1),

Q

，答2案:2

(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(3,2)..?.尸=而

9.(2010年江蘇泰興模擬)已知|x|W2,MW2,點(diǎn)P的坐標(biāo)為

(x,y),則當(dāng)x,yGZ時，P滿足。-2)2+0—2KW4的概率為

解析:由k|W2,[y]W2,x、y^Z,則基本事件總數(shù)為〃

=25,P滿足(x-2)2+8-2pW4,...滿足條件的整點(diǎn)有(0,2),

(1,2),(2,2),(1,1),(2,1),(2,0)6個，故「=郎.答案：6

25

10.(2010年皖南八校質(zhì)檢)甲、乙兩人各擲一次骰子(均勻的

正方體，六個面上分別為123,4,5,6點(diǎn))，所得點(diǎn)數(shù)分別為x,卜

⑴求的概率；(2)求5令+產(chǎn)10的概率.

解：記基本事件為(x,y),則有(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),

(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),

(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6),共

36個基本事件.

其中滿足的基本事件有(1,2),(1,3),(1,4)(1,5)(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),

(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6),共15個.

滿足5<x+y<10的基本事件有(1,5),(1,6),(2,4),(2,5),(2,6),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),

(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(6,1),(6,2),(6,3),共20個.

(1)x<y的概率P(x<y)=H=

205

(2)5<x+j<10的概率P(5〈x+_y<10)=石=§.

11.晚會上，主持人面前放著《、B兩個箱子，每箱均裝有3個完全相同的球，各箱的3個

球分別標(biāo)有號碼1,2,3.現(xiàn)主持人從小8兩箱中各摸出一球.

(1)若用(x，回分別表示從4、8兩箱中摸出的球的號碼，請寫出數(shù)對(x,力的所有情形，

并回答一共有多少種；

(2)求所摸出的兩球號碼之和為5的概率；

(3)請你猜這兩球的號碼之和，猜中有獎.猜什么數(shù)獲獎的可能性最大？說明理由.

解:⑴數(shù)對(x,y)的所有情形為(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3),

共9種.

(2)記“所摸出的兩球號碼之和為5”為事件則事件/包含的基本情形有Q,3),(3,2),

2

共2種，所以尸(/)=§.

(3)記“所摸出的兩球號碼之和為i”為事件4a=2,345,6),

由(1)可知事件4的基本結(jié)果為1種，事件小的基本結(jié)果為2種，事件4的基本結(jié)果

12

為3種，事件兒的基本結(jié)果為2種，事件4的基本結(jié)果為1種，所以P(/2)=g，尸(A)=§，

321

產(chǎn)(40=守尸(45)=§，P(4)=g.

故所摸出的兩球號碼之和為4的概率最大，即猜4獲獎的可能性最大.

12.從某學(xué)校高三年級共800名男生中隨機(jī)抽取50

人測量身高.據(jù)測量，被測學(xué)生身高全部介于155

cm至Ul95cm之間，將測量結(jié)果按如下方式分成八

組：第一組［155,160)；第二組［160,165)；…；第八組

［190,195］,如圖是按上述分組方法得到的頻率分布

直方圖的一部分.已知第一組與第八組人數(shù)相同，

第六組、第七組、第八組人數(shù)依次構(gòu)成等差數(shù)列.

(1)估計這所學(xué)校高三年級全體男生身高在

180cm以上(含180cm)的人數(shù);

(2)求第六組、第七組的頻率并補(bǔ)充完整頻率分

布直方圖；

(3)若從身高屬于第六組和第八組的所有男生中隨機(jī)抽取兩人，記他們的身高分別為X、

y,求滿足”|x—MW5”的事件的概率.

解：(1)由頻率分布直方圖得前五組頻率為(0.008+0.016+0.04+0.04+0.06)X5=0.82,

后三組頻率為1-0.82=0.18,人數(shù)為0.18X50=9,

這所學(xué)校高三年級全體男生身高在180cm以上(含180cm)的人數(shù)為800X0.18=144.

(2)由頻率分布直方圖得第八組頻率為

0.008X5=0.04,人數(shù)為0.04X50=2,設(shè)第頻率/組距六組人

0.06...................

數(shù)為貝1J第七組人數(shù)為9-2-/?=7-/w,又加+2

=2(7-w),解得w=4,所以第六組人數(shù)為4,第七

組人數(shù)為3,頻率分別等于0.08,0.06.0.04

頻率

分別等于0.016,0.于2.其完整的頻率分布

0.016

直方圖如圖.0.012

(3)由(2)知身高在［180,185)內(nèi)的人數(shù)為0.0084,設(shè)為

155160165170175180185190195.一、

b、c、d,身高在［190,195］內(nèi)的人數(shù)為2,身高(cm)設(shè)為4、

B,若x,［180,185）時，有〃/＞、ac、ad、be、bd、cd共6種情況；

若x,yG［190,195］時,有力8共1種情況；

若x,了分別在［180,185）和［190,195］內(nèi)時，有bA、cA.dA、aB、bB、cB、跖，共8

種情況.

所以基本事件總數(shù)為6+1+8=15,

事件*-y|W5”所包含的基本事件個數(shù)有6+1=7,；.P（|x-y|W5）=看

第三節(jié)幾何概型

A組

離小于上的

1.在長為1的線段上任取兩點(diǎn)，則這兩點(diǎn)之間的距

概率為.

解析：利用幾何概型知識，結(jié)合線性規(guī)劃可求出答案，如圖.

|x-切＜；0xG（0,l）,j/e（0,l）,設(shè)陰影

部分的區(qū)

3

域面積為d,可知"=/整個正方形的面積為。，可知。=

1,則所求概率P4,答案：I

2.在等腰直角三角形48C中，若M是斜邊48上的點(diǎn)，則小于ZC的概率為______.

解析：可用相應(yīng)線段長度之比來度量，易知。=怠=坐答案：坐

3.（2009年高考山東卷）在區(qū)間［甘，與上隨機(jī)取一個數(shù)x,則COST的值介于。至碌之間的概

率為________.

解析：當(dāng)-畀x若時，由OWcos'W，得-畀xWg或畀x奇,

根據(jù)幾何概型概率公式得所求概率為g.答案：I

4.平面上有一組平行線，且相鄰平行線間的距離為3cm,

把一枚半徑為1cm的硬幣任意投擲在這個平面上，則硬

幣不與任何-一條平行線相碰的概率是.

解析：如圖所示，當(dāng)硬幣中心落在陰影區(qū)域時，硬幣

不與任何一條平行線相碰，故所求概率為/答案：2

3

5.（原創(chuàng)題）向面積為S的△43C內(nèi)任投一點(diǎn)尸，則/\PBC的

面積小巧的概率為.

1h

解析：,??$△尸v$（其中h'為△08。中

4C邊上的高，。為△4BC中8C邊上的高），設(shè)DE為4ABC

的中位線，則點(diǎn)夕應(yīng)在梯形BCED內(nèi)（如圖陰影部分），，尸=

S祎玲BCED_3

S&ABC.

答案：i3

6.在扇形OAmB中,乙AOB=90。，C為AH

的中點(diǎn)（如圖）.

Z***S

⑴在48上任取一點(diǎn)1/,求LMOA<45°

的概率；

（2）在OC上任取點(diǎn)N.過N作EFLOC,

交AB丁EJ；求EF<OA的概率（精確

到0.01）.

解：（1）當(dāng)且僅當(dāng)M點(diǎn)在4c上時，4MO4<45°.

又因?yàn)槔龑Χ系乃械狞c(diǎn)都是等可能

地取的，所以在加？上任取一點(diǎn)M,乙MQ47\^JV

<45。的概率為5=；.以

A好長~-----

（2）設(shè)M,Q在48上，且乙=15°,/_Q（）A=15°,MQ與OC

交于R,則乙M（）Q=60。，M。等于04,故要使EF<OA,只要使

<MQ,即使N取自CR內(nèi).設(shè)AB與。C交于S,則所求概率

OA-

即喀

04-T

B組

1.（2009年高考福建卷）點(diǎn)［為周長等于3的圓周上的一個定點(diǎn)，若在該圓周上隨機(jī)取一點(diǎn)

B,則劣弧/1E的長度小于1的概率為

解析：設(shè)事件M為“劣弧/歷的長度小于1”，則滿足事件初的點(diǎn)B可以在定點(diǎn)A的

2

兩側(cè)與定點(diǎn)A構(gòu)成的弧長小于1的弧上隨機(jī)取一點(diǎn),由幾何概型的概率公式得：=y

答案:|2

2.（2010年蘇、錫、常、鎮(zhèn)四市調(diào)研）己知如圖所示的

為12,寬為5,在矩形內(nèi)隨機(jī)地投擲1000粒黃豆，數(shù)

影部分的黃豆數(shù)為600粒，則可以估計出陰影部分的

解析：設(shè)所求的面積為S,由題意得儒=等？

1uuu3A,1z

答案：36

3.在棱長為a的正方體ABCD-AiBCDi內(nèi)任取一點(diǎn)P,則點(diǎn)P到點(diǎn)A的距離小于等于a

的概率為.

■|xpu/3

解析：尸=工丁吟答案：I

4.(2010年揚(yáng)州調(diào)研)已知集合/{x|-l<x<5},8={x［三>0},在集合4中任取一個元素x,

則事件“XW4CB”的概率是.

解析：由題意得Z={x|-1X5},B={x|2<x<3},由幾何概型知：在集合力中任取一個

元素x,則xGZC8的概率為P=1.答案：!

OO

5.某公共汽車站每隔10分鐘就有一趟車經(jīng)過，小王隨機(jī)趕到車站，則小王等車時間不超過

4分鐘的概率是.

答案:|2

6.如圖，M是半徑為R的圓周上一個定點(diǎn)，在圓周上等可能地任

取一點(diǎn)N,連結(jié)MN,則弦MN的長度超過&R的概率是.

解析：連結(jié)圓心。與M點(diǎn)，作弦MN使NMON=90°,這樣

的點(diǎn)有兩個，分別記為M，N2,僅當(dāng)點(diǎn)N在不包含點(diǎn)A/的半圓弧

上取值時，滿足MNK^R,此時NNQN2=180。，故所求的概率為

180°_1

360°=2,

答案：|

M

7.已知Q={(x,y)|x+yW6,x20,y》0},E—{(x,y)|x—2y》0,xW4,y20},若向區(qū)域

。內(nèi)隨機(jī)投-點(diǎn)尸，則點(diǎn)P落入?yún)^(qū)域E的概率為‘.'

解析：如圖，區(qū)域。表示的平面區(qū)域?yàn)椤?08邊界及其內(nèi)部的部分，區(qū)域E表示的平

面區(qū)域?yàn)椤鰿OO邊界及其內(nèi)部的部分，所以點(diǎn)P落入?yún)^(qū)域E的

<；X2X4

概率為沁------［答案：!

S=°B|x6X699

8.已知函數(shù)y(x)=-f+ax—b.若a、b都是從區(qū)間［0,4］任取的一

個數(shù)，則川)>0成立的概率是.

解析：.41)=一1+。一6>0,即。一6>1,如圖：

9

9S△力5C2

4(1,0),8(4,0),C(4,3),S△.=5,尸="^=不五.答案:

乙3矩4X4

9

32

在區(qū)間［0,1］上任意取兩個實(shí)數(shù)。，b,則函數(shù)/(x)=$3+公一人在區(qū)間［-1用上有且僅有

9.

一個零點(diǎn)的概率為.

解析：/(x)=2<+a,故危)在-1,1］上單調(diào)遞增，又因?yàn)楹瘮?shù)火工)=那3+辦-。

在［-1,1］上有且僅有一個零點(diǎn)，即有<-1)如)<0成立，即(-呆。一舊+。一與〈0,則g+

"OWaWl"OWaWl

0W6W1OW6W1

+

a+ft)(1+a-h)>0,可d匕為<\a-b>0或《

+Q-X0,由線性規(guī)劃知識在平面

、；+a+b>06+"X0

直角坐標(biāo)系〃中畫出這兩個不等式組所表示的可行域，