高中數(shù)學(xué)講義-向量的數(shù)量積

高中數(shù)學(xué)講義一向量的數(shù)量積

目錄

1.教學(xué)大綱....................................................................1

2.知識(shí)點(diǎn)一向量的夾角.......................................................2

3.知識(shí)點(diǎn)二向量的數(shù)量積.....................................................2

4.知識(shí)點(diǎn)三向量數(shù)量積的性質(zhì)及運(yùn)算律........................................3

5.練習(xí)........................................................................3

6.探究點(diǎn)一向量數(shù)量積的運(yùn)算.................................................4

7.探究點(diǎn)二向量的模.........................................................6

8.探究點(diǎn)三向量的夾角與垂直問題............................................7

9.練習(xí)........................................................................8

10.課時(shí)作業(yè)（五）向量的數(shù)量積................................................9

1.教學(xué)大綱

新課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)業(yè)水平要求

1.通過物理“功”的實(shí)例，抽象出向量

數(shù)量積的概念.（數(shù)學(xué)抽象）

1通.過物理中功等實(shí)

2理.解向量夾角、向量投影的概念，會(huì)

例，理解平面向量數(shù)量積的

求向量的夾角與投影，會(huì)求兩個(gè)向量的數(shù)量

概念及其物理意義，會(huì)計(jì)算Z

積.（邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算）

平面向量的數(shù)量積._

3理.解向量數(shù)量積的運(yùn)算律，會(huì)用向量

2通.過幾何直觀，了解

的數(shù)量積表示向量的夾角，求向量的模，判

平面向量投影的概念以及

斷兩個(gè)向量的垂直關(guān)系.（邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)

向量投影的意義.

算）

3會(huì).用數(shù)量積判斷兩個(gè)

熟練掌握向量數(shù)量積的意義及運(yùn)算方

平面向量的垂直關(guān)系.Z

法，能利用向量的數(shù)量積解決相應(yīng)的問

平二

題.（邏輯推理）

第1頁共14頁

2.知識(shí)點(diǎn)一向量的夾角

定義：已知兩個(gè)非零向量伙如圖)，。是平面上的任意一點(diǎn)，作a=a,

OB=b,則叫做向量.與b的夾角.

(1)向量。與〃的夾角的范圍是OWE；

(2)當(dāng)，=0時(shí)，a與r同向;當(dāng)。=兀時(shí)，a與b反向;

rr

(3)如果a與方的夾角是2,我們說a與」垂直,記作QL).

3.知識(shí)點(diǎn)二向量的數(shù)量積

1.定義：已知兩個(gè)非零向量a與人它們的夾角為"我們把數(shù)量㈤上cos。

叫做向量Q與b的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作過，即a功=|a||b|cos可變形為cos

規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為0.

2.投影向量

如圖，設(shè)a,?是兩個(gè)非零向量，AB=a,CD=b,我們考慮如下的變換:

過油的起點(diǎn)A和終點(diǎn)B,分別作日)所在直線的垂線,垂足分別為4,B\,得

到Ri,我們稱上述變換為向量a向向量力投影，通］_叫做向量a在向量b

上的投影向量.

［點(diǎn)撥］(1)向量a在b方向上的投影向量為⑷cos(其中e為與。同向的單

位向量)，它是一個(gè)向量，且與方共線，其方向由向量a和8夾角。的余弦決定;

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(2)注意：a在方方向上的投影向量與方在a方向上的投影向量不同，即向

量方在a上的投影向量可表示為步|cos端.

4.知識(shí)點(diǎn)三向量數(shù)量積的性質(zhì)及運(yùn)算律

1.向量數(shù)量積的性質(zhì)

設(shè)a,)是非零向量，它們的夾角是以e是與)方向相同的單位向量，則

(1)。?e=e-a=|a|cos9.

(Dal.b^ab=a.

(3)當(dāng)a與b同向時(shí)，a-b=\a\\b\-,當(dāng)a與b反向時(shí)，a-b=~\a\\b\.特別地，

=\a\2^\a\=y[a^a.

止匕外，由|cosO|Wl還可以得到.

(4)|a旬三⑷瓦

2.向量數(shù)量積的運(yùn)算律

對(duì)向量a,b,c和實(shí)數(shù)九有

(1)4力=紅(交換律)；

(2)鼠4)"=/1(4仍)=0(=)(結(jié)合律);

(3)(a+Z>>c=0c+b-c(分配律).

[點(diǎn)撥J(1)向量的數(shù)量積不滿足消除律：若a,b,c均為非零向量，且GC

=bc,但得不到a=b.

(2)(a力).cWa-S?c),因?yàn)?。仍，萬c是數(shù)量積，是實(shí)數(shù)，不是向量，所以(“?》)4

與向量c共線，a-("c)與向量a共線，因此，3)>c=trec)在一般情況下不成立.

5.練習(xí)

1.判斷正誤(正確的打“J”，錯(cuò)誤的打“x”)

(1)兩個(gè)向量的數(shù)量積仍然是向量.()

(2)若a仍=0,則a=0或8=0.()

(3)a,b共線臺(tái)a仍=聞向.()

(4)若ab=bc,則一定有a=c.()

(5)兩個(gè)向量的數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù)，向量的加法、減法、數(shù)乘運(yùn)算的運(yùn)算結(jié)

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果是向量.()

答案：(1)X(2)X⑶X(4)X(5)V

2.若向量a,)滿足|@=步|=1,a與方的夾角為60°,則。力等于()

13

A.2B.另

C.1+坐D.2

A[a0=|a||b|cos60°=1X1X；=g.]

7E

3.若ei,e2是夾角為g的單位向量，且a=2ei+e2,>=-3ei+2e2,則a必

=()

A.1B.-4

c7c7

C.—2D.2

JIj

C[由已知，得ei?e2=|ei||e21cosQ=5,

ab=(2e1+/)?(-3ei+lei)

7

=—6⑶F+2|e2F+ei?e2=-].故選C.]

TT

4.已知|a|=3,步|=2,設(shè)e是a同方向上的單位向量，a與〃的夾角為g,

則8在a方向上的投影向量為.

解析：b在a方向上的投影向量為合向cos?=e-2x1=e.

答案：e

6.探究點(diǎn)一向量數(shù)量積的運(yùn)算

例H*(l)已知向量a與》滿足悶=10,步|=3,且向量a與力的夾角為120°.

求：

(D(a+Z>)-(a—6)；②(2a+A>(a—b).

(2)已知單位向量ei,e2的夾角為與，a=2e\—e2,求a在ei上的投影向量.

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解析：(1)①(4+方>(。一①=/一方2=同2一步|2=100—9=91.

②因?yàn)閨。|=10,步|=3,且向量。與〃的夾角為120。，

所以“力=10X3Xcos120°=—15,

所以(2a+b)?(a—Z>)=2?2—“仍一方2

=200+15-9=206.

(2)設(shè)a與ei的夾角為仇則a在ei上的投影向量為⑷cos。?ei="j―r?e\

3

=[(2ei—ei)e\]e\=12一/ei=2ei?

方法技巧

1.求平面向量數(shù)量積的步驟

(1)求Q與b的夾角仇夕￡［0,兀］;

⑵分別求同和向;

(3)求數(shù)量積，即4。=同向cos。，要特別注意書寫時(shí)a與萬之間用實(shí)心圓點(diǎn)

連接，而不能用"X"連接，也不能省去.

2.求投影向量的兩種方法

(1)6在a方向上的投影向量為步|cos，?尚,0為a,的夾角，a在b方向

上的投影向量為|a|cos，喘.

(2))在。方向上的投影向量為，油，”在萬方向上的投影向量為瞽居.

［對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練］

1.已知。仍=16,若Q在方上的投影向量為4b,則向=.

解析：設(shè)a,。的夾角為0,

則a-Z>=|a||Z>|-cos3=16.①

由a在b上的投影向量為|a|cos哈=4b,得|a|cos。=4四.②

由①②得步1=2.

答案：2

2.已知向量a,5的夾角為m，同=啦，血=2,則a?(a—25)=.

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解析：aia-2b)=a2-2a-b=2-2Xyf2X2X(-由

=6.

答案：6

7.探究點(diǎn)二向量的模

例?名⑴已知平面向量a與b的夾角為60°,|a|=2,|A|=L則|a+2b|=()

A.小B.2小

C.4D.12

(2)向量a,)滿足同=1,\a-b\=^，a與6的夾角為60°,則向=()

A.gB.；

c1D1

J54

解析：(l)|a+26|=yl(a+26)2

=-\]a2+4a-b+4b2

=，|"+4⑷步|cos600+4步F

=^J4+4X2Xlx1+4=2小.

33

出由題意得|。一例2=同2+血2一加眄.8$60。=1,即1+|那一向=^，

解得向=；.

答案：(1)B(2)B

方法技巧

求向量模的一般思路及常用公式

(1)求向量模的常見思路

根據(jù)&2=|aF求|不|

廠

開方計(jì)算|。|一I

(2)常用公式

①(a—A〉(a+A)=/一從=同2一族匕

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②|a±2|2=(a土力產(chǎn)=層±+廬.

［對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練］

1.已知向量a"的夾角為45°,且|a|=l,|2a—m，則步尸.

解析：?：a,6的夾角為45°,|a|=l,：.a-b=\a\\b\cos45°=半步1，又

V|2a-Z>|=V10,，|2a一加2=4-4義乎\b\+\b\2=l0,.,.網(wǎng)=3啦.

答案：36

2.已知聞=4,網(wǎng)=3,(2a-36)(2a+Z>)=61,則|。+例=.

解析：?.?Qa—3T>(2a+b)=61,，4⑷2—4。力一31M2=61.又⑷=4,|回=3,

：.ab=~6,：.\a+b\=yl\a\2+\b^+2a-b=^/42+32+2X(-6)=仃.

答案：V13

8.探究點(diǎn)三向量的夾角與垂直問題

例?"(1)已知非零向量a,?滿足聞=2網(wǎng),且(a—b)_L。則。與固的夾角為

()

71-兀

A-6B-3

02兀-5兀

C-TD-~6

(2)已知平面向量a"滿足⑷=3,血=2,a與分的夾角為60°,若(a—〃?J_a,

則實(shí)數(shù)加的值為()

3

A.1B.2

C.2D.3

(3)若平面四邊形ABCD滿足值+CD=0,(AB-AD)-AC=0,則該

四邊形一定是()

A.直角梯形B.矩形

C.菱形D.正方形

解析：(1)因?yàn)?a—b)_LZ>,所以(a—b>A=a?〃一廬=0,所以。仍=廬,所以

cos焉=^|2=3'因?yàn)镺W,WJI,所以a與b的夾角為全,故選B.

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(2)V(a—mb)_1_a,，(a—mb)-a=0,

???/一加〃/=(),即9—"?X3X2Xcos60°=0,：.m=3.

(3)由屈+CD=0,得平面四邊形ABCD是平行四邊形，由(油-

AD)-AC=0,得用AC=0,即平行四邊形ABC。的對(duì)角線互相垂直，則該

四邊形一定是菱形.

答案：(1)B(2)D(3)C

方法技巧

求向量夾角的基本步驟

［對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練］

已知同=4,向=8,a與力的夾角是120°.

(1)求ab的值；

(2)當(dāng)實(shí)數(shù)Z為何值時(shí)，(a+2Z>)_L(版一加？

解析：(l)a-6=|a||/>|cos120°=4X8x(-；)=-16.

(2)當(dāng)(a+25)_L(ka一歷時(shí)，(a+2b)-(ka~b)=0,

即ktr~2b-+(2A—1)a仍=0,

整理得16——128+(2無一1)X(—16)=0,

解得k=-7.

故當(dāng)k=—7時(shí)，(a+2b)J_(Za-b).

9.練習(xí)

1.|a|=2,步|=4,向量。與方向量的夾角為120°,則向量a在向量力方

向上的投影等于()

A.-3B.—2

C.2D.-1

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D[向量a在向量方方向上的投影為⑷cos120°=2X(—；)=—1.故選D.]

2.已知向量a,萬的夾角為30°,|a|=2,而=小，則|2@+加=()

A.小B.3

C.731D.12

C「.?向量a,b的夾角為30°，⑷=2,|例=小,所以|加+回=

(2a+Z>)2=yl4a2+4a-b+b2

=\l4X22+4X2X小義坐+(小)2=技.故選C.]

3.給出下列結(jié)論：①若aWO,ab=0,則8=0；②若。功="c,則a=c；

③(Q力)c=a(小c)；④<r[bOc)—c(a力)]=0,其中正確結(jié)論的序號(hào)是.

解析因?yàn)楫?dāng)兩個(gè)非零向量a,分垂直時(shí)，ab=0,故①不正確；

當(dāng)a=0,6J_c時(shí)，ab=bc=0,但不能得出a=c,故②不正確；

向量3力)c與c共線，磯-c)與a共線,故③不正確；

a\b(ac)—c{ab)]

=(a力)(a-c)—(>c)(a4)=0,故④正確.

答案：④

4.已知同=3,步|=2,向量a,b的夾角為60。,c=3a+5b,d=ma~3b,

求當(dāng)為何值時(shí)，c與d垂直.

解析：由已知得a仍=3X2Xcos60°=3.

若cA-d,則cd=0,

cd=(3a+5Z>),(ma—3b)—3ma2+(5m—9)ab—1562=27/n+3(5/n—9)一

60=42/??-87=0,

,''m=U，即當(dāng)/77=f4時(shí)，c與d垂直.

10.課時(shí)作業(yè)(五)向量的數(shù)量積

(本欄目內(nèi)容，在學(xué)生用書中以獨(dú)立形式分冊(cè)裝訂！)

[A級(jí)基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)]

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jr

1.已知⑷=8,e為單位向量，當(dāng)它們的夾角為？時(shí)，a在e方向上的投影

為()

A.4小B.4

D.8+坐

C.4啦

TT

B|a|=8,e為單位向量，且〈a,e〉=§,由平面向量的投影定義得同-cos

〈a,e〉=8?；=4,/.Q在e方向上的投影為4.故選B.]

2.已知向量a,力滿足同=小，向=2,\a+b\=y[5，則向量a,。夾角的

余弦值為()

亞

A.

6BJ

C.

3DT

A[向量a,b滿足⑷=#，\b\=2,\a+b\=y[5，則|a+》?=5,即|a『十

\b^+2a-b=5,故3+4+2a6=5,SPab=-l,設(shè)向量a,方的夾角為a,則cos

a-b-1_近

a~\a\-\b\一2小一6.故選A.]

3.設(shè)a,5為單位向量，且|。一回=1,則|a+2)|=()

A.小B.小

C.3D.7

[因?yàn)閍,b為單位向量，且|a—勿=1,所以(a—%)2=1,所以a2—2ab

+b2=1,解得,所以|a+2回=N|a+2Z>F="\/a2+4a-Z>+4Z>2=巾.故選

B.]

4.在△ABC中，ABAC<0,則△48。是()

A.銳角三角形B.直角三角形

C.鈍角三角形D.等邊三角形

C[VABAC=|曲\-\AC|cosA<0,，cosA<0,NA是鈍角，則△ABC

是鈍角三角形.故選C.]

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5.(多選)對(duì)任意向量a,b,下列關(guān)系式中恒成立的是()

A.仙|

B.|a—Z>|^||a|-16||

C.(a+4=M+那

D.(a+3>(a-b)=屋一b2

ACD[對(duì)于A,設(shè)向量a,一的夾角為仇因?yàn)閨a?D=I出則cosqW同業(yè)|,

所以A正確；對(duì)于B,如圖，設(shè)宓=a,OB—b,則麗=a-b,所以，|。4|

=\a\,\OB\=\b\,\BA\=\a-b\,因?yàn)閨區(qū)4|2||。4|一|0和,所以。一臼詞同一例,故

B錯(cuò)；

對(duì)于C,因?yàn)橄蛄康钠椒降扔谙蛄磕５钠椒?，則(a+32=|a+》F，所以C正

確；對(duì)于D,(a+b)-(a—b)=a2—a-b-]rb-a—b2=a2—b2,所以D正確.故選ACD.]

6.在△A3C中，AB=l,AC=2,(AB+AC\AB=2,則角A的大小為

解析：由題意知，(病+AC)?俞=AB2+ACAB=12+1X2COSA=2,

1jr

所以cosA=],又AG(0,7t),所以A=y.

答案：I

7.已知⑷=6,e為單位向量，若向量a與e的夾角為135°,則向量a在

e上的投影向量為.

解析：因?yàn)棰?6,<a,e>=135°,

所以向量a在e上的投影向量為：|a|cos{a,e〉-e=6.(—乎>e=-3啦e.

答案：一3啦e

8.已知單位向量a,b,c滿足|a+25+3c|Wl,則a2的最大值為；

最小值為.

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解析：設(shè)a+2〃=f,貝i」Q+3c|Wl,

因?yàn)閏os〈￡,c)2—1,故|，|2+6Q|COS〈t,c〉+8W0,

故用2一6|￡|十8<0即2W|〃+2例W4,

因?yàn)閙方為單位向量，所以2W|a+2〃|W3,

兩邊平方得一(WabWl.

答案：1一(

9.(1)已知單位向量ei與62夾角為60°,且0=61+62,b=ei-2e2,求ab

的值.

(2)已知回=讓,向=3,\a-b\=yft,求a與)夾角的余弦值.

解析：(I)：?單位向量4與62夾角為60°,

?e2=|ei|?|e21cos60°=1X1X2=2.

13

.?.a力=(ei+e2>(ei-2e2)=e/—?ei—2er=1-2=一/.

(2)V\a-b\=y{7,Aa2-2a&+62=7,即2—2〃仍+9=7,

??a，b=2.

ab2y[2

/.COS〈Q,b)=麗=V2X3=3-

故。與8夾角的余弦值為坐.

10.設(shè)兩個(gè)向量ei,C2滿足|ei|=2,。|=1,e\,02的夾角為60°,若向量

2⑶+7e2與⑨+幻的夾角為鈍角，求實(shí)數(shù)，的取值范圍.

解析：'：\ei\=2,㈤=1,ei,一的夾角為60°,

?二0?€2=\e\\?|e21cos60°=1,

設(shè)向量2?+7e2與ei+心的夾角為0.

如理日百★乙曰0(2?+7e2)?(ei+re2)

根據(jù)延思，侍cos8=—|2?+7e2||ei+M2|<0,

(2te\+7e2)??+超2)<0,

化簡(jiǎn)，得2及+15-7<0,解得一7<f<一；.

當(dāng)。=兀時(shí)，也有(2%i+7e2>?+%2)<0,但此時(shí)夾角不是鈍角.

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設(shè)2te\+7e2—A(ei+tei),4V0,

2f=九