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文檔簡介
2022-2023學(xué)年高三上數(shù)學(xué)期末模擬試卷注意事項(xiàng)1.考生要認(rèn)真填寫考場號(hào)和座位序號(hào)。2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上,在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答;第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3.考試結(jié)束后,考生須將試卷和答題卡放在桌面上,待監(jiān)考員收回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、,過的直線交橢圓于A,B兩點(diǎn),交y軸于點(diǎn)M,若、M是線段AB的三等分點(diǎn),則橢圓的離心率為()A. B. C. D.2.在中,,則=()A. B.C. D.3.若x,y滿足約束條件則z=的取值范圍為()A.[] B.[,3] C.[,2] D.[,2]4.若將函數(shù)的圖象上各點(diǎn)橫坐標(biāo)縮短到原來的(縱坐標(biāo)不變)得到函數(shù)的圖象,則下列說法正確的是()A.函數(shù)在上單調(diào)遞增 B.函數(shù)的周期是C.函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱 D.函數(shù)在上最大值是15.如圖,在底面邊長為1,高為2的正四棱柱中,點(diǎn)是平面內(nèi)一點(diǎn),則三棱錐的正視圖與側(cè)視圖的面積之和為()A.2 B.3 C.4 D.56.如圖,棱長為的正方體中,為線段的中點(diǎn),分別為線段和棱上任意一點(diǎn),則的最小值為()A. B. C. D.7.已知數(shù)列{an}滿足a1=3,且aA.22n-1+1 B.22n-1-18.已知復(fù)數(shù)和復(fù)數(shù),則為A. B. C. D.9.已知點(diǎn)、.若點(diǎn)在函數(shù)的圖象上,則使得的面積為的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為()A. B. C. D.10.復(fù)數(shù)為純虛數(shù),則()A.i B.﹣2i C.2i D.﹣i11.己知集合,,則()A. B. C. D.12.如圖所示,正方體的棱,的中點(diǎn)分別為,,則直線與平面所成角的正弦值為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.復(fù)數(shù)為虛數(shù)單位)的虛部為__________.14.運(yùn)行下面的算法偽代碼,輸出的結(jié)果為_____.15.各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中,為其前項(xiàng)和,若,且,則公比的值為_____.16.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,己知直線與函數(shù)的圖象在y軸右側(cè)的公共點(diǎn)從左到右依次為,,…,若點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1,則點(diǎn)的橫坐標(biāo)為________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)在平面直角坐標(biāo)系中,已知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),在以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸,且與直角坐標(biāo)系長度單位相同的極坐標(biāo)系中,曲線C的極坐標(biāo)方程是.(1)求直線l的普通方程與曲線C的直角坐標(biāo)方程;(2)若直線l與曲線C相交于兩點(diǎn)A,B,求線段的長.18.(12分)已知函數(shù).(1)討論函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù);(2)若f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)證明.19.(12分)已知函數(shù),其中.(1)當(dāng)時(shí),求在的切線方程;(2)求證:的極大值恒大于0.20.(12分)已知在中,角、、的對(duì)邊分別為,,,,.(1)若,求的值;(2)若,求的面積.21.(12分)如圖1,四邊形為直角梯形,,,,,,為線段上一點(diǎn),滿足,為的中點(diǎn),現(xiàn)將梯形沿折疊(如圖2),使平面平面.(1)求證:平面平面;(2)能否在線段上找到一點(diǎn)(端點(diǎn)除外)使得直線與平面所成角的正弦值為?若存在,試確定點(diǎn)的位置;若不存在,請(qǐng)說明理由.22.(10分)如圖,在正四棱柱中,已知,.(1)求異面直線與直線所成的角的大?。唬?)求點(diǎn)到平面的距離.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】
根據(jù)題意,求得的坐標(biāo),根據(jù)點(diǎn)在橢圓上,點(diǎn)的坐標(biāo)滿足橢圓方程,即可求得結(jié)果.【詳解】由已知可知,點(diǎn)為中點(diǎn),為中點(diǎn),故可得,故可得;代入橢圓方程可得,解得,不妨取,故可得點(diǎn)的坐標(biāo)為,則,易知點(diǎn)坐標(biāo),將點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓方程得,所以離心率為,故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓離心率的求解,難點(diǎn)在于根據(jù)題意求得點(diǎn)的坐標(biāo),屬中檔題.2、B【解析】
在上分別取點(diǎn),使得,可知為平行四邊形,從而可得到,即可得到答案.【詳解】如下圖,,在上分別取點(diǎn),使得,則為平行四邊形,故,故答案為B.【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量的線性運(yùn)算,考查了學(xué)生邏輯推理能力,屬于基礎(chǔ)題.3、D【解析】
由題意作出可行域,轉(zhuǎn)化目標(biāo)函數(shù)為連接點(diǎn)和可行域內(nèi)的點(diǎn)的直線斜率的倒數(shù),數(shù)形結(jié)合即可得解.【詳解】由題意作出可行域,如圖,目標(biāo)函數(shù)可表示連接點(diǎn)和可行域內(nèi)的點(diǎn)的直線斜率的倒數(shù),由圖可知,直線的斜率最小,直線的斜率最大,由可得,由可得,所以,,所以.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查了非線性規(guī)劃的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.4、A【解析】
根據(jù)三角函數(shù)伸縮變換特點(diǎn)可得到解析式;利用整體對(duì)應(yīng)的方式可判斷出在上單調(diào)遞增,正確;關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱,錯(cuò)誤;根據(jù)正弦型函數(shù)最小正周期的求解可知錯(cuò)誤;根據(jù)正弦型函數(shù)在區(qū)間內(nèi)值域的求解可判斷出最大值無法取得,錯(cuò)誤.【詳解】將橫坐標(biāo)縮短到原來的得:當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞增在上單調(diào)遞增,正確;的最小正周期為:不是的周期,錯(cuò)誤;當(dāng)時(shí),,關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱,錯(cuò)誤;當(dāng)時(shí),此時(shí)沒有最大值,錯(cuò)誤.本題正確選項(xiàng):【點(diǎn)睛】本題考查正弦型函數(shù)的性質(zhì),涉及到三角函數(shù)的伸縮變換、正弦型函數(shù)周期性、單調(diào)性和對(duì)稱性、正弦型函數(shù)在一段區(qū)間內(nèi)的值域的求解;關(guān)鍵是能夠靈活應(yīng)用整體對(duì)應(yīng)的方式,通過正弦函數(shù)的圖象來判斷出所求函數(shù)的性質(zhì).5、A【解析】
根據(jù)幾何體分析正視圖和側(cè)視圖的形狀,結(jié)合題干中的數(shù)據(jù)可計(jì)算出結(jié)果.【詳解】由三視圖的性質(zhì)和定義知,三棱錐的正視圖與側(cè)視圖都是底邊長為高為的三角形,其面積都是,正視圖與側(cè)視圖的面積之和為,故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查幾何體正視圖和側(cè)視圖的面積和,解答的關(guān)鍵就是分析出正視圖和側(cè)視圖的形狀,考查空間想象能力與計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.6、D【解析】
取中點(diǎn),過作面,可得為等腰直角三角形,由,可得,當(dāng)時(shí),最小,由,故,即可求解.【詳解】取中點(diǎn),過作面,如圖:則,故,而對(duì)固定的點(diǎn),當(dāng)時(shí),最?。藭r(shí)由面,可知為等腰直角三角形,,故.故選:D【點(diǎn)睛】本題考查了空間幾何體中的線面垂直、考查了學(xué)生的空間想象能力,屬于中檔題.7、D【解析】試題分析:因?yàn)閍n+1=4an+3,所以an+1+1=4(an+1),即an+1+1an+1考點(diǎn):數(shù)列的通項(xiàng)公式.8、C【解析】
利用復(fù)數(shù)的三角形式的乘法運(yùn)算法則即可得出.【詳解】z1z2=(cos23°+isin23°)?(cos37°+isin37°)=cos60°+isin60°=.故答案為C.【點(diǎn)睛】熟練掌握復(fù)數(shù)的三角形式的乘法運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵,復(fù)數(shù)問題高考必考,常見考點(diǎn)有:點(diǎn)坐標(biāo)和復(fù)數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系,點(diǎn)的象限和復(fù)數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系,復(fù)數(shù)的加減乘除運(yùn)算,復(fù)數(shù)的模長的計(jì)算.9、C【解析】
設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo),以為底結(jié)合的面積計(jì)算出點(diǎn)到直線的距離,利用點(diǎn)到直線的距離公式可得出關(guān)于的方程,求出方程的解,即可得出結(jié)論.【詳解】設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為,直線的方程為,即,設(shè)點(diǎn)到直線的距離為,則,解得,另一方面,由點(diǎn)到直線的距離公式得,整理得或,,解得或或.綜上,滿足條件的點(diǎn)共有三個(gè).故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查三角形面積的計(jì)算,涉及點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用,考查運(yùn)算求解能力,屬于中等題.10、B【解析】
復(fù)數(shù)為純虛數(shù),則實(shí)部為0,虛部不為0,求出,即得.【詳解】∵為純虛數(shù),∴,解得..故選:.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的分類,屬于基礎(chǔ)題.11、C【解析】
先化簡,再求.【詳解】因?yàn)?,又因?yàn)椋?,故選:C.【點(diǎn)睛】本題主要考查一元二次不等式的解法、集合的運(yùn)算,還考查了運(yùn)算求解能力,屬于基礎(chǔ)題.12、C【解析】
以D為原點(diǎn),DA,DC,DD1分別為軸,建立空間直角坐標(biāo)系,由向量法求出直線EF與平面AA1D1D所成角的正弦值.【詳解】以D為原點(diǎn),DA為x軸,DC為y軸,DD1為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長為2,則,,,取平面的法向量為,設(shè)直線EF與平面AA1D1D所成角為θ,則sinθ=|,直線與平面所成角的正弦值為.故選C.【點(diǎn)睛】本題考查了線面角的正弦值的求法,也考查數(shù)形結(jié)合思想和向量法的應(yīng)用,屬于中檔題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、1【解析】試題分析:,即虛部為1,故填:1.考點(diǎn):復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算14、【解析】
模擬程序的運(yùn)行過程知該程序運(yùn)行后計(jì)算并輸出的值,用裂項(xiàng)相消法求和即可.【詳解】模擬程序的運(yùn)行過程知,該程序運(yùn)行后執(zhí)行:.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查算法語句中的循環(huán)語句和裂項(xiàng)相消法求和;掌握循環(huán)體執(zhí)行的次數(shù)是求解本題的關(guān)鍵;屬于基礎(chǔ)題.15、【解析】
將已知由前n項(xiàng)和定義整理為,再由等比數(shù)列性質(zhì)求得公比,最后由數(shù)列各項(xiàng)均為正數(shù),舍根得解.【詳解】因?yàn)榧从值缺葦?shù)列各項(xiàng)均為正數(shù),故故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查在等比數(shù)列中由前n項(xiàng)和關(guān)系求公比,屬于基礎(chǔ)題.16、1【解析】
當(dāng)時(shí),得,或,依題意可得,可求得,繼而可得答案.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)的橫坐標(biāo)為1,即當(dāng)時(shí),,所以或,又直線與函數(shù)的圖象在軸右側(cè)的公共點(diǎn)從左到右依次為,,所以,故,所以函數(shù)的關(guān)系式為.當(dāng)時(shí),(1),即點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1,為二函數(shù)的圖象的第二個(gè)公共點(diǎn).故答案為:1.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換、正弦型函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用,主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力及思維能力,屬于中檔題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)l:,C:;(2)【解析】
(1)直接利用轉(zhuǎn)換關(guān)系,把參數(shù)方程直角坐標(biāo)方程和極坐標(biāo)方程之間進(jìn)行轉(zhuǎn)換;
(2)由(1)可得曲線是圓,求出圓心坐標(biāo)及半徑,再求得圓心到直線的距離,即可求得的長.【詳解】(1)由題意可得直線:,由,得,即,所以曲線C:.(2)由(1)知,圓,半徑.∴圓心到直線的距離為:.∴【點(diǎn)睛】本題考查直線的普通坐標(biāo)方程、曲線的直角坐標(biāo)方程的求法,考查弦長的求法、運(yùn)算求解能力,是中檔題.18、(1)見解析(2)見解析【解析】
(1)求得函數(shù)的定義域和導(dǎo)函數(shù),對(duì)分成三種情況進(jìn)行分類討論,判斷出的極值點(diǎn)個(gè)數(shù).(2)由(1)知,結(jié)合韋達(dá)定理求得的關(guān)系式,由此化簡的表達(dá)式為,通過構(gòu)造函數(shù)法,結(jié)合導(dǎo)數(shù)證得,由此證得成立.【詳解】(1)函數(shù)的定義域?yàn)榈茫╥)當(dāng)時(shí);,因?yàn)闀r(shí),時(shí),,所以是函數(shù)的一個(gè)極小值點(diǎn);(ii)若時(shí),若,即時(shí),,在是減函數(shù),無極值點(diǎn).若,即時(shí),有兩根,不妨設(shè)當(dāng)和時(shí),,當(dāng)時(shí),,是函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn),綜上所述時(shí),僅有一個(gè)極值點(diǎn);時(shí),無極值點(diǎn);時(shí),有兩個(gè)極值點(diǎn).(2)由(1)知,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),有極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn),且是方程的兩根,,則所以設(shè),則,又,即,所以所以是上的單調(diào)減函數(shù),有兩個(gè)極值點(diǎn),則【點(diǎn)睛】本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值點(diǎn),考查利用導(dǎo)數(shù)證明不等式,考查分類討論的數(shù)學(xué)思想方法,考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法,屬于中檔題.19、(1)(2)證明見解析【解析】
(1)求導(dǎo),代入,求出在處的導(dǎo)數(shù)值及函數(shù)值,由此即可求得切線方程;(2)分類討論得出極大值即可判斷.【詳解】(1),當(dāng)時(shí),,,則在的切線方程為;(2)證明:令,解得或,①當(dāng)時(shí),恒成立,此時(shí)函數(shù)在上單調(diào)遞減,∴函數(shù)無極值;②當(dāng)時(shí),令,解得,令,解得或,∴函數(shù)在上單調(diào)遞增,在,上單調(diào)遞減,∴;③當(dāng)時(shí),令,解得,令,解得或,∴函數(shù)在上單調(diào)遞增,在,上單調(diào)遞減,∴,綜上,函數(shù)的極大值恒大于0.【點(diǎn)睛】本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求切線方程,考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,考查分類討論的數(shù)學(xué)思想方法,屬于中檔題.20、(1)7(2)14【解析】
(1)在中,,可得,結(jié)合正弦定理,即可求得答案;(2)根據(jù)余弦定理和三角形面積公式,即可求得答案.【詳解】(1)在中,,,,,,.(2),,,解得,.【點(diǎn)睛】本題主要考查了正弦定理和余弦定理解三角形,解題關(guān)鍵是掌握正弦定理邊化角,考查了分析能力和計(jì)算能力,屬于中檔題.21、(1)證明見解析;(2)存在點(diǎn)是線段的中點(diǎn),使得直線與平面所成角的正弦值為.【解析】
(1)在直角梯形中,根據(jù),,得為等邊三角形,再由余弦定理求得,滿足,得到,再根據(jù)平面平面,利用面面垂直的性質(zhì)定理證明.(2)建立空間直角坐標(biāo)系:假設(shè)在上存在一點(diǎn)使直線與平面所成角的正弦值為,且,,求得平面的一個(gè)法向量,再利用線面角公式求解.【詳解】(1)證明:在直角梯形中,,,因此為等邊三角形,從而,又,由余弦定理得:,∴,即,且折疊后與位置關(guān)系不變,又∵平面平面,且平面平面.∴平面,∵平面,∴平面平面.(2)∵為等邊三角形,為的中點(diǎn),∴,又∵平面平面,且平面平面,∴平面,取的中點(diǎn),連結(jié),則,從而,以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系:則,,則,假設(shè)在上存在一點(diǎn)使直線與平面所成角的正弦值為,且,,∵,∴,故,∴,又,該平面的法向量為,,令得,∴,解得或(舍),綜上可知,存在點(diǎn)是線段的中點(diǎn),使得直線與平面所成角的正弦值為.【點(diǎn)睛】本題主要考查面面垂直的性質(zhì)定理和向
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