第03講 相似三角形-2022年中考數(shù)學(xué)考前《終講·終練·終卷》沖刺高分突破-中考數(shù)學(xué)備考復(fù)習(xí)重點(diǎn)資料歸納

第03講：相似三角形

【考點(diǎn)精講】

題型一：A字詞型相似問(wèn)題

1.（2021?山東臨沂?三模）如圖，在△ABC中，QE〃BC,若AE=2,EC=3,則△AOE與△ABC的面積之比為（）

2.（2021?上海市金山初級(jí)中學(xué)）如圖，在△ABC中，點(diǎn)。在邊43上，點(diǎn)E、點(diǎn)尸在邊AC上，且￡>E〃BC,—.

FEEC

（1）求證：DF//BE-,

（2）如且AP=2,EF=4,AB=6BADE^^AEB.

3.（2021?山東?嘉祥縣馬集鎮(zhèn)中學(xué)）中，ZC=90°,AC=20cm,Z?C=15cm,現(xiàn)有動(dòng)點(diǎn)尸從點(diǎn)A出發(fā),

沿AC向點(diǎn)C方向運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)。從點(diǎn)C出發(fā)，沿線段CB也向點(diǎn)B方向運(yùn)動(dòng)，如果點(diǎn)P的速度是4cm/s,點(diǎn)。的速

度是2cm/s,它們同時(shí)出發(fā)，當(dāng)有一點(diǎn)到達(dá)所在線段的端點(diǎn)時(shí)，就停止運(yùn)動(dòng).設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，秒.

（1）求運(yùn)動(dòng)時(shí)間為多少秒時(shí)，P、。兩點(diǎn)之間的距離為10cm?

（2）若CP0的面積為S,求S關(guān)于r的函數(shù)關(guān)系式.

（3）當(dāng)f為多少時(shí)，以點(diǎn)C,P,。為頂點(diǎn)的三角形與」ABC相似？

題型二：8型相似問(wèn)題

4.（2022?廣東河源?九年級(jí)）如圖，在平行四邊形ABC。中，E為邊4。的中點(diǎn)，連接AC,BE交于點(diǎn)F.若△AEF

的面積為2,則AABC的面積為（）

A.8B.10C.12D.14

5.（2021?福建?晉江市第一中學(xué)）如圖，正方形458邊長(zhǎng)為3,點(diǎn)E是AO上一點(diǎn)，且AE=1,連接BE,過(guò)C作

CFVBE,垂足為F,CF交對(duì)角線3。于G,將BCG沿CG翻折得到△HCG,CH交對(duì)角線8。于則S他”

6.（2021?上海市奉賢區(qū)古華中學(xué)九年級(jí)期中）已知：如圖，四邊形A8CC是平行四邊形，在邊AB的延長(zhǎng)線上截

取BE=AB,點(diǎn)尸在AE的延長(zhǎng)線上，CE和。尸交于點(diǎn)M,BC和力廠交于點(diǎn)N,聯(lián)結(jié)BD.

（1）求證：4BNDs^CNM；

（2）如果AZ>2=AB?AF,求證：CM,AB=DM?CN.

題型三：母子型相似問(wèn)題

7.（2021.黑龍江?哈爾濱風(fēng)華中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，在R。ABC中，NACB=90。，CD_LAB于點(diǎn)。，已知

94

AD=-,BD=—,那么BC—.

8.(2021?安徽合肥?九年級(jí)期中)_ABC中，NABC=90。，50,AC,點(diǎn)E為5。的中點(diǎn)，連接AE并延長(zhǎng)交5c于

點(diǎn)凡且有AF=CF,過(guò)/點(diǎn)作尸H_LAC于點(diǎn)兒

(1)求證：^ADE^CDB；

(2)求證：AE=2EF;

(3)若FH=石，求8c的長(zhǎng).

9.(2021.山東濱州.九年級(jí)期末)如圖，直線AB經(jīng)過(guò)。O上的點(diǎn)C,并且。4=OB,CA=CB,直線OB交。。于點(diǎn)

E,D,連接EC、CD.

(1)試判斷直線AB與。。的位置關(guān)系，并加以證明;

(2)求證：BC2=BDBE；

(3)若tanE=g,(DO的半徑為3,求04的長(zhǎng).

題型四：旋轉(zhuǎn)相似問(wèn)題

10.(2022?吉林長(zhǎng)春?九年級(jí)期末)在同一平面內(nèi)，如圖①，將兩個(gè)全等的等腰直角三角形擺放在一起，點(diǎn)A為公

共頂點(diǎn)，ZBAC=ZAED=90°.如圖②，若△A8C固定不動(dòng)，把△AOE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使40、AE與邊BC的

交點(diǎn)分別為M、N點(diǎn)M不與點(diǎn)B重合，點(diǎn)N不與點(diǎn)C重合.

【探究】求證：ABANS&CMA.

【應(yīng)用】已知等腰直角三角形的斜邊長(zhǎng)為4.

(1)BN-CM的值為

(2)若BM=CN,則MN的長(zhǎng)為

11.(2022?福建?模擬預(yù)測(cè))在AABC中，AB=AC,N8AC=a,點(diǎn)P為線段CA延長(zhǎng)線上一動(dòng)點(diǎn)，連接P8,將線

段P8繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為a,得到線段P。，連接。8,DC.

(1)如圖1,當(dāng)a=60。時(shí)，求證：PA=DC；

(2)如圖2,當(dāng)a=120。時(shí)，猜想以和。C的數(shù)量關(guān)系并說(shuō)明理由.

(3)當(dāng)a=120。時(shí)，若48=6,BP=屈,請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)。到C尸的距離.

12.(2021.四川?一模)如圖，正方形ABC￡>,對(duì)角線AC,8。相交于O,。為線段OB上的一點(diǎn)，NMQN=90°,

點(diǎn)〃、N分別在直線BC、QC上.

（1）如圖1,當(dāng)。為線段0。的中點(diǎn)時(shí)，求證：DN+-BM=~BC.

（2）如圖2,當(dāng)Q為線段0B的中點(diǎn)，點(diǎn)N在C。的延長(zhǎng)線上時(shí)，則線段DN、BM、8c的數(shù)量關(guān)系為

（3）在（2）的條件下，連接MN,交4力、BD于點(diǎn)E、F,若M8:MC=3:1,NQ=9遙，求EF的長(zhǎng).

題型五：K字型相似問(wèn)題

13.（2022.全國(guó)?九年級(jí)專題練習(xí)）如圖①，在等邊三角形A8C中，點(diǎn)。是邊BC上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B,C重合），

以AO為邊向右作等邊△ACE,邊。E與AC相交于點(diǎn)F,設(shè)BQ=x,CF=y,若y與x的函數(shù)關(guān)系的大致圖象如圖

②所示，則等邊三角形ABC的面積為（）

圖①圖②

A.3B.36C.66D.90

14.（2022?江蘇揚(yáng)州?九年級(jí)期末）如圖，在邊長(zhǎng)為6的等邊△ABC中，。是邊BC上一點(diǎn)，將AABC沿EF折疊使

點(diǎn)A與點(diǎn)。重合，若BD:DE=2:3,則CF=.

A

BD

15.（2021.山東濟(jì)南?）（1）問(wèn)題

如圖1,在四邊形48C。中，點(diǎn)尸為A8上一點(diǎn)，當(dāng)N￡）PC=NA=/3=90。時(shí)，求證：ADBC=APBP.

（2）探究

若將90。角改為銳角或鈍角（如圖2）,其他條件不變，上述結(jié)論還成立嗎？說(shuō)明理由.

（3）應(yīng)用

如圖3,在,ABC中，AB=20，NB=45。，以點(diǎn)4為直角頂點(diǎn)作等腰心△相）￡.點(diǎn)力在8c上，點(diǎn)E在AC上,

點(diǎn)F在3c上，且NEF￡>=45。，若CE=5求C￡>的長(zhǎng).

題型六：三角形內(nèi)接矩形相似問(wèn)題

16.(2021?全國(guó)?九年級(jí)課時(shí)練習(xí))如圖，已知三角形鐵皮ABC的邊8c=acm,8c邊上的高AM=/?cm,要剪出

一個(gè)正方形鐵片OEFG,使。、E在上，G、F分別在A3、AC上，則正方形OEFG的邊長(zhǎng)=.

17.(2019?吉林長(zhǎng)春?九年級(jí)期末)如圖，在AA8C中，ZC=90°,AC=BC,AB=8.點(diǎn)尸從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒2

個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿邊AB向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng).過(guò)點(diǎn)P作POLAB交折線AC-C8于點(diǎn)￡>,以PO為邊在尸。右側(cè)做正方

■DEF.設(shè)正方形PDEF與"BC重疊部分圖形的面積為5,點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，秒(0</<4).

(1)當(dāng)點(diǎn)。在邊AC上時(shí)，正方形PQEF的邊長(zhǎng)為(用含/的代數(shù)式表示).

(2)當(dāng)點(diǎn)E落在邊BC上時(shí)，求f的值.

(3)當(dāng)點(diǎn)。在邊AC上時(shí)，求S與r之間的函數(shù)關(guān)系式.

(4)作射線PE交邊BC于點(diǎn)G,連結(jié)。凡當(dāng)。尸=4EG時(shí)，直接寫(xiě)出，的值.

c

【專題精練】

一、單選題

18.（2022?江蘇?無(wú)錫市河埒中學(xué)二模）如圖，在矩形ABC。中，點(diǎn)E、F分別是AB、BC上的點(diǎn)，BE=3,CD=6,

ZF￡?=3O°,NFDE=45°,則8c的長(zhǎng)為（）

C.4&+3GD.3夜+36

19.（2022?河南?模擬預(yù)測(cè)）如圖所示，A88中，AB=3,AD=5,按以下步驟作圖：①以點(diǎn)8為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)

為半徑畫(huà)弧，分別交B4于點(diǎn)E,交BC于點(diǎn)尸；②分別以點(diǎn)E,尸為圓心，大于;EF的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧在

內(nèi)相交于點(diǎn)尸；③畫(huà)射線2P,交A。于點(diǎn)。，交對(duì)角線AC于點(diǎn)O.若A4LC4,則40的長(zhǎng)度為（）

5廠3l

A.-B.舊C.-D.

20.（2022.貴州畢節(jié).模擬預(yù)測(cè)）如圖，在正方形ABC。中，AB=\2,點(diǎn)E在邊BC上，BE=EC,將△DCE沿OE對(duì)

折至△。尸E,延長(zhǎng)EF交邊AB于點(diǎn)G,連接。G、BF,給出以下結(jié)論：①AD4G絲△DFG；②BG=2AG；?BF//DE；

④AEBF咨ADEG.其中所有正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（)

A.1B.2C.3D.4

21.（2022?河南?鄲城縣光明學(xué)校二模）如圖，在％8C。中，點(diǎn)E在AD上,且AE=2E￡>,CE交對(duì)角線80于點(diǎn)F,

若S&DEF=2,則SABCF為（）

A.4B.6C.9D.18

22.（2022?山東淄博?模擬預(yù)測(cè)）如圖，心.ABC中，已知NC=90。，3c=6,以A8上的點(diǎn)。為圓心，OB為半徑

的圓切AC于。點(diǎn)，若4。=8,則陰影部分的面積是（）

23.（2022?重慶巴蜀中學(xué)二模）圖，AB為。的直徑，點(diǎn)C在。上，連接AC,BC,過(guò)點(diǎn)。作。。八BC于點(diǎn)

過(guò)點(diǎn)C作。的切線交0。的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.連接AD,若CE=4后,8c=8,則4。的長(zhǎng)為（）

A.2y/5B.2幣C.3月D.4&

24.（2022?安徽省馬鞍山市第七中學(xué)二模）如圖，Rt.AOG斜邊和矩形ABC。邊AO重合，AG、DG分別交8C于

E、F,AD=5,DG=3,AE=3,則AB的長(zhǎng)為()

25.（2022.遼寧朝陽(yáng)?一模）如圖，矩形ABCO中，AB=4,BC=2.點(diǎn)E在邊A8上，點(diǎn)尸在邊CQ上，點(diǎn)G、H

在對(duì)角線AC上.若四邊形EGEW是菱形，則8E的長(zhǎng)是（）

A.1.5B.亞C.2.5D.20

26.（2022?山東荷澤?二模）如圖，在正方形48C。中，頂點(diǎn)A（-5,0）,C（5,10）,點(diǎn)尸是BC的中點(diǎn)，C。與y軸交

于點(diǎn)E,AF與BE交于點(diǎn)G,將正方形4BC。繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)90。，則第2022次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)，點(diǎn)G

的坐標(biāo)為（）

A.（4,3）B.（3,4）C.（-4,-3）D.（-3,-4）

27.（2022?四川省渠縣中學(xué)二模）如圖，在邊長(zhǎng)為2的正方形ABCQ中，E,F分別為BC、CD的中點(diǎn)，連接AE,

8F交于點(diǎn)G,將ABCF沿對(duì)折，得到aBPF,延長(zhǎng)FP交54延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q,下列結(jié)論：?AE±BF；②△QBF

7/c4

是等腰三角形；③/G=等：④tan/BQP=］；?S^DFM=4S^AQM,以上結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是（）

A.5B.4C.3D.2

二、填空題（共0分）

28.（2022?遼寧葫蘆島?一模）如圖，AAOB是直角三角形，NAOB=90。，OB=2OA,點(diǎn)A在反比例函數(shù)的

X

圖象上.若點(diǎn)B在反比例函數(shù)y=4的圖象上，則人的值為.

29.（2018?湖南邵陽(yáng)?中考模擬）如圖，在心A43C中，ZABC=90.A8=3,BC=4,Rt^MPN,ZMPN=90,

點(diǎn)尸在AC上，PM交AB于點(diǎn)E,PN交BC于■點(diǎn)、F,當(dāng)PE=2PF時(shí)，AP=.

30.（2018?上海?中考真題）如圖，已知正方形DEFG的頂點(diǎn)D、E在AABC的邊BC上，頂點(diǎn)G、F分別在邊AB、

AC±.如果BC=4,AABC的面積是6,那么這個(gè)正方形的邊長(zhǎng)是.

31.（2020?廣東深圳?中考真題）如圖，已知四邊形ABC￡>,AC與相交于點(diǎn)O,乙48c=/D4C=90。,

;，則A

tanZACB=-,—

2OD33CBD

32.（2019?天津?中考真題）如圖，正方形紙片A8CD的邊長(zhǎng)為12,E是邊CD上一點(diǎn),連接AE.折疊該紙片，使

點(diǎn)A落在AE上的G點(diǎn)，并使折痕經(jīng)過(guò)點(diǎn)8,得到折痕M,點(diǎn)F在A￡＞上.若OE=5,則GE的長(zhǎng)為.

33.（2020.廣西?中考真題）如圖,在Rt-A5c中，AB=4C=4,點(diǎn)、E,F分別是AB,AC的中點(diǎn)，點(diǎn)P是扇形4EF

的"上任意一點(diǎn)，連接BP,CP,則3BP+CP的最小值是

34.（2022.陜西.模擬預(yù)測(cè)）如圖,A8是：。的直徑，延長(zhǎng)弦BC至點(diǎn)。.使CD=3C,連接A￡）,過(guò)點(diǎn)C作。的

（1）求證：CELAD；

⑵若。的半徑為4,AE=2,求8c的長(zhǎng).

35.（2022?湖北湖北?模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知正方形A8CD邊長(zhǎng)為1,E為邊AB上一點(diǎn)、,以點(diǎn)。為中心，將△以￡

按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得qDCF,連接EF,分別交30,C。于點(diǎn)M,N.

⑴求證：MD'=MNMF,

A177

(2)若"=*,求sin/￡DM的值.

DN5

36.(2022?山東青島?二模)已知：如圖，在RtAABC中，NAC3=90。，AB=8cm,AC=4cm,C￡)為A8邊上的

高，點(diǎn)。從點(diǎn)A出發(fā)，沿AC方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為lcm/s：同時(shí)，點(diǎn)P從點(diǎn)8出發(fā)，沿朋方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為2

cm/s.設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為f(s)(0<f<4).

解答下列問(wèn)題：

(1)當(dāng)f為何值時(shí)，PQ//BC.

(2)當(dāng)PQ中點(diǎn)在CD上時(shí)，求，的值；

(3)設(shè)四邊形。P8C的面積為S(c川)，求S與f的函數(shù)關(guān)系式，并求S最小值；

(4)是否存在某一時(shí)刻工，使得尸Q=PC,若存在，求出f的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

37.(2022.湖北武漢.模擬預(yù)測(cè))某數(shù)學(xué)興趣小組在數(shù)學(xué)課外活動(dòng)中，對(duì)多邊形內(nèi)兩條互相垂直的線段進(jìn)行了如下

探究：

圖1圖2圖3

【觀察與猜想】

(1)如圖1,在矩形ABC3中，A￡>=7,8=4,點(diǎn)E是AO上的一點(diǎn)，連接CE、BD,CE_L3O,則大的值為

【類比探究】

(2)如圖2,在四邊形ABCD中，NA=N3=90。，點(diǎn)E為AB上一點(diǎn)，連接OE,過(guò)點(diǎn)C作DE的垂線交EZ)的延長(zhǎng)

線于點(diǎn)G,交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)尸，求證：DEAB=CFAD.

【拓展延伸】

(3)如圖3,在RtZvW。中，ZBAD=90°,AD=9,tanNAOB=g,將△ABD沿8。翻折，點(diǎn)A落在點(diǎn)C處得一CEO,

點(diǎn)、E、尸分別在邊48、A￡)上，連接￡>E、CF,DEJ_CF.連接B尸，若AE=1,直接寫(xiě)出所的長(zhǎng)度.

38.(2022?遼寧?沈陽(yáng)市南昌初級(jí)中學(xué)(沈陽(yáng)市第二十三中學(xué))一模)在..ABC中，CA=CB,ZACB=a.點(diǎn)尸是

平面內(nèi)不與點(diǎn)A,C重合的任意一點(diǎn).連接AP,將線段AP繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)a得到線段￡>P,連接AD,BD,CP.

(2)類比探究:如圖2,當(dāng)夕=90。時(shí)，請(qǐng)求出其的值及直線8D與直線CP相交所成的銳角的度數(shù)(就圖2的情形說(shuō)

明理由)；

⑶解決問(wèn)題:當(dāng)。=90。時(shí)，點(diǎn)E,尸分別是C4,CB的中點(diǎn)，點(diǎn)尸在直線E尸上，當(dāng)點(diǎn)C,P,。在同一直線上且CP=4

時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出AO的長(zhǎng).

39.(2022?廣西柳州?模擬預(yù)測(cè))如圖，在ABC中，AB=AC,以A3為直徑的。交3c于點(diǎn)。，過(guò)點(diǎn)。作MN_LAC,

垂足為交AB的延長(zhǎng)線于N,過(guò)點(diǎn)B作BGLA/N,垂足為G,連接CN.

(1)求證：直線MN是4O的切線;

(2)求證：BD2=ACBGi

(3)若BN=08,求tanZ/WC的值.

40.(2022?黑龍江?哈爾濱德強(qiáng)學(xué)校模擬預(yù)測(cè))知NBC內(nèi)接于。。，平分NBAC交。。于￡>.

DDD

圖1圖2圖3

(1)如圖1,求證：BC±OD；

(2)如圖2,延長(zhǎng)。O交。。于E,連接CE交AO于E,ZAFC=\20°,求NB的余弦值；

(3)如圖3,在(2)的條件下，設(shè)AB、CE交于M,連接OC交AO于連接OC交AO于MCN=3,￡>E=10,求

線段EM的長(zhǎng).

41.(2022?山東臨沂?一模)數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)，是一種非常有效的學(xué)習(xí)方式.通過(guò)活動(dòng)可以激發(fā)我們的學(xué)習(xí)興趣，提

高動(dòng)手動(dòng)腦能力，拓展思推空間，豐富數(shù)學(xué)體驗(yàn).讓我們一起動(dòng)手來(lái)折一折、轉(zhuǎn)一轉(zhuǎn)、剪一剪,體會(huì)活動(dòng)帶給我們

的樂(lè)趣.

折一折：將正方形紙片ABC。折疊，使邊A3、4。都落在對(duì)角線AC上，展開(kāi)得折痕AM、AN,連接MM如圖1.

(2)轉(zhuǎn)一轉(zhuǎn)：將圖1中的/MAN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，使它的兩邊分別交邊3C、CZ)于點(diǎn)E、F,連接EF,如圖2.線段3E、

EF、OF之間的數(shù)量關(guān)系為；

(3)連接正方形對(duì)角線B。，若圖2中的/E4尸的邊AE、分別交對(duì)角線8。于點(diǎn)G、點(diǎn)H.如圖3,求名的值;

(4)剪一剪：將圖3中的正方形紙片沿對(duì)角線BO剪開(kāi)，如圖4.求證：GH2=BG2+DH2.

參考答案:

1.A

【解析】

【分析】

根據(jù)相似三角形的判定定理得到△根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平

方計(jì)算，得到答案.

【詳解】

解：辦入，EC=3,

：.AC=AE+EC=5,

'：DE//BC,

：./XADE^^ABC,

SABCUCJ⑺25,

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查的是相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握相似三角形的面積比等于相似比的平方是解題

的關(guān)鍵.

2.(1)見(jiàn)詳解；(2)見(jiàn)詳解

【解析】

【分析】

AnAJ7A17Art

(1)由題意易得黑=若，則有蕓=黑，進(jìn)而問(wèn)題可求證；

BDECFEBD

(2)由(1)及題意可知黑=婆=:,然后可得進(jìn)而可證絲=絲=且，最

BDEF2ABAE3

后問(wèn)題可求證.

【詳解】

解：⑴'：DE//BC,

.ADAE

??茄一正‘

..AFAE

?~FE~~EC"

.AFAD

9,~FE~~BD9

：.DF//BE；

(2)VAF=2,EF=4,

ADAF

...由(1)可知,AE=6,

BD~EF2

"."AB=6X/3,

AD=-AB=2^,

3

.AE6_AD2y/3y/3

,,瓦一硒一行—一工一行

.AEAD^3

"AB~AE~3'

■：ZA=ZA,

."./\ADE^/^AEB.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查相似三角形的判定，熟練掌握相似三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵.

3.⑴3秒或5秒；(2)S=(20/-4z2)cm2；⑶t=3^.t=—

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)題意得到AP=4rcm,CQ=2tcm,AC=20cm,CP=(20-4r)cm,根據(jù)三角形的面積

公式列方程即可得答案：

(2)若運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為fs,則CP=(20-4f)cm,CQ=2tcm,利用三角形的面積計(jì)算公式，即

可得出S=20f-4凡再結(jié)合各線段長(zhǎng)度非負(fù)，即可得出t的取值范圍；

(3)分①心△CPQsRgc4B和②心△CPQSR△CBA,利用相似三角形得出比例式，建

立方程求解，即可得出結(jié)論.

【詳解】

⑴解:由運(yùn)動(dòng)知，AP=4tcm,CQ=2tcm,

：AC=20cm,

CP=（204）cm,

在心△CP。中，

CP2+CQ2=PQ2,

即（20-4）2+（2f）JIO?；

*,*，=3秒或1=5秒

（2）由題意得"=4『，CQ=2t,則C尸=20-中，

因此RjCPQ的面積為S=；x（20—4。x21=（20f—4/）cm2；

(3)分兩種情況:

①當(dāng)/^△CPQsRgCAB時(shí)，冬=冬，即"二七=0，解得f=3；

CACB2015

②當(dāng)用△（7尸QS&4CA4時(shí)，—=^,即型二電二0，解得/=竺.

CBCA152011

因此，=3或"子40時(shí)，以點(diǎn)C、P、。為頂點(diǎn)的三角形與ABC相似.

【點(diǎn)睛】

本題考查了勾股定理，相似三角形的性質(zhì)，用方程的思想解決問(wèn)題是解本題的關(guān)鍵.

4.C

【解析】

【分析】

先利用平行四邊形的性質(zhì)得4）〃BC,AD=BC,由AE〃臺(tái)C可判斷△AEFsacBF,根據(jù)

相似三角形的性質(zhì)得蕓=空=鑒=然后根據(jù)三角形面積公式得3比=；，，則

BFCFBC2〉A(chǔ)ABC。

5兇80=65必所=12.

【詳解】

:平行四邊形ABCD

：.AD//BC,AD=BC

???E為邊AO的中點(diǎn)

：.BC=2AE

?:AE//BC

：.ZEAC=ZBCA

又?：/EFA=/BFC

：.XAEFsXCBF

如圖，過(guò)點(diǎn)尸作尸“_LAO于點(diǎn)”，/GJ_BC于點(diǎn)G,

EFAFAEHF1

貝nI====—,

BFCFBCFG2

2

???△AEF的面積為2

**?S^BC=6sl^卜.=6x2=12

故選C.

【點(diǎn)睛】

本題考查了相似三角形的性質(zhì)，屬于同步基礎(chǔ)題.

5.2

28

【解析】

【分析】

過(guò)點(diǎn)G作GRJ_8c于R,過(guò)點(diǎn)”作HN〃BC交于N,由正方形性質(zhì)可證明：AABEs△尸CB,

由勾股定理可求BF,由翻折性質(zhì)可得△HGC絲△BGC,進(jìn)而可證明：ABHNsMED,可

S

求得HN,再由可求得三"，再由△CGRs/XCBf即可求得結(jié)論.

【詳解】

解：如圖，過(guò)點(diǎn)G作GRJ_BC于R,過(guò)點(diǎn)、H作HN〃BC交BD于N

AED

則ZBRG=NCRG=90。，

???CF工BE

.-.ZfiFC=90°

NCBF+NBCF=90P

正方形ABC。

：.ZA=ZABC=90°,AB=AD=BC=3

:.ZABE+NCBF=90°

:.ZABE=ZBCF

:...ABES或FCB

在府AABE中，BE=y/AB2+AE2=732+l2=Vw

BFAEBF1

------=------,BHPn~T~=I------

BCBE3VW

.RF-3府

10

由翻折知：FH=BF=^~,8"=^^,HC=BC=3,HGCnBGC

105

HN!IBCQBHNs￥ED

3710

HN

—,即HN5

DE

BE2-后

HN='.HNMs」CBM

5

HMHN2

MC~~BC~5

HM_2

HC一7，

SHGMHM_2

SH,,OrCcHC7

GR1.BC,ZCBG=45°

?._8GR是等腰直角三角形，設(shè)BR=GR=x,則CR=3-x,

「CGRs'CBF

GRBF1x1曰3

—=—=一，即Hr1----=一，解得工=一

CRCF33-x34

?哈

\SBCG-xBCxG/?=-x3x-=-

2248

.S-2

,°HGC~&

.c_Zc_29__9_

?HGMWGC-7X8-28,

9

故答案為：--.

2o

【點(diǎn)睛】

本題考查了正方形性質(zhì)，翻折變換的性質(zhì)，等腰直角三角形性質(zhì)，勾股定理，全等三角形判

定和性質(zhì)，相似三角形判定和性質(zhì)，三角形面積等知識(shí)點(diǎn)；解題關(guān)鍵是利用平行線證明相似

三角形進(jìn)行轉(zhuǎn)化，有一定難度，屬于中考填空壓軸題類型.

6.(1)見(jiàn)解析；(2)見(jiàn)解析

【解析】

【分析】

(1)利用平行四邊形的性質(zhì)得AB=CQ,AB//CD,再證明四邊形5ECQ為平行四邊形得到

BD//CE,根據(jù)相似三角形的判定方法，由可判斷△BNDs^cMW；

(2)先利用A￡)2=AB.A尸可證明^A。8s則/]=/凡再根據(jù)平行線的性質(zhì)得NF=/4,

Z2=Z3,所以N3=N4,加上于是可判斷△MNCs/\MC￡>,所以A/C：

MD=CN：CD,然后利用CD=AB和比例的性質(zhì)即可得到結(jié)論.

【詳解】

證明：(1)???四邊形A88是平行四邊形,

：.AB=CD,AB//CD,

而B(niǎo)E=AB,

：.BE=CD,

而B(niǎo)E//CD,

，四邊形BECD為平行四邊形，

：.BD//CE,

'：CM//DB,

：.4BNDs[\CNM；

(2)'：AD2=AB-AF,

：.ADtAB=AF：AD,

而ND4B=NE4O,

：./\ADB^^AFD,

；.N1=N凡

\'CD//AF,BD//CE,

.?.ZF-Z4,N2=N3,

Z.Z3=Z4,

而NNMC=/CMD,

:.叢MNCs叢MCD,

：.MCtMD=CN：CD,

:.MGCD=MD,CN,

而CD=AB,

：.CM?AB=DM,CN.

【點(diǎn)睛】

本題考查了三角形相似的判定與性質(zhì)：在判定兩個(gè)三角形相似時(shí)，應(yīng)注意利用圖形中已有的

公共角、公共邊等隱含條件，以充分發(fā)揮基本圖形的作用，尋找相似三角形的一般方法是通

過(guò)作平行線構(gòu)造相似三角形.在運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)時(shí)主要利用相似比計(jì)算線段的長(zhǎng).也

考查了平行四邊形的判定與性質(zhì).

2如

7.

5

【解析】

【分析】

證明△BCDS&BAC,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列式計(jì)算即可.

【詳解】

解：VZACB=90°,CD±AB,

：.ZACB=ZCDB=90°,

,:/B=NB,

:.△BCDSXBAC,

'：BC>0

5

故答案為：亞.

5

【點(diǎn)睛】

本題考查三角形相似的判定和性質(zhì)，牢記相關(guān)知識(shí)點(diǎn)并能結(jié)合圖形靈活應(yīng)用是解題關(guān)鍵.

8.（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析；（3）4.

【解析】

【分析】

（1）先根據(jù)垂直的定義可得N/M>￡=NCD8=90。，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得

/DAE=NDCB,然后根據(jù)相似三角形的判定即可得證；

Annri

（2）先根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得黑=照=：,再根據(jù)等腰三角形的三線合一可得

CZ9DB2

An

AH=CH,從而可得怒=2,然后根據(jù)平行線分線段成比例定理即可得證；

DH

（3）先根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)可得生=當(dāng)，從而可得。E,8。的長(zhǎng)，再根據(jù)相似

FHAF

三角形的判定可得BCD,然后利用相似三角形的性質(zhì)可求出8的長(zhǎng)，最后在

Rr_8C￡）中，利用勾股定理即可得.

【詳解】

證明：（1）BD^AC,FHYAC,

ZADE=ZCDB=90°,BDFH,

vAF=CF,

;"DAE=ZDCB,

AADE=/CDB

在工APE和乃中,

ZDAE=ZDCB

ADECDB；

(2)點(diǎn)E為8。的中點(diǎn),

DE=BE=-BD

2f

由(1)已證：AOE_CDB,

ADDE

'~CD~~DB~2,

設(shè)A￡>=〃(〃>0),則C￡>=2a,AC=AD-^CD=3a,

.FHLAC,AF=CFf

13

:.AH=CH=-AC=^-a(等腰三角形的三線合一)，

22

:.DH=AH-AD=-a

29

又，BDFH,

AEADac

EFDH1，

a

2

GPAE=2EF；

(3)由(2)已證：AE=2EF,

AE=-AF,

3

BDFH,

:._ADE_AHF,

DEAEDE2

---=---,即an-/=■=",

FHAFV33

解得O石=|g,

/.BD=2DE=-yf3f

3

ZABC=90°,BD±ACf

??.ABAC+ZABD=ABAC+ZC=90°,

.?.ZABD=ZC,

ZADB=ZBDC=90°

在△AB。和△8C。中,

ZABD=ZC

ABDBCD,

.ADBD

?,瓦一五'

由(2)可知，設(shè)4)=伏匕＞0),則8二2,

,工:色

李2廣

解得/;=偵或人=一名員(不符題意，舍去)，

33

?■?8=2，=半，

則在R/一3C￡>中，BC=ylBD2+CD2

【點(diǎn)睛】

本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握相

似三角形的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

9.(1)相切，見(jiàn)解析；(2)見(jiàn)解析；(3)5.

【解析】

【分析】

(1)連接OC,由等腰三角形“三線合一”性質(zhì)證明OCJ_A8,據(jù)此解題；

(2)連接OC,90。圓周角所對(duì)的弦是直徑，證明DE為。。的直徑，再證明△BCDs^BEC,

最后根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例解題；

CD1

(3)根據(jù)正切定義得到解得。。二。/3,再由設(shè)BC=JG根據(jù)相

EC2

似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例，及勾股定理得到9+無(wú)2=(2.3)2,解此一元二次方程，驗(yàn)根即可解

題.

【詳解】

解：(1)AB與。。相切，連接OC,

/Wo\

*：OA=OBfCA=CB,

：.OC.LAB,

??,點(diǎn)。在。。上，

與。。相切;

(2)連接0C,

,/OCLAB,

：.NOC8=900即Zl+Z3=90°,

又???OE為。。的直徑，

；?ZECD=90°BPZ2+Z3=90°,

AZ1=Z2,

*/OE=OC,

AZE=Z2,

/.Z1=ZE,

?；NB=NB,

???△BCDsABEC,

.BCBD

：.BC2=BD?BE；

(3)VtanZE=-,ZEC￡>=90o,

2

?CD1

??=，

EC2

???。0的半徑為3,

???0C=0E=3,

■:ABCDSABEC,

.BCCD

設(shè)BC=x

*BE-ECf

x=1

。8+3-5'

，08=2x3

??ZOCB=90°,

：.OG+8C2=O￥,

：.9+x2=⑵-3)2,

.".x/=0(舍去)，X2=4,

：.0A=0B=5.

【點(diǎn)睛】

本題考查直線與圓的位置關(guān)系，相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，切線的證明方法有兩種:

1、有點(diǎn)連接此點(diǎn)與圓心，證明夾角為直角；2、無(wú)點(diǎn)作垂線，證明垂線段等于圓的半徑，利

用方程思想解題是關(guān)鍵.

10.(1)8

⑵4a-4

【解析】

【探究】

利用三角形外角的性質(zhì)可證NBAN=NAMC,又由NB=NC=45。，可證明結(jié)論；

【應(yīng)用】

(1)首先求出等腰直角三角形的直角邊長(zhǎng)，再由△瓦得粵=巫,則

2&CM

BN-CM=8：

(2)由8M=CN,得BN=CM,由(1)知助V.CM=8,得BN=CM=26，從而得出

答案.

(1)

:△ABC為等腰直角三角形，Nfi4c=90。，

AZB=ZC=45°,同理，ZZM￡=45°,

ZBAN=NBAM+ZDAE=NBAM+45°,

ZAMC=ZBAM+ZB=ABAM+45°,

二4BAN=ZAMC,公BANSMMA；

⑵

(1),等腰直角三角形的斜邊長(zhǎng)為4,

:?AB=AC=2近,；△3AVsZ\CM4,

:?理絲*=8,

ACCM2A/2CM

故答案為：8；

(2)?:BM=CN,:.BN=CM,*：BN,CM=8,

BN=CM=2V2，:?MN=BN+CM—BC=46—4,

故答案為：40-4.

【點(diǎn)睛】

本題是相似形綜合題，主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，利用

前面探索的結(jié)論解決新的問(wèn)題是解題的關(guān)鍵.

11.(1)見(jiàn)解析；(2)CD=y[3PA；(3)之叵或且

22

【解析】

【分析】

(1)當(dāng)a=60。時(shí)，△ABC和△為等邊三角形，根據(jù)三角形全等即可求證；

(2)過(guò)點(diǎn)A作AELBC,求得空=立，根據(jù)題意可得△PBDSAABC,可得絲=絲，

BC3ABBC

再根據(jù)NPB4=ND3C,判定△PBAS/DBC,fOJ—,即可求解；

CDBC3

(3)過(guò)點(diǎn)B作BE_LAC于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)。作OFJ_AC于點(diǎn)F,分兩種情況進(jìn)行討論，當(dāng)尸在

線段AE或當(dāng)尸在線段AE延長(zhǎng)線上時(shí)，設(shè)"=x根據(jù)勾股定理求解即可.

【詳解】

解：(1)當(dāng)a=60。時(shí)，'：AB=AC

△ABC為等邊三角形，

AB=BC,ZABC=60°

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：ZBPD=60°,PB=PD

...△PBQ為等邊三角形

：.PB=BD,ZPBD=60°

：.NPBA=NPBD-ZABD=ZABC-ZABD=ADBC

在ZVIBP和C8￡>中

,PB=BD

<ZPBA=ZDBC

AB=BC

：./\ABP當(dāng)ACBD(SAS)

：.AP=CD

(2)過(guò)點(diǎn)A作AE_LBC,如下圖:

D

工

BEC

圖2

?.?當(dāng)a=120。時(shí)，AB=AC

：.AABC=(180°-120°)=30°,BC=2BE

二AB=2AE

由勾股定理得BE=y/AB2-AE2=6AE

/.BC=2BE=2日E

BC=y/3AB

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：NBPD=120。,PB=PD

1AQ

ZPBD=-(180°-120°)=30°,—=—

2PBPD

又???/BPD=120°=/BAC

.BPBD

??麗―拓

又?:ZPBA=/PBD+/DBA,ZDBC=ZABC+/DBA

：./DBC=/PBA

:./\PBAS/DBC

?PABA6

??---=---=—

CDBC3

/.CD=&A

(3)過(guò)點(diǎn)5作BE_LAC于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)。作OF，AC于點(diǎn)F,則點(diǎn)。到CP的距離就是

的長(zhǎng)度

當(dāng)P在線段AE上時(shí)，如下圖：

由題意可得：AB=AC—6

Va=120°,

ZE4B=60°

在RfAABE中，AB=6,NE4S=60°；.AE=3,BE=3+

在"BPE中,BE=36,BP=s/Ti,：.EP=2

：.AP=AE-EP=\,PC=AC+AP=1

由（2）得CDf

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：PD=BP=4Ti

設(shè)PF=x,則CT=7-x

由勾股定理可得：DF2=PD--PF2=CD2-CF-

即31-*2=3一（77尸，解得x=￡

貝!]DF=-JPD2-PF2=—

2

當(dāng)尸在線段4E延長(zhǎng)線上，如下圖：

則P4=AE+PE=5,PC=AC+R4=11

由(2)得，CD=5上

設(shè)PF=x,則CF=11—x

由勾股定理可得：DF2=PD2-PF2=CD2-CF2

即31-/=(5石)2-(11-乃2,解得尤=5

貝|JDF=yJPD2-PF2=—

2

綜上所述：點(diǎn)。到CP的距離為生叵或且

22

【點(diǎn)睛】

此題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的判定及性質(zhì)、相似三角形的判定及性質(zhì)、等腰三角形

的性質(zhì)以及勾股定理，綜合性比較強(qiáng)，熟練掌握相關(guān)基本性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

12.(1)見(jiàn)解析；⑵BM-=DN=LBC；(3)E尸的長(zhǎng)為竺也.

3214

【解析】

【分析】

(1)如圖1,過(guò)。點(diǎn)作QP_LBO交OC于P,然后根據(jù)正方形的性質(zhì)證明△QPNs^QBM,

就可以得出結(jié)論；

(2)如圖2,過(guò)。點(diǎn)作QHJ_8￡>交3c于H,通過(guò)證明△由相似三角形的

性質(zhì)就可以得出結(jié)論；

(3)由條件設(shè)CM=x,MB=3x,就用CB=4x,得出B4=2x,由(2)相似的性質(zhì)可以求出

M。的值，再根據(jù)勾股定理就可以求出的值，可以表示出ND,由△N￡>ES/\NCM就可

以求出NE,也可以表示出。E,最后由△OEFS/XBMF而求出結(jié)論.

【詳解】

解：(1)如圖，過(guò)Q點(diǎn)作QPLBO交。。于P,

ZPQB=90°.

'：NMQN=90。,

ZNQP=ZMQB,

?.?四邊形ABC。是正方形，

:.CD=CB,NBDC=NDBC=45。.DO=BO,

：.ZDPQ=45°,DQ=PQ,

：.ZDPQ=ZDBC=45°,

:AQPNSAQBM,

.NPPQ

,,莉一透’

是。。的中點(diǎn)，KPQLBD,

：.DO=2DQ,DP=；DC,

：.BQ=3DQ,DN+NP=；DC=1BC,

：.BQ=3PQ,

.NP\

??=一,

MB3

:?NP=、BM,

3

:?DN￡BM=；BC；

(2)如圖，過(guò)。點(diǎn)作Q〃_L8。交于從

：?/BQH=NDQH=9。。,

：.ZBHQ=45°,

VZCOB=90°,

???QH//OC,

???Q是03的中點(diǎn)，

：.BH=CH=-BC

2f

,?NNQM=90。,

：.NNQD=NMQH,

'：ZQND+NNQD=45。,NMQH+ZQMH=45。,

:?/QND二/QMH,

:?叢QHMs赳QDN,

.HM_QH_QM_1

??而—而一而一"

：.HM=-ND

3f

?：BM-HM=HB,

：.BM--DN=-BC.

32

故答案為：BM-DN；BC；

32

(3)〈MB：MC=3：1,設(shè)CM=x,

.'.MB=3X9

/.CB=CD=4x,

：.HB=2xf

:?HM;x.

,:HM=、ND,

3

：.ND=3xf

:?CN=7x,

??,四邊形45co是正方形，

:?ED〃BC,

:?ANDEs叢NCM,>DEFS4BMF,

.NDDENEDEEF

??麗一而一麗’前一屈’

.3x_DENE_3

"7x"~，MW-7,

?

.?DnEr=—3x

7f

3

/._7_=EF=j_,

3x-RW-7

■:NQ=9小,

:.QM=3舊,

在MNQ中,由勾股定理得：

MN=7(975)2+(3>/5)2=1572，

?NE_3

,?\5立一不

?AR45后

??NE=------，

7

.g,60丘

??EM=---->

7

設(shè)EF=a,則FM=la,

.1572

??a=-----.

14

的長(zhǎng)為區(qū)2.

14

【點(diǎn)睛】

本題考查了正方形的性質(zhì)的運(yùn)用，相似三角形的判定和性質(zhì)的運(yùn)用，勾股定理的運(yùn)用及平行

線等分線段定理的運(yùn)用，在解答時(shí)利用三角形相似的性質(zhì)求出線段的比是解答本題的關(guān)鍵.

13.D

【解析】

【分析】

根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)推出y與