第09講幾何初步及三角形（知識(shí)精講真題練模擬練自招練）

第09講幾何初步及三角形（知識(shí)精講+真題練+模擬練+自招練）

【考綱要求】

1.了解直線、射線、線段的概念和性質(zhì)以及表示方法，掌握三者之間的區(qū)別和聯(lián)系，會(huì)解決與線段有關(guān)

的實(shí)際問(wèn)題；

2.了解角的概念和表示方法，會(huì)把角進(jìn)行分類以及進(jìn)行角的度量和計(jì)算；

3.掌握相交線、平行線的定義，理解所形成的各種角的特點(diǎn)、性質(zhì)和判定；

4.了解命題的定義、結(jié)構(gòu)、表達(dá)形式和分類，會(huì)簡(jiǎn)單的證明有關(guān)命題；

5.了解三角形有關(guān)概念（內(nèi)角、外角、中線、高、角平分線），會(huì)畫出任意三角形的角平分線、中線和

高，了解三角形的穩(wěn)定性.

?【知識(shí)導(dǎo)圖】

「?鄰補(bǔ)角

L對(duì)頂角

.「斜交「垂直的基本性質(zhì)

「相交直線

L垂直一一點(diǎn)到直線的距離

-線段的垂直平分線

兩條直線被笫三條直線所截

同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角一

「平行線的基本性質(zhì)

十判定方法與性質(zhì)

1-平行直線

L平行線間的距離

【考點(diǎn)梳理】

考點(diǎn)一、直線、射線和線段

1.直線

代數(shù)中學(xué)習(xí)的數(shù)軸和一張紙對(duì)折后的折痕等都是直線，直線可以向兩方無(wú)限延伸.(直線的概念是一個(gè)

描述性的定義，便于理解直線的意義).

2.射線

直線上一點(diǎn)和它一旁的部分叫做射線.射線只向一方無(wú)限延伸.

直線上兩點(diǎn)和它們之間的部分叫做線段，兩個(gè)點(diǎn)叫做線段的端點(diǎn).

考點(diǎn)二、角

1.角的概念：

(1)定義一：有公共端點(diǎn)的兩條射線組成的圖形叫做角，這個(gè)公共端點(diǎn)叫做角的頂點(diǎn)，兩條射線分別

叫做角的邊

(2)定義二：一條射線繞著端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所成的圖形叫做角.射線旋轉(zhuǎn)時(shí)經(jīng)過(guò)的平

面部分是角的內(nèi)部，射線的端點(diǎn)是角的頂點(diǎn)，射線旋轉(zhuǎn)的初始位置和終止位置分別是角的兩條邊.

2.角的平分線：

如果一條射線把一個(gè)角分成兩個(gè)相等的角，那么這條射線叫做這個(gè)角的平分線.

考點(diǎn)三'相交線

1.對(duì)頂角

(D定義：如果兩個(gè)角有一個(gè)公共頂點(diǎn)，而且一個(gè)角的兩邊分別是另一角兩邊的反向延長(zhǎng)線，那么這

兩個(gè)角叫對(duì)頂角.

(2)性質(zhì)：對(duì)頂角相等

2.鄰補(bǔ)角

(1)定義：有一條公共邊，而且另一邊互為反向延長(zhǎng)線的兩個(gè)角叫做鄰補(bǔ)角.

(2)性質(zhì)：鄰補(bǔ)角互補(bǔ).

3.垂線

(1)定義：當(dāng)兩條直線相交所得的來(lái)表示

4.同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角

(1)基本概念：兩條直線(如a、b)被第三條直線(如c)所截，構(gòu)成八個(gè)角，簡(jiǎn)稱三線八角，如圖所

示：N1和N8、N2和N7、N3和N6、N4和N5是同位角；N1和N6、N2和/5是內(nèi)錯(cuò)角；N1和/

5、/2和/6是同旁內(nèi)角.

(2)特點(diǎn)：同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角都是由三條直線相交構(gòu)成的兩個(gè)角.兩個(gè)角的一條邊在同一直線

(截線)上，另一條邊分別在兩條直線(被截線)上.

考點(diǎn)四、平行線

1.平行線定義：

來(lái)表示，.如直線a與b平行，記作a〃b.在幾何證明中，“〃”的左、右兩邊也可能是射線或

線段.

2.平行公理及推論：

(1)經(jīng)過(guò)直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與這條直線平行.

(2)平行公理推論：如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行.即：如果b〃a,

c〃a,那么b〃c

3.性質(zhì)：

(1)平行線永遠(yuǎn)不相交；

(2)兩直線平行，同位角相等；

(3)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；

(4)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；

(5)如果兩條平行線中的一條垂直于某直線，那么另一條也垂直于這條直線，可用符號(hào)表示為：若b〃

c,b±a,則c±a

4.判定方法:

(1)定義；

(2)平行公理的的推論；

(3)同位角相等，兩直線平行；

(4)內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行；

(5)同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行；

(6)垂直于同一條直線的兩條直線平行.

考點(diǎn)五、命題、定理、證明

1.命題：

(1)定義：判斷一件事情的語(yǔ)句叫命題.

(2)命題的結(jié)構(gòu)：題設(shè)+結(jié)論=命題；

(3)命題的表達(dá)形式：如果……那么……；若……則……；

(4)命題的分類：真命題和假命題；

(5)逆命題：原命題的題設(shè)是逆命題的結(jié)論，原命題的結(jié)論是逆命題的題設(shè).

2.公理、定理：

(1)公理：人們?cè)陂L(zhǎng)期實(shí)踐中總結(jié)出來(lái)的能作為判斷其他命題真假依據(jù)的真命題叫做公理

(2)定理：經(jīng)過(guò)推理證實(shí)的真命題叫做定理.

3.證明：

用推理的方法證實(shí)命題正確性的過(guò)程叫做證明

考點(diǎn)六、三角形的概念及其性質(zhì)

1.三角形的概念

由不在同一直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形.

2.三角形的分類

(D按邊分類：

f不等邊三角形

三角彬.底與腰不等的等腰三角形

等腰三角形

等邊三角形

(2)按角分類:

.銳角三角形

斜三角形

三角形鈍角三角形

直角三角形

3.三角形的內(nèi)角和外角

(1)三角形的內(nèi)角和等于180°.

(2)三角形的任意一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角之和；三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)和它不

相鄰的內(nèi)角.

4.三角形三邊之間的關(guān)系

三角形任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊.

5.三角形內(nèi)角與對(duì)邊對(duì)應(yīng)關(guān)系

在同一個(gè)三角形內(nèi)，大邊對(duì)大角，大角對(duì)大邊；在同一三角形中，等邊對(duì)等角，等角對(duì)等邊.

6.三角形具有穩(wěn)定性.

考點(diǎn)七、三角形的“四心”和中位線

三角形中的四條特殊的線段是：高線、角平分線、中線、中位線.

1.內(nèi)心：

三角形角平分線的交點(diǎn)，是三角形內(nèi)切圓的圓心，它到各邊的距離相等.

2.外心:

三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)，是三角形外接圓的圓心，它到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等.

3.重心：

三角形三條中線的交點(diǎn)，它到每個(gè)頂點(diǎn)的距離等于它到對(duì)邊中點(diǎn)距離的2倍.

4.垂心：

三角形三條高線的交點(diǎn).

5.三角形的中位線：

連結(jié)三角形兩邊中點(diǎn)的線段是三角形的中位線.

中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊且等于第三邊的一半.

”【典型例題】

題型一、幾何初步

例1.判斷下列語(yǔ)句是不是命題

①延長(zhǎng)線段AB（）.

②兩條直線相交，只有一交點(diǎn)（）.

③畫線段AB的中點(diǎn)（）.

④若|x|=2,則x=2（）.

⑤角平分線是一條射線（）.

【思路點(diǎn)撥】判斷語(yǔ)句是否是命題有兩個(gè)關(guān)鍵，首先觀察是不是一個(gè)完整的句子，再觀察是否作出判斷.

【答案與解析】①③兩個(gè)語(yǔ)句都沒(méi)有作出判斷，所以①不是②是③不是④是⑤是.

【總結(jié)升華】本題考查學(xué)生對(duì)命題概念的理解.

【變式】命題：①對(duì)頂角相等；②垂直于同一條直線的兩直線平行；③相等的角是對(duì)頂角；④

【答案】B.

題型二、三角形

例2.四邊形ABCD是任意四邊形，AC與BD交點(diǎn)0.

求證：AC+BD>1(AB+BC+CD+DA).

2

證明：在AOAB中有0A+0B>AB

在.OAD中有,

在aODC中有,

在4中有，

：.OA+OB+OA+OD+OD+OC+OC+OB>AB+BC+CD+DA

【思路點(diǎn)撥】直接根據(jù)三角形的三邊關(guān)系進(jìn)行解答即可.

【答案與解析】證明：?.?在△OAB中OA+OB>AB

在△OAD中有OA+OD>AD,

在△ODC中有OD+OOCD,

在△()[?：中有OB+OOBC,

OA+OB+OA+OD+OD+OC+OC+OB>AB+BC+CD+DA

即2(AC+BD)>AB+BC+CD+DA,

即AC+BD>1(AB+BC+CD+DA).

2

故答案為：OA+OD>AD；0D-OOCD；OBC；OB+OOBC；2(AC+BD)>AB+BC+CD+DA.

【總結(jié)升華】本題考查的是三角形的三邊關(guān)系，即三角形任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第

三邊.

【變式】

如圖.A.IBC的外角ZACD的平分線CP與內(nèi)角ZABC的平分線HP交于點(diǎn)P,若4BPO

40°.則/C3

【答案】50°.

例3.如圖，將第一個(gè)圖（圖①）所示的正三角形連結(jié)各邊中點(diǎn)進(jìn)行分割，得到第二個(gè)圖（圖②）；再將第

二個(gè)圖中最中間的小正三角形按同樣的方式進(jìn)行分割，得到第三個(gè)圖（圖③）；再將第三個(gè)圖中最中間的

小正三角形按同樣的方式進(jìn)行分割，……，則得到的第五個(gè)圖中，共有個(gè)正三角形.

【思路點(diǎn)撥】分別寫出前三個(gè)圖形的正三角形的個(gè)數(shù)，并觀察出后一個(gè)圖形比前一個(gè)圖形多分割出四個(gè)小

的正三角形，依此類推即可寫出第n個(gè)圖形的正三角形的個(gè)數(shù)，進(jìn)而得出第5個(gè)圖中正三角形的個(gè)數(shù).

【答案與解析】圖①有1個(gè)正三角形；圖②有（1+4）個(gè)正三角形：

圖③有（1+4+4）個(gè)正三角形；圖④有（1+4+4+4）個(gè)正三角形

圖⑤有（1+4+4+4+4）個(gè)正三角形；….所以共有17個(gè).

【總結(jié)升華】這是一道找規(guī)律的題目，對(duì)于找規(guī)律的題目首先應(yīng)找出哪些部分發(fā)生了變化，是按照什么規(guī)

律變化的.

【變式】一個(gè)三角形的內(nèi)心在它的一條高線上，則這個(gè)三角形一定是（）.

【答案】B.

例4.到三角形三個(gè)頂點(diǎn)距離相等的點(diǎn)是三角形（）的交點(diǎn).

A.三個(gè)內(nèi)角平分線B.三邊垂直平分線C.三條中線D.三條高

【思路點(diǎn)撥】可分別根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)進(jìn)行思考，首先滿足到A點(diǎn)、B點(diǎn)的距離相等，然后思考

滿足到C點(diǎn)、B點(diǎn)的距離相等，都分別在各自線段的垂直平分線上，于是答案可得.

【答案】B.

【解析】三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)是外心，是三角形外接圓的圓心，到三角形三個(gè)頂點(diǎn)距離相等.

【總結(jié)升華】考點(diǎn)：線段垂直平分線的定理.

【變式】

如圖，在A4BC中，/C=90°,.4。=4,BC=2,點(diǎn)A、C分別在x軸、j軸上，當(dāng)點(diǎn)4在x軸

上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)C隨之在J，軸上運(yùn)動(dòng)，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，點(diǎn)B到原點(diǎn)的最大距離是()

A.2上+2B.2MC.2nD.6

【答案】A.

題型三、綜合運(yùn)用

例5.如圖：已知，ZkABC中,NA=50°

⑴如圖⑴，點(diǎn)0是NABC和NACB的平分線交點(diǎn),則NBOC=

⑵如圖(2),點(diǎn)P是NABC和外角ZACE的平分線交點(diǎn),則NBPC=

(3)如圖(3),點(diǎn)M是外角NBCE和NCBF的平分線交點(diǎn),貝!|NBMC=

【思路點(diǎn)撥】本題涉及知識(shí)點(diǎn)是三角形內(nèi)角和定理：三角形的外知性質(zhì).

【答案與解析】圖(1)中，ZB0C=180°-(ZOBC+ZOCB)=180”8(/ABC+NACB)

=180°-1(180°-ZA)=90°+izA=115°

22

圖(2)中，ZBPC=ZPCE-ZPBC=1(ZACE-ZABC)=，NA=25。

22

圖(3)中，NBMC=180°-(ZMBC+ZMCB)=180°-1(NFBC+/ECB)

=180。-g(180。-ZABC+1800-ZACB)

=1(ZABC+ZACB)

=；（1800_ZA）

=90°--ZA=65°.

2

【總結(jié)升華】本題考查角平分線，三角形內(nèi)角和，外角和內(nèi)角關(guān)系等多個(gè)知識(shí)點(diǎn)，常采用建立方程或直接

推理的方法.

例6.探索

在如圖T至圖-3中，^ABC的面積為a.

圖一1圖一2圖-3

（1）如圖T,延長(zhǎng)的邊BC到點(diǎn)D,使CD=BC,連結(jié)DA,若4ACD的面積為Si,則S尸___（用含a的代

數(shù)式表示）;

（2）如圖-2,延長(zhǎng)AABC的邊BC到點(diǎn)D,延長(zhǎng)邊CA到點(diǎn)E,使CD=BC,AE=CA,連結(jié)DE,若的面積為

&,則S產(chǎn)（用含a的代數(shù)式表示），并寫出理由;

（3）在圖-2的基礎(chǔ)上延長(zhǎng)AB到點(diǎn)F,使BF=AB,連結(jié)FD,FE,得到4DEF（如圖-3）,若陰影部分的面積為

S3,則S3=—（用含a的代數(shù)式表示）:

（4）像上面那樣，將AABC各邊均順次延長(zhǎng)一倍，連結(jié)所得端點(diǎn)，得到4DEF（如圖-3）,此時(shí)，我們稱△

ABC向外擴(kuò)展了一次，可以發(fā)現(xiàn)，擴(kuò)展一次后得到的4DEF的面積是原來(lái)AABC面積的倍.

【思路點(diǎn)撥】靈活運(yùn)用等底同高的兩三角形面積相等來(lái)解決問(wèn)題.

【答案與解析】（1）IBC=CD,.?.△ACD和aABC是等底同高的,即S尸a；

===

（2）2a；連接AD,CDBC>AECA?SAOAC~SADAE=SA,WC—a1***S22a；

（3）結(jié)合（2）得：S”2ax3=6a；

（4）擴(kuò)展一次后得到的aDEF的面積是6a+a=7a,即是原來(lái)三角形的面積的7倍.

【總結(jié)升華】本題的探索過(guò)程由簡(jiǎn)到難，運(yùn)用類比方法可依次求出.從而使考生在身臨數(shù)學(xué)的情境中潛移

默化，逐漸感悟到數(shù)學(xué)思維的力量，使學(xué)生對(duì)知識(shí)的發(fā)生及發(fā)展過(guò)程，解題思想方法的感悟，體會(huì)得淋漓

盡致，是一道新課標(biāo)理念不可多得的好題.

【變式】去年在面積為lOm?的aABC空地上栽種了某種花卉，今年準(zhǔn)備擴(kuò)大種植規(guī)模，把AABC向外進(jìn)

行兩次擴(kuò)展，第一次由△ABC擴(kuò)展成ADEF,第二次由4DEF擴(kuò)展成△MGH（如圖），求這兩次擴(kuò)展的區(qū)域（即

陰影部分）面積共為多少m”

【答案】第一次擴(kuò)展后的陰影面積為6a=6義10=60面）

第二次擴(kuò)展后的陰影面積為42a=42X10=420（m2）

兩次擴(kuò)展后陰影部分面積共為480

【中考過(guò)關(guān)真題練】

一.選擇題（共1小題）

1.（2014?上海）如圖，已知直線a、6被直線c所截，那么N1的同位角是（)

A.Z2B.Z3C.Z4D.Z5

【分析】根據(jù)同位角：兩條直線被第三條直線所截形成的角中，若兩個(gè)角都在兩直線的同側(cè)，并且在第

三條直線（截線）的同旁，則這樣一對(duì)角叫做同位角可得答案.

【解答】解：N1的同位角是N5,

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了同位角的概念，關(guān)鍵是掌握同位角的邊構(gòu)成“尸”形.

二.填空題（共4小題）

2.（2021?上海）70°的余角是2海.

【分析】根據(jù)余角的定義即可求解.

【解答】解：根據(jù)定義一個(gè)角是70。，則它的余角度數(shù)是90°-70°=20

故答案為，20。.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了余角的概念，掌握互為余角的兩個(gè)角的和為90度是解決此題關(guān)鍵，

3.（2019?上海）如圖，已知直線人〃/2,含30°角的三角板的直角頂點(diǎn)C在/|上，30°角的頂點(diǎn)A在/2

上，如果邊A8與人的交點(diǎn)。是AB的中點(diǎn)，那么Nl=120度.

【分析】根據(jù)直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得到DA=DC,則/OC4=/ZMC=30°,再利用三角形外

角性質(zhì)得到N2=60°,然后根據(jù)平行線的性質(zhì)求N1的度數(shù).

【解答】解：?；￡>是斜邊AB的中點(diǎn)，

：.DA=DC,

.?.NOC4=/OAC=30°,

AZ2=ZDCA+ZDAC=60°,

；.Nl+/2=180°,

AZI=180°-60°=120°.

故答案為120.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直接三角形斜邊上的中線：在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半（即直

角三角形的外心位于斜邊的中點(diǎn)）.也考查了平行線的性質(zhì).

4.（2019?上海）在△ABC和△AiBiCi中，已知NC=NCi=90°,AC=A\Ci=3,BC=4,81cl=2,點(diǎn)

D、。分別在邊48、ABi上，且△AC￡>g/\CiAiOi，那么4。的長(zhǎng)是_旦_.

~3-

【分析】根據(jù)勾股定理求得AB=5,由△ACO9△C1A1G，所以可以將Ai點(diǎn)放在左圖的C點(diǎn)上，Q點(diǎn)

放在左圖的A點(diǎn)上，。點(diǎn)對(duì)應(yīng)左圖的。點(diǎn)，從而得出BC//B\C\,根據(jù)其性質(zhì)得出殳也=2,解得求

AD

出AO的長(zhǎng).

【解答】解：絲△CiAiOi，可以將△CiAi。與△AC。重合，如圖,

：/ACB=/AlC181=90°,

：.BC//B\C\,

BC

?AD=11

??麗BC

：AC=3,BC=4,

?'-AB=4§2+42=5,

?AD=2

,,5-AD丁

解得AD=上，

3

AO的長(zhǎng)為國(guó)，

3

故答案為互.

3

C⑷

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，平行線的性質(zhì)，證得地=2三_1是解題的

BDBC

關(guān)鍵.

5.（2016?上海）在△ABC中，點(diǎn)￡＞、E分別是邊AB、AC的中點(diǎn)，那么△AOE的面積與△ABC的面積的

比是1.

—4―

C

【分析】構(gòu)建三角形中位線定理得DE//BC,推出△AOES/XABC,所以.△整也;（邁）2,由此即可

2AABCBC

證明.

【解答】解：如圖，'：AD=DB,AE=EC,

：.DE//BC.DE=、BC,

2

AADE^AABC,

S

.AADE(DE)2=工

,△ABCBC4

故答案為工.

4

【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形中位線定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是記住相似三角形的面積

比等于相似比的平方，屬于中考?？碱}型.

?【中考挑戰(zhàn)滿分模擬練】

一.選擇題（共5小題）

1.（2022?嘉定區(qū)校級(jí)模擬）下列命題中，真命題是（）

A.周長(zhǎng)相等的銳角三角形都全等

B.周長(zhǎng)相等的直角三角形都全等

C.周長(zhǎng)相等的鈍角三角形都全等

D.周長(zhǎng)相等的等腰直角三角形都全等

【分析】全等三角形必須是對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊相等，根據(jù)全等三角形的判定方法，逐一檢驗(yàn).

【解答】解：A、周長(zhǎng)相等的銳角三角形的對(duì)應(yīng)角不一定相等，對(duì)應(yīng)邊也不一定相等，假命題；

8、周長(zhǎng)相等的直角三角形對(duì)應(yīng)銳角不一定相等，對(duì)應(yīng)邊也不一定相等，假命題；

C、周長(zhǎng)相等的鈍角三角形對(duì)應(yīng)鈍角不一定相等，對(duì)應(yīng)邊也不一定相等，假命題；

。、由于等腰直角三角形三邊之比為1：1：&,故周長(zhǎng)相等時(shí)，等腰直角三角形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊

相等，故全等，真命題.

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定定理的運(yùn)用，命題與定理的概念.關(guān)鍵是明確全等三角形的對(duì)應(yīng)邊

相等，對(duì)應(yīng)角相等.

2.（2020?浦東新區(qū)三模）已知長(zhǎng)方體ABCD-EFG”如圖所示，那么下列各條棱中與棱GC平行的是

A.棱E4B.棱ABC.棱GHD.棱GF

【分析】首先確定與GC平行的棱，再確定選項(xiàng)即可求解.

【解答】解：觀察圖象可知，與棱GC平行的棱有AE、BF、DH.

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查認(rèn)識(shí)立體圖形，平行線的判定等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，屬于基礎(chǔ)題.

3.（2022?奉賢區(qū)二模）如圖，在△ABC中，AB=AC,NA=100°,點(diǎn)。在邊AB的延長(zhǎng)線上，根據(jù)圖中

尺規(guī)作圖的痕跡，可知NO8E的度數(shù)為（）

【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得NABC=40°,進(jìn)一步可得NC8。的度數(shù)，根據(jù)作圖可知BE平分/

CBD,即可求出NOBE的度數(shù).

【解答】解:'：AB=AC,/A=100°,

.?./ABC=/ACB=40°,

AZCBD=180°-40°=140°,

根據(jù)作圖可知BE平分/C3￡）,

；.NDBE=L/CBD=70°,

2

故選：c.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，角平分線的定義，三角形的內(nèi)角和定理等，熟練掌握這些知識(shí)是

解題的關(guān)鍵.

4.（2022?徐匯區(qū)模擬）如圖，兩把完全相同的長(zhǎng)方形直尺按如圖方式擺放，記兩把尺的接觸點(diǎn)為點(diǎn)P.其

中一把直尺邊緣恰好和射線OA重合，而另一把直尺的下邊緣與射線OB重合，上邊緣與射線OA交于點(diǎn)

M,聯(lián)結(jié)OP.若N8OP=28°,則NAMP的大小為（）

A.62°B.56°C,52°D.46°

【分析】過(guò)尸點(diǎn)作PC05,一把直尺邊緣與QA的交點(diǎn)為￡,如圖，根據(jù)題意得到PQ=PE,根據(jù)角平分

線的性質(zhì)定理的逆定理可判斷0P平分NA08,所以NA0P=NB。尸=28°,然后根據(jù)平行線的性質(zhì)求

解.

【解答】解：過(guò)尸點(diǎn)作尸。，05,一把直尺邊緣與QA的交點(diǎn)為E,如圖，

?/兩把直尺為完全相同的長(zhǎng)方形，

:,PD=PE,

VPE10A,PDLOB,

：.0P平分NA03,

AZAOP=ZBOP=2S°,

AZAOB=56°,

?：PM〃OB,

：.ZAMP=ZAOB=56°.

故選：B.

§

0)

E

M/

|IIII|IIII|IIIL|4|Il|llll|llll|llll|llll|

01245678910

ODB

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了角平分線的性質(zhì)：在角的內(nèi)部到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上.也考查

了平行線的性質(zhì).

5.（2021?浦東新區(qū)模擬）把一副三角尺放在同一水平桌面上，如果它們的兩個(gè)直角頂點(diǎn)重合，兩條斜邊

平行（如圖所示），那么N1的度數(shù)是（)

90°C.100°D.105°

【分析】通過(guò)在N1的頂點(diǎn)作斜邊的平行線可得Nl=105°.

【解答】解：如圖：過(guò)/I的頂點(diǎn)作斜邊的平行線，

利用平行線的性質(zhì)可得，21=60°+45°=105°.

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線的性質(zhì)，利用了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想.

二.填空題（共27小題）

6.（2019?浦東新區(qū)二模）已知一個(gè)角的度數(shù)為50度，那么這個(gè)角的補(bǔ)角等于130。.

【分析】根據(jù)如果兩個(gè)角的和等于180°,那么這兩個(gè)角叫互為補(bǔ)角計(jì)算即可.

【解答】解：180°-50°=130°.

故這個(gè)角的補(bǔ)角等于130°.

故答案為：130°.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是余角和補(bǔ)角的定義，如果兩個(gè)角的和是一個(gè)直角，那么稱這兩個(gè)角互為余角.如果

兩個(gè)角的和是一個(gè)平角，那么這兩個(gè)角叫互為補(bǔ)角.其中一個(gè)角叫做另一個(gè)角的補(bǔ)角.

7.（2022?徐匯區(qū)二模）如圖，已知Zl=I20°,Z2=30°,那么NC的度數(shù)為30°.

【分析】由AE〃B。，可求得NCE4的度數(shù)，再利用三角形的內(nèi)角和等于180°,即可求得答案.

【解答】解：,：AE//BD,N2=30°,

.?./CE4=/2=30°,

又：N1=12O°,

AZC=180°-ZCEA-Zl=180°-120°-30°=30°,

故答案為：30°.

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了平行線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理的運(yùn)用.解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.

8.（2022?金山區(qū)二模）2002年在北京召開的國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)，會(huì)標(biāo)是以我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽弦圖為基礎(chǔ)

設(shè)計(jì)的，弦圖是由四個(gè)全等直角三角形與一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形（如圖），如圖的弦圖中大正

方形邊長(zhǎng)為4,每個(gè)直角三角形較小的銳角為30°,那么小正方形面積為

【分析】根據(jù)題意和題目中的數(shù)據(jù)，可以先求出直角三角形的兩條直角邊的長(zhǎng)，然后即可得到小正方形的

邊長(zhǎng)，再計(jì)算正方形的面積即可.

【解答】解：???大正方形邊長(zhǎng)為4,每個(gè)直角三角形較小的銳角為30°,

二直角三角形的短直角邊為2,長(zhǎng)直角邊為2近，

...小正方形的邊長(zhǎng)為：2加-2,

二小正方形面積為:（2百-2）2

=12-873+4

=16-873.

故答案為：16-8百.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查勾股定理的證明、正方形的面積、銳角三角函數(shù)，解答本題的關(guān)鍵是求出小正方形的邊

長(zhǎng).

9.（2022?普陀區(qū)二模）如圖，在△ABC中，點(diǎn)。在邊8c上，AD=BD,如果N0AC=1O2°,

那么NB4D=26度.

【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得到N4OC+NC=180。-ZDAC==78°,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即

可得到結(jié)論.

【解答】解：???NZMC=102°,

AZADC+ZC=180°-ZDAC==1S°,

\UAB=AC,

：.NB=NC,

\'AD=BDt

：.ZB=ZBADf

?/ZADC=ZB+ZBAD=2ZB,

：.ZADC+ZC=2ZB+ZB=3ZB=78°,

AZBAD=26°,

故答案為：26.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)

鍵.

10.（2022?寶山區(qū)二模）如果一個(gè)等腰直角三角形的面積是1,那么它的周長(zhǎng)是2芯+2.

【分析】設(shè)等腰直角三角形的腰為x,根據(jù)面積可得腰長(zhǎng)，再根據(jù)勾股定理可得底邊長(zhǎng)，即可求出等腰直

角三角形的周長(zhǎng).

【解答】解：設(shè)等腰直角三角形的腰為X,

?..一個(gè)等腰直角三角形的面積是1,

解得x=&或x=-&（舍），

???腰長(zhǎng)為加，

根據(jù)勾股定理，得底邊為2,

.?.這個(gè)等腰直角三角形的周長(zhǎng)為2&+2,

故答案為：2V^+2.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，周長(zhǎng)和面積，勾股定理等，熟練掌握等腰直角三角形的性質(zhì)

是解題的關(guān)鍵.

11.（2022?松江區(qū)校級(jí)模擬）如圖，在△ABC中，已知AOLBC,垂足為￡>,BD=2CD.若E是AO的中

點(diǎn)，點(diǎn)$△些=6.

2AECD

【分析】設(shè)的面積為S,根據(jù)三角形面積公式，利用E是AO的中點(diǎn)得到SMCO=2S,再利用

2c。得至USAABO=4S,所以〃ABC=6S,從而得到返?的值.

2AECD

【解答】解：設(shè)的面積為S,

是AO的中點(diǎn)，

**?S/^ACD=2SAECD=2S,

?：BD=2CD,

**?SAAGD—2SA4CD~2X2s=4S，

S/\ABC=2S+4s=6S,

S

.AABC=6S=A

2AECDS

故答案為：6.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的面積：三角形的面積等于底邊長(zhǎng)與高線乘積的一半，即S=Lx底X高；三

2

角形的中線將三角形分成面積相等的兩部分.

12.（2022?金山區(qū)校級(jí)模擬）已知正三角形A8C的半徑為4,那么正三角形ABC的面積為12《.

【分析】過(guò)A點(diǎn)作于D,O為等邊AABC的外心，如圖，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到0。=2,

BD=CD=2M，則A￡>=6,然后根據(jù)三角形的面積公式計(jì)算.

【解答】解：過(guò)A點(diǎn)作AO-L8C于。，點(diǎn)。為等邊△ABC的外心，如圖，08=4,

:△ABC為等邊三角形，

：.BD=CD,ZOBD=30°,

：.OD=2,BD=2M，

，AO=4+2=6,BC=4如

...正三角形ABC的面積=」X6X4y5=12瓶.

2

故答案為：12?.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)：等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都相等，且都等于60°.

13.（2022?松江區(qū)校級(jí)模擬）如果一個(gè)等腰直角三角形的面積是5,那它的直角邊長(zhǎng)是

【分析】可令等腰直角三角形的直角邊長(zhǎng)為x,利用三角形的面積公式進(jìn)行求解即可.

【解答】解：設(shè)等腰直角三角形的直角邊長(zhǎng)為X,依題意得：

1「

yx,x=5,

解得：I=-記或（不符合題意，舍去）.

故答案為：Vio.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查等腰直角三角形，解答的關(guān)鍵是明確等腰直角三角形的兩條直角邊相等.

14.（2022?黃浦區(qū)二模）如圖，已知AB//DE,如果NA8C=70°,ZCDE=147°,那么N6CO=

37°.

4R

70*7

147*

【分析】過(guò)點(diǎn)C作CF〃AB,則NBCF=NABC=70°,結(jié)合AB〃QE可得。E〃CF,進(jìn)而可得NDC尸的

度數(shù)，進(jìn)而可得N8C。的度數(shù).

【解答】解：如圖，過(guò)點(diǎn)＜7作。尸〃48,貝Ij/BCF=/ABC=7O°,

'：AB//DE,

：.DE//CF,

：.ZDCF=180°-ZCD￡=180°-147°=33°,

:.NBCD=NBCF-NDCF=10°-33°=37°.

故答案為：37.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查平行線的性質(zhì)，構(gòu)造合適的輔助線解題是解題關(guān)鍵.

15.（2022?寶山區(qū)模擬）如圖，點(diǎn)B、C、。在同一直線上，CE//AB,ZACB=90°,如果/EC￡）=

35°,那么NA=55°.

【分析】由NACB=90°,ZECD=36°,求得NACE的度數(shù)，又由CE〃AB,即可求得乙4的度數(shù).

【解答】解：VZ￡CD=35°,NACB=90°,

AZACD=90°,

AZACE=ZACD-ZECD=90°-35°=55°,

\'CE//AB,

：.ZA=ZACE=55°.

故答案為：55°.

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了平行線的性質(zhì).解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.

16.（2022?楊浦區(qū)三模）新定義：如果一個(gè)三角形一條邊上的高等于這條邊，那么這個(gè)三角形叫做等高底

三角形，這條邊叫做等底.如圖，AABC是等高底三角形，BC是等底，點(diǎn)A關(guān)于直線BC的對(duì)稱點(diǎn)是點(diǎn)

A',聯(lián)結(jié)AA',如果點(diǎn)B是△AA'C的重心，那么3c的值是運(yùn)

BC-2'

【分析】延長(zhǎng)CB與A4Z交于點(diǎn)D,根據(jù)軸對(duì)稱性質(zhì)得AC=A'C,AD=A'D,AO_LC￡>,再由AABC

是等高底三角形，BC是等底，得AD^BC,再根據(jù)三角形的重心定理得AD=BC^1CD,設(shè)AO=8C=

3

2x,則CO=3x,由勾股定理用x表示AC,進(jìn)而計(jì)算星?的值便可.

BC

.?點(diǎn)A關(guān)于直線8c的對(duì)稱點(diǎn)是點(diǎn)A',

\AC=A'C,AD=A'D,ADLCD,

「ZvlBC是等高底三角形，BC是等底,

??AD=BC,

??點(diǎn)8是△AA'C的重心，

?.AZ)=BC=2CQ,

3

設(shè)AO=BC=2x,則CD=3x,

BC2x2

故答案為：逗.

2

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了對(duì)稱變換，三角形的重心性質(zhì)，新定義，關(guān)鍵是根據(jù)三角形的重心性質(zhì)得出AD

與C。的數(shù)量關(guān)系.

17.（2022?崇明區(qū)二模）如果三角形一條邊上的中線恰好等于這條邊的長(zhǎng)，那么我們稱這個(gè)三角形為“勻

稱三角形”.在Rt△48C中，ZC=90°,AOBC,若RtZ\A8C是“勻稱三角形"，那么BC：AC：AB=

V2：2：V7.

【分析】根據(jù)題意做出圖形，設(shè)CQ為x,根據(jù)“勻稱三角形”的定義求出三角形的各邊長(zhǎng)即可得出結(jié)

論.

【解答】解：根據(jù)題意作圖如下：

?；BD=AC=2CD,

：,/CBD=90°,

設(shè)CD=x,則4c=2JGBC=MX,

二AB=、Bc2+hc2=^x,

:.BC：AC：AB=M：2：

故答案為：Vs：2：V7.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查勾股定理，三角形中線，特殊角三角函數(shù)等知識(shí)，正確理解“勻稱三角形”的定義

是解題的關(guān)鍵.

18.（2022?黃浦區(qū)二模）如圖，已知三根長(zhǎng)度相等的木棍，現(xiàn)將木棍AB垂直立于水平的地面上，把木棍

CD斜釘在木棍AB上，點(diǎn)D是木棍AB的中點(diǎn)，再把木棍EF斜釘在木棍CD上，點(diǎn)F是木棍CD的中

點(diǎn)，如果A、C、E在一條直線上，那么螞的值為近二1.

AE_2一

【分析】根據(jù)勾股定理求出AC,根據(jù)直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)得到AF=FC,根據(jù)等腰三角形的性

質(zhì)求出A4,根據(jù)三角形中位線定理求出FH,根據(jù)勾股定理求出計(jì)算即可.

【解答】解：設(shè)木棍的長(zhǎng)度為2a,

:點(diǎn)。是A8的中點(diǎn)，

：.AD=lAB=a,

2

.?.AC=7cD2-AD2=V(2a)2-a2=V3?-

在RtZ\D4C中，點(diǎn)尸是cn的中點(diǎn)，

.?.AF=」CD=CF=q,

2

2

?:DF=FC,

：.FH=lAD^ka,

22

EH=(EF2rH2y⑵產(chǎn)-ga)2=9口

，AE=AH+EH=?4A

_2

?ACV3a_V5-1

"AE愿+2

2a

故答案為：返二L

2

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是三角形中位線定理、直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)、勾股定理，用。表示出

AC、HE是解題的關(guān)鍵.

19.（2022?松江區(qū)校級(jí)模擬）如圖，直線1i//12,點(diǎn)A在直線1\上，點(diǎn)8在直線/2上，AC=BC,BD=

CD,ZC=30°,則Nl=45°

【分析】由等腰三角形的性質(zhì)可得/C48=/CBA,NCBD=NC=30°,由三角形的內(nèi)角和可求得/

CQB=120°,再由三角形的外角性質(zhì)可求得NCAB的度數(shù)，即可得的度數(shù)，再由平行線的性質(zhì)可

求得N1的度數(shù).

【解答】解：'：AC=BC,BD=CD,NC=30°,

；.NCAB=NCBA,ZCBD=ZC=30°,

AZCDB=180°-ZC-ZCBD=120°,

；ZCDB是△48。的外角，ZABD=ZCBA-/CBD=NCAB-30°,

/CDB=ZCAB+ZABD,

即120°=/C48+NCAB-30°,

解得：NCAB=75°,

：.ZCBA=15°,

AZABD^ZCBA-30°=45°,

■:卜"b，

：.Z\=ZABD=45°.

故答案為：45°.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，解答的關(guān)鍵是結(jié)合圖形分析清楚各角之間的關(guān)

系.

20.（2022?黃浦區(qū)校級(jí)二模）如圖，在△ABC中，ZACB=120°,AC=BC=6,點(diǎn)￡在邊AB上且AE=

2BE,點(diǎn)尸在邊8c上，過(guò)點(diǎn)尸作EF的垂線交射線AC于點(diǎn)G,當(dāng)RtaEFG的一條直角邊與△A8C的一邊

平行時(shí)，則AG=4或8.

【分析】分GF〃A8,EF//AC,EF〃4c三種情況，結(jié)合含30°角的直角三角形和平行線分線段成比例定

理分別求解.

VZACB=120",AC=BC=6,

/.ZA=ZB=30°,

在RtZXCBM中，CM=LC=3,

2

：.AB=2BM=2X代CM=6M,

\'AE=2BE,

：.AE=4-J3,BE=2y/3,

①當(dāng)GF//AB時(shí)，

由題意可得NGFE=90°,

AZF￡B=90°,

在RtZXEFB中，ZB=30°,

:.EF=^-BE=2,BF=4,

3

y.'：GF//AB,

；.NCGF=NCFG=30°,

：.CG=CF=2,

.?.AG=4；

②當(dāng)GE〃8c時(shí)，

此時(shí)也屈，

ACAB

.AG473

FW

，AG=4；

③當(dāng)E尸〃AC時(shí),

G

c

A

此時(shí)NFEB=NA=30°,

過(guò)點(diǎn)F作FNLEB,

:.EN=BN=M，BF=2FN=2,

VZACB=120",/CGF=90°,

/.ZGCF=60°,

在RtZXCG尸中，CG=ACF=A(6-2)=2,

22

，AG=6+2=8,

綜上，AG的長(zhǎng)為4或8,

故答案為：4或8.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查含30°角的直角三角形性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，理解等腰三角形的性質(zhì)，掌握含

30°角的直角三角形的性質(zhì)，利用分類討論思想解題是關(guān)鍵.

21.(2022?徐匯區(qū)模擬)如圖，四個(gè)白色全等直角三角形與四個(gè)黑色全等三角形按如圖所示方式擺放成

“風(fēng)車”型，且黑色三角形的頂點(diǎn)E、/、G、H分別在白色直角三角形的斜邊上，已知NABO=90°,OB

=3,48=4,若點(diǎn)A、E、。在同一直線上，則OE的長(zhǎng)為生.

~37~

【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，得出點(diǎn)4、B、C、。的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法分別求出直線AO,直線OC

的解析式，聯(lián)立解方程組可得點(diǎn)E的坐標(biāo)，即可求解.

【解答】解：建立平面直角坐標(biāo)系如圖：

A

y

X

VZABO=90°,。8=3,A8=4,△ABOdCOO,

：.OD=OB=3,CD=AB=4,

；.點(diǎn)4(-4,-3)、8(0,-3)、C(3,-4)、0(3,0),

設(shè)直線AD的解析式為y=kx+b,

../-4k+b=-3,解：

(3k+b=0

直線AD的解析式為丫=寺-X

設(shè)直線OC析式為y=)wc,

/.3m=-4,解得tn=-A,

3

二直線OC析式為y=-芻，

3

f_39

x市

聯(lián)立?，

436,

片三xy--37

：.E(-2Z,-漁)

3737

-,?H<)2+<)2=f

故答案為：45

37

【點(diǎn)評(píng)】本題考查全等三角形的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，建立平面直角坐標(biāo)

系是解題的關(guān)鍵.

22.(2022?徐匯區(qū)模擬)如圖，將一個(gè)裝有水的杯子傾斜放置在水平的桌面上，其截面可看作一個(gè)寬BC

=6厘米，長(zhǎng)CO=16厘米的矩形.當(dāng)水面觸到杯口邊緣時(shí)，邊C。恰有一半露出水面，那么此時(shí)水面高度

是9.6厘米.

【分析】直接利用勾股定理得出8尸的長(zhǎng)，再利用相似三角形的判定與性質(zhì)得出答案.

【解答】解：如圖所示：作于點(diǎn)E,

由題意可得，BC=6cm,CF=^DC=8cm,

2

故^=VFC2+BC2=VS2+82=1°(cm),

可得：/CFB=NBAE,NC=NAEB,

故

.BC=FB

*'EBAB)

...且=也

"BEIT

解得：BE=9.6.

故答案為：9.6.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了勾股定理的應(yīng)用以及相似三角形的判定與性質(zhì)，正確把握相關(guān)性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

23.(2022?上海模擬)如圖是四邊形紙片ABCD,已知ADHBC,NB=90°,AD=3,AB=4,BC=5,

點(diǎn)E、F、G分別在邊AB,BC、CD上.如果沿CE、FG將紙片剪開后，所得的四個(gè)部分的面積全部相

等，那么線段CF的長(zhǎng)為_/萬(wàn)_.

AD

【分析】設(shè)CE與GF交于。，分別過(guò)。、D、G作BC垂線于M、N、H,則四邊形ABM9為矩形，DN//

GH//OM,根據(jù)三角形面積公式及相似三角形的判定與性質(zhì)可得@LM=2,設(shè)CH=x,再次根據(jù)三角形

CHCN

面積公式及相似三角形的性質(zhì)得到方程，求解即可得到答案.

【解答】解：設(shè)CE與G尸交于0,分別過(guò)。、D、G作BC垂線于M、N、H,

則四邊形ABN。為矩形，DN//GH//OM,

：.BM=AD=3,CN=2,0N=AB=4,

???所得的四個(gè)部分的面積全部相等，

每一部分面積為：lx(5+3)義4+4=4,

2

.FBEC=2X4=』8E,8C=SBE，

22

5

,:S&OFC=SAOGC，

：.0F=0G,

'JOM//GH,

：./\FOMS/\FGH,

"JGH//DN,

:.ACGHsXCDN,

.GHDN-o

CHCN

設(shè)CH=x,

又,；SZSOFC=4=A^F?0M，CF=—,

2x

：.FH=3.-X,

x

：.FM=MH=（A_x）4-2,

x

.?.5=&-（&-x）+2=93,

xxx2

'COM//BE,

:.ACOMsACEB,

.ONCM

**BE=BC"

4x

.x_x節(jié)

?豆二5'

V

...x=+8叵（負(fù)根舍去），

一17

.8V17

.?人v=，，，

17_

經(jīng)檢驗(yàn)*=超叵是原方程的根，

一17

6=庭亞_是原方程的解，

17

.?.cr=3=717.

X

故答案為：\fl7.

【點(diǎn)評(píng)】此題考查的是平行線的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、三角形的面積公式等知識(shí)，正確作出輔

助線，構(gòu)造出三角形是解決此題的關(guān)鍵.

24.（2022?嘉定區(qū)校級(jí)模擬）如圖，點(diǎn)B、C、。在同一條直線上，CE//AB,NACB=90°,如果/ECO

=36°,那么NA=54.

A

【分析】由NAC8=90°,/ECD=36°,求得NACE的度數(shù)，又由CE〃AB,即可求得NA的度數(shù).

【解答】解：VZ￡CD=36°,ZACB=90Q,

：.ZACD=90°,

AZACE=ZACD-ZECD=90°-36°=54°,

,JCE//A