重難點04 探究與表達規(guī)律 專項講練（解析版）-2024小升初數(shù)學暑假銜接講義

重難點04.探究與表達規(guī)律專項講練1.通過具體的問題情境，經(jīng)歷在實際問題中探索規(guī)律的過程；2.能歸納具體問題中蘊含的規(guī)律，用代數(shù)式表示，并通過計算驗證；3.在解決問題過程中體驗類比、轉(zhuǎn)化等數(shù)學思想，培優(yōu)良好的思維品質(zhì)。題型探究題型1、數(shù)列的規(guī)律 2題型2、數(shù)（圖）表的規(guī)律 4題型3、算式的規(guī)律 6題型4、圖形的規(guī)律（一次類） 8題型5、圖形的規(guī)律（二次類） 10題型6、圖形的規(guī)律（指數(shù)類） 11題型7、循環(huán)規(guī)律類問題 13培優(yōu)精練A組（能力提升） 16B組（培優(yōu)拓展） 231.規(guī)律探索型問題解題技巧1）抓住條件中的變與不變：找數(shù)學規(guī)律的題目，都會涉及到一個或者幾個變化的量.所謂找規(guī)律，多數(shù)情況下，是指變量的變化規(guī)律.所以，抓住了變量，就等于抓住了解決問題的關(guān)鍵.而這些變量通常按照一定的順序給出，揭示的規(guī)律，常常包含著事物的序列號.2）化繁為簡，形轉(zhuǎn)化為數(shù)：有些題目看上去很大、圖形很復雜，實際上，關(guān)鍵性的內(nèi)容并不多.對題目做一番認真地分析，去粗取精，取偽存真，把其中主要的、關(guān)鍵的內(nèi)容抽出來，題目的難度就會大幅度降低，問題也就容易解決了.3）要進行計算嘗試：找規(guī)律，當然是找數(shù)學規(guī)律.而數(shù)學規(guī)律，多數(shù)是函數(shù)的解析式.函數(shù)的解析式里常常包含著數(shù)學運算.因此，找規(guī)律，在很大程度上是在找能夠反映已知量的數(shù)學運算式子.所以，從運算入手，嘗試著做一些計算，也是解答找規(guī)律題的好途徑.4）尋找事物的循環(huán)節(jié)：有些題目包含著事物的循環(huán)規(guī)律，找到事物的循環(huán)規(guī)律，其他問題就可以迎刃而解.2、規(guī)律探索型問題常見類型1）數(shù)式規(guī)律：通常給定一些數(shù)字、代數(shù)式、等式或不等式，然后猜想其中蘊含的規(guī)律，反映了由特殊到一般的數(shù)學方法，考查了學生的分析、歸納、抽象、概括能力.一般解法是先寫出數(shù)式的基本結(jié)構(gòu)，然后通過橫比（比較同一等式中不同部分的數(shù)量關(guān)系）或縱比（比較不同等式間相同位置的數(shù)量關(guān)系）找出各部分的特征，改寫成要求的格式。2）圖形規(guī)律：根據(jù)一組相關(guān)圖形的變化，從中總結(jié)圖形變化所反映的規(guī)律.解決這類圖形規(guī)律問題的方法有兩種，一種是數(shù)圖形，將圖形轉(zhuǎn)化成數(shù)字規(guī)律，再用數(shù)字規(guī)律的解決問題，一種是通過圖形的直觀性，從圖形中直接尋找規(guī)律。3）數(shù)表規(guī)律：解決本題的方法一般是先看行（或列）的規(guī)律，再以列（或行）為單位用數(shù)列找規(guī)律方法找規(guī)律.有時也需要看看有沒有一個數(shù)是上面兩數(shù)或下面兩數(shù)的和或差等.有時還需要先局部看，再整體找規(guī)律。題型1、數(shù)列的規(guī)律【解題技巧】數(shù)列的規(guī)律：把握常見幾類數(shù)的排列規(guī)律及每個數(shù)與排列序號之間的關(guān)系.例1．（2024·海南·一模）觀察下列一組數(shù)：，，，，…，它們是按一定規(guī)律排列的，那么這一組數(shù)的第個數(shù)是，第個數(shù)是．【答案】【分析】本題考查數(shù)字的變化規(guī)律，根據(jù)題目中的數(shù)字，可以發(fā)現(xiàn)數(shù)字的分子和分母的變化特點，從而可以寫出第個數(shù)，解題的關(guān)鍵是明確題意，發(fā)現(xiàn)數(shù)字的變化特點，寫出相應的數(shù)字．【詳解】解：，，，，…，這組數(shù)為：，，，…，這一組數(shù)的第個數(shù)是，第個數(shù)是，故答案為：，．變式1．（2024·湖北孝感·模擬預測）觀察下面兩行數(shù)：1，5，11，19，29，…；1，3，6，10，15，…．取每行數(shù)的第8個數(shù)，計算這兩個數(shù)的和是（

）A．147 B．126 C．107 D．92【答案】C【分析】本題考查數(shù)字的變化之類的問題，解題的關(guān)鍵是觀察得到兩行數(shù)字的變化規(guī)律．觀察第二行可知第個數(shù)為：，第一行的第個數(shù)為第2行第個數(shù)的2倍減1，從而得到答案．【詳解】解：設第一行第個數(shù)為，第二行第個數(shù)為，觀察第二行可知第個數(shù)為：，∴第二行可知第個數(shù)為：，∵第一行的第個數(shù)為第2行第個數(shù)的2倍減1，即，∴第一行的第8個數(shù)為：，∵，∴取每行數(shù)的第8個數(shù)，計算這兩個數(shù)的和是，故選：C．變式2．（2024·云南昆明·二模）數(shù)學活動課上，李老師給出一組按一定規(guī)律排列的數(shù)：2，，8，，32，…，第n個數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查的是數(shù)字的變化規(guī)律，從題目中找出各數(shù)之間的變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵．從題目中找出各數(shù)之間的變化規(guī)律，尤其要關(guān)注各數(shù)的符號，即可得出結(jié)果．【詳解】解：根據(jù)題意可知：一組按一定規(guī)律排列的數(shù)：2，，8，，32，，第個數(shù)是：，故選：D題型2、數(shù)（圖）表的規(guī)律【解題技巧】數(shù)（圖）表的規(guī)律：觀察前幾個圖形，確定每個圖形中圖形的個數(shù)或圖形總數(shù)與序號之間的關(guān)系.例1．（2024·湖北武漢·模擬預測）我國南宋數(shù)學家楊輝所著的《詳解九章算術(shù)》一書中，用如圖所示的三角形數(shù)陣解釋二項式展開式的各項系數(shù)，這一數(shù)學發(fā)現(xiàn)比歐洲早近年，此三角形被后人稱為“楊輝三角”．在“楊輝三角”中，兩邊上的數(shù)都是，其余每個數(shù)是它上方的（左右）兩數(shù)之和．如，，．．．，若從第三行的“”開始，按箭頭所指依次構(gòu)成一列數(shù)：，，，，，，，，，，，則這列數(shù)中第個數(shù)是（

）A．56 B．42 C．28 D．8【答案】A【分析】本題考查了數(shù)字類變化規(guī)律，由題意得出第24個數(shù)在從開始的第行的第個數(shù)，觀察可得由從開始的第行的數(shù)依次為，，，，，，，由此即可得出答案．【詳解】解：，，第24個數(shù)在從開始的第行的第個數(shù)，觀察可得：由從開始的第行的數(shù)依次為：，，，，，由從開始的第行的數(shù)依次為：，，，，，，由從開始的第行的數(shù)依次為，，，，，，，第24個數(shù)為，故選：A．變式1．（23-24七年級下·山東青島·期中）觀察下面一組數(shù)：，2，，4，，6，…，將這組數(shù)排成如圖的形式，按照如圖規(guī)律排下去第10行從左邊數(shù)第9個數(shù)是（

）A． B．90 C． D．91【答案】B【分析】本題主要考查了數(shù)字類的規(guī)律探索，先找到規(guī)律前n行共有個數(shù)，進而得到第10行從左邊數(shù)第9個數(shù)是第90個數(shù)，再找到規(guī)律當k為奇數(shù)時，第k個數(shù)是，當k為偶數(shù)時，第k個數(shù)為，據(jù)此可得答案．【詳解】解：第一行有1個數(shù)，前兩行有個數(shù)，前三行有個數(shù)，前四行有個數(shù)，……，以此類推，前n行共有個數(shù)，∴前9行一共有個數(shù)，∴第10行從左邊數(shù)第9個數(shù)是第90個數(shù)，觀察可知，當k為奇數(shù)時，第k個數(shù)是，當k為偶數(shù)時，第k個數(shù)為，∴第10行從左邊數(shù)第9個數(shù)是，故選：B．變式2．（2023·山東泰安·統(tǒng)考二模）數(shù)學家萊布尼茨在研究中發(fā)現(xiàn)了下面的“單位分數(shù)三角形”，根據(jù)前五行的規(guī)律，可以知道第六行第三個數(shù)是_________．第一行

第二行

第三行

第四行

第五行

【答案】【分析】根據(jù)題干中給出的三角形中數(shù)字規(guī)律，得出第n行第1個數(shù)表示為，第n行第2個數(shù)表示為，再根據(jù)第n行第2個數(shù)是第行第2個數(shù)和第三個數(shù)的和進行求解即可．【詳解】解：根據(jù)題目中給出數(shù)的特點，第n行第1個數(shù)表示為，第n行第2個數(shù)表示為，∴第6行第1個數(shù)為，第6行第2個數(shù)為，∴第六行第三個數(shù)表示的是．故答案為：．【點睛】本題主要考查了數(shù)字規(guī)律探索，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題目中給出的數(shù)字找出規(guī)律．變式3．（2023·浙江杭州·七年級校考期中）已知：在數(shù)軸上有兩個點A、B，A點表示有理數(shù)－4，B點表示有理數(shù)6，點P在原點左側(cè)，表示有理數(shù)x，且點P到A、B兩點的距離和是16，觀察下面每個圖形中的四個數(shù)都是按相同的規(guī)律填寫的，根據(jù)此規(guī)律確定y的值是________．

【答案】50【分析】根據(jù)點P到A、B兩點的距離和是16，確定有理數(shù)x的值，再按照規(guī)律確定y的值．【詳解】解：∵點P到A、B兩點的距離和是16，且點P在原點左側(cè)，∴點P在點A左側(cè)，∴(-4-x)+(6-x)=16，解得：x=-7，觀察圖形中的四個數(shù)，左上角的數(shù)是右上角的數(shù)的絕對值少1，左下角的數(shù)比左上角的數(shù)多2，從第2個圖形開始，右下角的數(shù)是左上角的數(shù)與左下角的數(shù)的積再加2，∴m===6，n=m+2=8，∴y=mn+2=48+2=50，故答案為：50．【點睛】本題考查數(shù)軸上兩點之間的距離，數(shù)字類圖形變化題．注意觀察總結(jié)出規(guī)律，能正確的應用規(guī)律．題型3、算式的規(guī)律【解題技巧】算式的規(guī)律：用含有字母的代數(shù)式總結(jié)規(guī)律，注意此代數(shù)式與序號之間的關(guān)系.例1．（2024·山西大同·三模）觀察下列等式：，，，，照此規(guī)律，第個等式為．【答案】【分析】本題主要考查了數(shù)字規(guī)律，較強的類比歸納能力是解題的關(guān)鍵．根據(jù)已有等式類比歸納出第n個等式即可．【詳解】解：①；②；③；④；⑤，……第n個等式為：．故答案為：．變式1．（24-25七年級上·廣東·假期作業(yè)）古希臘著名的畢達哥拉斯學派把1、3、6、10…這樣的數(shù)稱為“三角形數(shù)”，而把1、4、9、16…這樣的數(shù)稱為“正方形數(shù)”．從上圖中可以發(fā)現(xiàn)：任何一個大于1的“正方形數(shù)”都可以看作兩個相鄰的“三角形數(shù)”之和，例如．把“正方形數(shù)”36寫成兩個相鄰的“三角形數(shù)”之和，正確的是（）．A． B． C． D．【答案】C【分析】本題主要考查了數(shù)字（圖形）變化的規(guī)律，觀察圖形和等式，發(fā)現(xiàn)正方形數(shù)是1、4、9、16、25、36、49…；都是平方數(shù)；三角形數(shù)是1、3、6、10、15、21、28…；相鄰兩個數(shù)的差依次增加1；從“三角形數(shù)”中找出哪兩個相鄰的數(shù)相加，和是“正方形數(shù)”36即可.【詳解】圖1：正方形數(shù)是4，；圖2：正方形數(shù)是9，；圖3：正方形數(shù)是16，；圖4：正方形數(shù)是25，；圖5：正方形數(shù)是36，.故選：C.變式2.（2023·湖北七年級期中）觀察以下等式：第個等式：；第個等式：；第個等式：；第個等式：．……按照以上規(guī)律．解決下列問題：（1）寫出第個等式：____________________．（2）寫出你猜想的第個等式：____________________（用含的等式表示）．（3）你認為（2）中所寫的式子一定成立嗎？請說明理由．【答案】（1）；（2）；（3）成立，理由見解析．【分析】（1）根據(jù)題中等式的規(guī)律可得；（2）觀察等式的規(guī)律可得；（3）將等式的左邊進行整式的混合運算，判斷與等式右邊是否相等即可．【詳解】（1）根據(jù)題中規(guī)律可得：（2）觀察式子可得：（3）等式左邊===3=等式右邊∴（2）中所寫式子一定成立．【點睛】本題通過找規(guī)律的方式考查整式的混合運算．分析所給等式，找到規(guī)律是解題的關(guān)鍵．題型4、圖形的規(guī)律（一次類）【解題技巧】圖形規(guī)律：觀察前項（前3-4項）及利用題中的已知條件，歸納猜想一般性結(jié)論.例1．（2024·陜西西安·模擬預測）下面是用棋子擺成的“小屋子”．擺第1個這樣的“小屋子”需要5枚棋子，擺第2個這樣的“小屋子”需要11枚棋子，……，擺第10個這樣的“小屋子”需要的棋子數(shù)為（

）A．53 B．59 C．65 D．50【答案】B【分析】本題考查圖形類規(guī)律探究，根據(jù)已有圖形抽象出相應的數(shù)字規(guī)律，進行求解即可．【詳解】解：由已知圖形可知，后一個小屋子所需的棋子的數(shù)量比前一個多6個；∴第個圖形需要：枚棋子，∴擺第10個這樣的“小屋子”需要的棋子數(shù)為；故選B．變式1．（2024·重慶·中考真題）用菱形按如圖所示的規(guī)律拼圖案，其中第①個圖案中有2個菱形，第②個圖案中有5個菱形，第③個圖案中有8個菱形，第④個圖案中有11個菱形，…，按此規(guī)律，則第⑧個圖案中，菱形的個數(shù)是（）A．20 B．21 C．23 D．26【答案】C【分析】本題考查了圖形類的規(guī)律探索，解題的關(guān)鍵是找出規(guī)律．利用規(guī)律求解．通過觀察圖形找到相應的規(guī)律，進行求解即可．【詳解】解：第①個圖案中有個菱形，第②個圖案中有個菱形，第③個圖案中有個菱形，第④個圖案中有個菱形，∴第個圖案中有個菱形，∴第⑧個圖案中菱形的個數(shù)為，故選：C．變式2．（2024·重慶·二模）把黑色圍棋子按如圖所示的規(guī)律擺放．其中第①個圖案有1顆棋子，第②個圖案有4顆棋子，第③個圖案有7顆棋子，第④個圖案有10顆棋子，……，按此規(guī)律排列下去，第個圖案有25顆棋子，則的值為（

）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】C【分析】本題主要考查圖形規(guī)律探究，根據(jù)題意易得第n個圖案棋子的顆數(shù)為；由此問題可求解．【詳解】解：∵第①個圖案有1顆棋子，第②個圖案有4顆棋子，第③個圖案有7顆棋子，第④個圖案有10顆棋子，…；∴第n個圖案棋子的顆數(shù)為，依題意，解得：故選：C．題型5、圖形的規(guī)律（二次類）【解題技巧】圖形規(guī)律：觀察前項（前3-4項）及利用題中的已知條件，歸納猜想一般性結(jié)論.例1．（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預測）如圖是由同樣大小的圓按一定規(guī)律排列所組成的，其中第個圖形中一共有個圓，第個圖形中一共有個圓，第個圖形中一共有個圓，第個圖形中一共有個圓，，按此歸路排列下去，第個圖形中圓的個數(shù)是（

）個

A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了圖形的變換規(guī)律，根據(jù)圖形得出第個圖形中圓的個數(shù)是進行解答即可求解，根據(jù)圖形的排列規(guī)律得到第個圖形中圓的個數(shù)是是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵第個圖形中一共有個圓，第個圖形中一共有個圓，第個圖形中一共有個圓，第個圖形中一共有個圓，可得第個圖形中圓的個數(shù)是，∴第個圖形中圓的個數(shù)為，故選：．變式1．（2024·四川德陽·三模）用大小相同的圓點擺成如圖所示的圖案，其中第①個圖案用了7個圓點，第②個圖案用了10個圓點，第③個圖案用了14個圓點，第④個圖案用了19個圓點，…，按照這樣的規(guī)律擺放，則第8個圖案中共有圓點的個數(shù)是（）

A．40 B．49 C．50 D．52【答案】B【分析】此題考查圖形的變化規(guī)律，找出數(shù)量上的變化規(guī)律，從而推出一般性的結(jié)論，利用規(guī)律解決問題．【詳解】觀察圖形可知，第1個圖形共有圓點個；第2個圖形共有圓點個；第3個圖形共有圓點個；第4個圖形共有圓點個；…；第n個圖形共有圓點個；∴第8個圖案中共有圓點的個數(shù)是．故選：B．變式2．（23-24七年級下·重慶開州·期中）如圖，將一些半徑相同的小圓按如圖所示的規(guī)律擺放，第1個圖形有4個小圓，第2個圖形有8個小圓，第3個圖形有14個小圓，……，依次規(guī)律，第8個圖形的小圓個數(shù)是（

）

A．56 B．58 C．63 D．74【答案】D【分析】此題考查圖形的規(guī)律探究，由題意可知：第一個圖形有個小圓，第二個圖形有個小圓，第三個圖形有個小圓，第四個圖形有個小圓由此得出，第個圖形的小圓數(shù)量個，由此得出答案即可．【詳解】解：第一個圖形的小圓數(shù)量；第二個圖形的小圓數(shù)量；第三個圖形的小圓數(shù)量；第個圖形的小圓數(shù)量個，則第8個圖形的小圓數(shù)量個故選：D．題型6、圖形的規(guī)律（指數(shù)類）【解題技巧】圖形規(guī)律：觀察前項（前3-4項）及利用題中的已知條件，歸納猜想一般性結(jié)論例1．（2024·山東威?！ひ荒＃┤鐖D，將一張邊長為1的正方形紙片分割成7部分，部分②是部分①面積的一半，部分③是部分②面積的一半，依此類推，則．借助圖形，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查圖形的變化類，根據(jù)題意可發(fā)現(xiàn)各部分面積的變化規(guī)律，再根據(jù)圖形可知陰影部分的面積和部分⑥的面積相等，從而根據(jù)規(guī)律，即可求解．【詳解】解：依題意，故選：B．變式1．（23-24七年級下·江蘇鹽城·期中）探索下列式子的規(guī)律：，，，…，請計算：．【答案】【分析】本題考查了整式的規(guī)律探究．根據(jù)題意推導一般性規(guī)律是解題的關(guān)鍵．由題意可推導一般性規(guī)律為：，即，，，……，，將等式左右同時相加得，，即，計算求解即可．【詳解】解：∵，，，∴可推導一般性規(guī)律為：，∴，，，……，，將等式左右同時相加得，，∴，解得，，故答案為：．變式2．（2023·安徽安慶·校考二模）用若干個“○”與“▲”按如圖方式進行拼圖：

(1)觀察圖形，尋找規(guī)律，并將下面的表格填寫完整：圖1圖2圖3圖4○的個數(shù)3921______▲的個數(shù)1410______(2)根據(jù)你所觀察到的規(guī)律，分別寫出圖中“○”與“▲”的個數(shù)（用含的代數(shù)式表示）．【答案】(1)45，22(2)圖n中，○的個數(shù)，▲的個數(shù)．【分析】（1）根據(jù)圖形總結(jié)規(guī)律，直接得出結(jié)果；（2）根據(jù)（1）即可得到規(guī)律．【詳解】（1）解：圖1，○的個數(shù)，▲的個數(shù)，圖2，○的個數(shù)，▲的個數(shù)，圖3，○的個數(shù)，▲的個數(shù)，圖4，○的個數(shù)，▲的個數(shù)，故答案為：45，22；（2）解：由（1）得到規(guī)律，圖n，○的個數(shù)，▲的個數(shù)．【點睛】本題主要考查探求規(guī)律的問題，能夠結(jié)合圖形的數(shù)目探求規(guī)律是解題的關(guān)鍵．題型7、循環(huán)規(guī)律類問題【解題技巧】有些題目包含著事物的循環(huán)規(guī)律，找到事物的循環(huán)規(guī)律，其他問題就可以迎刃而解.例1．（2024·湖北武漢·模擬預測）干支紀年法是中國歷法上自古以來就一直使用的紀年方法．干支是天干和地支的總稱，“甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸”十個符號叫天干；“子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戊、亥”十二個符號叫地支．把干支（天干＋地支）順序相配（甲子、乙丑、丙寅…）正好六十為一周期，周而復始，循環(huán)記錄，這就是俗稱的“干支表”．123456789101112天干甲乙丙丁戊己庚辛壬癸地支子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥如2024年為甲辰年．依據(jù)上述規(guī)律推斷，1949年應為（

）A．癸亥年 B．己丑年 C．癸酉年 D．甲子年【答案】B【分析】本題主要考查了周期性問題，分別計算天干與地支是本題解題的關(guān)鍵．天干年為一周期，地支年為一周期，計算出從年到年過了多少年，然后進行解答．【詳解】解：(年),，，∴天干為己，地支為丑，∴1949年應為己丑年.故選:B．變式1．（23-24七年級·江蘇·假期作業(yè)）計算：，…，歸納各計算結(jié)果中的個位數(shù)字的規(guī)律，猜測的個位數(shù)是．【答案】4【分析】本題考查了規(guī)律型：數(shù)字的變化類以及尾數(shù)特征，根據(jù)尾數(shù)的變化找出計算結(jié)果中的個位數(shù)字循環(huán)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)計算結(jié)果中的個位數(shù)字的變化，可得出計算結(jié)果中的個位數(shù)字的規(guī)律為4、0、8、2依次循環(huán)，結(jié)合余1，可得出的個位數(shù)字．【詳解】解：∵，…，∴計算結(jié)果中的個位數(shù)字按4、0、8、2依次循環(huán)．∵余1，∴的個位數(shù)字與的個位數(shù)字相同．故答案為：4．變式2．（2023·江蘇揚州·統(tǒng)考二模）現(xiàn)有一列數(shù)，，，，，，，對于任意相鄰的三個數(shù)，都有中間的數(shù)等于左右兩個數(shù)的和，如果，，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)任意相鄰的三個數(shù)，都有中間的數(shù)等于左右兩個數(shù)的和求得到分別是多少，即可找出規(guī)律，求得答案.【詳解】解：任意相鄰的三個數(shù)，都有中間的數(shù)等于左右兩個數(shù)的和，，，，，，，.每6個數(shù)為一循環(huán)，且6個數(shù)的和為0，.故選：B.【點睛】本題考查的是數(shù)字的變化規(guī)律，學生通過觀察、歸納、抽象出數(shù)列的規(guī)律的能力.涉及到有理數(shù)的加法法則，解題的關(guān)鍵在于分析題意，找到規(guī)律并進行推導.A組（能力提升）1．（2024·江蘇揚州·中考真題）1202年數(shù)學家斐波那契在《計算之書》中記載了一列數(shù)：1，1，2，3，5，……，這一列數(shù)滿足：從第三個數(shù)開始，每一個數(shù)都等于它的前兩個數(shù)之和．則在這一列數(shù)的前2024個數(shù)中，奇數(shù)的個數(shù)為（

）A．676 B．674 C．1348 D．1350【答案】D【分析】將這一列數(shù)繼續(xù)寫下去，發(fā)現(xiàn)這列數(shù)的變化規(guī)律即可解答．本題主要考查的是數(shù)字規(guī)律類問題，發(fā)現(xiàn)這列數(shù)的變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵．【詳解】這一列數(shù)為：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…可以發(fā)現(xiàn)每3個數(shù)為一組，每一組前2個數(shù)為奇數(shù)，第3個數(shù)為偶數(shù)．由于，即前2024個數(shù)共有674組，且余2個數(shù)，∴奇數(shù)有個．故選：D2．（2024·廣東河源·一模）如圖是一個俄羅斯方塊游戲，將正整數(shù)至按一定規(guī)律排列如圖表．通過按鍵操作平移或旋轉(zhuǎn)圖表中帶陰影的方框，方框中三個數(shù)的和可能是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了列代數(shù)式以及規(guī)律型：數(shù)字的變化類，設方框中中間的數(shù)字為，則另外兩個數(shù)分別為，或，，將三個數(shù)相加，可得出三個數(shù)之和為，進而可得出三個數(shù)之和為的倍數(shù)，即可得出結(jié)論．根據(jù)各數(shù)之間的關(guān)系，找出三個數(shù)之和為3的倍數(shù)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：設方框中中間的數(shù)字為，則另外兩個數(shù)分別為，或，，∴三個數(shù)之和為或，∴三個數(shù)之和為的倍數(shù)，又∵，，，，∴方框中三個數(shù)的和可能是．故選：B．3．（2024·河北邢臺·模擬預測）如圖所示的是2024年2月份的月歷，其中“型”、“十字型”兩個陰影圖形分別覆蓋其中五個數(shù)字（“型”、“十字型”兩個陰影圖形可以重疊覆蓋，也可以上下左右移動），設“型”覆蓋的五個數(shù)字之和為，“十字型”覆蓋的五個數(shù)字之和為．若，則的最大值為（

）

A．39 B．44 C．65 D．71【答案】B【分析】本題考查了數(shù)字類規(guī)律探索，整式的加減的應用，設“型”中間數(shù)為，“十字型”中間數(shù)為，則，求出，表示出，由圖形可得：的最大值為，此時，代入計算即可得出答案．【詳解】解：設“型”中間數(shù)為，“十字型”中間數(shù)為，由題意得：,,∵，∴，∴，∴，由圖形可得：的最大值為，此時，∴，∴的最大值為，故選：B．4．（23-24八年級·廣東廣州·期中）如圖，每一幅圖中有若干個大小不同的平行四邊形，第1幅圖中有1個平行四邊形；第2幅圖中有3個平行四邊形；第3幅圖中有5個平行四邊形，…，按此規(guī)律排列下去，第n幅圖中有平行四邊形()A．個 B．個 C．個 D．個【答案】B【分析】本題考查了圖形的規(guī)律探究．根據(jù)每一個圖案比前一個多個平行四邊形可得，第幅圖中共有個平行四邊形，由此可計算此題的結(jié)果．【詳解】解：第幅圖中有個；第幅圖中有(個)第幅圖中有(個)；可以發(fā)現(xiàn)，每個圖形都比前一個圖形多個平行四邊形，所以第幅圖有個平行四邊形．故選：B．5．（2024·浙江溫州·二模）在二維碼中常用黑白方格表示數(shù)碼1和0，若下圖表示1011，則表示0110的圖是（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】本題考查了圖形規(guī)律，理解圖示，掌握圖形規(guī)律是解題的關(guān)鍵．根據(jù)材料提示，黑色的為1，白色的為0，由此即可求解．【詳解】解：根據(jù)材料提示，黑色的為1，白色的為0，∴的圖形規(guī)律為：白黑黑白，故選：D．6．（2024·山東濟寧·二模）數(shù)據(jù)，□，，，，…是按照一定規(guī)律有序排列的，則“□”里應填的數(shù)是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了數(shù)字類規(guī)律探究，觀察數(shù)據(jù)，原數(shù)據(jù)的分子部分都是質(zhì)數(shù)，故所求的分子為，分母都是合數(shù)，分別為，，，，，則所求分母為，據(jù)此即可求解．【詳解】原數(shù)據(jù)為：，□，，，，…∵原數(shù)據(jù)的分子部分都是質(zhì)數(shù)，故所求的分子為，分母都是合數(shù)，分別為，，，，，則所求分母為，∴□為故選：A．7．（2024·遼寧錦州·二模）如圖，下列各圓中三個扇形上標記的數(shù)字之間都有相同的規(guī)律，則根據(jù)此規(guī)律，可以得出圖中b的值為(

)A．143 B．140 C．123 D．120【答案】A【分析】本題考查了數(shù)字類規(guī)律探究，先求出前幾個數(shù)之間的關(guān)系，找到規(guī)律為，再代入計算．【詳解】解：，，，，，第個圓中規(guī)律為：，當時，，故選：A．8．（2024·云南昆明·一模）按一定規(guī)律排列的多項式：，，，，，…，第n個多項式是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了多項式規(guī)律探究，理解題意，認真分析，找到規(guī)律是解決本題的關(guān)鍵．根據(jù)所給的多項式的項數(shù)，次數(shù)，即可找到規(guī)律，根據(jù)規(guī)律即可求解．【詳解】解：由題意可知：所給的多項式為二項式，第一項的系數(shù)都為1，a的指數(shù)分別為連續(xù)正整數(shù)，b的指數(shù)為1，常數(shù)項為連續(xù)正整數(shù)，故第n個多項式為，故選：B．9．（2024·重慶渝中·二模）如圖，是由相同的小圓圈按照一定規(guī)律擺放而成的，第（1）個圖形中小圓圈的個數(shù)是7個，第（2）個圖形中小圓圈的個數(shù)是11個，第（3）個圖形中小圓圈的個數(shù)是15個，則第（10）個圖形中小圓圈的個數(shù)是（）A．43 B．47 C．51 D．55【答案】A【分析】本題考查了圖形規(guī)律探索，由題意知，其規(guī)律是每次增加4個圓圈，依此規(guī)律則可求得第（10）個圖形中小圓圈的個數(shù)．找出規(guī)律是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：第（1）個圖形中小圓圈的個數(shù)是7個，第（2）個圖形中小圓圈的個數(shù)是（個），第（3）個圖形中小圓圈的個數(shù)是（個），第（4）個圖形中小圓圈的個數(shù)是（個），……，則第（10）個圖形中小圓圈的個數(shù)是（個）；故選：A．10．（2023·黑龍江哈爾濱·三模）已知：，，，，……觀察并找出規(guī)律，計算的結(jié)果【答案】840【分析】本題考查有理數(shù)的混合運算、規(guī)律性-數(shù)字的變化，找出規(guī)律進行計算即可．【詳解】解：，，，，觀察發(fā)現(xiàn)，每個式子都是從下面的數(shù)字開始遞減的連續(xù)整數(shù)的積的形式，而因數(shù)的個數(shù)就是上面的數(shù)字，∴，故答案為：840．11．（2024·山西太原·三模）如圖是一組有規(guī)律的圖案，它們是由邊長相同的正方形組成，第（1）個圖案有3個正方形，第（2）個圖案有8個正方形，第（3）個圖案有14個正方形，…依此規(guī)律，第個圖案有個正方形（用含n的代數(shù)式表示）．

【答案】【分析】由題意知，正方形的個數(shù)為所有的正方形的總和，據(jù)此可得第個圖形中正方形的個數(shù)．本題主要考查圖形的變化規(guī)律．【詳解】解：第1個圖形中正方形的個數(shù)為個，3小正方形，第2個圖形中正方形的個數(shù)為個，6個小正方形，2個大正方形即；第3個圖形中正方形的個數(shù)為14個，9個小正方形，4個中正方形，1個大正方形即；第4個圖形中正方形的個數(shù)為18個，12個小正方形，6個中正方形，2個大正方形即；以此類推第個圖形中正方形的個數(shù)，故答案為：．12．（23-24七年級下·河南鄭州·期中）樂樂設計了一個有趣的運算程序：任意寫出一個三位數(shù)（三位數(shù)字相同的除外），重新排列各位數(shù)字，使其組成一個最大的數(shù)和一個最小的數(shù)，然后用最大的數(shù)減去最小的數(shù)，得到差，然后把差重復這個過程……以579開始，按照此程序運算2024次后得到的數(shù)是．【答案】495【分析】此題考查了數(shù)字的變化規(guī)律，有理數(shù)的混合運算，解答的關(guān)鍵是理解清楚題意及對有理數(shù)的相應的運算法則的掌握．任選三個不同的數(shù)字，組成一個最大的數(shù)和一個最小的數(shù)，用大數(shù)減去小數(shù)，用所得的結(jié)果的三位數(shù)重復上述的過程，即可發(fā)現(xiàn)規(guī)律.【詳解】解：組成一個最大的數(shù)975和一個最小的數(shù)579，用大數(shù)減去小數(shù)，第一次：，第二次：；第三次：；第四次：；第五次：；第六次：．故答案為：495．13．（2024·黑龍江大慶·一模）如圖是由同樣大小的圓按一定規(guī)律排列所組成的，其中第1個圖形中有1個圓，第2個圖形有3個圓，第3個圖形中一共有6個圓，第4個圖形中一共有10個圓…按此規(guī)律排列下去，第10個圖形中圓的個數(shù)是個【答案】55【分析】本題考查圖形的變換規(guī)律，根據(jù)圖形得出第n個圖形中圓的個數(shù)是進行解答即可．【詳解】解：因為第1個圖形中一共有1（個）圓，第2個圖形中一共有（個）圓，第3個圖形中一共有（個）圓，第4個圖形中一共有（個）圓；可得第n個圖形中圓的個數(shù)是（個）；所以第10個圖形中圓的個數(shù)（個）．故答案為：55．14．（23-24八年級下·黑龍江哈爾濱·階段練習）如圖，把同樣大小的黑色棋子擺放在正多邊形的邊上，擺第一個圖形需要3個黑色棋子，擺第二個圖形需要8個黑色棋子，…，按照這樣的規(guī)律擺下去，擺第8個圖形需要黑色棋子的個數(shù)是．【答案】80【分析】本題考查規(guī)律型：圖形的變化類，解題時注意圖形中有重復的點，即多邊形的頂點．根據(jù)題意，分析可得第1個圖形需要黑色棋子的個數(shù)為，第2個圖形需要黑色棋子的個數(shù)為，第3個圖形需要黑色棋子的個數(shù)為，依此類推，可得第n個圖形需要黑色棋子的個數(shù)是．【詳解】結(jié)合圖形，發(fā)現(xiàn)：第1個圖形中黑色棋子的個數(shù)是（個）；第2個圖形中黑色棋子的個數(shù)是（個）；第3個圖形中黑色棋子的個數(shù)是（個），依此類推，則第n（n是正整數(shù)）個圖形需要黑色棋子的個數(shù)是）個，∴第8個圖形需要黑色棋子的個數(shù)是．故答案為：．B組（培優(yōu)拓展）1．（2024七年級·廣東·專題練習）正奇數(shù)1，3，5，7，9，…，按如下規(guī)律排列，則第8排從左數(shù)第2個數(shù)是（

）A．57 B．59 C．61 D．63【答案】B【分析】本題考查數(shù)字變化的規(guī)律，能發(fā)現(xiàn)每行奇數(shù)個數(shù)的變化規(guī)律及前行奇數(shù)總個數(shù)的表達式是解題的關(guān)鍵．觀察正奇數(shù)的排列方式，發(fā)現(xiàn)每行奇數(shù)的個數(shù)規(guī)律即可解決問題．【詳解】解：由題知，第1行奇數(shù)個數(shù)為1，第2行奇數(shù)個數(shù)為2，第3行奇數(shù)個數(shù)為，所以前行奇數(shù)的總個數(shù)為：．當時，即前7排的奇數(shù)總個數(shù)為28，又因為即第7排從左往右最后一個數(shù)為55，所以第8排從左數(shù)第2個數(shù)是59．故選：B．2．（2024·江蘇鎮(zhèn)江·二模）為了了解全校學生的視力情況，將初三年級的500名同學從1到500編號，并按編號從小到大的順序站成一排報數(shù)1、2、3…，報到非3的倍數(shù)的退下，3的倍數(shù)的留下，留下的同學從編號小的開始繼續(xù)報數(shù)1、2、3…，報到非3的倍數(shù)的退下，3的倍數(shù)的留下，…，如此繼續(xù)，最后留下一個同學，則最后留下的這個同學編號是（

）A．3 B．252 C．243 D．498【答案】C【分析】本題考查的是數(shù)字類的規(guī)律探究，先分析得到經(jīng)過n輪后（n為正整數(shù)），剩下同學的編號為；由，可得，從而可得答案．【詳解】解：由題意第一輪剩下：，，，，，，第二輪剩下：，，，，∴經(jīng)過n輪后（n為正整數(shù)），剩下同學的編號為；∵，即，∴當圓圈只剩一個人時，，∴這個同學的編號為．故選C．3．（2024·重慶·二模）下列圖形都是由邊長相等且面積為1的等邊三角形按一定的規(guī)律組成，其中，第①個圖形面積為1，第②個圖形面積為4，第③個圖形面積為9，…，則第⑩個圖形中三角形的個數(shù)是（）A．81 B．100 C．99 D．101【答案】B【分析】本題主要考查了圖形的規(guī)律，通過已有圖形發(fā)現(xiàn)規(guī)律成為解題的關(guān)鍵．先根據(jù)已有圖形歸納規(guī)律，然后再運用規(guī)律即可解答．【詳解】解：第①個圖有個三角形，第②個圖形有個三角形，第③個圖形有個三角形，…第⑩個圖形有個三角形．故選B．4．（24-25七年級上·浙江·假期作業(yè)）按照下面的方式堆放小球，第5堆有個小球，第n堆有個小球．【答案】15【分析】本題考查了圖形規(guī)律探索，第一堆1層1個；第二堆2層3個；第三堆3層6個；第四堆4層10個；根據(jù)每一堆的層數(shù)和個數(shù)，發(fā)現(xiàn)可以用梯形的面積公式來計算出個數(shù)，上底是1，下底與它的堆數(shù)相同，高與底相同，據(jù)此求出第5堆和第n堆小球的個數(shù)即可．【詳解】解：由圖可知：第一堆1層1個；第二堆2層3個；第三堆3層6個；第四堆4層10個，則第n堆小球共有：，第五堆小球共有：（個），故答案為：15；．5．（24-25七年級上·重慶·假期作業(yè)）將自然數(shù)列按照如圖方式排列，如果2算作是第一次拐彎，那么第50次拐彎的數(shù)是．【答案】651【分析】解答此題的關(guān)鍵是根據(jù)圖找出拐彎外數(shù)的數(shù)與次數(shù)的規(guī)律，然后再根據(jù)規(guī)律解答．第一拐彎處是2，第二次拐彎處是3，第三次拐彎處是5，第四次拐彎處是7，第五次拐彎處是10…可以得到n個拐彎處的數(shù)．當n為奇數(shù)時，；當n為偶數(shù)時，．第50次為偶數(shù)，代入即可計算出此處拐彎處的數(shù)．【詳解】解：由分析可知，第50次拐彎處的數(shù)為：．故答案為：651．6．（2024·四川成都·中考真題）在綜合實踐活動中，數(shù)學興趣小組對這個自然數(shù)中，任取兩數(shù)之和大于的取法種數(shù)進行了探究．發(fā)現(xiàn)：當時，只有一種取法，即；當時，有和兩種取法，即；當時，可得；……．若，則的值為；若，則的值為．【答案】9144【分析】本題考查數(shù)字類規(guī)律探究，理解題意，能夠從特殊到一般，得到當n為偶數(shù)或奇數(shù)時的不同取法是解答的關(guān)鍵．先根據(jù)前幾個n值所對應k值，找到變化規(guī)律求解即可．【詳解】解：當時，只有一種取法，則；當時，有和兩種取法，則；當時，有，，，四種取法，則；故當時，有，，，，，六種取法，則；當時，有，，，，，，，，九種取法，則；依次類推，當n為偶數(shù)時，，故當時，，故答案為：9，144．7．（2024·黑龍江大慶·三模）如圖的數(shù)字三角形被稱為“楊輝三角”，圖中兩條平行線之間的一列數(shù)：，，，，，…，我們把第一個數(shù)記為，第二個數(shù)記為，第三個數(shù)記為，…第個數(shù)記為，則．【答案】【分析】本題考查了數(shù)字變化規(guī)律問題的解決能力，關(guān)鍵是能準確歸納出該組數(shù)字出現(xiàn)的規(guī)律．通過歸納出第個數(shù)的表達式為進行求解即可．【詳解】解：由題意得，，，，，，第個數(shù)記為，故答案為：．8．（2024·山東臨沂·二模）把所有正奇數(shù)從小到大排列，并按如下規(guī)律分組：第組：，；第組：，，，；第組：，，，，，；第組：，，，，，，，；現(xiàn)用表示第組從左往右數(shù)第個數(shù)，則表示的數(shù)是．【答案】【分析】本題考查數(shù)字類規(guī)律的探究，根據(jù)已知條件數(shù)字的排列找到規(guī)律，用含的代數(shù)式表示出第組最后一個數(shù)，判斷出第組最后一個奇數(shù)，進而可得答案，找到數(shù)字類規(guī)律是解題的關(guān)鍵．【詳解】依題意得：第組中奇數(shù)的個數(shù)有個，∴第組最后一個奇數(shù)