重難點(diǎn)04 探究與表達(dá)規(guī)律 專(zhuān)項(xiàng)講練（原卷版）-2024小升初數(shù)學(xué)暑假銜接講義

重難點(diǎn)04.探究與表達(dá)規(guī)律專(zhuān)項(xiàng)講練1.通過(guò)具體的問(wèn)題情境，經(jīng)歷在實(shí)際問(wèn)題中探索規(guī)律的過(guò)程；2.能歸納具體問(wèn)題中蘊(yùn)含的規(guī)律，用代數(shù)式表示，并通過(guò)計(jì)算驗(yàn)證；3.在解決問(wèn)題過(guò)程中體驗(yàn)類(lèi)比、轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想，培優(yōu)良好的思維品質(zhì)。題型探究題型1、數(shù)列的規(guī)律 2題型2、數(shù)（圖）表的規(guī)律 3題型3、算式的規(guī)律 4題型4、圖形的規(guī)律（一次類(lèi)） 5題型5、圖形的規(guī)律（二次類(lèi)） 6題型6、圖形的規(guī)律（指數(shù)類(lèi)） 7題型7、循環(huán)規(guī)律類(lèi)問(wèn)題 8培優(yōu)精練A組（能力提升） 9B組（培優(yōu)拓展） 121.規(guī)律探索型問(wèn)題解題技巧1）抓住條件中的變與不變：找數(shù)學(xué)規(guī)律的題目，都會(huì)涉及到一個(gè)或者幾個(gè)變化的量.所謂找規(guī)律，多數(shù)情況下，是指變量的變化規(guī)律.所以，抓住了變量，就等于抓住了解決問(wèn)題的關(guān)鍵.而這些變量通常按照一定的順序給出，揭示的規(guī)律，常常包含著事物的序列號(hào).2）化繁為簡(jiǎn)，形轉(zhuǎn)化為數(shù)：有些題目看上去很大、圖形很復(fù)雜，實(shí)際上，關(guān)鍵性的內(nèi)容并不多.對(duì)題目做一番認(rèn)真地分析，去粗取精，取偽存真，把其中主要的、關(guān)鍵的內(nèi)容抽出來(lái)，題目的難度就會(huì)大幅度降低，問(wèn)題也就容易解決了.3）要進(jìn)行計(jì)算嘗試：找規(guī)律，當(dāng)然是找數(shù)學(xué)規(guī)律.而數(shù)學(xué)規(guī)律，多數(shù)是函數(shù)的解析式.函數(shù)的解析式里常常包含著數(shù)學(xué)運(yùn)算.因此，找規(guī)律，在很大程度上是在找能夠反映已知量的數(shù)學(xué)運(yùn)算式子.所以，從運(yùn)算入手，嘗試著做一些計(jì)算，也是解答找規(guī)律題的好途徑.4）尋找事物的循環(huán)節(jié)：有些題目包含著事物的循環(huán)規(guī)律，找到事物的循環(huán)規(guī)律，其他問(wèn)題就可以迎刃而解.2、規(guī)律探索型問(wèn)題常見(jiàn)類(lèi)型1）數(shù)式規(guī)律：通常給定一些數(shù)字、代數(shù)式、等式或不等式，然后猜想其中蘊(yùn)含的規(guī)律，反映了由特殊到一般的數(shù)學(xué)方法，考查了學(xué)生的分析、歸納、抽象、概括能力.一般解法是先寫(xiě)出數(shù)式的基本結(jié)構(gòu)，然后通過(guò)橫比（比較同一等式中不同部分的數(shù)量關(guān)系）或縱比（比較不同等式間相同位置的數(shù)量關(guān)系）找出各部分的特征，改寫(xiě)成要求的格式。2）圖形規(guī)律：根據(jù)一組相關(guān)圖形的變化，從中總結(jié)圖形變化所反映的規(guī)律.解決這類(lèi)圖形規(guī)律問(wèn)題的方法有兩種，一種是數(shù)圖形，將圖形轉(zhuǎn)化成數(shù)字規(guī)律，再用數(shù)字規(guī)律的解決問(wèn)題，一種是通過(guò)圖形的直觀性，從圖形中直接尋找規(guī)律。3）數(shù)表規(guī)律：解決本題的方法一般是先看行（或列）的規(guī)律，再以列（或行）為單位用數(shù)列找規(guī)律方法找規(guī)律.有時(shí)也需要看看有沒(méi)有一個(gè)數(shù)是上面兩數(shù)或下面兩數(shù)的和或差等.有時(shí)還需要先局部看，再整體找規(guī)律。題型1、數(shù)列的規(guī)律【解題技巧】數(shù)列的規(guī)律：把握常見(jiàn)幾類(lèi)數(shù)的排列規(guī)律及每個(gè)數(shù)與排列序號(hào)之間的關(guān)系.例1．（2024·海南·一模）觀察下列一組數(shù)：，，，，…，它們是按一定規(guī)律排列的，那么這一組數(shù)的第個(gè)數(shù)是，第個(gè)數(shù)是．變式1．（2024·湖北孝感·模擬預(yù)測(cè)）觀察下面兩行數(shù)：1，5，11，19，29，…；1，3，6，10，15，…．取每行數(shù)的第8個(gè)數(shù)，計(jì)算這兩個(gè)數(shù)的和是（

）A．147 B．126 C．107 D．92變式2．（2024·云南昆明·二模）數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，李老師給出一組按一定規(guī)律排列的數(shù)：2，，8，，32，…，第n個(gè)數(shù)是（

）A． B． C． D．題型2、數(shù)（圖）表的規(guī)律【解題技巧】數(shù)（圖）表的規(guī)律：觀察前幾個(gè)圖形，確定每個(gè)圖形中圖形的個(gè)數(shù)或圖形總數(shù)與序號(hào)之間的關(guān)系.例1．（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測(cè)）我國(guó)南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算術(shù)》一書(shū)中，用如圖所示的三角形數(shù)陣解釋二項(xiàng)式展開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)，這一數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)比歐洲早近年，此三角形被后人稱(chēng)為“楊輝三角”．在“楊輝三角”中，兩邊上的數(shù)都是，其余每個(gè)數(shù)是它上方的（左右）兩數(shù)之和．如，，．．．，若從第三行的“”開(kāi)始，按箭頭所指依次構(gòu)成一列數(shù)：，，，，，，，，，，，則這列數(shù)中第個(gè)數(shù)是（

）A．56 B．42 C．28 D．8變式1．（23-24七年級(jí)下·山東青島·期中）觀察下面一組數(shù)：，2，，4，，6，…，將這組數(shù)排成如圖的形式，按照如圖規(guī)律排下去第10行從左邊數(shù)第9個(gè)數(shù)是（

）A． B．90 C． D．91變式2．（2023·山東泰安·統(tǒng)考二模）數(shù)學(xué)家萊布尼茨在研究中發(fā)現(xiàn)了下面的“單位分?jǐn)?shù)三角形”，根據(jù)前五行的規(guī)律，可以知道第六行第三個(gè)數(shù)是_________．第一行

第二行

第三行

第四行

第五行

變式3．（2023·浙江杭州·七年級(jí)校考期中）已知：在數(shù)軸上有兩個(gè)點(diǎn)A、B，A點(diǎn)表示有理數(shù)－4，B點(diǎn)表示有理數(shù)6，點(diǎn)P在原點(diǎn)左側(cè)，表示有理數(shù)x，且點(diǎn)P到A、B兩點(diǎn)的距離和是16，觀察下面每個(gè)圖形中的四個(gè)數(shù)都是按相同的規(guī)律填寫(xiě)的，根據(jù)此規(guī)律確定y的值是________．

題型3、算式的規(guī)律【解題技巧】算式的規(guī)律：用含有字母的代數(shù)式總結(jié)規(guī)律，注意此代數(shù)式與序號(hào)之間的關(guān)系.例1．（2024·山西大同·三模）觀察下列等式：，，，，照此規(guī)律，第個(gè)等式為．變式1．（24-25七年級(jí)上·廣東·假期作業(yè)）古希臘著名的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派把1、3、6、10…這樣的數(shù)稱(chēng)為“三角形數(shù)”，而把1、4、9、16…這樣的數(shù)稱(chēng)為“正方形數(shù)”．從上圖中可以發(fā)現(xiàn)：任何一個(gè)大于1的“正方形數(shù)”都可以看作兩個(gè)相鄰的“三角形數(shù)”之和，例如．把“正方形數(shù)”36寫(xiě)成兩個(gè)相鄰的“三角形數(shù)”之和，正確的是（）．A． B． C． D．變式2.（2023·湖北七年級(jí)期中）觀察以下等式：第個(gè)等式：；第個(gè)等式：；第個(gè)等式：；第個(gè)等式：．……按照以上規(guī)律．解決下列問(wèn)題：（1）寫(xiě)出第個(gè)等式：____________________．（2）寫(xiě)出你猜想的第個(gè)等式：____________________（用含的等式表示）．（3）你認(rèn)為（2）中所寫(xiě)的式子一定成立嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．題型4、圖形的規(guī)律（一次類(lèi)）【解題技巧】圖形規(guī)律：觀察前項(xiàng)（前3-4項(xiàng)）及利用題中的已知條件，歸納猜想一般性結(jié)論.例1．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）下面是用棋子擺成的“小屋子”．?dāng)[第1個(gè)這樣的“小屋子”需要5枚棋子，擺第2個(gè)這樣的“小屋子”需要11枚棋子，……，擺第10個(gè)這樣的“小屋子”需要的棋子數(shù)為（

）A．53 B．59 C．65 D．50變式1．（2024·重慶·中考真題）用菱形按如圖所示的規(guī)律拼圖案，其中第①個(gè)圖案中有2個(gè)菱形，第②個(gè)圖案中有5個(gè)菱形，第③個(gè)圖案中有8個(gè)菱形，第④個(gè)圖案中有11個(gè)菱形，…，按此規(guī)律，則第⑧個(gè)圖案中，菱形的個(gè)數(shù)是（）A．20 B．21 C．23 D．26變式2．（2024·重慶·二模）把黑色圍棋子按如圖所示的規(guī)律擺放．其中第①個(gè)圖案有1顆棋子，第②個(gè)圖案有4顆棋子，第③個(gè)圖案有7顆棋子，第④個(gè)圖案有10顆棋子，……，按此規(guī)律排列下去，第個(gè)圖案有25顆棋子，則的值為（

）A．7 B．8 C．9 D．10題型5、圖形的規(guī)律（二次類(lèi)）【解題技巧】圖形規(guī)律：觀察前項(xiàng)（前3-4項(xiàng)）及利用題中的已知條件，歸納猜想一般性結(jié)論.例1．（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測(cè)）如圖是由同樣大小的圓按一定規(guī)律排列所組成的，其中第個(gè)圖形中一共有個(gè)圓，第個(gè)圖形中一共有個(gè)圓，第個(gè)圖形中一共有個(gè)圓，第個(gè)圖形中一共有個(gè)圓，，按此歸路排列下去，第個(gè)圖形中圓的個(gè)數(shù)是（

）個(gè)

A． B． C． D．變式1．（2024·四川德陽(yáng)·三模）用大小相同的圓點(diǎn)擺成如圖所示的圖案，其中第①個(gè)圖案用了7個(gè)圓點(diǎn)，第②個(gè)圖案用了10個(gè)圓點(diǎn)，第③個(gè)圖案用了14個(gè)圓點(diǎn)，第④個(gè)圖案用了19個(gè)圓點(diǎn)，…，按照這樣的規(guī)律擺放，則第8個(gè)圖案中共有圓點(diǎn)的個(gè)數(shù)是（）

A．40 B．49 C．50 D．52變式2．（23-24七年級(jí)下·重慶開(kāi)州·期中）如圖，將一些半徑相同的小圓按如圖所示的規(guī)律擺放，第1個(gè)圖形有4個(gè)小圓，第2個(gè)圖形有8個(gè)小圓，第3個(gè)圖形有14個(gè)小圓，……，依次規(guī)律，第8個(gè)圖形的小圓個(gè)數(shù)是（

）

A．56 B．58 C．63 D．74題型6、圖形的規(guī)律（指數(shù)類(lèi)）【解題技巧】圖形規(guī)律：觀察前項(xiàng)（前3-4項(xiàng)）及利用題中的已知條件，歸納猜想一般性結(jié)論例1．（2024·山東威?！ひ荒＃┤鐖D，將一張邊長(zhǎng)為1的正方形紙片分割成7部分，部分②是部分①面積的一半，部分③是部分②面積的一半，依此類(lèi)推，則．借助圖形，則（

）A． B． C． D．變式1．（23-24七年級(jí)下·江蘇鹽城·期中）探索下列式子的規(guī)律：，，，…，請(qǐng)計(jì)算：．變式2．（2023·安徽安慶·?？级＃┯萌舾蓚€(gè)“○”與“▲”按如圖方式進(jìn)行拼圖：

(1)觀察圖形，尋找規(guī)律，并將下面的表格填寫(xiě)完整：圖1圖2圖3圖4○的個(gè)數(shù)3921______▲的個(gè)數(shù)1410______(2)根據(jù)你所觀察到的規(guī)律，分別寫(xiě)出圖中“○”與“▲”的個(gè)數(shù)（用含的代數(shù)式表示）．題型7、循環(huán)規(guī)律類(lèi)問(wèn)題【解題技巧】有些題目包含著事物的循環(huán)規(guī)律，找到事物的循環(huán)規(guī)律，其他問(wèn)題就可以迎刃而解.例1．（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測(cè)）干支紀(jì)年法是中國(guó)歷法上自古以來(lái)就一直使用的紀(jì)年方法．干支是天干和地支的總稱(chēng)，“甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸”十個(gè)符號(hào)叫天干；“子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戊、亥”十二個(gè)符號(hào)叫地支．把干支（天干＋地支）順序相配（甲子、乙丑、丙寅…）正好六十為一周期，周而復(fù)始，循環(huán)記錄，這就是俗稱(chēng)的“干支表”．123456789101112天干甲乙丙丁戊己庚辛壬癸地支子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥如2024年為甲辰年．依據(jù)上述規(guī)律推斷，1949年應(yīng)為（

）A．癸亥年 B．己丑年 C．癸酉年 D．甲子年變式1．（23-24七年級(jí)·江蘇·假期作業(yè)）計(jì)算：，…，歸納各計(jì)算結(jié)果中的個(gè)位數(shù)字的規(guī)律，猜測(cè)的個(gè)位數(shù)是．變式2．（2023·江蘇揚(yáng)州·統(tǒng)考二模）現(xiàn)有一列數(shù)，，，，，，，對(duì)于任意相鄰的三個(gè)數(shù)，都有中間的數(shù)等于左右兩個(gè)數(shù)的和，如果，，則的值為（

）A． B． C． D．A組（能力提升）1．（2024·江蘇揚(yáng)州·中考真題）1202年數(shù)學(xué)家斐波那契在《計(jì)算之書(shū)》中記載了一列數(shù)：1，1，2，3，5，……，這一列數(shù)滿足：從第三個(gè)數(shù)開(kāi)始，每一個(gè)數(shù)都等于它的前兩個(gè)數(shù)之和．則在這一列數(shù)的前2024個(gè)數(shù)中，奇數(shù)的個(gè)數(shù)為（

）A．676 B．674 C．1348 D．13502．（2024·廣東河源·一模）如圖是一個(gè)俄羅斯方塊游戲，將正整數(shù)至按一定規(guī)律排列如圖表．通過(guò)按鍵操作平移或旋轉(zhuǎn)圖表中帶陰影的方框，方框中三個(gè)數(shù)的和可能是（）A． B． C． D．3．（2024·河北邢臺(tái)·模擬預(yù)測(cè)）如圖所示的是2024年2月份的月歷，其中“型”、“十字型”兩個(gè)陰影圖形分別覆蓋其中五個(gè)數(shù)字（“型”、“十字型”兩個(gè)陰影圖形可以重疊覆蓋，也可以上下左右移動(dòng)），設(shè)“型”覆蓋的五個(gè)數(shù)字之和為，“十字型”覆蓋的五個(gè)數(shù)字之和為．若，則的最大值為（

）

A．39 B．44 C．65 D．714．（23-24八年級(jí)·廣東廣州·期中）如圖，每一幅圖中有若干個(gè)大小不同的平行四邊形，第1幅圖中有1個(gè)平行四邊形；第2幅圖中有3個(gè)平行四邊形；第3幅圖中有5個(gè)平行四邊形，…，按此規(guī)律排列下去，第n幅圖中有平行四邊形()A．個(gè) B．個(gè) C．個(gè) D．個(gè)5．（2024·浙江溫州·二模）在二維碼中常用黑白方格表示數(shù)碼1和0，若下圖表示1011，則表示0110的圖是（

）A．B．C．D．6．（2024·山東濟(jì)寧·二模）數(shù)據(jù)，□，，，，…是按照一定規(guī)律有序排列的，則“□”里應(yīng)填的數(shù)是（）A． B． C． D．7．（2024·遼寧錦州·二模）如圖，下列各圓中三個(gè)扇形上標(biāo)記的數(shù)字之間都有相同的規(guī)律，則根據(jù)此規(guī)律，可以得出圖中b的值為(

)A．143 B．140 C．123 D．1208．（2024·云南昆明·一模）按一定規(guī)律排列的多項(xiàng)式：，，，，，…，第n個(gè)多項(xiàng)式是（

）A． B． C． D．9．（2024·重慶渝中·二模）如圖，是由相同的小圓圈按照一定規(guī)律擺放而成的，第（1）個(gè)圖形中小圓圈的個(gè)數(shù)是7個(gè)，第（2）個(gè)圖形中小圓圈的個(gè)數(shù)是11個(gè)，第（3）個(gè)圖形中小圓圈的個(gè)數(shù)是15個(gè)，則第（10）個(gè)圖形中小圓圈的個(gè)數(shù)是（）A．43 B．47 C．51 D．5510．（2023·黑龍江哈爾濱·三模）已知：，，，，……觀察并找出規(guī)律，計(jì)算的結(jié)果11．（2024·山西太原·三模）如圖是一組有規(guī)律的圖案，它們是由邊長(zhǎng)相同的正方形組成，第（1）個(gè)圖案有3個(gè)正方形，第（2）個(gè)圖案有8個(gè)正方形，第（3）個(gè)圖案有14個(gè)正方形，…依此規(guī)律，第個(gè)圖案有個(gè)正方形（用含n的代數(shù)式表示）．

12．（23-24七年級(jí)下·河南鄭州·期中）樂(lè)樂(lè)設(shè)計(jì)了一個(gè)有趣的運(yùn)算程序：任意寫(xiě)出一個(gè)三位數(shù)（三位數(shù)字相同的除外），重新排列各位數(shù)字，使其組成一個(gè)最大的數(shù)和一個(gè)最小的數(shù)，然后用最大的數(shù)減去最小的數(shù)，得到差，然后把差重復(fù)這個(gè)過(guò)程……以579開(kāi)始，按照此程序運(yùn)算2024次后得到的數(shù)是．13．（2024·黑龍江大慶·一模）如圖是由同樣大小的圓按一定規(guī)律排列所組成的，其中第1個(gè)圖形中有1個(gè)圓，第2個(gè)圖形有3個(gè)圓，第3個(gè)圖形中一共有6個(gè)圓，第4個(gè)圖形中一共有10個(gè)圓…按此規(guī)律排列下去，第10個(gè)圖形中圓的個(gè)數(shù)是個(gè)14．（23-24八年級(jí)下·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）如圖，把同樣大小的黑色棋子擺放在正多邊形的邊上，擺第一個(gè)圖形需要3個(gè)黑色棋子，擺第二個(gè)圖形需要8個(gè)黑色棋子，…，按照這樣的規(guī)律擺下去，擺第8個(gè)圖形需要黑色棋子的個(gè)數(shù)是．B組（培優(yōu)拓展）1．（2024七年級(jí)·廣東·專(zhuān)題練習(xí)）正奇數(shù)1，3，5，7，9，…，按如下規(guī)律排列，則第8排從左數(shù)第2個(gè)數(shù)是（

）A．57 B．59 C．61 D．632．（2024·江蘇鎮(zhèn)江·二模）為了了解全校學(xué)生的視力情況，將初三年級(jí)的500名同學(xué)從1到500編號(hào)，并按編號(hào)從小到大的順序站成一排報(bào)數(shù)1、2、3…，報(bào)到非3的倍數(shù)的退下，3的倍數(shù)的留下，留下的同學(xué)從編號(hào)小的開(kāi)始繼續(xù)報(bào)數(shù)1、2、3…，報(bào)到非3的倍數(shù)的退下，3的倍數(shù)的留下，…，如此繼續(xù)，最后留下一個(gè)同學(xué)，則最后留下的這個(gè)同學(xué)編號(hào)是（

）A．3 B．252 C．243 D．4983．（2024·重慶·二模）下列圖形都是由邊長(zhǎng)相等且面積為1的等邊三角形按一定的規(guī)律組成，其中，第①個(gè)圖形面積為1，第②個(gè)圖形面積為4，第③個(gè)圖形面積為9，…，則第⑩個(gè)圖形中三角形的個(gè)數(shù)是（）A．81 B．100 C．99 D．1014．（24-25七年級(jí)上·浙江·假期作業(yè)）按照下面的方式堆放小球，第5堆有個(gè)小球，第n堆有個(gè)小球．5．（24-25七年級(jí)上·重慶·假期作業(yè)）將自然數(shù)列按照如圖方式排列，如果2算作是第一次拐彎，那么第50次拐彎的數(shù)是．6．（2024·四川成都·中考真題）在綜合實(shí)踐活動(dòng)中，數(shù)學(xué)興趣小組對(duì)這個(gè)自然數(shù)中，任取兩數(shù)之和大于的取法種數(shù)進(jìn)行了探究．發(fā)現(xiàn)：當(dāng)時(shí)，只有一種取法，即；當(dāng)時(shí)，有和兩種取法，即；當(dāng)時(shí)，可得；……．若，則的值為；若，則的值為．7．（2024·黑龍江大慶·三模）如圖的數(shù)字三角形被稱(chēng)為“楊輝三角”，圖中兩條平行線之間的一列數(shù)：，，，，，…，我們把第一個(gè)數(shù)記為，第二個(gè)數(shù)記為，第三個(gè)數(shù)記為，…第個(gè)數(shù)記為，則．8．（2024·山東臨沂·二模）把所有正奇數(shù)從小到大排列，并按如下規(guī)律分組：第組：，；第組：，，，；第組：，，，，，；第組：，，，，，，，；現(xiàn)用表示第組從左往右數(shù)第個(gè)數(shù)，則表示