3.4-常微分方程(部編)課件

常微分方程一、微分方程的基本概念

二、可分離變量的微分方程

三、一階線性微分方程

四、二階常系數(shù)線性微分方程

一、微分方程的基本概念[引例3.12]設(shè)曲線過(guò)點(diǎn)(1,2)，且曲線上任一點(diǎn)處切線的斜率是該點(diǎn)橫坐標(biāo)的倒數(shù)，求此曲線方程．分析：設(shè)曲線方程為，于是曲線在點(diǎn)處切線的斜率為．根據(jù)題意有兩邊同時(shí)積分，得又因此所求曲線方程為．[引例3.13]一質(zhì)量為的質(zhì)點(diǎn)m，從高處只受重力作用從靜止?fàn)顟B(tài)自由下落，求其運(yùn)動(dòng)方程．分析：坐標(biāo)原點(diǎn)取在質(zhì)點(diǎn)開始下落點(diǎn),y軸鉛直向下．設(shè)在時(shí)刻t質(zhì)點(diǎn)的位置為,由牛頓第二定律，得質(zhì)點(diǎn)滿足的方程為即兩邊同時(shí)積分，得再次兩邊同時(shí)積分，得又因?yàn)楹瘮?shù)滿足下列條件:解得上面兩個(gè)引例，盡管實(shí)際意義不同，但解決問題的方法，都是歸結(jié)為首先建立一個(gè)含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(或微分)的關(guān)系式，然后通過(guò)此關(guān)系式，求出滿足所給附加條件的未知函數(shù)．定義3.6含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(或微分)的等式,稱為微分方程．常微分方程：未知函數(shù)是一元函數(shù)的微分方程；偏微分方程：未知函數(shù)是多元函數(shù)的微分方程．微分方程的階：未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(或微分)的最高階數(shù).微分方程的解：滿足微分方程的函數(shù).特解：滿足微分方程且不含任意常數(shù)的函數(shù).通解：滿足n階微分方程且含n個(gè)獨(dú)立任意常數(shù)的函數(shù).初始條件：當(dāng)自變量取某值時(shí)，未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)取特定的值.初值問題：帶有初始條件的微分方程問題．【相關(guān)概念】二、可分離變量的微分方程形如的一階微分方程稱為可分離變量的微分方程．一般解題思路：（方程的通解）例1

求微分方程的通解.解：分離變量后得兩端分別積分得解得此即為原微分方程的通解．例2

求滿足的特解．解：將微分方程分離變量后得兩端分別積分所以通解為故所求特解為例3求微分方程的通解．解：原方程變形為令則所以分離變量，得兩端積分，得即將回代，得原方程的通解例3求微分方程的通解．解：原方程變形為令則所以一般地，如果一階微分方程中的函數(shù)可化為，則稱此方程為齊次方程．齊次方程可利用分離變量法求解．三、一階線性微分方程形如的微分方程稱為一階線性微分方程．例4求微分方程的通解．解：方程兩端都乘以x，原方程就變成等式兩端同時(shí)積分，得所以原方程的通解為即積分因子對(duì)于微分方程在方程的兩端乘上積分因子方程的左端變?yōu)槎叶俗優(yōu)閮啥送瑫r(shí)積分得即這就是一階線性微分方程的通解公式．

例5求微分方程的通解．解：這里取所以原微分方程的通解為例6

設(shè)某跳傘運(yùn)動(dòng)員質(zhì)量為m，降落傘張開后降落時(shí)所受的空氣阻力與速度成正比，開始降落時(shí)速度為零，求降落傘的降落速度與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系．解：設(shè)降落傘的降落速度為，降落時(shí)所受外力為（k為比例系數(shù)）且（a為加速度）則可得微分方程：即將初始條件代入得.因此所求函數(shù)關(guān)系為四、二階常系數(shù)線性微分方程形如的微分方程，其中p、q為常數(shù)，稱為二階常系數(shù)線性非齊次微分方程，簡(jiǎn)稱二階常系數(shù)線性非齊次方程．形如的微分方程，叫做二階常系數(shù)線性齊次方程．1.線性微分方程解的結(jié)構(gòu)

定理3.3（1）如果是線性齊次微分方程的解，則對(duì)于任意常數(shù)C，也是該方程的解．（2）如果和都是線性齊次微分方程的解，則也是該方程的解．如果，則稱和線性相關(guān)，否則，和線性無(wú)關(guān)定理3.4如果和是線性齊次微分方程的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)解，則該方程的通解為線性組合定理3.5

如果是二階常系數(shù)線性非齊次方程+qy=f(x)的一個(gè)特解，是二階常系數(shù)線性齊次方程的通解，則非齊次微分方程的通解為．定理3.6

設(shè)二階常系數(shù)線性非齊次微分方程為且與分別是和的特解，則是方程的特解．2.二階常系數(shù)線性齊次方程

我們把方程稱為方程的特征方程，設(shè)它的兩根為和，則（1）當(dāng)實(shí)數(shù)時(shí)，方程的通解為（2）當(dāng)實(shí)數(shù)時(shí)，方程的通解為（3）當(dāng)實(shí)數(shù)時(shí)，方程的通解為例7

求微分方程的通解．解：特征方程為，解得故微分方程的通解為例8

求微分方程的通解．解：特征方程為，解得故微分方程的通解為例9

求微分方程的通解．解：特征方程為，解得故微分方程的通解為3.二階常系數(shù)線性非齊次微分方程的解法由定理3.5知道，二階常系數(shù)線性非齊次方程的通解是對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解與其自身的一個(gè)特解之和．而求二階常系數(shù)線性齊次方程的通解問題已經(jīng)解決，所以求線性非齊次方程的通解的關(guān)鍵在于求其一個(gè)特解．下面介紹方程中取兩種常見形式時(shí)求的方法．這種方法的特點(diǎn)是不用積分就可以求出來(lái)，它叫做待定系數(shù)法．（1）型

設(shè)二階常系數(shù)線性非齊次方程為其中為x的m次多項(xiàng)式．不難驗(yàn)證，它的特解為，其中與是同次多項(xiàng)式．①若λ不是對(duì)應(yīng)齊次方程的特征方程的特征根，k=0；②若λ是特征根且為單根，k=1；③若λ是特征根且為重根，k=2．例10

求方程的特解．解：是型，且，．對(duì)應(yīng)齊次方程的特征方程的根為所以不是特征方程的根，令代入原方程，得比較系數(shù)，得故所求特解為例11

求方程的一個(gè)通解．解：特征方程為，解得，．則對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為已知，，由于是特征方程的單根，故令代入原方程，解得于是所以原方程的通解為例12

求方程的特解．解：是型，且，．對(duì)應(yīng)齊次方程的特征方程的根為由于是特征方程的重根，故令代入原方程，解得故所求特解為（2）型設(shè)二階常系數(shù)線性非齊次方程其中

、

、A、B均為常數(shù).不難驗(yàn)證，上式的特解為其中C、D為待定常數(shù)．①若不是對(duì)應(yīng)齊次方程的特征根時(shí)，k=0；②若是對(duì)應(yīng)齊次方程的特征根時(shí)，k=1；例13求方程的特解．解：是型，且.解得其根為對(duì)應(yīng)齊次方程的特征方程由于不是特征方程的根，故令代入原方程,解得故所求特解為解：例14求方程的通解．對(duì)應(yīng)齊次方程特征方程的根為，故對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為原方程是型，且由于是特征方程的根，故令代入原方程,解得故所求特解為所以原方程的通解為解：